Формула дополнения для гамма функции. Гамма - излучение и его основные свойства. Применим гамма функцию к вычислению интеграла

Область определения гамма-функции Г(ж) В интеграле (1) имеются особенности двух типов: 1) интегрирование по полупрямой 2) в точке подынтегральная функция обращается в бесконечность. Чтобы разделить эти особенности, представим функцию Г(ж) в виде суммы двух интегралов Гамма-функцией называется интеграл Область определения гамма-функции Некоторые свойства гамма-функции Бета-функция и ее свойства Область определения бета-функции Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов и рассмотрим каждый из них отдельно. Так как то интеграл сходится при (по признаку сравнения). Интеграл сходится при любом х. В самом деле, взяв произвольное, получим, что при любом х При интеграл сходится, следовательно, интеграл сходится при любом x. Тем самым, сходится при и мы доказал и, что областью определения гамма-функции Г(ж) является полупрямая Покажем, что интеграл (1) сходится равномерно по х на любом отрезке Пусть. Тогда при имеем Интегралы в правых частях формул (2) и (3) сходятся, а по признаку Вейерштрасса равномерно сходятся интегралы, стоящие в левых частях неравенств (2) и (3). Следовательно, в силу равенства получаем равномерную сходимость Г(х) на любом отрезке [с, й],где. Из равномерной сходимости Г(ж) вытекает непрерывность этой функции при Некоторые свойства гамма-функции 1. (гамма-функция при х > 0 не имеет нулей). 2. При любом х > 0 имеет место формула приведения для гамма-функции 3. При х = п имеет место формула При х = 1 имеем Пользуясь формулой (4), получим Применяя формулу п раз, при получаем 4. Кривая у = Г(х) выпукла вниз. В самом деле, Отсюда следует, что производная на полупрямой может иметь только один нуль. А так как, то по теореме Ролля этот нуль х0 производной Г"(х) существует и лежит в интервале (1,2). Поскольку, то в точке х0 функция Г(х) имеет минимум. Можно показать, что на (0, +оо) функция Г(х) дифференцируема любое число раз. Из формулы ибо непрерывна и при 6. Формула дополнения. График гамма-функции имеет вид, изображенный на рис. 4. § 4. Бета-функция и ее свойства Бета-функцией называется интеграл зависящий от параметров 4.1. Область определения бета-функции В(х) Подынтегральная функция при имеет две особые точки Для отыскания области определения представим интеграл (7) в виде суммы двух интегралов первый из которых (при) имеет особую точку, а второй (при - особую точку t = 1. Интеграл - несобственный интеграл 2-го рода. Он сходится при условии, что при, а инте!рал Гамма-функцией называется интеграл Область определения гамма-функции Некоторые свойства гамма-функции Бета-функция и ее свойства Область определения бета-функции Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов сходится при Тем самым, бета-функция В(х} у) определена для всех положительных значений хну. Можно доказать, что интеграл (7) равномерно сходится в каждой области х^а>0, У>Ь>Оу так что бета-функция непрерывна при Некоторые свойства бета-функции 1. При справедлива формула Бета-функция является симметричной относительно хну, Это следует из формулы (9). §5. Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Вычислить интеграл 4 Введем замену получаем Поэтому Пример 2. Вычислить интеграл Положим, тогда, пределы интегрирования остаются прежними, так что заданный интеграл сводится к бета-функции: Пример 3. Исходя из равенства вычислить интеграл Здесь мы воспользовались определением бета-функции и формулами Упражнения Вычислите пределы: Найдите производные F"(y) для следующих функций: о. Исходя из равенства. вычислите интеграл 7. Используя равенство, путем дифференцирования по параметру получите следующую формулу: 8. Докажите, что интеграл РавномеРно сходится по у на всей вещественной оси. 7 dx 9. Докажи те, что интеграл сходится равномерно по параметру s на любом отрезке 10. Используя равенство вычислите путем дифференцирования по параметру интеграл С помощью Эйлеровых интегралов вычислите следующие интегралы: Выразите через Эйлеровы интегралы: Гамма-функцией называется интеграл Область определения гамма-функции Некоторые свойства гамма-функции Бета-функция и ее свойства Область определения бета-функции Применение интегралов Эйлера в вычислении определенных интегралов целое положительное) Докажем, что интеграл равномерно сходится на всей вещественной оси: 1) имеет место соотношение всякого в качестве Л(е), упоминаемого в определении несобственного интеграла, равномерно сходящегося по параметру у, можно взять При В > А будем иметь Докажем, что интеграл /(«) = / равномерно сходится при а Так как при О 1 и интеграл сходится, то по достаточному признаку Вейерштрасса заключаем, чгто данный интеграл рав- номерно сходится. 10. Имеем Дифференцируя п раз о

