ПРЕДИСЛОВИЕ
Упражнения целесообразно использовать для проверки знаний учащихся, составления самостоятельных и контрольных работ и повторения ранее пройденнбго материала. Некоторые из них послужат дополнительным заданием для наиболее способных и интересующихся математикой учащихся.
Правильно организованное упражнение учащихся в решении задач - важное средство активизации мыслительной деятельности учащихся и воспитания их творческих способностей.
Основной принцип, которого придерживались авторы, заключался в том, что каждая задача должна не только закреплять полученные знания, но и расширять их, обогащать учащихся новыми свойствами геометрических фигур, заставлять их думать, сравнивать, классифицировать. Поэтому в сборнике мало задач вычислительного характера. В основном это упражнения, развивающие логическое мышление и пространственное воображение учащихся, вырабатывающие у них навыки в исследовании решения задач и способствующие привитию строгости в рассуждениях. Задачи позволяют устанавливать различные связи между вновь изучаемыми и ранее известными фактами. Это дает возможность рассматривать одни и те же свойства геометрических фигур с различных точек зрения. Решение предлагаемых задач требует нешаблонного применения полученных знаний, что будет содействовать развитию математической культуры учащихся.
Устные упражнения и несложные задачи, не требуя большого времени для решения, позволяют в сочетании с другими упражнениями сделать уроки геометрии более разнообразными по содержанию, повышают эффективность этих уроков.
Что касается раздела стереометрии, то мы не стремились расширить его объем за счет включения в сборник вычислительных задач. Подобные задачи, широко представленные в различных сборниках, не соответствуют поставленным перед сборником целям.
Некоторые задачи по стереометрии могут быть использованы при изучении стереометрии в восьмилетней школа Применение таких упражнений будет способствовать развитию пространственных представлений и пространственного воображения учащихся.
Многие вопросы сборника предполагают короткий ответ, но во всех этих случаях от ученика требуются обоснования, ссылки на соответствующие теоремы, определения. Желательно, чтобы некоторая часть задач решалась учащимися устно, без чертежа. В задачах на построение, если нет специальных указаний, используются при решении циркуль и линейка.
Задачи, отмеченные звездочкой (*), либо повышенной трудности, либо рекомендуются для решения при повторении данной темы в старших классах.
Первая часть «Планиметрия» написана В. А. Жаровым и 3. А. Скопецом, вторая часть «Стереометрия» - П. С Мар-голите. Общая редакция выполнена 3. А. Скопецом.
АВТОРЫ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ПЛАНИМЕТРИЯ
Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ § 1. Прямая линия. Луч. Отрезок
1. Сколько прямых линий можно провести: 1) через одну точку; 2) через Две точки?
2. Сколько кривых линий можно провести через две точки?
3. Могут ли: 1) две различные прямые, 2) два различных луча, 3) два различных отрезка иметь две различные общие точки?
4. Сколько можно провести прямых линий, проходящих одновременно через три различные точки?
5. На прямой взяты три точки. Сколько этими точками определилось лучей, отрезков, принадлежащих прямой?
6. 1) На отрезке АВ взята точка С. Какое соотношение существует между данным и образовавшимися отрезками?
2) Выяснить, сколько образуется отрезков и какие существуют соотношения между ними, если на отрезке АВ взяты две точки С и D?
7. Изобразить: 1) два различных отрезка, имеющих всего три конца; 2) три различных отрезка, имеющих всего три конца; 3) четыре различных отрезка, имеющих всего пять концов.
8. 1) Сколько точек пересечения могут иметь три различные прямые, лежащие в одной плоскости? 2) Определить наибольшее и наименьшее число точек пересечения четырех различных прямых.
9*. Даны четыре попарно пересекающиеся прямые, из которых никакие три не проходят через одну точку. Сколько отрезков образуется на всех прямых в результате их попарного пересечения? Решить задачу для п прямых.
10. Какое заключение можно сделать о сравнительной величине отрезков а и &?
И. 1) Как записать условие того, что точка М лежит на отрезке АВ?
2) Как записать условие того, чю точка М является серединой отрезка ЛВ?
3) Как записать условие того, что точка М лежит на продолжении отрезка ЛВ?
§ 2. Углы. Смежные и вертикальные углы
12. Построить: 1) развернутый угол с вершиной в данной точке; 2) полный угол с вершиной в данной точке.
13. Записать, что: 1) угол Л не меньше угла В, 2) угол Л не больше угла В, 3) угол Л не равен углу В.
