Фрактальная симметрия. Фрактальная симметрия иерархического мира. Фракталы в гармоническом анализе

Асимметрия иерархически организованного материального мира предстает перед наблюдателем в виде трех реальностей. Поскольку мы сами принадлежим вещественному миру, основная наша реальность, полностью данная нам в ощущениях – «весомо, грубо, зримо» - это мир вещественных объектов и гравитационных сил. С ним все достаточно ясно. Но мироздание не ограничивается этим уровнем. Вся иерархия уровней, лежащая ниже вещественного мира, предстает перед нами в виде «свободного поля» - того, что вещество может излучить или поглотить, и без чего вещество не может функционировать (как система - без элементов, организм – без клеток).

Ближайший к нам снизу уровень – свободное ЭМП, еще ниже – верхний уровень вакуума (доэнергетическое состояние материи) и так далее. Основной особенностью нижних уровней для нас является ненаблюдаемость процессов, непосредственно происходящих в свободном поле, но возможность интерпретировать (вероятностно) эти процессы, зная промежуточные результаты, всегда связанные с поглощением и излучением этого поля веществом. Этим, весьма успешно, надо сказать, занимается Квантовая Механика - загадочная "наука, которую не понимает никто" (Фейнман).

Ближайший к вещественному миру уровень организации «сверху» - это мир чёрных дыр. Вещество не может ни «излучить» чёрную дыру, ни «поглотить» её. Более того, само вещество становится пассивным объектом: взаимодействуя с верхним уровнем, оно может только сколлапсировать, «упасть», бесследно исчезнув, в чёрную дыру. Мир чёрных дыр с точки зрения вещественного мира полностью невидим (не описуем).

Всё это сказано, дабы ещё раз подчеркнуть асимметрию иерархически организованного, системного мира: простые формы симметрии и любые законы сохранения в этом мире отсутствуют (выполняясь лишь на малых его участках – подуровнях, то есть, весьма условно).

Что же поддерживает порядок в этом нелинейном мире, мире без линейной симметрии, что объединяет его в одно целое?

«Равноправие» всех уровней организации материи! Но «равноправие» это – нелинейное, оно не означает механического равенства между высшим и низшим, целым и его частью. Оно означает некое подобие между ними, наличие общих фундаментальных свойств. В чём же сходство между различными уровнями?

Ниже и выше любого уровня лежит неограниченная последовательность – иерархия уровней организации материи. Все нижележащие уровни проявляют себя по отношению к данному уровню, как некое свободное поле, результат излучения материей данного уровня и потенциальный объект для поглощения ею. Все вышележащие уровни предстают как «чёрные дыры», готовые поглотить любые объекты нижележащих уровней без остатка в результате коллапса материи низшего уровня.

Такое равноправие, межуровневое подобие, фундаментальное сходство всех уровней организации иерархического мира ранее уже было названо нами фрактальной симметрией. Это не простая, а необычная, нелинейная симметрия. Эта симметрия – обратная сторона линейной асимметрии иерархического мира, ее преодоление. Так "золотое сечение" делит отрезок не пополам, симметрично арифметически, что соответствовало бы нахождению "среднего арифметического", а в единственной пропорции, когда отношение малого отрезка к большому равно отношению большого к их сумме. Суть "золотого сечения", кстати, чётко не понятая, это нелинейность той симметрии, которуя оно являет миру: больший отрезок - это среднее геометрическое между меньшим и их суммой. Если совсем коротко: "золотое сечение" - частный случай нелинейной фрактальной симметрии!

Но вернёмся к физике: в отличие от простых видов симметрии, за каждым из которых стоит свой закон сохранения, распространяющийся на свой «микроучасток», подуровень нашего мира, за ФРАКТАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ стоит уникальный Закон, охватывающий мир в целом и каждый уровень его организации по отдельности:

ЗАКОН ТРАНСФОРМАЦИИ МАТЕРИИ,

Который может быть сформулирован, как

Mн = (Vв)^2*Мв,

Где Мн и Мв – меры материи, характеризующие нижний и верхний (рядом стоящие) уровни организации материи (… доэнергия вакуума, энергия, масса, постмасса ЧД и т.д.); Мв – максимальная скорость движения на верхнем уровне.

Как Вы уже должно быть догадались, частным случаем закона трансформации материи, выражением, связывающим свободное ЭМП с веществом, является широко известная формула Эйнштейна (Е = mc^2).

Рецензии

Теперь можно будет вернуться к конкретному разговору с внучкой двухлетней давности:
"Таня!
Может ты мне ответишь, если папа говорит, что даже учёным точно неизвестно, что такое "чёрная дыра"? Я всё думаю, думаю - как это может быть ДЫРА В НЕБЕ? НЕБО - это же не тряпочка?"
(А. Майборода)
_____
С уважением,

Симметрия веками оставалась тем свойством, которое занимало умы философов, астрономов, математиков, художников, архитекторов и физиков. Древние греки были просто одержимы ею, и даже сегодня мы, как правило, стараемся применять симметрию во всем: от того, как мы располагаем мебель, до того, как мы укладываем наши волосы.

Никто не знает, почему это явление настолько сильно занимает наши умы, или почему математики стараются увидеть порядок и симметрию в окружающих нас вещах - как бы то ни было, ниже представлены десять примеров того, что симметрия действительно существует, а также того, что мы ею окружены.

Примите во внимание: как только вы об этом задумаетесь, вы уже постоянно будете невольно искать симметрию в окружающих вас предметах.

10. Капуста брокколи Романеско

Скорее всего, вы неоднократно проходили в магазине мимо полки с капустой брокколи Романеско и из-за её необычного вида предполагали, что это генно-модифицированный продукт. Но на самом-то деле, это всего лишь ещё один из многих примеров фрактальной симметрии в природе - хотя и безусловно поразительный.

В геометрии фрактал — это сложный узор, каждая часть которого обладает тем же геометрическим рисунком, что и весь узор в целом. Поэтому в случае капусты брокколи Романеско каждый цветок компактного соцветия обладает той же логарифмической спиралью, что и вся головка (просто в миниатюрном виде). По сути, вся головка этой капусты — это одна большая спираль, которая состоит из маленьких почек похожих на шишки, которые также растут в виде мини-спиралей.

Кстати говоря, капуста брокколи Романеско является родственницей, как капусты брокколи, так и цветной капусты, хотя её вкус и консистенция больше напоминают цветную капусту. Она также богата каротиноидами и витаминами С и К, что означает, что она является полезным и математически красивым дополнением к нашей пище.

9. Медовые соты

Пчёлы это не только ведущие производители мёда - они также знают толк в геометрии. Тысячи лет люди поражались совершенству гексагональных форм в медовых сотах и задавались вопросом о том, как же пчёлы могут инстинктивно создавать такие формы, которые человек может создавать только с линейкой и компасом. Медовые соты являются предметов обойной симметрии, где повторяющийся узор покрывает плоскость (например, плиточный пол или мозаика).

Так каким же образом и почему пчёлы так любят строить шестиугольники? Начнём с того, что математики считают, что эта совершенная форма позволяет пчёлам запасать самое большое количество мёда, используя наименьшее количество воска. При строительстве других форм у пчёл получались бы большие пространства, так как такие фигуры, как например круг - не прилегают друг к другу полностью.

Другие наблюдатели, которые менее склонны верить в сообразительность пчёл, считают, что они формируют гексагональную форму совершенно «случайно». Другими словами, пчёлы на самом деле делают круги, а воск сам по себе принимает гексагональную форму. В любом случае - это произведение природы и довольно-таки потрясающее.

8. Подсолнухи

Подсолнухи могут похвастаться радиальной симметрией и интересным типом симметрии чисел, известным как последовательность Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи это: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д. (каждое число определяется суммой двух предыдущих чисел).
Если не жалея времени заняться подсчётом количества семенных спиралей в подсолнечнике, мы бы обнаружили, что количество спиралей совпадает с числами Фибоначчи. Более того, огромное количество растений (включая капусту брокколи Романеско) отпускают лепестки, листья и семена в соответствии с последовательностью Фибоначчи, именно поэтому так сложно найти четырёхлистный клевер.

Считать спирали на подсолнечнике может быть довольно трудно, поэтому, если вы хотите самостоятельно проверить этот принцип, попробуйте подсчитать спирали на более крупных вещах, таких как шишки, ананасы, и артишоки.

Но почему цветы подсолнечника и другие растения подчиняются математическим правилам? Как и в случае шестиугольников в улье, всё дело в эффективности. Чтобы не углубляться в технические особенности, можно просто сказать, что цветок подсолнечника может вместить наибольшее количество семян, если каждое семечко расположено под углом, представляющим собой иррациональное число.

Оказывается, самым иррациональным числом является золотое сечение, или Фи, и так уж случилось, что, если мы разделим любое число Фибоначчи или Лукаса на предыдущее число в последовательности, мы получим число, близкое к Фи (+1,618033988749895 ...). Таким образом, в любом растении, растущем в соответствии с последовательностью Фибоначчи, должен быть угол, который соответствует Фи (углу равному числу золотого сечения) между каждым из семян, листьев, лепестков, или веток.

7. Раковина Наутилуса

Помимо растений существуют также некоторые животные, демонстрирующие собою числа Фибоначчи. Например, раковина Наутилуса выросла в «Спираль Фибоначчи». Спираль образуется в результате попытки раковины поддерживать ту же пропорциональную форму по мере своего роста наружу. В случае наутилуса, такая тенденция роста позволяет ему сохранять одинаковую форму тела в течение всей своей жизни (в отличие от людей, чьи тела изменяют свои пропорции по мере взросления).