Пояснительная записка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2 рисунка.

Для написания курсовой работы было использовано 7 источников.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

Благодаря её введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.

Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.


1. Бэта-функци я Эйлера

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

=(1.1)

Он представляет функцию от двух переменных параметров

и : функцию B . Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и

Интеграл (1.1) сходятся при

.Полагая получим: = - =

т.e. аргумент

и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем


Откуда получаем

=

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

при целых

= m,= n, имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1)

.Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

и в результате подстановки

, получаем

полагая в(1.1)

,откуда , получим

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до

и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

2. Гамма-функция

2.1 Определение

Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:

n! = 1·2·3·...·n.

Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n.

Рассмотрим разностное уравнение

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.

2.2 Интегральное представление

Перейдем к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:

В этом случае правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:

Эта формула справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не известно поведение образа [(G)\tilde](p) при p®±¥. Предположим, что образ гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном слагаемом, иначе придется искать G(z) как-нибудь по-другому.

Гамма излучение представляет собой довольно серьезную опасность для человеческого организма, да и для всего живого в общем.

Это электромагнитные волны с очень маленькой длиной и высокой скоростью распространения.

Чем же они так опасны, и каким образом можно защититься от их воздействия?

О гамме излучение

Все знают, что атомы всех веществ содержат в себе ядро и электроны, которые вращаются вокруг него. Как правило, ядро – это довольно стойкое образование, которому трудно нанести повреждения.

При этом существуют вещества, ядра которых неустойчивы, и при некотором воздействии на них происходит излучение их составляющих. Такой процесс называется радиоактивным, он имеет определенные составляющие, названные по первым буквам греческого алфавита:

  • гамма излучения.

Стоит отметить, что радиационный процесс подразделяется на два вида в зависимости от того, что именно в результате выделяется.

Виды:

  1. Поток лучей с выделением частиц – альфа, бета и нейтронное;
  2. Излучение энергии – рентгеновское и гамма.

Гамма излучение – это поток энергии в виде фотонов. Процесс разделения атомов под воздействием радиации сопровождается образованием новых веществ. При этом атомы вновь образовавшегося продукта имеют довольно нестабильное состояние. Постепенно при взаимодействии элементарных частиц возникает восстановление равновесия. В результате происходит выброс лишней энергии в виде гаммы.

Проникающая способность такого потока лучей очень высока. Оно способно проникать через кожные покровы, ткани, одежду. Более тяжелым будет проникновение через металл. Чтобы задержать такие лучи необходима довольно толстая стена из стали или бетона. Однако длина волныγ-излучения очень мала и составляет меньше 2·10 −10 м, а ее частота находится в диапазоне 3*1019 – 3*1021 Гц.

Гамма частицами являются фотоны с довольно высокой энергией. Исследователи утверждают, что энергия гаммы излучения может превышать показатель 10 5 эВ. При этом граница между рентгеновскими и γ-лучами далеко не резкая.

Источники:

  • Различные процессы в космическом пространстве,
  • Распад частиц в процессе опытов и исследований,
  • Переход ядра элемента из состояния с большой энергией в состояние покоя или с меньшей энергией,
  • Процесс торможения заряженных частиц в среде либо движение их в магнитном поле.

Открыл гамма излучение французский физик Поль Виллар в 1900 году, проводя исследование излучения радия.

Чем опасно гамма-излучение

Гамма излучение является наиболее опасным, нежели альфа и бета.

