С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
×
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Закрыть Очистить
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения
Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α 1 и α 2:
Поскольку векторы n 1 и n 2 коллинеарны, то существует такое число λ ≠0, что выполнено равенство n 1 =λ n 2 , т.е. A 1 =λ A 2 , B 1 =λ B 2 , C 1 =λ C 2 .
Умножив уравнение (2) на λ , получим:
Если выполненио равенство D 1 =λ D 2 , то плоскости α 1 и α 2 совпадают, если же D 1 ≠λ D 2 то плоскости α 1 и α 2 параллельны, то есть не пересекаются.
2. Нормальные векторы n 1 и n 2 плоскостей α 1 и α 2 не коллинеарны (Рис.2).
Если векторы n 1 и n 2 не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:
где x 0 , y 0 , z 0 , m, p, l действительные числа, а t − переменная.
Равенство (5) можно записать в следующем виде:
Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α 1 и α 2:
| α 1: x +2y +z +54=0. | (7) |
Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z . Для решения системы, построим расширенную матрицу:
Второй этап. Обратный ход Гаусса.
Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a 22 . Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:
Получим решение:
Получили уравнение линии пересечения плоскостей α 1 и α 2 в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.
Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α 1 и α 2 имеет вид:
| (15) |
α 1 имеет нормальный вектор n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 }={1, 2, 7}. Плоскость α 2 имеет нормальный вектор n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={2, 4, 14}.
n 1 и n 2 коллинеарны (n 1 можно получить умножением n 2 на число 1/2), то плоскости α 1 и α 2 параллельны или совпадают.
α 2 умножив на число 1/2:
| (18) |
Решение. Определим, сначала, взаимное расположение данных плоскостей. Плоскость α 1 имеет нормальный вектор n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 }={5, −2, 3}. Плоскость α 2 имеет нормальный вектор n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={15, −6, 9}.
Поскольку направляющие векторы n 1 и n 2 коллинеарны (n 1 можно получить умножением n 2 на число 1/3), то плоскости α 1 и α 2 параллельны или совпадают.
При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α 2 умножив на число 1/3:
| (19) |
Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α 1 и α 2 совпадают.
В данном разделе продолжим изучение темы уравнения прямой в пространстве с позиции стереометрии. Это значит, что мы будем рассматривать прямую линию в трехмерном пространстве как линию пересечения двух плоскостей.
Согласно аксиомам стереометрии, если две плоскости не совпадают и имеют одну общую точку, то они также имею одну общую прямую, на которой лежат все точки, которые являются общими для двух плоскостей. Используя уравнения двух пересекающихся плоскостей, мы можем определить прямую линию в прямоугольной системе координат.
По ходу рассмотрения темы приведем многочисленные примеры, ряд графических иллюстраций и развернутых решений, необходимых для лучшего усвоения материала.
Пусть даны две плоскости, которые не совпадают между собой и пересекаются. Обозначим их как плоскость α и плоскость β . Разместим их в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.
Как мы помним, любую плоскость в прямоугольной системе координат задает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 . Будем считать, что плоскости α соотвествует уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а плоскости β уравнение A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В этом случае нормальные вектора плоскостей α и β n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) не коллинеарны, так как плоскости не совпадают между собой и е размещаются параллельно друг другу. Запишем это условие следующим образом:
n 1 → ≠ λ · n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ · A 2 , λ · B 2 , λ · C 2 , λ ∈ R
Чтобы освежить в памяти материал по теме «Параллельность плоскостей», смотрите соответствующий раздел нашего сайта.
Линию пересечения плоскостей обозначим буквой a . Т.е. a = α ∩ β . Эта прямая представляет собой множество точек, которые являются общими для обеих плоскостей α и β . Это значит, что все точки прямой линии a удовлетворяют обоим уравнениям плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Фактически, они являются частным решением системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Общее решение системы линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определяет координаты всех точек линии, по которой происходит пересечение двух плоскостей α и β . Это значит, что с его помощью мы можем определить положение прямой в прямоугольной системе координат O x y z .