Как и следовало бы ожидать - в этом правиле существуют и исключения: не каждая раковина наутилуса вырастает в спираль Фибоначчи. Но все они растут в виде своеобразных логарифмических спиралей. И, до того как вы начнёте задумываться над тем, что эти головоногие, пожалуй, знают математику лучше вас, помните, что их раковины растут в такой форме неосознанно для них, и что они просто пользуются эволюционным дизайном, который позволяет моллюску расти, не изменяя форму.

6. Животные

Большинство животных обладает двусторонней симметрией, это означает, что их можно разделить на две одинаковые половины, если линию деления провести по их центру тела. Даже люди обладают двусторонней симметрией, и некоторые учёные считают, что симметрия человека является самым важным фактором того, будем ли мы считать его физически привлекательным или нет. Другими словами, если у вас кривобокое лицо, надейтесь, что у вас есть целая уйма компенсирующих, положительных качеств.

Одно животное, скорее всего, воспринимает важность симметрии в брачных ритуалах слишком серьёзно, и этим животным является павлин. Дарвина очень раздражал этот вид птиц, и в своём письма в 1860 году он написал, что «каждый раз, когда я смотрю на перо из павлиньего хвоста - меня тошнит!».

Для Дарвина хвост павлина казался чем-то обременительным, так как, по его мнению, такой хвост не имел эволюционного смысла, так как он не подходил под его теорию «естественного отбора». Он злился до тех пор, пока он не разработал теорию сексуального отбора, которая заключается в том, что животное развивает у себя определённые качества, которые обеспечат ему лучший шанс спариться. Очевидно, для павлинов сексуальный отбор считается невероятно важным, так как они отрастили себе различные варианты узоров, чтобы привлечь своих дам, начиная с ярких цветов, большого размера, симметрии своих тел и повторяющемся узоре их хвостов.

5. Паутины пауков

Существует примерно 5 000 видов пауков-кругопрядов, и все они создают практически совершенно круглые паутины с почти равноудаленными радиальными опорами, исходящими из центра и связанными по спирали для более эффективной ловли добычи. Ученые до сих пор не нашли ответа на вопрос, почему пауки-кругопряды делают такой большой акцент на геометрию, так как исследования показали, что округлая паутина не удерживает добычу лучше, чем паутина неправильной формы.

Некоторые ученые предполагают, что пауки строят круглые паутины из-за того, что они более прочные, и радиальная симметрия помогает равномерно распределить силу удара, когда жертва попадает в сети, в результате чего в паутине оказывается меньше разрывов. Но остается вопрос: если это действительно лучший способ создания паутины, то почему не все пауки его используют? У некоторых пауков, не являющихся кругопрядами, есть возможность создавать такую же паутину, однако они этого не делают.

Например, недавно обнаруженный в Перу паук строит отдельные части сети одинакового размера и длины (что доказывает его способность «замерять»), но затем он просто соединяет все эти части одинакового размера в случайном порядке в большую паутину, которая не обладает какой-то определённой формой. Может быть эти пауки из Перу знают что-то, чего не знают пауки-кругопряды, или же они ещё просто не оценили всю прелесть симметрии?

4. Круги на полях с урожаем

Дайте парочке приколистов доску, кусок верёвки и покров тьмы и окажется, что люди тоже хороши в создании симметричных форм. На самом деле, именно из-за невероятной симметрии и сложности дизайна кругов на полях с урожаем, люди продолжают верить, что только пришельцы из космоса способны сотворить такое, даже несмотря на то, что люди, создавшие эти круги, сознались.

Возможно, когда-то и была смесь кругов сделанных людьми с теми, которые сделали пришельцы, но прогрессирующая сложность кругов является самым явным доказательством того, что их сделали именно люди. Было бы нелогичным предположить, что пришельцы сделают свои послания ещё сложнее, учитывая то, что люди ещё толком не разобрались в значении простых посланий. Скорее всего, люди учатся друг у друга по примерам созданного и всё больше и больше усложняют свои творения.

Если отбросить в стороны разговоры об их происхождении, можно точно сказать, что на круги приятно смотреть, по большей части из-за того, что они так геометрически впечатляющи. Физик Ричард Тейлор (Richard Taylor) провёл исследование кругов на полях и обнаружил, что помимо того факта, что за ночь на земле создается по крайней мере один круг, большинство их дизайнов отображают широкий спектр симметрии и математических моделей, в том числе фракталов и спиралей Фибоначчи.

3. Снежинки

Даже такие крошечные вещи как снежинки тоже образуются по законам порядка, так как большинство снежинок формируются в виде шестикратной радиальной симметрии со сложными, идентичными рисунками на каждой из её ветвей. Понять, почему растения и животные выбирают симметрию, сложно само по себе, но неодушевлённые объекты - как же им это удаётся?

По-видимому, всё сводится к химии, и в частности к тому, как молекулы воды выстраиваются по мере своего замерзания (кристаллизуются). Молекулы воды приходят в твёрдое состояние путём образования слабых водородных связей друг с другом. Эти связи выравниваются в упорядоченном расположении, которое максимизирует силы притяжения и снижает силы отталкивания, что как раз и является причиной образования гексагональной формы снежинки. Однако всем нам известно, что двух одинаковых снежинок не бывает, так как же снежинка формируется в абсолютной симметрии сама с собой, но не похожа на другие снежинки?

По мере того как каждая снежинка падает с неба она проходит через уникальные атмосферные условия, такие как температура и влажность, которые влияют на то, как кристаллы «растут» на ней. Все ветви снежинки проходят через одни и те же условия и следовательно кристаллизуются одинаковым образом - каждая ветвь является точной копией другой. Ни одна другая снежинка не проходит через те же условия по мере своего спуска, поэтому они все выглядят немного по-разному.

2. Галактика Млечный Путь

Как мы уже видели, симметрия и математические узоры существуют повсюду, куда бы мы ни посмотрели - но ограничены ли эти законы природы только нашей планетой? По всей видимости - нет. Недавно обнаружив новую часть Млечного Пути, астрономы считают, что наша галактика является почти совершенным отражением самой себя. Основываясь на новой информации, учёные получили подтверждение своей теории о том, что в нашей галактике есть только два огромных рукава: Персей и Рукав Центавра.

В дополнение к зеркальной симметрии, Млечный Путь обладает ещё одним удивительным дизайном - похожим на раковины наутилуса и подсолнуха, где каждый рукав галактики представляет собой логарифмическую спираль, берущую начало в центре галактики и расширяющуюся к внешнему краю.

1. Симметрия Солнца и Луны

Учитывая, что диаметр солнца составляет 1,4 миллиона километров, а диаметр луны всего 3,474 километра, очень сложно представить себе, что Луна может закрывать собой солнечный свет и давать нам около пяти солнечных затмений каждые два года.

Так как же это всё-таки происходит? По совпадению, несмотря на то, что ширина солнца примерно в четыреста раз больше ширины луны, оно расположено от нас в четыреста раз дальше, чем луна. Симметрия этого соотношения приводит к тому, что нам кажется, что солнце и луна, одинаковые по размеру, если смотреть с Земли, поэтому луна может с лёгкостью блокировать солнце, когда они находятся на одной линии по отношению к Земле.

Расстояние от Земли до солнца, конечно, может вырасти во время её выхода на орбиту, и когда в это время случается затмение, мы можем полюбоваться ежегодным или неполным затмением, так как солнце не полностью закрыто. Но каждый год или два, всё становится абсолютно симметричным, и мы можем посмотреть на великолепное событие, которое мы называем полным солнечным затмением.

Астрономы не уверены, насколько часто такая симметрия встречается между другими планетами, солнцами и спутниками, однако они думают, что это довольно редкое явление. Даже если это так, то мы не должны предполагать, что мы особенные, потому что всё, как ни странно, является делом случая. Например, каждый год луна удаляется от Земли примерно на четыре сантиметра, это означает, что миллиарды лет назад, каждое солнечное затмение было бы полным.

Если дело пойдёт так и дальше, полные затмения в конце концов исчезнут, за ними исчезнут ежегодные затмения (если планета ещё продержится настолько долго). Поэтому, можно предположить на самом деле, что мы находимся в нужном месте, в нужное время. Но так ли это? Некоторые люди выдвигают теории о том, что симметрия солнца и луны это именно тот фактор, благодаря которому жизнь на Земле стала возможной.

Центральную роль в этой книге играют древние понятия размерности (т. е. количества пространственных измерений или степени многомерности) и симметрии. Кроме того, позже мы неоднократно столкнемся с различными симптомами расходимости.

ИДЕЯ РАЗМЕРНОСТИ

Во время кризиса 1875-1925 гг. математики осознали, что невозможно достичь истинного понимания неправильности и фрагментации (равно как правильности и связности), по-прежнему определяя размерность как число пространственных координат. Первый шаг в направлении строгого анализа был сделан Кантором в его письме к Дедекинду от 20 июня 1877 г., следующий - Пеано в 1890 г., а к середине 20-х гг. XX в. процесс благополучно завершился.

Как случается со всеми значительными интеллектуальными достижениями, результат этого процесса может иметь весьма различные интерпретации. Во всех попадавших мне на глаза математических исследованиях теории размерности подразумевается, что теория эта единственна и неповторима. Главным здесь, на мой взгляд, является то, что довольно расплывчатое понятие размерности, судя по всему, имеет много математических аспектов, которые не только принципиально различны, но еще и дают различные числовые значения этой самой размерности. То, что Уильям из Оккама говорил о сущностях, относится и к размерностям - не следует множить размерности без необходимости, однако от множественности размерностей нам никуда не деться. Евклид в свое время ограничился множествами, все существенные размерности которых совпадают - эти множества можно назвать размерностно-согласованными множествами. С другой стороны, различные размерности множеств, которым посвящена значительная часть этой книги, отказываются совпадать, т. е. эти множества размерностно-несогласованы.