Механизм действия:

  • Гамма лучи способны проникать через кожные покровы внутрь живых клеток, в результате происходит их повреждение и дальнейшее разрушение.
  • Поврежденные молекулы провоцируют ионизацию новых таких же частиц.
  • В результате возникает изменение в структуре вещества. Пострадавшие частицы при этом начинают разлагаться и превращаться в токсические вещества.
  • В итоге происходит образование новых клеток, но они уже с определенным дефектом и поэтому не могут полноценно работать.

Гамма излучения опасно тем, что такое взаимодействие человека с лучами не ощущается им ни в коей мере. Дело в том, что каждый орган и система человеческого организма реагирует по-разному на γ-лучи. Прежде всего, страдают клетки, способные быстро делиться.

Системы:

  • Лимфатическая,
  • Сердечная,
  • Пищеварительная,
  • Кроветворная,
  • Половая.

Оказывается негативное влияние и на генетическом уровне. Кроме того, такое излучение имеет свойство накапливаться в человеческом организме. При этом в первое время оно практически не проявляется.

Где применяется гамма-излучение

Несмотря на негативное влияние, ученые нашли и положительные стороны. В настоящее время такие лучи применяются в различных сферах жизни.

Гамма излучение — применение:

  • В геологических исследованиях с их помощью определяют длину скважин.
  • Стерилизация различных медицинских инструментов.
  • Используется для контроля внутреннего состояния различных вещей.
  • Точное моделирование пути космических аппаратов.
  • В растениеводстве применяется для вывода новых сортов растений из тех, что мутируют под воздействием лучей.

Излучение гамма частиц нашло свое применение в медицине. Используется оно в терапии онкологических больных. Такой метод имеет название «лучевая терапия» и основывается на воздействии лучей на быстро делящиеся клетки. В результате при правильном использовании появляется возможность уменьшить развитие патологических клеток опухоли. Однако такой метод, как правило, применяется в том случае, когда другие уже бессильны.

Отдельно стоит сказать о влияние его на мозг человека

Современные исследования позволили установить, что мозг постоянно испускает электрические импульсы. Ученые считают, что гамма излучения возникает в те моменты, когда человеку приходится работать с разной информацией одновременно. При этом небольшое количество таких волн ведет к уменьшению запоминающей способности.

Как защититься от гамма-излучения

Какая же защита существует, и что сделать, чтобы уберечься от этих вредных лучей?

В современном мире человек окружен различными излучениями со всех сторон. Однако гамма частицы из космоса оказывают минимальное воздействие. А вот то, что находится вокруг представляет гораздо большую опасность. Особенно это относится к людям, работающим на различных атомных станциях. В таком случае защита от гамма излучения состоит в применении некоторых мер.

Меры:

  • Не находится длительное время в местах с таким излучением. Чем дольше времени человек находится под воздействием этих лучей, тем больше разрушений возникнет в организме.
  • Не стоит находиться там, где расположены источники излучения.
  • Необходимо использовать защитную одежду. В ее состав входит резина, пластик с наполнителями из свинца и его соединений.

Стоит отметить, что коэффициент ослабления гамма излучения зависит от того, из какого материала сделан защитный барьер. Так, например, лучшим металлом считается свинец в виду его свойства поглощать излучение в большом количестве. Однако он плавится при довольно низких температурах, поэтому в некоторых условиях используется более дорогой металл, например, вольфрам или тантал.

Еще один способ обезопасить себя – это измерить мощность гамма излучения в Вт. Кроме того, мощность измеряется также в зивертах и рентгенах.

Норма гамма излучения не должна превышать 0,5 микрозиверта в час. Однако лучше если этот показатель не будет выше 0,2 микрозиверта в час.

Чтобы измерить гамма излучение, применяется специальное устройство – дозиметр. Таких приборов существует довольно много. Часто используется такой аппарат, как «дозиметр гамма излучения дкг 07д дрозд». Он предназначен для оперативного и качественного измерения гамма и рентгеновского излучения.

