Числовой ряд основные определения. Признаки сходимости числовых рядов. Пусть даны два знакоположительных ряда

Пример 8. Дан ряд

Исследовать его сходимость в точках x = 1 и х = 3, x = -2.

При х = 1 данный ряд превращается в числовой ряд

.

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера. Имеем

т.е. ряд сходится.

При х = 3 получим ряд

Который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда

При х = -2 получим

Это знакочередующийся ряд, который, согласно признаку Лейбница, сходится.

Итак, в точках x = 1 и х = -2. ряд сходится, а в точке x = 3 расходится.

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена:

Рядом Тейлора для функции f(x) называется степенной ряд вида

И т.д. – достаточно самых минимальных знаний о числовых рядах . Необходимо понимать, что такое ряд , уметь расписывать его подробно и не округлять глаза после словосочетаний «ряд сходится», «ряд расходится», «сумма ряда». Поэтому, если ваше настроение совсем на нуле, пожалуйста, уделите 5-10 минут статье Ряды для чайников (буквально первые 2-3 страницы), а потом возвращайтесь сюда и смело начинайте решать примеры!

Следует отметить, что в большинстве случаев найти сумму ряда непросто, и этот вопрос обычно решается через функциональные ряды (доживём-доживём:)) . Так, например, сумма популярного артиста выводится через ряды Фурье . В этой связи на практике почти всегда требуется установить сам факт сходимости , но не найти конкретное число (многие, думаю, уже успели это заметить). Однако среди великого множества числовых рядов есть немногочисленные представители, которые позволяют без особых проблем прикоснуться к святая святых даже полному чайнику. И на вводном уроке я приводил пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии , сумма которой легко рассчитывается по известной школьной формуле.

В данной статье мы продолжим рассматривать похожие примеры, кроме того, узнаем строгое определение суммы и попутно познакомимся с некоторыми свойствами рядов. Разомнёмся… да прямо на прогрессиях и разомнёмся:

Пример 1

Найти сумму ряда

Решение : представим наш ряд в виде суммы двух рядов:

Почему в данном случае так можно сделать? Выполненные действия основаны на двух простейших утверждениях:

1) Если сходятся ряды , то будут сходиться и ряды, составленные из сумм или разностей соответствующих членов: . При этом существенно то обстоятельство, что речь идёт о сходящихся рядах. В нашём примере мы заранее знаем , что обе геометрические прогрессии сойдутся, а значит, без всяких сомнений раскладываем исходный ряд в два ряда.

2) Второе свойство ещё очевиднее. Константу можно вынести за пределы ряда: , и это не повлияет на его сходимость или расходимость и итоговую сумму. Зачем выносить константу? Да просто чтобы она «не мешалась под ногами». Но иногда бывает выгодно этого и не делать

Чистовое оформление примера выглядит примерно так:

Дважды используем формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где – первый член прогрессии, – основание прогрессии.

Ответ : сумма ряда

Начало решения можно оформить несколько в другом стиле – расписать ряд напрямую и перегруппировать его члены:

Дальше по накатанной.

Пример 2

Найти сумму ряда

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Каких-либо особых изысков здесь нет, но однажды мне попался необычный ряд , который может застать врасплох неискушенного человека. Это… тоже бесконечно убывающая геометрическая прогрессия! Действительно, , и сумма рассчитывается буквально за пару мгновений: .

А сейчас живительный глоток математического анализа, необходимый для решения дальнейших задач:

Что такое сумма ряда?

Строгое определение сходимости/расходимости и суммы ряда в теории даётся через так называемые частичные суммы ряда. Частичные – значит неполные. Распишем частичные суммы числового ряда :

И особую роль играет частичная сумма «эн» членов ряда:

Если предел частичных сумм числового ряда равен конечному числу: , то такой ряд называют сходящимся , а само число – суммой ряда . Если же предел бесконечен либо его не существует, то ряд называют расходящимся .

Вернёмся к демонстрационному ряду и распишем его частичные суммы:

Предел частичных сумм – есть в точности бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна: . Похожий предел мы рассматривали на уроке о числовых последовательностях . Собственно, и сама формула – это прямое следствие вышеизложенных теоретических выкладок (см. 2-ой том матана).

Таким образом, прорисовывается общий алгоритм решения нашей задачи : необходимо составить энную частичную сумму ряда и найти предел . Посмотрим, как это осуществляется на практике:

Пример 3

Вычислить сумму ряда

Решение : на первом шаге нужно разложить общий член ряда в сумму дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов :

В результате:

Сразу же полезно провести обратное действие, выполнив тем самым проверку:

Получен общий член ряда в исходном виде, следовательно, разложение в сумму дробей проведено успешно.