Переходя от размерностей математических множеств к «эффективным» размерностям моделируемых этими множествами физических объектов, мы встречаемся с другой двусмысленностью, неизбежной и реально необходимой. И математические, и физические аспекты понятия размерности вкратце предваряются в данной главе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМИНА «ФРАКТАЛЬНЫЙ»

В нижеследующем тексте используются не определенные ранее математические термины, однако многие читатели, возможно, сочтут этот отрывок полезным для себя или хотя бы просто занимательным. Остальные же вольны его пропустить.

Это и последующие отступления от основной линии настоящего эссе я буду помечать особыми скобками - < и >. Последний символ намеренно сделан более заметным, чтобы любой затерявшийся в отступлениях и желающий двигаться дальше читатель мог с легкостью его найти. Открывающая скобка не столь привлекает внимание: мне не хотелось, чтобы отступления слишком сильно выделялись в тексте. В отступлениях часто можно встретить предварительное упоминание материала, обсуждаемого в последующих главах.

< Размерностную несогласованность основных фракталов можно использовать для трансформации интуитивного понятия фрактала в строго математическое. Я решил сосредоточиться на двух определениях, каждое из которых ставит в соответствие всякому множеству в евклидовом пространстве - каким бы «патологическим» оно ни выглядело - некое вещественное число, которое и с интуитивной, и с формальной точки зрения имеет полное право называться размерностью этого множества. Более неформальным из двух является определение топологической размерности по Брауэру, Лебегу, Менгеру и Урысону. Эта размерность описана в соответствующем разделе главы 41. Обозначим ее через Определение второй размерности было сформулировано Хаусдорфом в и приведено в окончательный вид Безиковичем. Ее описание можно найти в главе 39, а обозначать ее мы будем через .

< В евклидовом пространстве величины размерностей и заключены в промежутке от 0 до . Однако на этом их сходство заканчивается. Размерность всегда является целым числом, в то время как для размерности это вовсе не обязательно. Эти две размерности не обязательно должны совпадать, они должны лишь удовлетворять неравенству Спилрайна (см. , глава 4)

В случае евклидовых множеств . Однако почти для всех множеств в этой книге . Такие множества необходимо было как-то называть, поэтому я придумал термин фрактал, определив его следующим образом:

< Фракталом называется множество, размерность Хаусдор- фа-Безиковича для которого строго больше его топологической размерности.

< Любое множество с нецелым значением является фракталом. Например, исходное канторово множество представляет собой фрактал, поскольку, как мы увидим в главе 8, его размерность

Канторово множество в пространстве можно обобщить так, чтобы , a принимала бы любые желаемые значения в промежутке от 0 до (включительно).

< Фракталом является и исходная кривая Коха, поскольку, как будет показано в главе 6, ее размерность

< Фрактал может иметь и целочисленную размерность. Например, в главе 25 показано, что траектория броуновского движения представляет собой фрактал, так как ее размерность

< Тот поразительный факт, что размерность не должна непременно быть целым числом, заслуживает некоторого терминологического отступления. Если понимать термин «дробь»1 в широком смысле, т.е. как синоним термина «нецелое вещественное число», то некоторые из вышеперечисленных значений размерности являются дробными - размерность Хаусдорфа-Безиковича иногда даже называют дробной размерностью. Однако учитывая, что может принимать и целые значения (меньшие, чем , но строго большие, чем ), я предпочитаю называть величину фрактальной размерностью.

ФРАКТАЛЫ В ГАРМОНИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ

< Исследование фракталов частично затрагивает и геометрический аспект гармонического анализа, однако в настоящем труде этот факт не слишком подчеркивается. Большинству читателей гармонический анализ (иначе называемый спектральным или анализом Фурье) мало известен, а многие из тех, кто эффективно используют его на практике, мало знакомы с его фундаментальными структурами.

Кроме того, каждый из этих подходов - и фрактальный, и спектральный - имеет свои характерные особенности и свою прелесть, которые лучше постигать на своем собственном опыте. И наконец, на мой взгляд, по сравнению с гармоническим анализом фракталы просты и интуитивно понятны.

О «ПОНЯТИЯХ, КОТОРЫЕ... НОВЫ, НО ... »

В свое время Лебег немало потешался над некоторыми «понятиями, которые, безусловно, новы, но абсолютно бесполезны». К размерности эту характеристику никто не применял, однако ее использование было ограничено весьма узким кругом областей, причем все эти области относились к чистой математике. Я, пожалуй, был первым, кто успешно применил размерность к описанию Природы. Одной из важнейших целей моей работы является закрепление за размерностью центрального места в эмпирической науке и демонстрация таким образом того, что размерность эта обладает гораздо более широкой применимостью, чем кто-либо может себе представить.

В некоторых областях физики мое утверждение о важности размерности было принято с исключительной готовностью. Более того, многие ученые, работающие в этих областях, сознавая неадекватность обычной размерности, уже пытались вести поиски в этом направлении, получая в результате всевозможные дробные, аномальные, либо непрерывные размерности. К сожалению, эти поиски никак не были связаны друг с другом. К тому же в некоторых случаях различные размерности определялись одинаково, ни одна из них не могла похвастать наличием математического теоретического обоснования, и ни одна не была должным образом разработана, так как из-за отсутствия математического обоснования эти размерности невозможно было отличить друг от друга. Для тех разработок, которые будут описаны ниже, существование математической теории жизненно необходимо.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ - ЭТО НЕ ТОЛЬКО ТОПОЛОГИЯ

Если вы спросите у математика, какая четко определенная область математики имеет дело с формами, он почти наверняка упомянет топологию. Топология, безусловно, имеет к нашим целям самое непосредственное отношение - мы даже упоминали о ней в предыдущей главе, - однако в настоящем эссе выдвигается и защищается утверждение, что довольно расплывчатое понятие формы содержит не только топологические, но и другие математические аспекты.

Топология, которую раньше называли геометрией местоположений или analysis situs1 (греческое слово переводится как «место» или «положение»), полагает, что все горшки с двумя ручками имеют одинаковую форму, так как если бы они обладали неограниченной гибкостью и сжимаемостью, то можно было бы из одного горшка вылепить любой другой, причем непрерывным образом, не делая никаких новых отверстий и не закрывая старых. Топология также учит, что форма береговой линии любого острова идентична форме береговой линии любого другого острова, поскольку все такие линии топологически идентичны дружности. Топологическая размерность береговой линии равна топо- логической размерности окружности, и обе они равны 1. Если добавить острову несколько не соприкасающихся с ним «спутников», то совокупная береговая линия получившегося архипелага будет топологически идентична совокупности нескольких окружностей. Таким образом, топология не видит разницы между различными береговыми линиями.

В главе 5 показано, что различные береговые линии имеют, как правило, различные фрактальные размерности. Различия между фрактальными размерностями обусловлены различиями между нетопологическими аспектами формы, которые я предлагаю назвать фрактальными.

Большинство действительно важных и интересных задач сложным образом сочетают в себе фрактальный и топологический аспекты формы.

Заметим, что в топологии определения собственно поля и размерности развивались параллельно, а понятие фрактальной размерности появилось на полвека раньше настоящего исследования в области фрактальных форм.

Кстати, из-за того, что некий класс топологических пространств носит имя Феликса Хаусдорфа, широко используемый для обозначения размерности термин «хаусдорфова размерность» может быть воспринят как сокращение от «размерности хаусдорфова пространства», создавая тем самым впечатление, что является топологическим понятием - это абсолютно не так. Вот вам еще одна причина, почему я предпочитаю термин фрактальная размерность.

ЭФФЕКТИВНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ

Помимо математических идей, лежащих в основе размерностей и , я часто прибегаю к помощи эффективной размерности - понятия, которому не следует давать точного определения. Это мощное интуитивное понятие представляет собой возврат к древнегреческой пифагорейской геометрии. Новизна заключается в том, что в настоящем эссе значение эффективной размерности может быть дробным.

Эффективная размерность выражает соотношение между математическими множествами и естественными объектами. Строго говоря, все физические объекты - такие, например, как вуаль, нить или маленький шарик - должны быть представлены трехмерными телами. Однако физики предпочитают считать, что вуаль имеет размерность 2, а размерности нити и шарика равны соответственно 1 и 0 (при условии, разумеется, что и вуаль, и нить, и шарик достаточно малы). Например, для описания нити относящиеся к множествам с размерностями 1 или 3 теории должны быть соответствующим образом скорректированы с помощью поправочных членов. После этого строится более точная геометричеcкая модель, требующая меньших поправок. Если повезет, такая модель оказывается верной даже без учета поправок. Иными словами, эффективная размерность неизбежно опирается на субъективный фундамент; она обусловлена приближением и, как следствие, степенью разрешения.

ЭФФЕКТИВНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ, СКРЫТЫЕ В СКРУЧЕННОМ ИЗ НИТИ ШАРЕ

Для подтверждения последнего заявления скрутим из толстой нити диаметром 1 мм шар диаметром 10 см и рассмотрим скрытые в таком клубке эффективные размерности.

Удаленному наблюдателю наш клубок покажется фигурой с нулевой размерностью, т. е. точкой. (Да что там клубок! - еще Блез Паскаль и средневековые философы утверждали, что в космическом масштабе весь наш мир есть не более, чем точка!) С расстояния в 10 см шар из нитей выглядит как трехмерное тело, а с расстояния в 10 мм - как беспорядочное переплетение одномерных нитей. На расстоянии в 0,1 мм каждая нить превратится в толстую колонну, а вся структура целиком опять станет трехмерным телом. На расстоянии 0, 01 мм колонны превратятся в переплетение волокон - шар снова станет одномерным. При дальнейшем приближении процесс становится периодическим - размерность наблюдаемой фигуры переключается с одного значения на другое и наоборот. Наконец, когда клубок превратится в скопление, состоящее из какого-то конечного числа точек, имеющих размеры порядка атомных, его размерность снова становится равной нулю. Похожую последовательность смены размерностей можно наблюдать при разглядывании листа бумаги.