14. Изобразить три различных луча, выходящих из одной точки. Назвать все углы, которые при этом образовались. Чему равна их сумма?
15. На какой угол нужно повернуть луч, чтобы конечное положение его и начальное: 1) образовали прямую линию; 2) образовали один луч; 3) были перпендикулярны?
16. Построить биссектрису развернутого угла.
17. Какой угол опишет: I) часовая стрелка за 2 часа;
2) минутная стрелка за полчаса?
18. Сколько раз в промежуток времени от 8 часов до 12 часов того же дня стрелки часов образуют развернутый угол?
19. Начертить на бумаге острый, тупой и развернутый углы. Перегибанием разделить эти углы пополам и на четыре равные части.
20. Перегнуть листок бумаги по любой начерченной на нем прямой. Затем перегнуть его еще так, чтобы часть линии старого сгиба совпала с другой ее частью. Если вновь расправить листок, то линии сгиба образуют четыре угла Доказать, что эти углы прямые.
21. Начертить произвольно несколько прямых. При помощи чертежного треугольника опустить на них перпендикуляры из точки, не принадлежащей ни одной из этих прямых. ,
22. Даны четыре прямые, из которых никакие три не проходят через одну точку и каждые две пересекаются. Сколько углов, меньших 180°, образуется в результате взаимного пересечения этих прямых?
23. Как построением определить, будет ли данный угол острым или тупым?
24. Изобразить два равных угла с общей вершиной [АОВ и COD). Назвать на чертеже еще одну пару равных углов.
25. Два угла о и р имеют общую сторону. Чему равен угол, образованный несовпадающими сторонами этих углов?
26. 1) Могут ли два смежных угла быть одновременно острыми, прямыми, тупыми? 2) Может ли один из смежных углов быть тупым, а другой - прямым?
27. Один из двух смежных углов увеличился на 104. На сколько градусов изменилась разность полученных смежных углов?
28. Определить угол между биссектрисами двух смежных углов.
29. Разность двух смежных углов равна 90Q. Найти величину этих углов и построить их.
30. Может ли сумма двух вертикальных углов быть равной 2d?
§ 3. Окружность. Хорда. Диаметр
31. Построить точки, которые находятся на данном расстоянии от данной точки О. Что образует множество всех таких точек?
32. На окружности взяты точки А, В и С. Назвать дуги, которые при этом образовались. Указать дуги: 1) меньшие 90°, 2) меньшие полуокружности, 3) большие полуокружности (оценить на глаз).
33. На окружности даны последовательно четыре точки А, В, С, D. такие, что дуги АВ и CD равны. Указать другие пары равных дуг с концами в данных точках. Рассмотреть специальные случаи.
34. Как записать условие того, что точка М лежит внутри, вне или на окружности радиуса R с центром в точке О?
35. Построить точки, находящиеся внутри данного угла и удаленные от его вершины на данное расстояние. Что образует множество всех таких точек?
36. Указать внутри окружности точку, через которую можно провести бесконечное множество равных между собой хорд.
37. Какой длины должны быть две хорды окружности радиуса R, чтобы при любом их положении эти хорды пересекались?
38. АВ и MN - два взаимно перпендикулярных диаметра окружности. Сколько градусов в дуге AM, в дуге А MB? Разделить на глаз дугу BN пополам точкой С. Какую часть окружности составляет дуга ВС? Как разделить окружность приблизительно на 12 равных частей?
39. Из общего центра О двух-концентрических окружностей выходят три луча, один из которых является биссектрисой угла, образованного двумя другими лучами. Какая зависимость существует между образовавшимися дугами, если эти лучи пересекают внутреннюю окружность последовательно в точках А, В и С, а внешнюю - в точках А\, Bn Ci?
40. 1) Какой угол (меньший развернутого) составляют между собой направления на север и юго-запад?
2) Какой угол (больший развернутого) образуют между собой направления часовых стрелок в 3 часа, в 13 часов, в 16 часов?
3) На какой угол повернется Земля около своей оси за 2 часа?
41. Начертите на глаз углы в 45°, 30°, 60°, 90°, 145°, 200°. Проверьте транспортиром правильность построения и установите допущенную при этом погрешность.
Глава II. ТРЕУГОЛЬНИК. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
§ 4. Треугольник и его элементы. Равнобедренный треугольник
42. Дан треугольник ABC. Между какими сторонами заключен угол А? Против какого угла лежит сторона АВ? Какие углы прилежат к стороне ВС?
43. Чем отличается биссектриса угла треугольника от биссектрисы угла?