Теперь составим частичную сумму ряда . Вообще это делается устно, но один раз я максимально подробно распишу, что откуда взялось:

Как записать совершенно понятно, но чему равен предыдущий член ? В общий член ряда ВМЕСТО «эн» подставляем :

Почти все слагаемые частичной суммы благополучно сокращаются:


Прямо такие пометки и делаем карандашом в тетради. Чертовски удобно.

Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда:

Ответ :

Аналогичный ряд для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить сумму ряда

Примерный образец чистового оформления решения в конце урока.

Очевидно, что нахождение суммы ряда – это само по себе доказательство его сходимости (помимо признаков сравнения , Даламбера, Коши и др.), о чём, в частности, намекает формулировка следующего задания:

Пример 5

Найти сумму ряда или установить его расходимость

По внешнему виду общего члена можно сразу сказать, как ведёт себя этот товарищ. Без комплексов. С помощью предельного признака сравнения легко выяснить (причём даже устно), что данный ряд будет сходиться вместе с рядом . Но перед нами редкий случай, когда без особых хлопот рассчитывается ещё и сумма.

Решение : разложим знаменатель дроби в произведение. Для этого нужно решить квадратное уравнение :

Таким образом:

Множители лучше расположить в порядке возрастания: .

Выполним промежуточную проверку:

ОК

Таким образом, общий член ряда:

Таким образом:

Не ленимся:

Что и требовалось проверить.

Запишем частичную сумму «эн» членов ряда, при этом обращаем внимание на тот факт, что «счётчик» ряда «начинает работать» с номера . Как и в предыдущих примерах, надёжнее растянуть кобру на приличную длину:

Однако если мы запишем в одну-две строчки, то всё равно будет довольно трудно сориентироваться в сокращениях слагаемых (их таки 3 в каждом члене). И здесь нам на помощь придёт… геометрия. Заставим плясать змею под свою дудочку:

Да, прямо так и пишем в тетради один член под другим и прямо так их вычёркиваем. Кстати, собственное изобретение. Как понимаете, не от самого лёгкого задания в этой жизни =)

В результате всех сокращений получаем:

И, наконец, сумма ряда:

Ответ :

Пример 8

Вычислить сумму ряда

Это пример для самостоятельного решения.

Рассматриваемая задача, конечно, не радует нас разнообразием – на практике встречается либо бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, либо ряд с дробно-рациональным общим членом и разложимым многочленом в знаменателе (к слову, далеко не каждый такой многочлен даёт возможность найти сумму ряда). Но, тем не менее, иногда попадаются необычные экземпляры, и по сложившейся доброй традиции я завершаю урок какой-нибудь любопытной задачей.

Для того, чтобы вычислить сумму ряда , нужно просто сложить элементы ряда, заданное количество раз. Например:

В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:

По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:

Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда . Итак, частичной суммой ряда (обозначается S n ) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:

Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:

Таким образом, для вычисления суммы ряда , необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда (S n ). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

здесь b 1 - первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q - это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S n для нашего ряда равна:

Тогда сумма нашего ряда (S ) согласно определению, данному выше, равна:

Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа "sum diverges"), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.

Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n -ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).

Вычислить сумму ряда можно только в случае, когда ряд сходится. Если ряд расходится то сумма ряда бесконечна и нет смысла что-то вычислять. Ниже приведены примеры из практики нахождения суммы ряда, которые задавали в Львовском национальном университете имени Ивана Франка. Задания на ряды подобраны так, что условие сходимости выполняется всегда, однако проверку на сходимость мы выполнять будем. Эта и следующие за ней статьи составляют решение контрольной работы по анализе рядов.

Пример 1.4 Вычислить сумму рядов:
а)
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда при номере следующему до бесконечности равна 0

то данный ряд сходится. Вычислим сумму ряда. Для этого преобразуем общий член, разложив его на простейшие дроби I и II типа. Методика разложения на простые дроби здесь приводиться не будет (хорошо расписана при интегрировании дробей), а лишь запишем конечный вид разложения

В соответствии с этим можем сумму расписать через сумму ряда образованного из простейших дробей, а дальше из разницы сумм рядов

Далее расписываем каждый ряд в явную сумму и выделяем слагаемые (подчеркивание), которые превратятся 0 после сложения. Таким образом сумма ряда упростится к сумме 3 слагаемых (обозначены черным), что в результате даст 33/40.