Тот факт, что численный результат может и должен зависеть от соотношений между объектом и наблюдателем, не только вполне в духе сегодняшней физики, но и являет собой достойный подражания пример.

Большинство объектов, рассматриваемых в этой книге, похожи на наш нитяной клубок: они демонстрируют целую последовательность различных эффективных размерностей. Однако существует одно важное отличие: некоторые недостаточно определенные переходы между зонами с отчетливо выраженной размерностью интерпретируются здесь как фрактальные зоны, внутри которых .

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОДНОРОДНОСТЬ, МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И САМОПОДОБИЕ

Оставим пока размерности в покое и приготовимся к разговору о симметрии, для чего вспомним о простейших формах, с которых начинается евклидова геометрия: о линиях, плоскостях и пространствах. И о простейших физических задачах, возникающих при однородном распределении какой-либо физической величины - плотности, температуры, давления или скорости.

Однородное распределение вдоль линии, на плоскости или в пространстве обладает двумя очень привлекательными свойствами. Оно инвариантно при смещении и при изменении масштаба. При переходе к фракталам обе инвариантности неизбежно подвергаются модификации и/или/ ограничению области их действия. Следовательно, наилучшими можно считать те фракталы, которые демонстрируют максимальную инвариантность.

В случае смещения различные участки траектории броуновского движения частицы не могут быть точно совмещены друг с другом, как, например, могут быть совмещены различные участки прямой линии. Тем нe менее, можно считать, что эти участки совместимы в статистическом смысле. Почти все фракталы, представленные в этой книге, в той или иной степени инвариантны при смещении.

Более того, большинство этих фракталов инвариантны при некоторых преобразованиях масштаба. Назовем их масштабно-инвариантными фракталами. Фрактал, инвариантный при обычном геометрическом преобразовании подобия, называется самоподобным.

В составном термине масштабно-инвариантные фракталы прилагательное служит для смягчения существительного. Основной термин фрактал подразумевает неупорядоченность и относится к структурам ярко выраженной иррегулярности, тогда как определение масштабно-инвариантный намекает на некоторый порядок. Если же под основным термином понимать масштабную инвариантность, предполагающую строгий порядок, то фрактал сыграет роль модификатора, призванного исключить всякий намек на прямые и плоскости.

Не следует превратно понимать стремление допустить однородность и масштабную инвариантность. Как и в случае обыкновенной геометрии природы, все мы прекрасно осведомлены о том, что ничто в окружающем нас мире не является ни строго однородным, ни масштабно-инвариантным. Обыкновенная геометрия рассматривает прямые как предварительные модели. Так же и в механике понятие однородного прямолинейного движения является лишь первым шагом.

Те же соображения применимы и к изучению масштабно-инвариантных фракталов, однако в этом случае первый шаг получается значительно более длинным, поскольку вместо прямых линий мы имеем огромное множество самых разнообразных возможностей, лишь самые яркие примеры которых вошли в эту книгу. Не следует удивляться тому, что масштабно-инвариантные фракталы используются здесь лишь как источники первых приближений к естественным структурам, подлежащим рассмотрению. Скорее, удивиться нужно тому, насколько поразительно верными оказываются эти первые приближения.

Нелишним будет напомнить, что идея самоподобия далеко не нова.. В случае с прямыми эта идея пришла в голову еще Лейбницу примерно в 1700 г. (см. раздел МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ПО ЛЕЙБНИЦУ И ЛАПЛАСУ в главе 41). Ее математическому обобщению, не ограничивающемуся прямыми и плоскостями, скоро исполнится сто лет, хотя реальной его важности до настоящего эссе никто не признавал. Физики тоже давно знакомы с самоподобием - с тех пор, как в 1926 г. Льюис Ф. Ричардсон предположил, что турбулентность в широком диапазоне масштабов может быть разбита на самоподобные завихрения. Поразительные аналитические следствия этой идеи в приложении к механике были сформулированы Колмогоровым в работе . Что касается масштабной инвариантности, то ее аналитические аспекты связываются в физике с понятием ренорм-групп (см. главу 36).

И все же впервые геометрические аспекты нестандартной масштабной инвариантности в Природе были должным образом освещены лишь в первом издании настоящего эссе в 1975 г.

«СИММЕТРИИ» ЗА ПРЕДЕЛАМИ МАСШТАБНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ

Покончив с прямыми, евклидова геометрия берется за фигуры, обладающие более богатыми в смысле инвариантности свойствами, обычно называемыми «симметриями». Мы с вами также не преминем отправиться на довольно продолжительную экскурсию в царство неинвариантных фракталов (в главах 15-20).

Самоотображающиеся, но масштабно-неинвариантные фракталы тесно связаны с некоторыми из наиболее тонких и сложных мест «строго классического» математического анализа. Опровергая распространенное мнение о сухости анализа, эти фракталы удивительно прекрасны.

СИНДРОМ РАСХОДИМОСТИ

Почти все подлежащие далее рассмотрению прецеденты демонстрируют проявления синдрома расходимости. Иными словами, некоторая величина - по всем предположениям, положительная и конечная - оказывается вдруг бесконечной либо вовсе обращается в нуль. На первый взгляд, такое недостойное поведение кажется в высшей степени странным и даже пугающим, однако тщательное исследование показывает, что оно вполне объяснимо, если... если, конечно, вы готовы начать мыслить по-новому.

Прецеденты, в которых симметрия сопровождается расходимостью, также давно известны специалистам по квантовой физике, в которой вообще большим почетом пользуются всевозможные аргументы, устраняющие расходимость. К счастью для нас, с фрактальными расходимостями справиться гораздо проще.

На основе анализа данных литературы и собственных исследований представлены научные факты о закономерности проявления спиральной биосимметрии как в природе, так и в организации и формообразовании структурных элементов зубочелюстной системы человека. Такая особенность строения, в частности зубов и периодонта, позволяет им оптимально выполнять свои физиологические функции с учетом их биомеханических свойств.

«Бог вначале дал материи форму твердых,
массивных, непроницаемых, подвижных частиц
таких размеров и фигур и с такими свойствами
и пропорциями в отношении к пространству,
которые более всего подходили бы к той цели,
для которой он создал их».
Исаак Ньютон

«…когда наши главные ванты были сорваны
свирепым шквалом в Гольфстриме, эта мачта
гнулась и гнулась, пока не стала похожа
на букву S, но она стояла».
Вестон Мартин. «Моряк из южных морей»

Введение

Симметрия форм в живой природе на протяжении веков вызывала пристальный интерес ученых как одно из наиболее замечательных и загадочных явлений. Сам термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность», которую древние философы понимали как частный случай гармонии - согласования частей в рамках целого. Немецкий математик Г. Вейль предложил определение симметрии, согласно которому симметричным называется такой предмет, который можно каким-то определенным образом изменять, получая в результате то же, с чего изменения начинаются. 1,2

В природе существуют различные примеры зеркальных, вращательных и спиральных симметрий, а также симметрий подобия в биологических телах, многих биологических молекулах, цветках и побегах растений, в строении простейших и высокоорганизованных организмов (фото 1 а, б, в). 3 Что же такое спиральная симметрия, может выразить только язык математики. Итак, спирали (от греч. «speira») - это кривые, закручивающиеся вокруг точки на плоскости или вокруг оси. 4 Спираль - одна из наиболее распространенных фрактальных форм существования жизни в Природе и взаимодействия звездных систем во Вселенной.

Фракталы (от лат. fractus - изломанный) - это объекты, которые обладают двумя важнейшими признаками: изломанностью и свойством самоподобия (или масштабной инвариантности). Фракталы с наибольшей очевидностью можно наблюдать в формообразованиях живой природы: ракушке, ветвях деревьев, листьях и лепестках цветов, ландшафтах (морские побережья и русла рек), легких человека, очертаниях облаков. Фрактальная геометрия - это изящный и информационно-компактный способ описания сложного. Фракталы открывают простоту сложного. Н. А. Заренков (2009) дает следующее определение фракталам. Фракталами называются линии, фигуры (квадрат, треугольник и др.) и тела, обладающие следующими свойствами: 1) симметрией самоподобия - «часть подобна целому», 2) дробной размерностью, 3) другим, чем у обычных фигур, отношением периметра к площади или другой, чем у обычных тел, величиной относительной поверхности. Фракталы очень разнообразны и выполняют функции модулей. 5

Чувство значимости спирали в жизни человека, по-видимому, люди издавна понимали. Они изображали ее в своих украшениях, орнаментах. Известна, например, спиралевидная мечеть в Самарре (Ирак, IX в.) (фото 2). Архитектор итальянского барокко Франческо Борромини (1599-1676 гг.) впервые сделал спиралевидный купол церкви Сант Иво делла Сапиенца в Риме (1642-1667 гг.). Вспомним, что и библейская Вавилонская башня также строилась на основе пространственной спирали, посредством ее люди намеревались добраться до Бога на небесах. 6 В трудах древних эллинов Анаксимандра, Демокрита и их последователей было изложено первое атомистическое представление о веществе и дано описание вакуума как строительного материала для атомов и среды, заполняющей собой мировое пространство. По Демокриту, крупные атомы движутся быстрее мелких, наталкиваются на них и порождают боковые движения - вихри, с помощью которых атомы объединяются в тела. Вихри лежат в основе образования объектов Вселенной и процессов возникновения элементарных частиц, то есть самоорганизации. Демокрит утверждал, что «…вихреобразное вращение есть причина происхождения вещей». Однако представление эллинов о том, что атом любого вещества есть неделимый сгусток вакуума, в последующем, в так называемый классический период развития науки, было отвергнуто.