44. Какие из линий треугольника (высоты, медианы, биссектрисы) всегда лежат внутри треугольника? Какие из них могут совпадать с его сторонами?
45. Используя соотношения между углами треугольника, записать условие того, что этот треугольник: 1) равнобедренный; 2) равносторонний.
46. Можно ли утверждать, что: 1) равносторонний треугольник является равнобедренным; 2) равнобедренный треугольник является остроугольным; 3) прямоугольный треугольник является разносторонним?
47. Может ли медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, совпадать с его высотой?
48. Может ли биссектриса острого угла прямоугольного треугольника совпасть с его медианой, проведенной из той же вершины?
§ 5. Осевая симметрия
49. Сколько осей симметрии имеет: 1) фигура, состоящая из двух точек; 2) прямая линия; 3) окружность?
50. Сколько осей симметрии имеет фигура, состоящая из двух пересекающихся прямых?
51. Сколько осей симметрии имеет фигура, состоящая из:
1) двух данных прямых; 2) трех данных прямых? Рассмотреть различные случаи расположения этих прямых.
52. Сколько осей симметрии имеет треугольник?
53. На сторонах угла S взяты точки А к В, отстоящие от вершины S на равных расстояниях. Доказать, что эти точки симметричны относительно биссектрисы угла S.
54. На сторонах угла S на равных расстояниях от его вершины взяты точки А и В. Доказать, что отрезки, соединяющие эти точки с произвольной точкой Р биссектрисы угла S, равны между собой.
55. Через произвольную точку Р биссектрисы угла S проведен к ней перпендикуляр, встречающий стороны этого угла в точках А и В. Доказать, что точки А и В симметричны относительно биссектрисы угла S.
56. Построением определить расстояние от точки, расположенной на стороне угла, до вершины угла, если этой вершиной из-за ее недоступности нельзя пользоваться.
§ 6. Равенство треугольников
57. Доказать, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами также равнобедренного треугольника
58. На окружности с центром О отложены равные дуги АВ и CD. Доказать, что треугольники АОВ и COD равны.
59. Доказать, что хорды AD и ВС, соединяющие концы диаметров АВ и CD окружности, равны.
60. Для сторон треугольников ABC и MNK справедливы неравенства: АВ Ф MN, ВС Ф NK, СА Ф КМ, а треугольники все же равны. Возможно ли это?
61. Построить два неравных треугольника так, чтобы две стороны и угол одного треугольника были соответственно равны двум сторонам и углу другого.
62. Для каждой стороны одного треугольника имеется равная ей сторона в другом треугольнике. Можно ли утверждать, что эти треугольники" равны?
63. Привести примеры использования свойства жесткости треугольника в технике и строительстве.
64. Требуется изготовить пластинку треугольной формы. Кркими ее размерами необходимо располагать, чтобы можно было разметить эту пластинку?
65. Каждая из точек М и N одинаково удалена от концов отрезка АВ (МА - MB, NA = NB). Что можно сказать о расположении прямой MN по отношению к отрезку АВ?
66. Найти в треугольнике ABC на стороне АВ (или ее продолжении) точку, одинаково удаленную от вершин А и С. Отметить особый случай.
67. Сколько существует точек, равноудаленных от трех данных точек?
68. Найти на стороне ВС треугольника ABC точку, одинаково отстоящую от сторон АВ и АС или их продолжений.
§ 7. Соотношения между сторонами и углами треугольника
69. Могут ли стороны треугольника относиться как 1:2:3; 2:3:6; 1:2:2?
70. Доказать, что если два прямоугольных треугольника имеют по равному катету, то гипотенуза того треугольника больше, у которого второй катет больше.
71. Доказать, что средней по величине стороне треугольника противолежит средний по величине угол.
72. В треугольнике против наименьшей его стороны лежит острый угол. Сформулировать обратное предложение и выяснить, верно ли оно.
73. Могут ли любые неравные отрезки а и Ь (с Ь) служить сторонами 1) равнобедренного, 2) прямоугольного треугольника?
74*. Доказать, что большей стороне треугольника соответствует меньшая высота.
§ 8. Проекция отрезка на прямую.
Перпендикуляр и наклонные
75. В двух прямоугольных треугольниках ABC н А1В1С1 (ZC = Z С, = 90°) имеем АС = AjC^ Доказать, что АВ AJi!, если ВС BiQ.
76. Может ли проекция отрезка быть равной самому отрезку? Может ли она быть больше отрезка?