На этом базируется вся практическая часть нахождения суммы для простых рядов.
Примеры на сложные ряды сводятся к сумме бесконечно убывающих прогрессий и рядов, которые находят через соответствующие формулы, но здесь такие примеры рассматривать не будем.
б)
Вычисления: Находим границу n-го члена суммы

Она равна нулю, следовательно заданный ряд сходится и имеет смысл искать его сумму. Если граница отличная от нуля, то сумма ряда равна бесконечности со знаком "плюс" или "минус".
Найдем сумму ряда. Для этого общий член ряда который является дробью превратим методом неопределенных коэффициентов к сумме простых дробей I типа

Далее по инструкции которая приводилась ранее записываем сумму ряда через соответствующие суммы простейших дробей

Расписываем суммы и выделяем слагаемые, которые станут равными 0 при суммировании.

В результате получим сумму нескольких слагаемых (выделенные черным) которая равна 17/6 .

Пример 1.9 Найти сумму ряда:
а)
Вычисления: Вычислениям границы

убеждаемся что данный ряд сходится и можно находить сумму. Далее знаменатель функции от номера n раскладываем на простые множители, а весь дробь превращаем к сумме простых дробей I типа

Далее сумму ряда в соответствии с расписанием записываем через два простые

Ряды записываем в явном виде и выделяем слагаемые, которые после добавления дадут в сумме ноль. Остальные слагаемые (выделенные черным) и представляет собой конечную сумму ряда

Таким образом, чтобы найти сумму ряда надо на практике свести под общий знаменатель 3 простых дроби.
б)
Вычисления: Граница члена ряда при больших значениях номера стремится к нулю

Из этого следует что ряд сходится, а его сумма конечна. Найдем сумму ряда, для этого сначала методом неопределенных коэффициентов разложим общий член ряда на три простейшего типа

Соответственно и сумму ряда можно превратить в сумму трех простых рядов

Далее ищем слагаемые во всех трех суммах, которые после суммирования превратятся в ноль. В рядах, содержащих три простых дроби один из них при суммировании становится равным нулю (выделен красным). Это служит своеобразной подсказкой в вычислениях

Сумма ряда равна сумме 3 слагаемых и равна единице.

Пример 1.15 Вычислить сумму ряда:
а)

Вычисления: При общем член ряда стремящемся к нулю

данный ряд сходится. Преобразуем общий член таким образом, чтобы иметь сумму простейших дробей

Далее заданный ряд, согласно формулам расписания, записываем через сумму двух рядов

После записи в явном виде большинство членов ряда в результате суммирования станут равны нулю. Останется вычислить сумму трех слагаемых.

Сумма числового ряда равна -1/30 .
б)
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда равна нулю,

то ряд сходится. Для нахождения суммы ряда разложим общий член на дроби простейшего типа.

При разложении использовали метод неопределенных коэффициентов. Записываем сумму ряда из найденного расписание

Следующим шагом выделяем слагаемые, не вносящие никакого вклада в конечную сумму и остальные оставшиеся

Сумма ряда равна 4,5 .

Пример 1.25 Вычислить сумму рядов:
а)


Поскольку она равна нулю то ряд сходится. Можем найти сумму ряда. Для этого по схеме предыдущих примеров раскладываем общий член ряда через простейшие дроби

Это позволяет записать ряд через сумму простых рядов и, выделив в нем слагаемые, упростив при этом суммирование.

В этом случае останется одно слагаемое которое равен единице.
б)
Вычисления: Находим границу общего члена ряда

и убеждаемся что ряд сходится. Далее общий член числового ряда методом неопределенных коэффициентов раскладываем на дроби простейшего типа.

Через такие же дроби расписываем сумму ряда

Записываем ряды в явном виде и упрощаем к сумме 3 слагаемых

Сумма ряда равна 1/4.
На этом ознакомление со схемами суммирования рядов завершено. Здесь еще не рассмотрены ряды, которые сводятся к сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, содержащие факториалы, степенные зависимости и подобные. Однако и приведенный материал будет полезен для студентов на контрольных и тестах.

Ряд, в математике

1. Определения. Р. есть последовательность элементов, составленных по какому-нибудь закону. Если дан Р., то это значит, что указан закон, при помощи которого можно составить сколько угодно элементов Р. По свойству элементов различают Р. чисел, Р. функций и Р. действий. Приведем несколько примеров.