С начала 30-х гг. ХХ века с развитием квантовой теории возникли представления о квантовой структуре вакуума. Эксперименты показали, что вакуум влияет на структуру электронных орбит в атомах, на закономерности взаимодействия элементарных частиц. Более того, сами частицы оказались как бы построенными из элементов вакуума. Произошел возврат к первичным представлениям эллинов, но на более высоком уровне знаний. С возникновением (начало 60-х гг. XX в.) нелинейной квантовой теории подтвердилось, что вакуум является фундаментальным объектом микромира. Экспериментально доказана реальность вакуума как физической субстанции, возможно, со многими энергетическими уровнями. Все это означает еще один шаг вперед к построению единой теории материи. Но интересно, что проблемы первоматерии обсуждались задолго до древнегреческой науки в восточной философии, например, древнекитайским философом Лао Цзы (VI в. до н. э.). 7 Декарт (1596-1650 гг.) (фото 3) был первым, кто исследовал свойства им же открытой в 1638 году логарифмической спирали (полярное уравнение спирали). Независимо от него Торичелли (1608-1647 гг.) нашел методы вычисления ее площади, а также спрямления дуги спирали (1640 г.).

Торичелли называл эту спираль «геометрической спиралью». В конце ХVI века многие свойства «изумительной спирали» (spira mirabilis) были открыты Якобом Бернулли (фото 4). Название «логарифмическая спираль» (угол между полярными радиусами пропорционален логарифму их
отношения) дано Вариньоном в 1704 году. Логарифмическая спираль была и остается предметом многочисленных исследований и в наше время, ведь как отмечалось уже выше, спираль является своего рода морфологическим стандартом структур различных систем природы (фото 5). Одним из наиболее распространенных и характерных типов симметрии в природе являются спиральные биосимметрии, так как это наиболее оптимальная по экономичности форма, способная сохранять энергию и хранить информацию в результате своей гибкости и компактности. 3 Например, наличие спиральных элементов жесткости в трахеях некоторых растений придает трубке устойчивость к перепадам давления. Анализ таких систем на основе механических критериев выявил хорошую оптимизацию, обеспечивающую минимальный расход материала при максимальной жесткости. 8

Еще Иоганн Вольфганг Гете (1749-1832 гг.) - немецкий писатель, мыслитель и естествоиспытатель - считал, что существует общее стремление биологических тел к спиральности. 3 Многим Гете известен в первую очередь как немецкий писатель и поэт, создатель «Фауста», однако Гете был также первым немцем-писателем, значение и влияние которого охватили весь мир, стали общим достоянием человечества. Гете является вместе с тем в мировой литературе редким случаем

одновременно великого поэта и крупного натуралиста. Исключительно редко мировые художественные деятели нераздельно со своим художественным творчеством охвачены и творчеством научным, изучением природы. По словам Вернадского, только три имени выступают в этом аспекте: Платон (427-347 гг. до н. э.), Леонардо да Винчи (1452-1519 гг.) и Гете (фото 6).

Так, сосуды, нервы, волокна, эмалевые призмы, оплетающие сферические и цилиндрические поверхности, в поисках самого короткого пути неизбежно превращаются в спираль (фото 7 а). Форму двойной спирали имеет молекула жизни ДНК, носитель генетической информации, служащий главной матрицей для синтеза белка (фото 7 б). 9,10 Принцип спиральности можно наблюдать на микро- и макроуровнях живой и неживой природы, так как он является наиболее эффективным и экономичным. Развитие зародыша человека, а также других позвоночных происходит со спиралеобразной закруткой вокруг главной оси, обусловливая тем самым морфологическую асимметрию тела человека и животных (фото 8 а, б). 11

В 1869 году русский ученый Д. И. Менделеев впервые в мире опубликовал свою периодическую систему элементов, а в 1870 году немецкий ученый Баумгауэр представил первую геометрическую форму таблицы. Это была спираль, по поводу которой Менделеев писал: «В сущности же все распределения элементов представляют непрерывность и отвечают до некоторой степени спиральной функции». Несмотря на то, что он упоминал о спиральном расположении элементов, сам он считал его малоприменимым и довольно искусственным. Однако в его архиве были обнаружены заметки, сделанные в 1871 году. То были попытки графически построить спиральную форму периодической таблицы. В связи с тем, что эта работа не была доведена до конца, он и не опубликовал графические построения. В 1906 году шведский ученый Ю. Ридберг опубликовал статью «Электрон, первый элемент», а в 1913 он представил периодическую систему элементов в виде концентрических окружностей. Переход от одной окружности к другой осуществлялся скачком при углах поворота, близких к 360 градусам. Таким образом, периодическая система образовала своего рода спираль (фото 9). 12

С учетом вышеперечисленных фактов можно предположить, что такая же закономерность должна во многом проявляться и в развитии различных органов и систем организма, и в частности, в строении зубочелюстной системы человека. Как указывает русский ученый, хирург-офтальмолог, профессор Э. Р. Мулдашев в книге «От кого мы произошли?» (2007), В.Г. Гафаров провел научный анализ вертикального сочленения костей лицевого черепа в процессе эмбриогенеза. Отмечается, что эмбриональное развитие ребенка повторяет основные вехи развития человека на Земле. В результате задержки развития лицевого черепа на раннем этапе эмбриогенеза образуются анатомические дефекты, такие как «заячья губа» (расщелина верхней губы) или «волчья пасть» (расщелина твердого неба). На основании результатов научных экспедиций в 90-х годах ХХ века, целью которых являлось изучение проблемы происхождения человечества, Э.Р. Мулдашев пришел к выводу, что древние люди имели кости лицевого черепа, не полностью сросшиеся по центру. Автор предположил, что так как расщелина между костями лицевого черепа является одним из наиболее ранних признаков и что кости в процессе эволюции впервые появились у лемурийцев, как об этом сообщает Великая Посвященная Е. П. Блаватская в «Тайной доктрине» (1937), то вероятно, что именно лемурийцы имели расщелину верхней губы и твердого неба. И далее, цитируем: «Подтверждением этого является то, что на тибетских храмах вместе с необычными глазами изображен спиралевидный нос, разрез которого опускается вниз (почти в область верхней губы) к ротовому отверстию». По мнению Э. Р. Мулдашева, эта особенность строения связана была с полуподводным образом жизни лемурийцев. Как считает В. Г. Гафаров, гайморовы пазухи у современных людей являются рудиментами жаберных образований лемурийцев, которые располагались по бокам от вертикальной расщелины. Из этого следует, что гортань не могла выполнять роль звуковоспроизводящего аппарата. Из древних религиозных источников известно, что наиболее древние люди (видимо, лемурийцы - прим. Э.Р. Мулдашева) говорили носом, причем звуковоспроизведение происходило не только в диапазоне обычного голоса, но и в диапазоне ультразвуковых и инфракрасных волн (фото 10 а, б, в). 13

В 2000 году Э. Р. Мулдашев впервые в мире успешно провел операцию трансплантации глаза, в основе которой лежали результаты сложнейших научных расчетов, включающих не только медицинские знания, но и данные физики и молекулярной биологии, а также знания, полученные в гималайских и тибетских экспедициях. Как утверждает ученый, тибетские ламы и индийские свами называют эти знания переданными через века знаниями предыдущих земных цивилизаций! Известно, что логарифмическая спираль с углом 22-25° - типичный контур, который реализован во многих природных объектах: в строении галактик, раковин моллюсков, молекул белка, ДНК и других, в том числе и в структуре сердца. Примечательным фактом, который игнорируют традиционные анатомия и физиология, является то, что давление, создаваемое миокардом, объясняется особенностями расположения его волокон, которые при сокращении закручиваются в спираль, и энергия сердечного выброса находится в прямой зависимости от геометрии полости левого желудочка и винтообразности строения и функционирования его мышцы. 14 Кроме того, оказалось, что размеры и архитектоника терминальных микрососудов у различных видов млекопитающих практически одинаковы. Поэтому, как делает вывод В.Д. Цветков (2001), можно сказать, что скорость отдачи кислорода отдельным эритроцитом в «одноименных» прекапиллярах сердца одинакова во всех сосудах млекопитающих, независимо от их вида и веса. 15

Наружный слуховой проход у человека представляет собой канал S-образной формы. Сначала он искривляется кпереди и кверху, затем - кзади и кверху, а в конце - кпереди и книзу. Экспериментальное исследование показало, что изменение геометрических параметров слухового прохода влияет на локализацию звука (становится трудно отличить звуки, возникающие перед головой, от звуков, возникших за ней). Одно из самых поразительных свойств уха - его способность игнорировать все звуки, кроме первого, который привлек внимание. Оно обладает особым механизмом торможения. Этим можно объяснить тот факт, что человек может определить местонахождение источника звука, даже не видя его, в комнате с голыми стенами, где отраженные звуки приходят со всех сторон. 9 Изучая аналогичные примеры в строении зубочелюстной системы, мы обратили внимание на тот факт, что треугольник Бонвиля и окклюзионная плоскость имеют общую точку пересечения, а угол, образованный между этими плоскостями, равен 20$25° (в среднем 22,5°). 16 По данным других авторов, этот угол составляет в среднем 22°, а его значение впервые установил в 1866 году британский зубной врач из Плимута Ф.Г. Балквиль (угол Балквиля). 17