У такого устройства есть два независимых канала, которые могут измерять МЭД и Эквивалент дозировки. МЭД гамма излучения это мощность эквивалентной дозировки, то есть количество энергии, которую поглощает вещество в единицу времени с учетом того, какое воздействие лучи оказывают на человеческий организм. Для этого показателя также существуют определенные нормы, которые обязательно должны быть учтены.

Излучение способно негативно влиять на организм человека, однако даже для него нашлось применение в некоторых сферах жизни.

Видео: Гамма-излучение

Гамма-излучения представляют собой электромагнитные колебания очень большой частоты, распространяющиеся в пространстве со скоростью света. Эти излучения испускаются ядром в виде отдельных порций, называемых гамма-квантами или фотонами.

Энергия гамма-квантов лежит в пределах от 0,05 до 5 МэВ. Гамма-излучение с энергией менее 1 МэВ условно называют мягким излучением, а с энергией более 1 МэВ - жестким излучением.

Гамма-излучение не является самостоятельным видом излучения. Обычно гамма-излучение сопровождает бета-распад, реже альфа-распад. Выбрасывая альфа- или бета-частицы, ядро освобождается от избытка энергии, но может оставаться еще в возбужденном состоянии. Переход из возбужденного состояния в основное сопровождается излучением гамма-квантов, состав ядра при этом не изменяется.

В воздухе гамма-лучи распространяются на большие расстояния, измеряе­мые десятками и сотнями метров.

Проникающая способность гамма-лучей в 50-100 раз больше проникающей способности бета-частиц и в тысячи раз больше проникающей способности аль­фа-частиц.

Ионизация среды при прохождении через нее гамма-лучей производите: только вторичными электронами, которые возникают в результате взаимодействия гамма-квантов с атомами вещества. Ионизирующая способность гамма квантов определяется их энергией. В общем один гамма-квант дает столько и пар ионов, сколько их образует бета- или альфа- частица той же энергии. Однако вследствие меньшей поглощаемости гамма-лучей образуемые ими ионы распре­деляются на большем расстоянии. Поэтому удельная ионизирующая способ­ность гамма-квантов в сотни раз меньше удельной ионизирующей способности бета-частиц, в тысячи раз меньше удельной ионизирующей способности альфа-частиц и составляет в воздухе несколько пар ионов на 1 см пути.

Вывод . Гамма-излучения обладают наибольшей проникающей способно­стью по сравнению с проникающей способностью остальных видов радиоактив­ных излучений. В то же время гамма-излучения обладают очень малой удельной ионизирующей способностью, составляющей в воздухе несколько пар ионов на 1 см пути гамма-квантов.

Нейтронное излучение и его основные свойства

Нейтронное излучение является корпускулярным излучением, возникаю­щим в процессе деления или синтеза ядер.

Нейтроны оказывают сильное поражающее действие, так как они, не имея электрического заряда, легко проникают в ядра атомов, из которых состоят жи­вые ткани, и захватываются ими.

Более 99% общего количества нейтронов при ядерном взрыве выделяется в течение 10 -14 с. Эти нейтроны называются мгновенными. Остальная часть (около 1%) нейтронов излучается позднее некоторыми осколками деления при их бета-распаде. Эти нейтроны называются запаздывающими.

Скорость распространения нейтронов доходит до 20000 км/ч. Время, необ­ходимое для того, чтобы все нейтроны прошли расстояние от точки взрыва до места, где они представляют угрозу поражения, составляет около одной секунды после момента взрыва.

В зависимости от энергии нейтроны классифицируются следующим обра­зом:

медленные нейтроны 0-0,1 кэВ;

нейтроны промежуточных энергий 0,1-20 кэВ;

быстрые нейтроны 20 кэВ-10 МэВ;

нейтроны высоких энергий свыше 10 МэВ.

Тепловые нейтроны - нейтроны, находящиеся в тепловом равновесии с ок­ружающей средой (с энергией, не превышающей 1 эВ), включены в область мед­ленных нейтронов.

Прохождение нейтронов через вещество сопровождается ослаблением их интенсивности. Это ослабление обусловливается взаимодействием нейтронов с ядрами атомов вещества.