1, 2, 3, 4,..., n,...

есть Р. натуральных чисел;

1, 4, 9, 16,..., п 2 ...

Р. квадратов;

а 0 , а 1 х, а 2 а 2 ,..., а n x n ,...

Р. степенных функций или степенной Р.

1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),...

0, x, x 2 /2, x 3 /3, x 4 /4... (-1) n-1 x n /n..

Для того, чтобы вычислить числовое значение некоторого выражения надо выполнить Р. действий. Напр.

√[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4.

При помощи Р. действий отыскивается наибольший делитель двух данных чисел.

Р. u 0 , u 1 , u 2 ,... u n ...

назыв. бесконечным, если после всякого элемента u k найдется элемент u k+1 ; в противном же случае Р. назыв. конечным. Напр.

1. 2, 3,... 9, 10

есть конечный Р., потому что не существует элементов после элемента 10.

2. Число, определяемое рядом.

Особенное значение имеют бесконечные Р. вида

(1)... а 1 /10, а 2 /10 2 , ... а n /10 n ,...,

где а 1 , а 2 , а 3 , ... а n ,... целые положительные числа, a 0 как угодно велико; каждое же из остальных чисел а 1 , а 2 , а 3 , ... меньше 10. Такой ряд можно назвать числом, так как возможно сравнивать этот ряд с рациональными числами (см.), можно установить понятия о равенстве, сумме, произведении, разности и частном таких рядов.

Р. (1) обозначим для краткости одною буквою а .

Говорят, что а больше рационального числа p /q , если при достаточно большом n имеет место неравенство

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а n /10 n > p /q

Если же при всяком n

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а n /10 n не > p /q

но при достаточно большом n

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а n /10 n > r /s

где r/s произвольно взятое число, меньшее p /q , то считают а равным p /q .

На этом основании Р.

9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,...

равен единице. Это равенство обозначают так: 0, 999... = 1.

Если а не равно 9, а все последующие числа

a k +1 , a k +2 , a k +3 ,... равны 9, то число а , определяемое Р. (1), равно

а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + (а k + 1)/10 k .

Если же не все числа а k+1 , а k+2 , а k+3 ...равны 9, то

а = а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + а k /10 k

Может случиться, что все элементы ряда (1), начиная с а k+1 , равны нулю. В таком случае согласно с высказанным определением

а а 0 + а 1 /10 + а 2 /10 2 +... + (а k +1)/10 k

Такого рода число наз. конечною десятичною дробью.

Из арифметики известно, что при обращении обыкновенной дроби в десятичную получается конечная дробь или бесконечная периодическая. Всякая периодическая десятичная дробь может быть обращена в обыкновенную дробь. Отсюда следует, что бесконечная непериодическая десятичная дробь не может равняться рациональному числу и потому представляет число особого рода, называемое иррациональным (см.).

3. Сходимость и расходимость рядов. Р. чисел

(2)... u 0 , u 1 , u 2 ,... u n ,...

наз. сходящимся, если существует такое число а (рациональное или иррациональное), что при возрастании n численное значение разности

а - (u 0 + u 1 + u 2 +... u n- 1)

становится и остается сколь угодно малым. Такое число a наз. суммою Р. В этом случае пишут

(3)... а = u 0 + u 1 + u 2 +...

и это равенство наз. разложением числа a в бесконечный Р. Если такого числа а не существует, то Р. (2) наз. расходящимся.

Важнейший пример сходящегося Р. представляет геометрическая прогрессия (см.).

1, q, q 2 ,...,

знаменатель которой q по численному значению меньше единицы. В этом случае имеет место разложение

1/(1 - q ) = 1 + q + q 2 +...

Примером расходящегося Р. может служить

1/1, 1/2, 1/3,...

1 + 1/2 + 1/3 +...

не имеет никакого смысла.

Если же члены гармонического Р. взять попеременно со знаками + и -, то получим сходящийся Р. Выражение

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...

равно логарифму 2, взятому при основании е (см.).

Не имея возможности излагать подробно признаки сходимости, отметим только следующие теоремы.

Данный Р. - сходящийся, если Р. модулей (см.) его членов сходящийся.

Р. v 0 , -v 1 , v 2 , -v 3 ...,

в котором числа v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ... положительные, сходящийся, если при возрастании n

lim v n = 0.

Р. с положительными членами

u 0 , u 1 , u 2 ,..., u n ,...