Известно, что эмаль - это единственная ткань эктодермального происхождения, подвергающаяся обызвествлению, и в ней отсутствуют клетки, сосуды и нервы. Большая часть кристаллов гидроксиапатита в эмали зубов определенным образом ориентирована и упорядочена в виде более сложных образований - эмалевых призм. В основе строения кристалла гидроксиапатита находится так называемая элементарная ячейка гидроксиапатита (структура I порядка) с молекулярной массой около 1000. В составе кристалла гидроксиапатита (структура II порядка) находится около 2500 таких ячеек, следовательно, молекулярная масса «типичного» кристалла составляет около 2 500 000. Эмалевая призма, в свою очередь, составлена из тысяч и миллионов кристаллов и является структурой III порядка, из которой формируется эмаль зуба. Эмалевые призмы начинаются у эмалево-дентинной границы и идут к поверхности эмали, многократно изгибаясь в виде спирали. Они собраны в пучки IV порядка. 18

Результаты исследования А. В. Галюковой, О. И. Харченко (1983) показали наличие большего количества межпризматического вещества в эмали и большую извитость дентинных канальцев в зубах собак, чем у человека. По их мнению, это и объясняет меньшую хрупкость и более высокую эластичность твердых тканей зубов собак по сравнению с зубами человека. 19 Другим примером, в котором прослеживается влияние спиральной симметрии, является образование линий Ретциуса. На продольном срезе зуба, как принято считать, линии Ретциуса располагаются под углом 15-30° (в среднем 22,5°), а на поперечных шлифах линии расположены в виде концентрических кругов, сравниваемых некоторыми авторами с годичными кольцами роста на поперечном срезе ствола дерева. По направлению к жевательной поверхности зуба линии Ретциуса меняют свое направление, становясь более длинными, и некоторые из них, начинаясь у эмалево-дентиной границы на боковой поверхности зуба, дугообразно огибают область жевательного бугорка и заканчиваются у эмалево-дентиной границы, но уже на жевательной поверхности зуба. 21

Как эмалевые призмы, так и коллагеновые волокна дентина в коронке зуба расположены параллельно продольной оси зуба S-образно и спиралевидно изогнуты и обеспечивают функциональную устойчивость под действием вертикальной нагрузки. В желобах эмалевых призм на всем протяжении расположены рядом идущие призмы, которые по ходу извиваются, обеспечивая спиралевидные ходы в горизонтальном направлении, а на боковых поверхностях коронки они постепенно перемещаются в плоскость, перпендикулярную к длинной оси зуба, или даже несколько уклоняются от нее в сторону верхушки корня. При соединении эмалевых призм промежуточным веществом образуется чрезвычайно прочная конструкция. 20,21 Коллаген - основной элемент всех соединительных тканей - имеет различные структурные формы. Особенность коллагена - это формирование спирали на всех уровнях организации, от спиральной полипептидной цепи до спиральных волокон в коллагеновом пучке. Такая структура ограничивает скольжение элементов относительно друг друга при растяжении и необходима для опорной функции соединительной ткани, испытывающей большие механические нагрузки. Молекула тропоколлагена - элементарная структурная единица коллагенового волокна, которая состоит из трех полипептидных цепей, представляющих скрученные спирали, «навинченные» как бы на один общий цилиндр. Молекулы тропоколлагена формируют коллагеновые фибриллы, из которых образуются пучки волокон спиралевидной формы. 23

Известно, что пульпа зуба обладает собственными рецепторами, где одна их часть связана с иннервацией слоя одонтобластов и дентина, а другая имеет отношение к иннервации соединительной ткани и кровеносных сосудов самой пульпы. Кроме того, в пульпе существуют специальные сосудистые рецепторы, образованные нервными волокнами, концевые разветвления которых спирально оплетают стенки кровеносных сосудов пульпы. 24 На основании собственных исследований В. Г. Васильев (1974, 1982) выявил некоторые особенности в строении волокнистых структур периодонта, ранее не описанные в научной литературе. Им были обнаружены дополнительные группы волокон, одна из которых на разных сторонах и уровнях создает спиралеобразный ход пучков, делающих два завитка вокруг корня зуба. Угол спирали от шейки зуба до верхушки корня последовательно увеличивается от 10° до 35°. Автором также установлено, что кровеносные сосуды в молочном и постоянном прикусе в периодонте располагаются в двух плоскостях - параллельно длинной оси зуба и в виде восходящей спирали вокруг корня (фото 11). 25

Как отмечает профессор А. И. Бетельман (1965), назначение периодонта весьма сложное. Он служит для фиксации зуба и амортизации жевательного давления во время еды, выполняя статико-динамическую функцию, то есть фиксирующую и амортизирующую. Ему также приписывают иммунобиологическую, пластическую, питательную и другие функции. Далее полностью цитируем отрывок в редакции автора: «Предположение, что в процессе амортизации играют роль механические свойства его волокон, на которых зубы как бы подвешены, растягиваются во время давления и зубы спускаются вглубь луночки как бы на рессорах, неверно, ибо в периодонте отсутствуют эластические волокна. Для растяжения же коллагеновых периодонтальных волокон хотя бы на 1/1000 мм, как доказал Ру, необходима сила давления 100 кг. Между тем в полости рта редко развивается такая большая сила. Надо поэтому допустить, что периодонт как механическая система трансформирует жевательное давление не путем растяжения, а благодаря особенному строению его волокон. Эти волокна у места врастания в альвеолу и цемент зуба имеют в покойном состоянии извитую форму. При давлении на зуб и перемещении его в сторону и по направлению к верхушке корня извитые волокна расправляются и обусловливают до некоторой степени плавность погружения корня зуба в альвеолу». 26

Е. И. Гаврилов, А. С. Щербаков (1984) также отмечают, что на поперечных срезах волокна периодонта имеют радиальный или тангенциальный ход, то есть располагаются под определенным углом к продольной оси зуба, причем в последнем случае волокна могут быть направлены как по ходу часовой стрелки, так и против ее хода. Косые волокна подвешивают зуб в альвеоле и воспринимают жевательное давление по вертикальной оси зуба или под углом к ней, а радиально и тангенциально направленные волокна удерживают зуб при его вращении вокруг продольной оси. 16 Как указывает Л. И. Шугар и соавторы (1980), артериальные сплетения периодонта характеризуются образованием клубочков, извилистым петлеобразным ходом малых артерий. При окклюзионной нагрузке петлеобразный ход сосудов предотвращает быстрое их опорожнение, что уменьшает жевательное давление на кость. 27

А. Н. Еловикова (2002) в своей работе ссылается на результаты исследований М. Ю. Няшина (1999), который установил, что под влиянием горизонтальной силы, приложенной к коронке, зуб перемещается наклонно-вращательно. 28 Как отмечает профессор А.И. Бетельман (1956), нижняя челюсть в области угла имеет S-образный вид. Ее нижний край направлен кнаружи, а верхний - кнутри. Благодаря такому искривлению в этой области жевательные зубы нижней челюсти своими щечными буграми попадают в продольные бороздки зубов верхней челюсти. 29 В своей книге «Основы физиологии зуба» В. Р. Окушко (2005) раскрывает некоторые секреты биомеханики зубочелюстной системы, и в частности, касается физиологической подвижности зубов при их функционировании. Так, межзубные контактные пункты, возникающие изначально при прорезывании зубов, превращаются в контактные поверхности (плоскости стирания), которые в наиболее выраженных случаях приобретают своеобразную сложную конфигурацию. Эти плоскости, пишет автор, если их рассматривать с жевательной поверхности, представляются (в перпендикулярном сечении) в виде S-образной линии, что соответствует сложному характеру движения зуба во время его функциональной нагрузки. 30

Об этой особенной конфигурации контактных поверхностей упоминает и С. В. Радлинский в статье «Реставрация контактных поверхностей в нижних передних зубах» (2008): «по фронтальному профилю контактные поверхности нижних передних зубов, как и верхних, имеют S-образную форму, состоящую из выпуклой коронковой и вогнутой пришеечной частей». 31 Из представленных научных фактов следует, что на различных уровнях морфо-гистологического строения тканей зубочелюстной системы проявляется общая тенденция организации тканей на основе спиральности.

В доступной нам научной литературе мы не обнаружили работ по исследованию спиральной симметрии применительно к гистологическому строению и эволюции зубочелюстной системы, в том числе и в структуре эмали. Общим направлением в изучении развития полости рта и ее органов в филоонтогенезе у живых организмов, начиная с беспозвоночных животных (высшие черви) и до млекопитающих, и в частности человека, являются особенности их анатомического строения и ряд теоретических обоснований эволюции коронки зубов. Исследователи Кюкенталь (1891) и Резе (1892) предложили так называемую «конкресцентную теорию», или «теорию слияния зубных зачатков», в которой рассматриваются закономерности формообразования зубов в процессе совершенствования зубочелюстной системы живых существ. Данную теорию продолжил развивать B. C. Матвеев (1962), который выявил и охарактеризовал структурно-функциональную единицу зуба - одонтомер и обосновал формирование многобугорковых (многокорневых) зубов. 32 При изучении 100 шлифов зубов человека В. Г. Николаев и соавторы (2004) обнаружили в области центральной фиссуры премоляров присутствие общих линий Ретциуса, непрерывно проходящих с одного бугра на другой, что, по мнению авторов, предполагает возможность формирования многокорневых зубов в результате их слияния. 33 Изучение Г. Г. Манашевым, А. В. Селифоновой (2004) многокорневых зубов и установление взаимосвязи в особенностях их строения позволило им сделать предположение, что филогенетическое формирование зубочелюстной системы млекопитающих происходило путем слияния зачатков простых конических зубов с объединением некоторых морфологических образований. 34 Известными также являются тритуберкулярная теория, димерная теория и др.

Таким образом, ввиду вышеизложенных фактов продолжает сохранять свою актуальность проблема закономерностей в организации структурных элементов и формообразовании зубочелюстной системы человека в процессе эволюции.

Цель исследования

Изучить анатомо-морфологические особенности строения структурных элементов постоянных моляров человека с учетом закономерностей их организации с позиции спиральной биосимметрии.