Рентгеновское излучение

Рентгеновские лучи возникают при бомбардировке быстрыми электронами твердых мишеней. Рентгеновская трубка представляет собой эвакуированный баллон с несколькими электродами (рис. 1.2). Нагреваемый током катод К слу­жит источником свободных электронов, испускаемых вследствие термоэлек­тронной эмиссии. Цилиндрический электрод Ц предназначен для фокусировки электронного пучка.

Мишенью является анод А, который называют также антикатодом. Его де­лают из тяжелых металлов (W, Си. Pt и т. д.). Ускорение электронов осуществля­ется высоким напряжением, создаваемым между катодом и антикатодом. Почти вся энергия электронов выделяется на антикатоде в виде теплоты (в излучение превращается лишь 1-3% энергии).

Попав в вещество антикатода, электроны испытывают сильное торможение и становятся источником электромагнитных волн.

При достаточно большой скорости электронов, кроме тормозного излуче­ния (т. е. излучения, обусловленного торможением электронов), возбуждается также характеристическое излучение (вызванное возбуждением внутренних электронных оболочек атомов антикатода).

Интенсивность рентгеновского излученя может быть измерена как по степени фотографического действия, так и по ионизации, производимой им в га­зообразных средах, в частности в воздухе. *М интенсивнее излучение, тем большую ионизацию оно производит. По механизму взаимодействия с вещест­вом рентгеновское излучения аналогично у-излучению. Длина волны рентгенов­ского излучения 10 -10 -10 -6 см, гамма-излучения -10-9 см и ниже.

В настоящее время рентгеновские лучи применяются в качестве контроль­ного средства. С помощью рентгеновских луче» контролируют качество сварки, однородность соответствующих изделий и т. п. В медицине рентгеновские лучи широко применяются для диагностики, а в некоторых случаях и в качестве средства, воздействующего на раковые клетки.

Лекция № 11 (можно сделать 2 лекции)

Реферат

Целью данной курсовой работы является изучение особых свойств Гамма-функции Эйлера. В ходе работы была изучена Гамма-функция, её основные свойства и составлен алгоритм вычисления с разной степенью точности. Алгоритм был написан на языке высокого уровня - Си. Результат работы программы сверен с табличным. Расхождений в значениях обнаружено не было.

Пояснительная записка к курсовой работе выполнена в объёме 36 листов. Она содержит таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях переменных и тексты программ для вычисления значений Гамма-функции и для построения графика, а также 2 рисунка.

Для написания курсовой работы было использовано 7 источников.

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственого либо несобственого интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

Гамма-функция относится к числу самых простых и значимых специальных функций, знание свойств которой необходимо для изучения многих других специальных функций, например, цилиндрических, гипергеометрических и других.

Благодаря её введению значительно расширяются наши возможности при вычислении интегралов. Даже в случаях, когда конечная формула не содержит иных функций, кроме элементарных, получение её всё же часто облегчает использование функции Г, хотя бы в промежуточных выкладках.

Эйлеровы интегралы представляют собой хорошо изученные неэлементарные функции. Задача считается решённой, если она приводится к вычислению эйлеровых интегралов.


1. Бэта-функци я Эйлера

Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

Он представляет функцию от двух переменных параметров и : функцию B . Если эти параметры удовлетворяют условиям и ,то интеграл (1.1) будет несобственным интегралом, зависящим от параметров и ,причём особыми точками этого интеграла будут точки и

Интеграл (1.1) сходятся при .Полагая получим:

= - =

т.e. аргумент и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем


Откуда получаем

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

при целых = m,= n, имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой ,то

и в результате подстановки , получаем

полагая в(1.1) ,откуда , получим

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки ,получим

2. Гамма-функция

2.1 Определение

Восклицательный знак в математических трудах обычно означает взятие факториала какого-либо целого неотрицательного числа:

n! = 1·2·3·...·n.

Функцию факториал можно еще записать в виде рекурсионного соотношения:

(n+1)! = (n+1)·n!.

Это соотношение можно рассматривать не только при целых значениях n.