77. При каком условии проекция отрезка вдвое меньше самого отрезка?
78. В каком треугольнике одна нз его сторон является проекцией другой стороны?
79. Чему равна сумма (нли разность) проекций двух сторон треугольника на его третью сторону?
80. Доказать, что медиана (биссектриса), проведенная к катету прямоугольного треугольника, меньше его гипотенузы.
81. Доказать, что основание биссектрисы острого угла прямоугольного треугольника делнт его катет на два отрезка, нз которых больший прилегает к гипотенузе.
82. Катеты одного треугольника меньше соответствующих катеуов другого треугольника. Доказать, что гипотенуза первого треугольника меньше гипотенузы второго треугольника.
83*. Точка М находится от сторон угла ASB на таких же расстояниях, как н точка N. Что можно сказать о расположении прямой MN по отношению к углу ASB?
84. Точно ли сформулирована теорема: «Все точки биссектрисы угла одинаково удалены от сторон этого угла»?
85. На стороне угла AS В взяты точки М н N. Охарактеризовать множество точек, каждая нз которых равноудалена от сторон данного угла н от точек М н N. Обратить внимание на случай, когда 1) SM = SN, 2) Z.ASB = 180°.
§ 9. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
86. Сколько общих точек могут иметь две прямые?
87. Каково взаимное расположение двух прямых, если онн имеют: 1) по крайней мере одну общую точку; 2) не более одной общей точки?
88. Каково взаимное расположение двух прямых, перпендикулярных к одной и той же прямой?
89. Выяснить, может ли при пересечении двух прямых третьей оказаться, что внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов не равна 180°?
90. Можно ли утверждать, что две прямые параллельны, если они при пересечении с третьей прямой образуют с нею равные углы?
91. Охарактеризовать множество прямых, равноудаленных от двух данных точек А и В (расстояние от прямой до точки, по определению, равно расстоянию от этой точки до прямой).
92. На плоскости даны две точки. Много ли пар параллельных прямых можно провести через эти точки?
93. Две параллельные прямые пересечены двумя прямыми, пересекающимися на одной из параллельных прямых. Обозначить образовавшиеся при этом углы и указать соотношения между ними.
94. При каком положении прямой равны все углы, образуемые двумя данными параллельными прямыми с этой прямой?
95. Обосновать, почему биссектрисы двух соответственных углов при параллельных прямых не могут пересекаться.
96. Прямые а и Ь параллельны. Прямая р перпендикулярна прямой а, а прямая q перпендикулярна прямой Ь. Что можно сказать о взаимном расположении прямых р и 7?
97. Три точки равноудалены от одной и той же прямой. Можно ли утверждать, что эти точки расположены на одной прямой?
98. Можно ли утверждать, что две прямые, параллельные третьей, параллельны менаду собой?
99. Запишите условие того, что точка М лежит: 1) внутри полосы между двумя параллельными прямыми а и Ь\ 2) вне этой полосы.
100. Построением определить углы между двумя прямыми, если их точка пересечения находится за пределами чертежа
101. Пользуясь линейкой и транспортиром, построить прямую, параллельную данной прямой.
102. Могут ли всякие три угла (отличные от нулевого), сумма которых равна 180ч, быть углами треугольника?
103. В равностороннем треугольнике проведены две медианы. Чему равен острый угол между ними?
104. Обосновать, почему биссектрисы двух внутренних углов треугольника не могут быть параллельны.
105. Верно ли определение: «Углы, сумма которых равна 90е, называются дополнительными»?
106. Может ли угол при основании равнобедренного треугольника быть тупым? Прямым?
107. Могут ли два угла треугольника быть: 1) прямыми; 2) тупыми?
108. Основание равнобедренного треугольника вдвое больше соответствующей высоты. Определить углы этого треугольника.
109. В тупоугольном треугольнике ABC (Z Л 90°) проведена медиана ВМ. Доказать, что эта медиана больше стороны АВ и меньше стороны ВС.
110. Внутри треугольника ABC взята точка М. Доказать, что угол АМС больше угла ABC.
111. Каков вид треугольника, если один из его внутренних углов больше смежного с ним внешнего угла? Равен своему смежному?
112. Назовите тип треугольника, если один его угол равен сумме двух других углов? Больше суммы двух других углов?
113*. Используя соотношения между углами треугольника, записать условие того, что треугольник: 1) прямоугольный; 2) тупоугольный; 3) остроугольный.
114. Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
115. 1) Может ли больший угол треугольника быть меньше 60°? 2) Может ли меньший угол треугольника быть больше 60е?