Материалы и методы

В основу исследования были положены анализ научных публикаций за последние десятилетия по вопросам анатомо-гистологического строения отдельных элементов зубочелюстной системы, о процессах ее формообразования в фило- и онтогенезе, а также результаты комплексного клинико-инструментального и параклинического обследования (биометрия диагностических моделей из супергипса, цифровые фотографии зубов) 58 пациентов в возрасте 17-38 лет.

Результаты и обсуждения

При изучении диагностических моделей и цифровых фотографий анатомической формы боковых зубов и особенностей окклюзионного рельефа мы предположили, что филогенетическое формирование зубочелюстной системы в виде слияния зачатков простых конических зубов с образованием сложных по своему строению и форме зубов происходило не случайно, а по определенным законам формообразования, которым подчиняются все живые биосистемы в природе на Земле. Как и во многих примерах формах образования в живой природе, прослеживается характерное проявление спиральности и в структурообразовании зубов человека, в частности, в форме окклюзионной поверхности премоляров и моляров. Известный русский ученый-естествоиспытатель конца ХIX - начала XX века К. А. Тимирязев (1843-1920) писал в своих трудах, что «…с полным устранением гипотезы, то есть направляющей мысли, наука превратилась бы в нагромождение голых фактов», поэтому мы выдвинули предположение, что, возможно, филогенетическое формирование зубочелюстной системы млекопитающих происходило путем спиралевидного слияния зачатков простых конических зубов. А это значит, что морфологические различия в анатомическом строении зубов обеих челюстей, в частности в архитектонике окклюзионной поверхности боковых зубов человека, возникли в процессе функциональной приспособляемости зубочелюстной системы к изменяющемуся характеру пищи в течение эволюционного развития. К этому выводу мы пришли после пристального изучения диагностических моделей и цифровых фотографий зубов. По нашей теории, дополнительный дистальный бугорок (фото 5) на окклюзионной поверхности первого верхнего моляра является прямым аналогом дистального бугорка (фото 12) на 5-бугорковом первом нижнем моляре, с одной лишь единственной разницей, что дополнительный дистальный бугорок менее выражен, а иногда язычный дистальный бугорок может быть достаточно крупным и «затмевать» своим размером данный бугорок. Соединение медиального вестибулярного и язычного дистального бугорков на 5-бугорковом нижнем моляре напоминает фигуру «песочных часов» или, как описывают в литературе, аналогичное слияние треугольных гребешков вестибулярного дистального и язычного медиального бугорков («косой гребешок») на первом верхнем моляре (фото 12). 35

Нами отмечено также, что наиболее стабильным по своей форме бугром на молярах верхней челюсти является медиальный небный бугор. Исходя из этого, если взять за точку отсчета середину окклюзионной поверхности моляра и от этой точки провести линию через верхушки всех бугров зуба (слева - по движению часовой стрелки, справа - против часовой стрелки), начиная с наиболее стабильного медиального небного бугорка, то образуется своеобразная спиральная закрутка бугров, которая заканчивается на так называемом аномальном бугорке Карабелли, расположенном на оральной поверхности медиального небного бугра. Впервые этот бугорок был описан венгерским дантистом и профессором хирургии в Вене Георгом Карабелли в 1842 году. Он также являлся придворным дантистом австрийского императора Франца и был основателем стоматологической клиники при Венском университете (фото 13).

Выраженность бугорка Карабелли бывает различной. Так, И. К. Луцкая (2004) приводит данные, что частота встречаемости бугорка Карабелли (более 40%) отмечается у европеоидных популяций; у монголоидов - от 0 до 15,25%, и описывает 5 степеней выраженности бугорка Карабелли, которые различаются в баллах следующим образом: 0 - отсутствует; 1 - едва заметное возвышение, которое подчеркивают 1-2 бороздки; 2 - небольшое возвышение с наметившейся при помощи бороздки вершиной; 3 -бугорок приобретает очерченную вершину, борозда глубже и длиннее; 4 - выраженный бугорок с выступающей вершиной, по уровню ниже основных бугорков; 5 - крупный самостоятельный бугорок, несколько меньше по размерам остальных бугров (фото 14). 37 Другие авторы описывают данное анатомическое образование как стилоидный бугорок, известный в одонтологии как бугорок Карабелли, который по величине и форме может варьировать от едва заметного эмалевого валика до значительно выраженного бугорка. В таких случаях бугорок имеет самостоятельную верхушку и по величине сравним с другими одонтомерами. Встречаются варианты, при которых у бугорка Карабелли имеется корень и собственная полость.36 Мы определили три основные степени выраженности или развития данного структурного образования на поверхности коронки зуба: I - бугорок не определяется; II - бугорок слабо выражен; III - бугорок сильно выражен (фото 14).

На первых молярах верхней челюсти наиболее часто можно наблюдать I-II, реже III степень выраженности бугорка Карабелли. На вторых молярах часто бугорок Карабелли не определяется (I степень) или в некоторых случаях можно наблюдать II степень выраженности бугорка. Так, окклюзионная поверхность третьих моляров характеризуется различным количеством бугорков, что соответственно отражается и на анатомической форме коронки. По нашим наблюдениям, количество бугорков на окклюзионной поверхности варьировало от 2 до 11. Аномальный бугорок Карабелли часто не определялся как самостоятельное образование, сливаясь с бугорками, формирующими спиральную дугу на дистальной поверхности коронки зуба. Таким образом, следует полагать, что бугорок Карабелли не является аномальным, как это традиционно описывается в научной литературе, это часть вестибулярно-дистальноязычной дуги, образованной медиальным небным, медиальным и дистальным вестибулярными буграми, дистальным промежуточным бугорком и дистальным язычным бугром. Различная степень его выраженности, по нашему мнению, является признаком редукции данного структурного образования, наряду, например, с наиболее вариабельной дистальной частью пятибугоркового первого постоянного моляра нижней челюсти (гипоконид - вестибулярный дистальный бугорок, гипоконулид - дистальный бугорок и энтоконид - язычный дистальный бугорок), в которой при отсутствии дистального бугорка в результате редукции коронка моляра приобретает четырехбугорковую форму (фото 15).

В своих исследованиях С.В. Петухов (1981) доказывает несостоятельность гипотез об устроенности органов единственно по критерию функциональной приспособленности на примере вопроса о спиральной форме улитки человеческого уха. По мнению автора, оправдано полагать, что образование функционально пригодного органа связано с построением его через использование ограниченного набора основных морфогенетических возможностей. 3 В результате процесса эволюции и естественного отбора природа всегда «ищет кратчайшие пути и выбирает экономные решения». «Закон экономии» проявляется в строении биологических форм макро- и микромира, проявляя удивительное родство и повторение в одних и тех же простых формах, которые в тех или иных комбинациях повторяются в огромном многообразии сложных форм. 38 Необходимо также отметить, что на основании вышеизложенных представлений относительно механизма функционирования периодонтальных волокон, которые сформировались на протяжении полувека и не претерпели каких-либо значительных изменений, мы предположили следующее. Известно, что в результате эволюции человечества в течение многих тысячелетий происходила редукция зубочелюстной системы и, следовательно, эти процессы затрагивали не только челюсти и зубы, но и ткани пародонта. Тогда как объяснить, что для растяжения коллагеновых периодонтальных волокон хотя бы на 1/1000 мм необходима сила давления 100 кг, но в полости рта редко развивается такая большая сила? Или коллагеновые волокна периодонта не претерпели никаких морфофункциональных изменений? Вероятнее всего, что механизм их функционирования намного сложнее, чем это представляется многими авторами, и за многие годы эта точка зрения утвердилась как незыблемая истина и не подвергалась сомнению. Мы не опровергаем и не исключаем установленных фактов, а лишь пытаемся их дополнить. По нашим предположениям, периодон тальные коллагеновые волокна перераспределяют функциональную нагрузку не только во время жевательного давления, но и в момент ее отсутствия при размыкании зубов путем их вибрации с определенной частотой для каждой группы волокон и, возможно, групп зубов (1 - центральные резцы верхней челюсти; 2 - боковые резцы верхней челюсти; 3 - центральные и боковые резцы нижней челюсти; 4 - клыки; 5 - премоляры; 6 - первые моляры на обеих челюстях как самые массивные; 7 - вторые (и третьи) моляры).

Такое явление находит подтверждение в механизме образования голосовых звуков при вибрации голосовых связок, которую вызывает проходящая между ними струя воздуха. Звук различается по высоте, тембру и силе. Высота звука связана с частотой колебаний голосовых связок, а частота, в свою очередь, - с их длиной и напряжением.

Великий философ и геометр Древней Греции Пифагор открыл замечательную связь между числами и законами музыкальной гармонии. Он обнаружил, что высота тона колеблющейся струны, концы которой закреплены, простым образом зависит от ее длины. Из этого следует, что колеблющиеся струны производят при одинаковом натяжении гармоническое звучание в том случае, когда их длины находятся в простом рациональном соотношении. На основании подобного рода закономерностей Пифагор и его последователи детально разработали теорию музыкальной гаммы и гармонии. Успехи этой теории укрепили их веру в то, что в основе наблюдаемых небесных явлений лежат математические закономерности. 39 А. В. Ветчинкин в статье «Воссоздание цвета в эстетических реставрациях зубов», в частности, отмечает, что «цветовой объем коронки зуба работает по закону тепло-холодного сочетания основных и дополнительных цветов, и происходит это примерно так же, как это происходит в строении звукового аккорда. Еще в XVII веке знаменитый физик И. Ньютон выдвинул версию о соответствии структуры построения музыкальных звуков и цвета. Семь звуков и семь основных цветов цветового спектра существуют в четком соответствии». 40

Резюмируя результаты проведенного исследования, отметим, что наше предположение о принципах структурного и формообразовательного процессов в зубочелюстной системе с позиции спиральной симметрии требует проведения дальнейшего изучения и получения новых достоверных фактов. Однако «теории подобны воздушным шарам, плавающим на поверхности моря, тогда как факты можно уподобить линкорам. Случается, что воздушный шар сталкивается с линкором и линкор тонет» (Артур Стэнли Эддингтон).