Рассмотрим описанную теорию еще раз, теперь уже на конкретном примере.
Пример 1
Прямая O x – это прямая, по которой пересекаются координатные плоскости O x y и O x z . Зададим плоскость O x y уравнением z = 0 , а плоскость O x z уравнением у = 0 . Такой подход мы подробно разобрали в разделе «Неполное общее уравнение плоскости», так что, в случае затруднений, можно обратиться к этому материалу повторно. В этом случае координатная прямая O x определяется в трехмерной системе координат системой из двух уравнений вида y = 0 z = 0 .
Нахождение координат точки, лежащей на прямой, по которой пересекаются плоскости
Рассмотрим задачу. Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат O х у z . Линия, по которой пересекаются две плоскости a , задана системой уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Дана точка трехмерного пространства M 0 x 0 , y 0 , z 0 .
Давайте определим, принадлежит ли точка M 0 x 0 , y 0 , z 0 заданной прямой линии a .
Для того, чтобы получить ответ на вопрос задачи, подставим координаты точки М 0 в каждое из двух уравнений плоскости. Если в результате подстановки оба уравнения превратятся в верные равенства A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 , то точка М 0 принадлежит каждой из плоскостей и принадлежит заданной линии. Если хотя бы одно из равенств A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 окажется неверным, то точка М 0 не принадлежит прямой линии.
Рассмотрим решение примера
Пример 2
Прямая линия задана в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида 2 x + 3 y + 1 = 0 x - 2 y + z - 3 = 0 . Определите, принадлежат ли точки M 0 (1 , - 1 , 0) и N 0 (0 , - 1 3 , 1) прямой линии пересечения плоскостей.
Решение
Начнем с точки М 0 . Подставим ее координаты в оба уравнения системы 2 · 1 + 3 · (- 1) + 1 = 0 1 - 2 · (- 1) + 0 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .
В результате подстановки мы получили верные равенства. Это значит, что точка М 0 принадлежит обеим плоскостям и расположена на линии их пересечения.
Подставим в оба уравнения плоскости координаты точки N 0 (0 , - 1 3 , 1) . Получаем 2 · 0 + 3 · - 1 3 + 1 = 0 0 - 2 · - 1 3 + 1 - 3 = 0 ⇔ 0 = 0 - 1 1 3 = 0 .
Как вы видите, второе уравнение системы превратилось в неверное равенство. Это значит, что точка N 0 не принадлежит заданной прямой.
Ответ: точка М 0 принадлежит прямой линии, а точка N 0 не принадлежит.
Теперь предлагаем вам алгоритм нахождения координат некоторой точки, принадлежащей прямой линии, если прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z определяется уравнениями пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Количество решений системы из двух линейных уравнений с темя неизвестными A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 бесконечно. Любое из этих решений может стать решением задачи.
Приведем пример.
Пример 3
Пусть в трехмерном пространстве задана прямая линия уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 . Найдите координаты любой из точек этой прямой.
Решение
Перепишем систему уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 .
Возьмем отличный от нуля минор второго порядка в качестве базисного минора основной матрицы системы 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 . Это значит, что z – это свободная неизвестная переменная.
Перенесем слагаемые, содержащие свободную неизвестную переменную z в правые части уравнений:
x + 0 y + 3 z = - 7 2 x + 3 y + 3 z = - 2 ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z
Введем произвольное действительное число λ и примем, что z = λ .
Тогда x + 0 y = - 7 - 3 z 2 x + 3 y = - 2 - 3 z ⇔ x + 0 y = - 7 - 3 λ 2 x + 3 y = - 2 - 3 λ .
Для решения полученной системы уравнений применим метод Крамера:
∆ = 1 0 2 3 = 1 · 3 - 0 · 1 = 2 ∆ x = - 7 - 3 λ 0 - - 3 λ 3 = - 7 - 3 λ · 3 - 0 · (- 2 - 3 λ) = 21 - 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = - 7 - 3 λ ∆ y = 1 - 7 - 3 λ 2 - 2 - 3 λ = 1 · - 2 - 3 λ - - 7 - 3 λ · = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ
Общее решение системы уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 будет иметь вид x = - 7 - 3 λ y = 4 + λ z = λ , где λ ∈ R .