116. Как построить циркулем и линейкой угол в 30е, 120°, 60е?
117. Запишите условие того, что: 1) угол А треугольника ABC не тупой; 2) угол А треугольника ABC не острый.
118. Найти углы прямоугольного треугольника, если угол между биссектрисой и высотой, проведенных из вершины прямого угла, равен 15е.
119. Из вершины треугольника проведены биссектриса и высота. Выразить угол между ними через углы треугольника.
120. Чему равна сумма внешних углов треугольника, пятиугольника, семиугольника?
121. Могут ли все три внешних угла треугольника быть равными?
122. Могут ли быть три (два, один, ни один) внешних угла треугольника острыми?
123. В треугольнике ABC проведена биссектриса ССг. Доказать, что угол СС|В равен полусумме угла А и внешнего угла В.
Сформулировать обратную теорему и доказать ее справедливость.
124. Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
125. Доказать, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, не превосходит половины гипотенузы.
§ 10. Углы с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами
126. Через каждую вершину треугольника проведена прямая, параллельная противолежащей стороне. Доказать, что углы треугольника, образованного этими прямыми, равны углам данного треугольника.
127. Точка Р не лежит на сторонах угла. Сколько можно построить углов с вершиной в точке Р и со сторонами, соответственно параллельными сторонам данного угла?
128. На стороне АВ треугольника ABC взята точка Р, через которую проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и встречающие их в точках М и N. Назвать равные образовавшиеся углы.
129. Из точки Р, взятой внутри угла S, опущены перпендикуляры РА и РВ на стороны этого угла или их продолжения. Каким соотношением связаны углы АР В и ASB?
130. Высоты ААг и ВВХ треугольника ABC пересекаются в точке И. Указать углы с соответственно перпендикулярными сторонами: 1) равные между собой; 2) составляющие в сумме 180°.
131. В вершине S данного угла ASB восставлены к его сторонам перпендикуляры SM и SN. Определить угол MSN, если угол ASB равен: 1) 130°; 2) 75°; 3) 30с1 Рассмот-
реть различные случаи взаимного расположения сторон углов MSN и AS В (ограничиться углами, меньшими 180°).
132. Из основания D высоты BD треугольника ABC опущен перпендикуляр DE на сторону А В. Доказать, что углы ВАС и BDE равны.
133. Известны углы прямоугольного треугольника. Определить углы, образуемые катетами с высотой, опущенной на гипотенузу.
134. Найти зависимость между углами AS В и если...
KOHEЦ ГЛАВЫ И ФPAГMEHTA КНИГИ
Цель: добиться понимания учащимися содержания следствий из теоремы о сумме смежных углов и содержания понятий «следствие», «ссылка»; используя знания теоремы о смежных углах и ее последствия, выработать умение решать задачи на вычисление и доказательство, в которых говорится об смежные углы.
Тип урока: применение знаний, умений и навыков.
Наглядность и оборудование: таблица «Смежные углы».
ХОД УРОКА
И. Организационный момент
II. Проверка домашнего задания
1. Начертите от руки два неравные смежные углы, чтобы их общая сторона была размещена горизонтально.
2. Начертите два смежные углы так, чтобы их стороны, которые доповняльними півпрямими, были размещены вертикально.
3. Начертите два несмежные углы, чтобы они имели одну общую сторону и оба были тупыми.
4. Начертите два несмежные углы, одна пара сторон которых является доповняльними півпрямими.
5. Постройте угол AOB, что равен 70°. Начертите два угла, каждый из которых является смежным с данным углом. Найдите градусные меры этих углов.
Правильность выполнение работы обязательно проверяем. Это можно сделать с помощью заранее заготовленных записей за доской или на пленке кодоскопа.
III. Формулировка цели и задач урока
Основная цель урока формулируется как необходимость ознакомления с соотношениями, правильными для смежных углов, основанные на теореме о сумме смежных углов.
1. Какое из чисел 30°, 130°, 89°, 90°, является градусной мерой углов:
а) тупой;
б) острого;
в) прямого?
2. Сколько градусов может составлять сумма:
а) двух прямых углов;
б) двух острых углов;
в) двух тупых углов;
г) тупого и прямого углов;
д) прямого и острого углов?
V. Усвоение новых знаний
План изучения нового материала
1°. Формулировка и доведение последствий.
2°. Представление о содержание понятий: «следствие», «ссылки».
3°. Пример задачи (следствие 4).