Рассмотрим разностное уравнение

Несмотря на простую форму записи, в элементарных функциях это уравнение не решается. Его решение называется гамма-функцией. Гамма-функцию можно записать в виде ряда или в виде интеграла. Для изучения глобальных свойств гамма-функции обычно пользуются интегральным представлением.

2.2 Интегральное представление

Перейдем к решению этого уравнения. Будем искать решение в виде интеграла Лапласа:

В этом случае правая часть уравнения (2.1) может быть записана в виде:

Эта формула справедлива, если существуют пределы для внеинтегрального члена. Заранее нам не известно поведение образа [(G)\tilde](p) при p®±¥. Предположим, что образ гамма-функции таков, что внеинтегральное слагаемое равно нулю. После того, как будет найдено решение, надо будет проверить, верно ли предположение о внеинтегральном слагаемом, иначе придется искать G(z) как-нибудь по-другому.

Левая часть равенства (2.1) записывается следующим образом:

Тогда уравнение (2.1) для образа гамма-функции имеет вид:

Это уравнение легко решить:

Нетрудно заметить, что найденная функция [(Г)\tilde](p) на самом деле такова, что внеинтегральный член в формуле (2.2) равен нулю.

Зная образ гамма-функции, легко получить и выражение для прообраза:

Это неканоническая формула, для того, чтобы привести ее к виду, полученному Эйлером, надо сделать замену переменной интегрирования: t = exp(-p), тогда интеграл примет вид:

Постоянная C выбирается так, чтобы при целых значениях z гамма-функция совпадала с функцией факториал: Г(n+1) = n!, тогда:

следовательно C = 1. Окончательно, получаем формулу Эйлера для гамма-функции:

Эта функция очень часто встречается в математических текстах. При работе со специальными функциями, пожалуй, даже чаще, чем восклицательный знак.

Проверить, что функция, определенная формулой (2.3), действительно удовлетворяет уравнению (2.1), можно, проинтегрировав интеграл в правой части этой формулы по частям:

2.3 Область определения и полюсы

В подынтегральной функции интеграла (2.3) при экспонента exp(-tz ) при R(z ) > 0 убывает гораздо быстрее, чем растет алгебраическая функция t (z-1) . Особенность в нуле - интегрируемая, поэтому несобственный интеграл в (2.3) сходится абсолютно и равномерно при R (z) > 0. Более того, последовательным дифференцированием по параметру z легко убедиться, что Г(z ) - голоморфная функция при R (z ) > 0. Однако, непригодность интегрального представления (2.3) при R (z ) 0 не означает, что там не определена сама гамма-функция - решение уравнения (2.1).

Рассмотрим поведение Г(z) в окрестности нуля. Для этого представим:

где - голоморфная функция в окрестности z = 0 . Из формулы (2.1) следует:

то есть Г(z) имеет полюс первого порядка при z = 0.

Также легко получить:

то есть в окрестности точки функция Г(z ) также имеет полюс первого порядка.

Таким же образом можно получить формулу:

Из этой формулы следует, что точки z = 0,-1,-2,... - простые полюсы гамма-функции и других полюсов на вещественной оси эта функция не имеет. Нетрудно вычислить вычет в точке z = -n, n = 0,1,2,...:

2.4 Представление Ганкеля через интеграл по петле

Выясним, имеет ли гамма-функция нули. Для этого рассмотрим функцию

Полюсы этой функции и есть нули функции Г(z).

Разностное уравнение для I(z ) легко получить, воспользовавшись выражением для Г(z ):

Выражение для решения этого уравнения в виде интеграла можно получить так же, как было получено интегральное выражение для гамма-функции - через преобразование Лапласа. Ниже приведены вычисления.ни такие же, как и в п.1).ии теграла будут точки ____________________________________________________________________________

После разделения переменных получим:

Проинтегрировав получаем:

Переход к прообразу Лапласа дает:

В полученном интеграле сделаем замену переменной интегрирования:

Тогда

Здесь важно заметить, что подынтегральная функция при нецелых значениях z имеет точку ветвления t = 0. На комплексной плоскости переменной t проведем разрез по отрицательной вещественной полуоси. Интеграл по этой полуоси представим как сумму интеграла по верхнему берегу этого разреза от до 0 и интеграла от 0 до по нижнему берегу разреза. Чтобы интеграл не проходил через точку ветвления, устроим вокруг нее петлю.