Для получения частного решения системы уравнений, которое даст нам искомые координаты точки, принадлежащей заданной прямой, нам необходимо взять конкретное значение параметра λ . Если λ = 0 , то x = - 7 - 3 · 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = - 7 y = 4 z = 0 .
Это позволяет нам получить координаты искомой точки - 7 , 4 , 0 .
Проверим верность найденных координат точки методом подстановки их в исходные уравнения двух пересекающихся плоскостей - 7 + 3 · 0 + 7 = 0 2 · (- 7) + 3 · 4 + 3 · 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .
Ответ : - 7 , 4 , 0
Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости
Давайте рассмотрим, как определить координаты направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В прямоугольной системе координат 0хуz направляющий вектор прямой неотделим от прямой линии.
Как мы знаем, прямая перпендикулярна по отношению к плоскости в том случае, когда она перпендикулярна по отношению к любой прямой, лежащей в данной плоскости. Исходя из вышесказанного, нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в данной плоскости. Эти два факта помогут нам в нахождении направляющего вектора прямой.
Плоскости α и β пересекаются по линии a . Направляющий вектор a → прямой линии a расположен перпендикулярно по отношению к нормальному вектору n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и нормальному вектору n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) плоскости A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Направляющий вектор прямой a представляет собой векторное произведение векторов n → 1 = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = A 2 , B 2 , C 2 .
a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2
Зададим множество всех направляющих векторов прямой как λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , где λ - это параметр, который может принимать любые действительные значения, отличные от нуля.
Пример 4
Пусть прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O х у z задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей x + 2 y - 3 z - 2 = 0 x - z + 4 = 0 . Найдем координаты любого направляющего вектора этой прямой.
Решение
Плоскости x + 2 y - 3 z - 2 = 0 и x - z + 4 = 0 имеют нормальные векторы n 1 → = 1 , 2 , - 3 и n 2 → = 1 , 0 , - 1 . Примем за направляющий вектор прямой линии, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, векторное произведение нормальных векторов:
a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 - 3 1 0 - 1 = i → · 2 · (- 1) + j → · (- 3) · 1 + k → · 1 · 0 - - k → · 2 · 1 - j → · 1 · (- 1) - i → · (- 3) · 0 = - 2 · i → - 2 j → - 2 k →
Запишем ответ в координатной форме a → = - 2 , - 2 , - 2 . Тем, кто не помнит, как это делается, рекомендуем обратиться к теме «Координаты вектора в прямоугольной системе координат».
Ответ: a → = - 2 , - 2 , - 2
Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве
Для решения ряда задач проще использовать параметрические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ или канонические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ . В этих уравнениях a x , a y , a z - координаты направляющего вектора прямой, x 1 , y 1 , z 1 - координаты некоторой точки прямой, а λ - параметр, принимающий произвольные действительные значения.
От уравнения прямой вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 можно перейти к каноническим и параметрическим уравнениям прямой линии в пространстве. Для записи канонических и параметрических уравнений прямой нам понадобятся навыки нахождения координат некоторой точки прямой, а также координат некоторого направляющего вектора прямой, заданной уравнениями двух пересекающихся плоскостей.
Рассмотрим написанное выше на примере.
Пример 5
Зададим прямую линию в трехмерной системе координат уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Напишем канонические и параметрические уравнения этой прямой.
Решение
Найдем координаты направляющего вектора прямой, который является векторным произведением нормальных векторов n 1 → = 2 , 1 , - 1 плоскости 2 x + y - z - 1 = 0 и n 2 → = (1 , 3 , - 2) плоскости x + 3 y - 2 z = 0:
a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 - 1 1 3 - 2 = i → · 1 · (- 2) + j → · (- 1) · 1 + k → · 2 · 3 - - k → · 1 · 1 - j → · 2 · (- 2) - i → · (- 1) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →
Координаты направляющего вектора прямой a → = (1 , 2 , 5) .