Методический комментарий
В зависимости от уровня подготовки учащихся, изложение новых понятий урока может осуществлять учитель или учащиеся работают с учебником самостоятельно.
Также можно организовать практическую работу в группах, что приведет к «открытию» учащимися сформулированных и доказанных в учебнике следствий из теоремы о сумме смежных углов.
VI. Первичное осознание нового материала
1. Найдите угол x (рис. 1)
1. Углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 - две пары смежных углов. Сравните углы 2 и 4, если .
2. Найдите данный угол, если сумма двух смежных с ним углов равна 240°.
3. Биссектриса угла образует с лучом, доповняльним в стороны данного угла, угол 130°. Найдите данный угол.
4 (дополнительная). Разность двух смежных углов относится к одному из них как 5: 2. Найдите эти смежные углы.
Во время решения задач 1 и 2 желательно требовать от учеников ссылку не на теорему о сумме смежных углов, а соответствующее следствие.
VII. Итоги урока
Вместо... поставьте такое слово, чтобы утверждение было верным:
1) Угол, смежный с прямым углом...
2) Угол, смежный с острым углом...
3) Угол, смежный с тупым углом...
4) Если - смежные, - смежные, то ...
С помощью графического диктанта совершают, не только контроль за правильностью сформированных геометрический образов, но и формального усвоения геометрических понятий, усовершенствование навыков используя геометрические приборы, тренировка внимания учащихся, образного мышления. Формируется важное для ребёнка, умение внимательно слушать и точно выполнять указания учителя. Графический диктант полезен для коррекции мелкой моторики, ориентации на бумаге, навыки изобразительной деятельности. Их лучше проводить после чтения нового материала, либо на закрепление знаний, чтобы было время исправить неправильно принятую учеником зрительную информацию, но не реже чем раз в месяц.
ТЕМА 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ. ТОЧКА, ПРЯМАЯ, ЛУЧ И ИХ СВОЙСТВА
1. Постройте прямую
a
.
2. Обозначьте точки B , C которые принадлежат прямой a .
3. Обозначьте точки P , O , которые не принадлежат прямой a и лежат в разных полуплоскостях.
4. Обозначьте точку M , которая лежит в одной полуплоскости с точкой O .
5. Запишите с помощью символов принадлежность точки C и точки M прямой a .
6. Попарно совместив точки P , O , M , наведите красным карандашом отрезки, которые пересекут прямую a .
7. Запишите с помощью символов взаимное расположение прямой a и отрезков OP , CM .
8. Нарисуйте желтым цветом луч CK , который не лежит на прямой a .
9. Нарисуйте оранжевым цветом дополнительный луч CD к лучу CK .
10. Запишите с помощью символов взаимное расположение прямых a и KD .
ТЕМА 2. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ. РАСТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ.
1. Начертите отрезок AB =12 см.
2. Обозначьте его середину точкой O .
3. Поделите отрезок AO на равные части и обозначьте точку деления отрезка C .
4. Обозначьте на рисунке длину отрезков, на которые его делят внутренние точки.
5. Наведите красным цветом отрезок, длинна которого меньше от 12 см и больше за 6 см.
6. Найдите сумму длинны отрезков AB и OC
7. Найдите разницу длинны отрезков BO и AC и запишите соответствующее выражение.
8. Найдите долю длинны отрезков AB и AO и запишите соответствующее выражение.
9. Продлите правее отрезок AB на треть его длинны, обозначьте его синим цветом. Обозначьте на рисунке длину синего отрезка.
10. Проверьте, длинна отрезка AB равняется сумме длин отрезков, на которые его делят, его внутренние точки. Запишите соответствующее выражение.
ТЕМА 3. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ. БИСЕКТРИССА УГЛА.
a .
2. Обозначьте на прямой точки A , B , C так чтобы точка C лежала между точками A и B .
3. Проведите лучи CO и CP , которые не лежат на прямой a
4. Запишите пары смежные углы, которые образовались.
5. Начертите синим цветом двое неровных смежных углы так, чтобы общая сторона была расположена горизонтально.
6. Начертите красным и жёлтым цветами два угла, которые не смежные и одна пара сторон которые есть дополнительными лучами.
ТЕМА 4. СМЕЖНЫЕ УГЛЫ И ИХ СВОЙСТВА.
1. Постройте произвольную прямую a .
2. Отметьте на прямой точки A , B , C так чтобы точка C лежала между точками A и B.
3. Проведите лучи CO и CP , которые не лежат на прямой a и находятся в разных полуплоскостях.