Рис1: Петля в интегральном представлении Ганкеля.

В результате получим:

Чтобы выяснить значение постоянной, вспомним, что I(1) = 1, с другой стороны:

Интегральное представление

называется представлением Ганкеля по петле.

Легко видеть, что функция 1/Г(z ) не имеет полюсов в комплексной плоскости, следовательно, гамма-функция не имеет нулей.

С помощью этого интегрального представления можно получить формулу для произведения гамма-функций. Для этого в интеграле сделаем замену переменной , тогда:

2.5 Предельная форма Эйлера

Гамма-функцию можно представить в виде бесконечного произведения. Это можно заметить, если в интеграле (2.3) представить

Тогда интегральное представление гамма-функции:

В этой формуле мы можем поменять пределы - предел интегрирования в несобственном интеграле и предел при внутри интеграла. Приведем результат:

Возьмем по частям этот интеграл:

Если провести эту процедуру n раз, получим:

Переходя к пределу, получим предельную форму Эйлера для гамма-функции:

2.6 Формула для произведения

Ниже понадобится формула, в которой произведение двух гамма-функций представляется через одну гамма-функцию. Выведем эту формулу, используя интегральное представление гамма-функций.

Повторный интеграл представим как двойной несобственный интеграл. Это можно сделать, воспользовавшись теоремой Фубини. В результате получим:

Несобственный интеграл равномерно сходится. Его можно рассматривать, например, как интеграл по треугольнику, ограниченному осями координат и прямой x+y = R при R. В двойном интеграле сделаем замену переменных:

Якобиан этой замены

Пределы интегрирования: u меняется от 0 до ∞, v при этом меняется от 0 до 1. В результате получим:

Перепишем опять этот интеграл как повторный, в результате получим:

где Rp > 0, Rv > 0.

2. Производная гамма функции

Интеграл

сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится.

В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можно применить признак Вейрштраса. Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как и второе слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть что интеграл сходится пов любой области где произвольно. Действительно для всех указанных значений и для всех ,и так как сходится, то выполнены условия признака Вейерштрасса. Таким образом, в области интеграл сходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и, и покажем,что интеграл:

сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так, чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое, что и на.Но тогда на справедливо неравенство

и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует, что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец, интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

Очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом, на интеграл

сходится равномерно, а, следовательно, гамма-функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство

.

Относительно интеграла можно повторить те же рассуждения и заключить, что

По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенство

Изучим теперь поведение - функции и построим эскиз ее графика. (см. Приложение 1)

Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее, поскольку , то при . При из формулы следует, что при .

Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

Положим для, что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0) . Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция .

Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при и . Продолжая этот процесс, определим функцию , имеющею разрывы в целочисленных точках (см. Приложение 1.)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .

4. Вычисление некоторых интегралов.

Формула Стирлинга

Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

где m > -1,n > -1.Полагая, что ,имеем

и на основании (2.8) имеем

В интеграле

Где k > -1,n > 0,достаточно положить

Интеграл

Где s > 0,разложить в ряд

=

где дзетта функция Римана

Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством

Разлагая, в ряд имеем

Переходя к выводу формулы Стирлинга, дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

(4.2)

Непрерывна на интервале (-1,) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как

И так производная непрерывна и положительна во всем интервале ,удовлетворяет условию

Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале,

Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

Формулу Стирлинга выведем из равенства

полагая ,имеем

,

полагая на конец,,получим

в пределе при т.е. при (см 4.3)

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

где ,при

для достаточно больших полагают

вычисление же производится при помощи логарифмов

если целое положительное число, то и (4.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

5. Примеры вычисления интегралов

Для вычисления необходимы формулы:

Г()

Вычислить интегралы


ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация её логарифма. Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (для комплексных z):

Г(z+1)=(z+g+0.5) z+0.5 exp(-(z+g+0.5))

Эта формула похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности ε не превышает 2*10 -10 . Более того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: z > 0.