Следующим шагом является определение координат некоторой точки заданной прямой линии, которыми является одно из решений системы уравнений: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 .
Возьмем в качестве минорной матрицы системы определитель 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 , который отличен от нуля. В этом случае переменная z является свободной. Перенесем слагаемые с ней в правые части каждого уравнения и придаем переменной произвольное значение λ:
2 x + y - z = 1 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R
Применяем для решения полученной системы уравнений метод Крамера:
∆ = 2 1 1 3 = 2 · 3 - 1 · 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = (1 + λ) · 3 - 1 · 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ - (1 + λ) · 1 = - 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = - 1 + 3 λ 5 = - 1 5 + 3 5 · λ
Получаем: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = - 1 5 + 3 5 z = λ
Примем λ = 2 для того, чтобы получить координаты точки прямой линии: x 1 = 3 5 + 1 5 · 2 y 1 = - 1 5 + 3 5 · 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Теперь мы имеем достаточно данных для того, чтобы записать канонические и параметрические уравнения данной прямой в пространстве: x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ
Ответ: x - 1 1 = y - 1 3 = z - 2 5 и x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ
Данная задача имеет еще один способ решения.
Нахождение координат некоторой точки прямой проводится при решении системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
В общем случае ее решения можно записать в виде искомых параметрических уравнений прямой в пространстве x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ .
Получение канонических уравнений проводится следующим образом: решаем каждое из полученных уравнений относительно параметра λ , приравниваем правые части равенства.
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y λ = z - z 1 a z ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z
Применим данный способ к решению задачи.
Пример 6
Зададим положение прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 . Напишем параметрическое и каноническое уравнения для этой прямой линии.
Решение
Решение системы из двух уравнений с тремя неизвестными проводится аналогично тому, как мы делали это в предыдущем примере. Получаем: 2 x + y - z - 1 = 0 x + 3 y - 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ .
Это параметрические уравнения прямой в пространстве.
Канонические уравнения получаем следующим образом: x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x - 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1
Полученные в обоих примерах уравнения отличаются внешне, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства, а следовательно и одну и ту же прямую линию.
Ответ: x - 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 и x = 3 5 + 1 5 · λ y = - 1 5 + 3 5 · λ z = λ
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Если две плоскости пересекаются, то система линейных уравнений задаёт уравнение прямой в пространстве .
То есть прямая задана уравнениями двух плоскостей. Типовая и распространенная задача состоит в том, чтобы переписать уравнения прямой в каноническом виде:
Пример 9
Решение : Чтобы составить канонические уравнения прямой, необходимо знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух плоскостей….
1) Сначала найдём какую-либо точку, принадлежащую данной прямой. Как это сделать? В системе уравнений нужно обнулить какую-нибудь координату. Пусть , тогда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: . Почленно складываем уравнения и находим решение системы:
Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Обратите внимание на следующий технический момент: желательно найти точку с целыми координатами. Если бы в системе мы обнулили «икс» или «зет», то не факт, что получилась бы «хорошая» точка без дробных координат. Такой анализ и подбор точки следует проводить мысленно или на черновике.
Выполним проверку: подставим координаты точки в исходную систему уравнений: . Получены верные равенства, значит, действительно .
2) Как найти направляющий вектор прямой? Его нахождение наглядно демонстрирует следующий схематический чертёж:
Направляющий вектор нашей прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей. А если , то вектор «пэ» найдём как векторное произведение
векторов нормали: .
Из уравнений плоскостей снимаем их векторы нормали:
И находим направляющий вектор прямой:
Как проверить результат, рассматривалось в статье Векторное произведение векторов .
3) Составим канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
Ответ :
На практике можно пользоваться готовой формулой: если прямая задана пересечением двух плоскостей , то вектор является направляющим вектором данной прямой.