4. Запишите пары смежных углов, которые образовались.
5. Начертите синим цветом два неравных смежные углы так чтобы общая точка была расположена горизонтально.
6. Начертите красным и жёлтым цветами два угла, которые не смежные и одна пара сторон которых являются дополнительными лучами.
7. Начертите два одинаковых за градусной мерой углы, которые не являются смежные и сумма градусных мер равняется 180◦.
ТЕМА 5. ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ И ИХ СВОЙСТВА
1. Постройте угол ABC , градусная мера которого равняется 60◦.
2. Проведите красным цветом дополнительные лучи: BM к стороне BA и BO к стороне BC .
3. Измерьте градусную меру угла, образованного дополнительными лучами, и запишите результаты.
4. Сравняйте углы ABC и MBO , укажите их общую точку.
5. Узнайте градусную меру и сделайте аналогично пункту четыре для другой пары смежных углов.
6. Постройте оранжевым цветом биссектрису BK и BP углов ABC и MBO соответственно.
7. Узнайте и запишите градусную меру угла PBK .
8. Запишите, сколько пар смежных углов относительно прямой MA вы видите на своём рисунке.
9. Обозначьте скобками разноцветных цветов, начиная от красного, один угол из пары вертикальных углов, которые вы видите на своём рисунке. Начинайте с меньшего.
ТЕМА 6. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ, ИХ СВОЙСТВА
1. Проведите произвольную вертикальную прямую a и назначьте на ней точки A и B .
2. Отступите от каждой из точек четыре клеточке правее и назначьте соответствующие точки M и O .
3. Проведите синим цветом через точки M и O прямую b .
4. Проверьте с помощью транспортира и линейки параллельность прямых a и b .
5. Запишите полученный результат с помощью символа параллельности.
6. Обозначьте на плоскости точку C , которые не принадлежат не одной из нарисованных прямых и расположена правее от прямой b .
7. С помощью транспортира линейки проведите через точку C прямую c , параллельную прямой a .
8. Проверьте с помощью транспортира и линейки параллельность прямых a , b и с .
9. Запишите полученный результат с помощью символа параллельности.
10. Пометьте на прямой c точки P , K так чтобы точка C была серединой отрезка PK .
11. Найдите, наведите красным цветом пары равных и параллельных отрезков.
12. Найдите, наведите желтым цветом пары параллельных лучей.
ТЕМА 7. ПЕРЕПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ, ИХ СВОЙСТВА. ПЕРЕПЕНДИКУЛЯР. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ К ПРЯМОЙ.
1. Начертите прямую c .
2. Обозначьте точку M , которая не принадлежит прямой c .
3. С помощью транспортира проведите перпендикуляр к прямой c , которая проходит через точку M .
4. Обозначьте перпендикуляр и основу перпендикуляр буквой P .
5. Проведите наклонную MK к прямой c .
6. Измерьте длину расстояния и наклонную, сравняйте их.
7. Запишите результаты измерения с помощью символов.
8. Проведите дополнительный луч PC к лучу PM
9. С помощью транспортира обозначьте, какое взаимное расположение прямой c и луча PC . Обозначьте результаты на рисунке.
10. Запишите результат с помощью символов.
11. С помощью транспортира постройте два перпендикуляра лучи, которые не имеют общих точек и один с которых горизонтальный.
ТЕМА 8. УГЛЫ, ОБРАЗОВАНЫЕ ПРИ ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ПРЯМЫХ СЕКУЩЕЙ
1. Нарисуйте две произвольные прямые a и b .
2. Нарисуйте прямую c , которая не имеет с прямыми две общие точки.
3. Пронумеруйте углы цифрами, которые образовала секущая с прямыми a и b (по часовой стрелке, начиная с верхнего левого угла)
4. Запишите, сколько пар вертикальных углов образовалось прямыми a , b , c .
5. Запишите, сколько пар смежных углов образовалось прямыми a , b , c .
6. Запишите, сколько внутренних углов образовалось в результате пересечения прямых a и b секущей c .
7. Отметьте желтым цветом угол, который с углом 3 образует пару внутренних односторонних углов.
8. Отметьте синим цветом угол, который с углом 6 образует пару внутренних разносторонних углов.
9. Отметьте коричневым цветом угол, который с углом 1 образует пару внешних односторонних углов.
10. Отметьте зеленым цветом угол, который с углом 1 образует пару внешних разносторонних углов.
ТЕМА9. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
1. Нарисуйте прямую a .