Выводы

1. На основе анализа литературных данных и результатов собственных исследований определены закономерности проявления спиральной биосимметрии в структурной организации и формообразовании отдельных элементов зубочелюстной системы.

2. Структурная организация на основе спиральной биосимметрии в тканях и органах живых организмов, и в частности зубов как органов зубочелюстной системы человека, позволяет им оптимально выполнять свои функции при минимально возможном расходе ресурсов внешней среды на их формирование.

3. На основании вышеизложенных фактов возможен качественно новый подход к изучению морфологии, физиологии и биомеханики зубочелюстной системы, к особенностям препарирования и прямого моделирования на современном этапе развития реставрационной стоматологии.

Литература

Попов В.Г. Главная симметрия природы. –СПб: «АНАТОЛИЯ». –2005. –С.66.
Вейль Г. Симметрия.–М: «ЛКИ». –2007. –С.107-111.
Петухов С.В. Биомеханика, бионика и симметрия. –М: Издательство «Наука». –1981. –240 с.
Советский энциклопедический словарь. –М: «Советская энциклопедия». –1982. –С.1253.
Заренков Н.А. Биосимметрика. –М: Книжный дом «ЛИБРОКОМ». –2009. –309 с.
Лебедев Ю.С. Архитектурная бионика. –М: Стройиздат. –1990. –269 с.
http://domino.novsu.ac.ru/kse/pril/7.htm.
Глазер Р. Очерк основ биомеханики (пер. с нем.). –М: Издательство «Мир». –1988. –129 с.
Бегун П.И., Шукейло Ю.А. Биомеханика. –СПб: Издательство «Политехника». –2000. –463 с.
Лобашев М.Е., Ватти К.В., Тихомирова М.М. Генетика с основами селекции. –М: Издательство «Просвещение». –1970. –431 с.
Балакшин О.Б. Коды да Винчи – новая роль в естествознании? Неожиданное о золотом сечении: Гармония ассиметричных подобий в Природе. –М: Издательство «КомКнига». –2006. –С.14.
Золотая спираль, таблица Менделеева и Кундалини // http://www.geocities.com/HotSprings/4224/spiral.htm.
Мулдашев Э.Р. От кого мы произошли? (2-е изд.) –СПб: Издательский Дом «Нева». –2007. –480 с.
Концепция спиральной структуры сердца: новый этап в лечении сердечной недостаточности // http://www.healthua.com.
Цветков В.Д. Пропорция золотого сечения и структура сердечных циклов млекопитающих // http://www.314159.ru/tsvetkov. –2001.
Гаврилов Е.И., Щербаков А.С. Ортопедическая стоматология. –М: «Медицина». –1984. –576 с.
Сивовол С.И. Истоки гнатологии // Стоматолог. –2005. –№ 9.
Боровский E.B., Леонтьев В.К. Биология полости рта. –М: Издательство «Медицина». –1991. –С.94.
Галюкова А.В., Харченко О.И. Ультраструктура эмали и дентина зубов собак // Стоматология. –1983. –Том 62. –№ 2. –С.13-16.
Фалин Л.И. Гистология и эмбриология полости рта и зубов. –М. –1963. –219 с.
Кудрин И.С. Анатомия органов полости рта. -М: Издательство «Медицина». –1968. –211 с.
Бушан М.Г. Патологическая стираемость зубов и ее осложнения. - Кишинев: Изд-во «Штиинца». –1979. –С.7-8.
Бранков Г. Основы биомеханики (пер. с болгарского). –М: Издательство «Мир». –1981. –С.232.
Лукиных Л.М., Шестопалова Л.В. Пульпит. Клиника, диагностика, лечение // Н. Новгород: Издательство Нижегородской государственной медицинской академии. –1999. –С.7.
Васильев В.Г. Роль коллагеновых волокон периодонта в передаче жевательного давления на стенку зубной альвеолы // Стоматология. –1982. –№4. –С.19-21.
Бетельман А.И. Ортопедическая стоматология. –М.: Изд-во «Медицина». – 1965. –С.32-33.
Шугар Л., Банцони Й., Рац И., Шаллаи К. Заболевания полости рта. –Будапешт: Издательство академии наук Венгрии. –1980. –385 с.
Еловикова А.Н., Няшин М.Ю., Симановская Е.Ю. и др. Биомеханические основы лечения зубочелюстных аномалий // Стоматология. –2002. –№ 3. –С.51-54.
Бетельман А.И. Зубное протезирование (Клиника и протезирование дефектов и зубных рядов). – Киев: Гос. Мед. Издательство. –1956. –С.22.
Окушко В.Р. Основы физиологии зуба. –Тирасполь: Издательство Приднестровского университета. –2005. –С.89.
Радлинский С.В. Реставрация контактных поверхностей в нижних передних зубах // ДентАрт. 2008–№ 3. –С.28.
Постолаки А. Вариант техники моделирования окклюзионной поверхности боковых зубов прямым методом // ДентАрт. –2007. –№ 1. –С.73-79.
Николаев В.Г., Манашев Г.Г., Топал В.И. Микроструктура эмали зубов человека // Материалы XII и XIII Всероссийских научных практических конференций и Труды IX съезда Стоматологической Ассоциации России. –2004. –С.77-78.
Манашев Г.Г., Селифонова А.В. Сравнительная морфология зубов человека // Материалы XII и XIII Всероссийских научных практических конференций и Труды IX съезда Стоматологической Ассоциации России. –2004. –С.69-70.
Дмитриенко С.В., Иванов Л.П., Краюшкин А.И., Пожарницкая М.М. Практическое руководство по моделированию зубов. –2001. –С.105.
Ломиашвили Л.М., Аюпова Л.Г. Художественное моделирование и реставрация зубов. –М: Издательство «Медицинская книга». –2004. –С.86.
Луцкая И.К. Практическая стоматология. –Минск: Белорусская наука. –2001. –С.127-128.
Сороко Э.М. Структурная гормония систем. –Минск: Издательство «Наука и техника». –1984. –264 с.
Лейзер Д. Создавая картину Вселенной. –М.: Изд-во «Мир». -1988. –С.10.
Ветчинкин А.В. Воссоздание цвета в эстетических

Симметрия всегда была меткой совершенства и красоты в классических греческих иллюстрациях и эстетике. Естественная симметрия природы, в частности, была предметом исследования философов, астрономов, математиков, художников, архитекторов и физиков, таких как Леонардо Да Винчи. Мы видим это совершенство ежесекундно, хотя и не всегда замечаем. Вот 10 красивых примеров симметрии, частью которой являемся и мы сами.

Брокколи Романеско

Этот вид капусты известен своей фрактальной симметрией. Это сложный образец, где объект сформирован в одной и то же геометрической фигуре. В этом случае вся брокколи составлена из одной и той же логарифмической спирали. Брокколи Романеско не только красива, но также и очень полезна, богата каротиноидами, витаминами C и K, а по вкусу подобна цветной капусте.

Медовые соты

На протяжении тысяч лет пчелы инстинктивно производили шестиугольники идеальной формы. Многие ученые верят, что пчелы производят соты в этой форме, чтобы сохранить большую часть меда при использовании наименьшего количества воска. Другие не так уверены и полагают, что это - естественное формирование, а воск образуется, когда пчелы создают свое жилище.

Подсолнухи

Эти дети солнца имеют сразу две формы симметрии – радиальная симметрия, и числовая симметрия последовательности Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи проявляется в числе спиралей из семян цветка.

Раковина Наутилуса

Еще одна естественная последовательность Фибоначчи проявляется в раковине Наутилуса. Оболочка Наутилуса растет по “спирали Fibonacci” в пропорциональной форме, что позволяет наутилусу внутри сохранять одну и ту же форму на всей продолжительность жизни.

Животные

Животные, как и люди, симметричны с двух сторон. Это означает, что есть осевая линия, где они могут быть разделены на две идентичных половины.

Паутина паука

Пауки создают совершенные круговые сети. Сеть паутины состоит из равно отдаленных радиальных уровней, которые распространяются из центра по спирали, переплетаясь друг с другом при максимальной прочностью.

Круги на полях.

Круги на полях происходят вовсе не "естественно", однако это довольно удивительно симметрия, которой могут достигнуть люди. Многие полагали, что круги на полях являются результатом посещения НЛО, но в итоге оказалось, что это дело рук человека. Круги на полях демонстрируют различные формы симметрии, включая спирали Фибоначчи и фракталы.

Снежинки

Вам определенно понадобится микроскоп, чтобы засвидетельствовать красивую радиальную симметрию в этих миниатюрных шестисторонних кристаллах. Эта симметрия сформирована в процессе кристаллизации в молекулах воды, которые формируют снежинку. Когда молекулы воды замерзают, они создают водородные связи с гексагональными формами.

Галактика Млечный Путь

Земля не единственное место, которое придерживаются естественной симметрии и математики. Галактика Млечного пути - поразительный пример зеркальной симметрии и составлена из двух главных рукавов, известных как Персей и Щит Центавра. У каждого из этих рукавов есть логарифмическая спираль, подобная оболочке наутилуса, с последовательностью Фибоначчи, которая начинается в центре галактики и расширяется.

Лунно-Солнечная симметрия

Солнце намного больше, чем луна, фактически в четыреста раз больше. Тем не менее, явления солнечного затмения происходят каждые пять лет, когда лунный диск полностью перекрывает солнечный свет. Симметрия происходит, потому что Солнце в четыреста раз дальше от Земли, чем Луна.