Пример 10
Записать канонические уравнения прямой
Это пример для самостоятельного решения. Ваш ответ может отличаться от моего ответа (смотря, какую точку подберёте). Если отличие есть, то для проверки возьмите точку из вашего уравнения и подставьте в моё уравнение (или наоборот).
Полное решение и ответ в конце урока.
Во второй части урока мы рассмотрим взаимное расположению прямых в пространстве, а также разберём задачи, которые связаны с пространственными прямыми и точками. Терзают меня смутные ожидания, что материала будет прилично, поэтому лучше всё-таки сделать отдельную веб страницу.
Добро пожаловать: Задачи с прямой в пространстве >>>
Решения и ответы:
Пример 4: Ответы
:
Пример 6: Решение
: Найдём направляющий вектор прямой:
Уравнения прямой составим по точке и направляющему вектору :
Ответ
: («игрек» – любое)
:
Ответ
:
Прямая в пространстве может быть определена как линия пересечения двух непараллельных плоскостей и, то есть как множество точек, удовлетворяющих системе двух линейных уравнений
(V.5)
Справедливо
и обратное утверждение: система двух
независимых линейных уравнений вида
(V.5)
определяет прямую как линию пересечения
плоскостей (если они не параллельны).
Уравнения системы (V.5)
называются общим
уравнением
прямой
в пространстве
.
Пример V .12 . Составить каноническое уравнение прямой, заданной общими уравнениями плоскостей
Решение . Чтобы написать каноническое уравнение прямой или, что тоже самое, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, нужно найти координаты каких-либо двух точек прямой. Ими могут служить точки пересечения прямой с какими-нибудь двумя координатными плоскостями, например Oyz и Oxz .
Точка
пересечения прямой с плоскостью Oyz
имеет абсциссу
.
Поэтому, полагая в данной системе
уравнений
,
получим систему с двумя переменными:
Ее
решение
,
вместе с
определяет точку
искомой прямой. Полагая в данной системе
уравнений
,
получим систему
решение
которой
,
вместе с
определяет точку
пересечения прямой с плоскостьюOxz
.
Теперь
запишем уравнения прямой, проходящей
через точки
и
:
или
,
где
будет направляющим векто-ром этой
прямой.
Пример
V
.13.
Прямая задана
каноническим уравнением
.
Составить общее уравнение этой прямой.
Решение. Каноническое уравнение прямой можно записать в виде системы двух независимых уравнений:
Получили
общее уравнение прямой, которая теперь
задана пересечением двух плоскостей,
одна из которых
параллельна осиOz
(
),
а другая
– осиОу
(
).
Данную прямую можно представить в виде линии пересечения двух других плоскостей, записав ее каноническое уравнение в виде другой пары независимых уравнений:
Замечание . Одна и та же прямая может быть задана различными системами двух линейных уравнений (то есть пересечением различных плоскостей, так как через одну прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей), а также различными каноническими уравнениями (в зависимости от выбора точки на прямой и ее направляющего вектора).
Ненулевой вектор, параллельный прямой линии, будем называть ее направляющим вектором .
Пусть
в трехмерном пространстве
задана прямая l
,
проходящая через точку
,
и ее направляющий вектор
.
Любой
вектор
,
где
,
лежащий на прямой, коллинеарен с вектором
,
поэтому их координаты пропорциональны,
то есть
.
(V.6)
Это уравнение называется каноническим уравнением прямой. В частном случае, когда ﻉ есть плоскость, получаем уравнение прямой на плоскости
.
(V.7)
Пример
V
.14.
Найти уравнение прямой, проходящей
через две точки
,
.
,
где
,
,
.
Удобно уравнение (V.6) записать в параметрической форме. Так как координаты направляющих векторов параллельных прямых пропорциональны, то, полагая
,
где
t
– параметр,
.
Расстояние от точки до прямой
Рассмотри
двухмерное евклидовое пространство ﻉ
с
декартовой системой координат. Пусть
точка
ﻉ
и
l
ﻉ.