сходящийся, если

lim (u n + 1)/u n

lim (u n + 1)/u n > 1

Если для Р. с положительными членами

но, и 0 , и 1 , u 2 , .., и n ...

отношение

lim (u n + 1)/u n = 1 - r /n + θ ( n ) /n α ,

где r не зависят от n , α > 1 и θ (n ) по численному значению остается постоянно меньше некоторого положительного числа, то Р. сходящийся при r > 1 и расходящийся при r меньше или = 1 (Tannery, "Introduction à la theorie des fonctions d"une variable", p. 84).

4. Условная и абсолютная сходимость. Если Р. (4) v 0 , v 1 , v 2 ,... v n ,...

сходящийся, но Р. модулей его членов расходящийся, то говорят, что Р. (4) условно сходящийся. Напр.

1, -1/2, 1/3, -1/4,...

Р. наз. абсолютно сходящимся, если Р. модулей его членов сходящийся.

Сумма условно-сходящегося Р. изменяется с изменением порядка его членов. Напр.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... = log2,

но 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +...

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +.... = 1/2 log 2.

Сумма абсолютно-сходящегося Р. не зависит от порядка его членов.

Если числа а и b разлагаются в абсолютно-сходящиеся Р.

а = a 0 + a 1 + a 2 +.....,

b = b 0 + b 1 + b 2 +..... .,

a 0 b 0 , a 0 b 1 + a 1 b 0 , a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0 ,...

абсолютно-сходящийся и, кроме того,

a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0) + (a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0) +... = ab .

5. Равномерная сходимость. Предположим, что дан Р.

(5)... f 0 (x ), f 1 (x ), f 2 (x ), ..., f n (x ), ...

члены которого суть функции от одной переменной x , которая может принимать как вещественные, так и мнимые (см.) значения. Совокупность значений х, при которых этот Р. сходящийся, образует так называемую область сходимости.

Р. 1, х, 1.2x 2 , 1.2.3x 3 ,...... .,

сходящийся только при x = 0.

Р. 1, х, (1/2 + 1.2x 2), (1/3 + 1.2.3x 3),...

расходящийся при всяком х.

Р. 1, х/ 1, (x 2 /1.2), (x 3 /1.2.3),...

сход. при всяком значении х. Если степенной Р. α 0 , α 1 x, α 2 x 2 ,...

сход. при каком-нибудь значении х, не равном нулю, то этот Р. сход. и при всяком x , модуль которого меньше некоторого числа R . Если воспользоваться геометрическим представлением мнимых величин (см.), то можно сказать, что область сходимости этого Р. есть круг радиуса R .

Примером может служить геометрическая прогрессия

1, x , x 2 , x 3 ,...., у которой радиус круга сходимости равен единице.

Если х принадлежит к области сход. Р. (5), то при всяком n , большем некоторого числа т

mod [f n (x ) + f n+ 1 (x ) + f n+ 2 (x ) +...]

Вообще т зависит от х и от ε, но возможно, в особых случаях, что т зависит только от ε, если значения х принадлежат к некоторой области (S). В таком случае Р. (5) наз. равномерно-сходящимся в области (S ).

Для примера рассмотрим Р.

(6)... (1 - х ), х (1 - х ), х 2 (1 - х )....

ограничиваясь вещественными и положительными значениями х.

Для того, чтобы имело место неравенство

(7)... х n (1 - x ) + x n+ 1 (1 - x ) +... x n

надо взять n > Log ε /Logx

След., в рассматриваемом случае

т = Log ε /Logx.

Как видим, т зависит от х. Как бы велико ни было m , найдутся такие значения х в промежутке (0, 1), что неравенство (7) не будет удовлетворено при всяком n, большем т. Если х = 1, то неравенство (7) удовлетворяется при n больше или = 1

Предположим, что

т = Log ε /Log (1 - α) и n больше или = m

След. Р. (6) равномерно сход. в промежутке (0, 1 - α).

Если в области равномерной сходимости члены ряда

f 0 (x ), f 1 (x ), f 2 (x )...

суть непрерывные функции от x , то и сумма этого Р. - непрерывная функция (см. Разрывность).

Равномерно сход. Р. можно почленно интегрировать или дифференцировать.

Степенные Р.

a 0 , а 1 х, а 2 х 2 ...

обладают равномерною сходимостью внутри круга сходимости.

6. Разложение функций в ряды. В дальнейшем будем предполагать, что независимая переменная вещественная. При помощи формулы Маклорена (см.) получаются следующие разложения:

(эти формулы справедливы при всяком x ).