Для получения (действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции - логарифма, а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации Ln(Г(х) - логарифма гамма-функции - получается формула:

log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C 0 (C 1 +C 2 /(x+1)+C 3 /(x+2)+...+C 7 /(x+8))/x)

Значения коэффициентов C k - табличные данные (см. в программе).

Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.

Заключение

Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1. Специальные функции и их приложения:

Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов, М.,”Высшая школа”,1965

6.Асимптотика и специальные функции

Ф.Олвер, М.,Наука,1990.

7.Зоопарк чудовищ или знакомство со спецмальными функциями

О.М.Киселёв,


ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 - График гамма-функции действительного переменного

Приложение 2 – График Гамма-функции

Таблица – таблица значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 3 – листинг программы, рисующий таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 4 – листинг программы, рисующей график гамма-функции


Реферат............................................................. ...................................3

Введение........................................................... ...................................4

Теоретическая часть…………………………………………………….5

Бета функция Эйлера…………………………………………….5

Гамма функция................................................. ...................................8

2.1. Определение………………………………………………...8

2.2. Интегральное представление………………………………8

2.3. Область определения и полюсы…………………………..10

2.4. Представление Ганкеля через интеграл по петле………..10

2.5. Предельная форма Эйлера………………………………...12

2.6. Формула для произведения………………………………..13

Производная гамма функции........................ ..................................15

Вычисление интегралов. Формула Стирлинга...........................18

Примеры вычислений интегралов................... ..................................23

Практическая часть…………………………………………………….24

Заключение....................................................... ..................................25

Список литературы……………………………………………..............26

Приложения……………………………………………………………..27


ПРИЛОЖЕНИЕ 1

График гамма-функции действительного переменного

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

График Гамма-функции

ТАБЛИЦА

х g(x)

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

#include

#include

#include

#include

#include

static double cof={

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

86.50532032941677,

24.01409824083091,

1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

0.5395239384953e-5,

double GammLn(double x) {

lg1=log(cof*(cof+cof/(x+1)+cof/(x+2)+cof/(x+3)+cof/(x+4)+cof/(x+5)+cof/(x+6))/x);

lg=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;

double Gamma(double x) {

return(exp(GammLn(x)));

cout<<"vvedite x";

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

for(i=1;i<=8;i++)

x=x[i]+0.5;

g[i]=Gamma(x[i]);

printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");


ПРИЛОЖЕНИЕ 4

#include

#include

#include

#include

Double gam(double x, double eps)

Int I, j, n, nb;

Double dze={1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Double a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;

Printf (“вы ввели неправильные данные, попробуйте снова\n”); return -1.0;

If(a==0) return fc;

For (i=0;i<5;i++)

S=s+b*dze[i]/(i+2.0);

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

For (n=1;n<=nb;n++)

For(j=0; j<5; j++)

Si=si+b/(j+1.0);

S=s+si-log(1.0+a/n);

Double dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, “ ”);

YN0=getmaxy()-20;

Line(30, getmaxy ()-10,30,30);

Line(20, getmaxy ()-30, getmaxx ()-20, getmaxy ()-30);

}while (Y>30);

}while (X<700);

}while (X<=620);

}while (y>=30);

X=30+150.0*0,1845;

For9i=1;i

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

If(Y<30) continue;

X=30+150.0*308523;

Line (30,30,30,10);

Line(620,450,640,450);

Line(30,10,25,15);

Line(30,10,25,15);

Line(640,450,635,445);

Line(640,450,635,455);

Line(170,445,170,455);

Line(320,445,320,455);

Line(470,445,470,455);

Line(620,445,620,455);

Line(25,366,35,366);

Line(25,282,35,282);

Line(25,114,35,114);

Line(25,30,35,30);

Outtexty(20,465,"0");

Outtexty(165,465, "1";

Outtexty(315,465, "2";

Outtexty(465,465, "3";

Outtexty(615,465, "4";

Outtexty(630,465, "x";

Outtexty(15,364, "1";

Outtexty(15,280, "2";

Outtexty(15,196, "3";

Outtexty(15,112, "4";

Outtexty(15,30, "5";