Найдем расстояние от этой точки до
прямой. Положим
,
и прямая l
задается уравнением
(рис.V.8).
Расстояние
,
вектор
,
где
– нормальный вектор прямой l
,
и
– коллинеарны, поэтому их координаты
пропорциональны, то есть
,
следовательно,
,
.
Отсюда
или умножая эти уравнения
наA
и B
соответственно и складывая их, находим
,
отсюда
.
(V.8)
определяет
расстояние от точки
до прямой
.
Пример
V
.15.
Найти уравнение прямой, проходящей
через точку
перпендикулярно прямойl
:
и найти расстояние от
до прямойl
.
Из
рис. V.8
имеем
,
а нормальный вектор прямойl
.
Из условия перпендикулярности имеем
Так
как
,
то
.
(V.9)
Это
и есть уравнение прямой, проходящей
через точку
,перпендикулярно
прямой
.
Пусть
имеем уравнение прямой (V.9),
проходящей через точку
,
перпендикулярна прямойl
:
.
Найдем расстояние от точки
до прямойl
,
используя формулу (V.8).
Для
нахождения искомого расстояния достаточно
найти уравнение прямой, проходящей
через две точки
и точку
,
лежащую на прямой в основании
перпендикуляра. Пусть
,
тогда
Так
как
,
а вектор
,
то
.
(V.11)
Поскольку
точка
лежит на прямойl
,
то имеем еще одно равенство
или
Приведем систему к виду, удобному для применения метода Крамера
Ее решение имеет вид
,
.
(V.12)
Подставляя (V.12) в (V.10), получаем исходное расстояние.
Пример
V
.16.
В двухмерном пространстве задана точка
и прямая
.
Найти расстояние от точки
до прямой; записать уравнение прямой,
проходящей через точку
перпендикулярно заданной прямой и найти
расстояние от точки
до основания перпендикуляра к исходной
прямой.
По формуле (V.8) имеем
Уравнение
прямой, содержащей перпендикуляр, найдем
как прямую, проходящую через две точки
и
,
воспользовавшись формулой (V.11).
Так как
,
то, с учетом того, что
,
а
,
имеем
.
Для
нахождения координат
имеем систему с учетом того, что точка
лежит на исходной прямой
Следовательно,
,
,
отсюда.
Рассмотрим
трехмерное евклидовое пространство ﻉ.
Пусть точка
ﻉ
и
плоскость ﻉ.
Найдем расстояние от этой точки
до плоскости,
заданной уравнением
(рис.V.9).
Аналогично
двухмерному пространству имеем
и вектор
,
а,
отсюда
.
(V.13)
Уравнение
прямой, содержащей перпендикуляр к
плоскости ,
запишем как уравнение прямой, проходящей
через две точки
и
,
лежащую в плоскости:
.
(V.14)
Для
нахождения координат точки
к двум любым равенствам формулы (V.14)
добавим уравнение
Решая
систему трех уравнений (V.14),
(V.15),
найдем
,
,
– координаты точки
.
Тогда уравнение перпендикуляра запишется
в виде
.
Для
нахождения расстояния от точки
до плоскости
вместо формулой (V.13)
воспользуемся
Канонические уравнения прямой
Постановка задачи. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)
План решения.
Канонические уравнения прямой с направляющим вектором 
, проходящей через данную точку 
, имеют вид
. (1)
Поэтому, чтобы написать канонические уравнения прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.
1. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. согласно определению векторного произведения, имеем
. (2)
2. Выбираем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой не параллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.
3. Подставляем найденные координаты направляющего вектора и точки в канонические уравнения прямой (1).
Замечание. Если векторное произведение (2) равно нулю, то плоскости не пересекаются (параллельны) и записать канонические уравнения прямой не представляется возможным.
Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.
Канонические уравнения прямой:
,
где 
– координаты какой-либо точки прямой, 
– ее направляющий вектор.
Найдем какую-либо точку прямой 
. Пусть , тогда
Следовательно, 
– координаты точки, принадлежащей прямой.