Для того, чтобы при помощи формулы (9) вычислить, напр., cos 2°, надо вместо x подставить отношение к радиусу длины дуги, содержащей 2 градуса.

В форм. (11) логарифм взят при основании е . Эта форм. неудобна для вычисления логарифмов, так как надо брать очень много членов Р. для получения даже незначительной точности. Более удобна для вычисления формула 13-я, которая выводится из формулы (11), полагая

(1 + х )/(1 - х ) = (a + z)/z

в разложении функции log(1 + x ) - log(l - x ).

Полагая а = 1, z = 1, найдем log2;

" а = 1, z = 1, " log5;

а + z = 3 4 , а = 80, " log3;

а + z = 7 4 , а = 2400, " log7;

Умножив найденные натуральные логарифмы этих чисел на

М= 1/log10 = 0,43429 44819 03251 82765...,

получим обыкновенные логарифмы (при основании 10) тех же чисел (см.).

Форм. (12) справедлива при х = 1, если m > -1, и при x = -1, если m > 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, p. 245).

При помощи непосредственного деления разлагаются в степенные Р. рациональные функции. Можно воспользоваться для этой цели и способом неопределенных коэффициентов. Полагая, напр.

1/(1 + 2t + 5t 3 + 3t 3) = y 0 + y 1 t + y 2 t 2 + y 3 t 3 +...,

y 0 = 1, y 1 + 2y 0 = 0, y 2 + 2y 1 + 5y 0 = 0,

y 3 + 2y 2 + 5 у 1 + 3 у 0 = 0,

y 4 + 2y 3 + 5 у 2 + 3 у 1 = 0 и т. д.

Р. коэффициентов y 0 , у 1 , y 2 ... обладает тем свойством, что четыре последовательных коэфф. связаны соотношением y n +3 + 2y n +2 + 5 у n +1 + 3 у n = 0.

Такого рода Р. наз. возвратными. Из написанных уравнений последовательно определяется y 0 , у 1 , y 2 ...

Разложение данной функции в Р. найдется при помощи интегрального исчисления, если известно разложение в Р. производной. Таким путем получаются разложение

(14)... arc tgx = x - (x 3 /3) + (x 5 /5) -...

(15)... arc sin х = x /1 + 1/2(x 3 /3) + (1.2/2.4)(x 5 /5) +...

справедливые для значений х, удовлетворяющих условиям

Р. (14) при помощи формулы Мэчена (Machin)

π /4 = 4arc tg(1/5) - arc tg(1/239)

дает возможность очень быстро вычислить π с большим числом десятичных знаков. Таким образом Шенкс (Shanks) вычислил π с 707 десятичными знаками. Разложение функций в тригонометрические Р. и разложение эллиптических функций будет изложено впоследствии.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. - С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон . 1890-1907 .

Смотреть что такое "Ряд, в математике" в других словарях:

РЯД, бесконечный ряд, выражение члены которого a1, a2,..., an,... числа (числовой ряд) или функции (функциональный ряд). Если сумма первых n членов ряда (частная сумма): Sn= a1+ a2+ ... + an при неограниченном возрастании n стремится к… … Энциклопедический словарь

Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Имеет несколько значений: Ряд совокупность однородных, похожих предметов, расположенных в одну линию. Ряд совокупность каких нибудь явлений, следующих одно за другим в определённом порядке. Ряд некоторое, немалое количество, например «ряд стран» … Википедия

Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q… … Большая советская энциклопедия

Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Брука Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а… … Википедия

Ряд Тейлора разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды… … Википедия

Разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Ряд назван в честь английского математика Тейлора, хотя ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Тейлора его использовали ещё в XVII веке Грегори, а также Ньютон. Ряды Тейлора… … Википедия

Ряд Мёбиуса функциональный ряд вида Этот ряд был исследован Мёбиусом, который нашел для этого ряда формулу обращения: где функция Мёбиуса … Википедия

I м. 1. Совокупность однородных предметов, расположенных в одну линию. отт. Строй в одну линию; шеренга. 2. Линейная последовательность мест для сидения в театре, кино и т.п. отт. Лица, занимающие такие места. 3. Расположенные в одну линию ларьки … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Книги

• Математика наблюдателей и ее приложения к квантовой механике, теории относительности и классической математике , Б. С. Хоц, Д. Б. Хоц. В этой книге представлены результаты авторов, относящиеся к Математике наблюдателей (авторское назввание Observer s Mathematics). Эта математика была впервые введена авторами, были изучены ее…