2. Отметьте на ней три точки A , B , C , расстояние между которыми не менее чем 5 см.
3. Постройте угол ABM , градусная мера которых равняется 40◦.
4. Постройте угол BCK , который расположен в одной полуплоскости с углом ABM и имеет градусную меру 40◦.
5. Нарисуйте дополнительные лучи к лучам BM и CK .
6. Отметьте синим цветом прямую, которая является секущей для прямых MB и CK .
7. Отметьте коричневым цветом соответствующие углы, равные по построению.
8. Отметьте параллельные прямые на рисунке.
9. Отметьте на рисунке равные прямые ровным количеством скобок.
ТЕМА 10. СВОЙТСВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
1. Проведите прямую a .
2. На расстоянии 7см от прямой отметьте точку K .
3. С помощью транспортира и линейки постройте прямую b , параллельную прямой a .
4. Проведите секущие c и d , точка пересечения которых расположена между параллельными прямыми.
5. Отметьте точку пересечения буквой O .
6. Отметьте (начиная слева) точки A и B пересечения с прямой a .
7. Отметьте (начиная слева) точки C и M пересечения с прямой b .
8. Отметьте равные углы треугольников AOB и CMO синим, оранжевым и зеленым цветами.
9. Отметьте параллельные прямые m и n .
10. Проведите две непараллельные секущие к прямым m и n так, чтобы их точка пересечения была расположена выше параллельных прямых.
11. Отметьте точку пересечения секущих буквой O .
12. Отметьте (начиная слева) точки A и B пересекающаяся с прямой m .
13. Отметьте (начиная слева) точки C и M пересекающаяся с прямой n .
ТЕМА 11. ТРЕУГОЛЬНИК И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ.
1. Нарисуйте произвольный треугольник ABC .
2. Отметьте красным цветом угол A .
3. Наведите красным цветом строну противоположную углу A .
4. Постройте биссектрису BM треугольника ABC коричневым цветом.
5. Отметьте равные углы коричневым цветом.
6. Постройте медиану CK треугольника ABC синим цветом.
7. Отметьте равные отрезки синим цветом.
8. Постройте высоту AO треугольника ABC оранжевым цветом.
9. Отметьте перпендикулярные отрезки оранжевым цветом.
10. Запишите выражение для вычисления периметра треугольника ABC .
11. Запишите выражение для нахождения площади треугольника ABC .
ТЕМА 12. ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
1. Нарисуйте произвольный отрезок AB длинной 12 см.
2. Найдите середину отрезка и отметьте её точкой O .
3. Нарисуйте произвольный отрезок CD длинной 8 см так, чтобы его середина находилась в точке O .
4. Отметьте равные углы и отрезки на рисунке.
5. Доработайте рисунок так, чтобы на нём было изображено две пары равных треугольников.
6. Закрасьте пары равных треугольников желтым и оранжевым цветами.
7. Нарисуйте два равных угла любой градусной мерой.
8. Используя первый признак равенства треугольников, превратите их в равные треугольники.
9. Отметьте равные углы и стороны.
ТЕМА 13. ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
1. Нарисуйте прямую a и отметьте на ней отрезок AB длинной 8 см.
2. Нарисуйте угол A так, чтобы луч AB был его биссектрисой.
3. Нарисуйте угол B так, чтобы луч BA был его биссектрисой и его стороны пересекались со сторонами угла A .
4. Точку пересечения сторон углов A и B , расположенную выше прямой a , отметьте буквой C .
5. Точку пересечения сторон углов A и B , расположенную ниже прямой a , отметьте буквой M .
6. Отметьте на рисунке все равные углы.
7. Определите, применяя признак равенства треугольников, равные треугольники. Закрасьте их желтым и синим цветами, начиная с верхнего.
8. Отметьте на рисунке все равные стороны.
9. Запишите равные углы по признаку с помощью символов.
ТЕМА 14. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ.
1. Нарисуйте произвольный угол B .
2. Отметьте на его сторонах равные отрезки BA и BC и отметьте их равность.
3. Соедините точки A и C .
4. Запишите, какой треугольник образовался, и укажите его вид.
5. С помощью линейки проведите биссектрису BD , медиану и высоту треугольника.
6. Отметьте равные углы и отрезки на рисунке, которые не были отмечены раньше.
7. С помощью символов запишите, какие треугольники на рисунке равные.
8. Укажите вид равных треугольников.
9. Нарисуйте дополнительные лучи к лучам BA и BC .
10. Используя первый признак равенства треугольников, на дополнительных лучах постройте треугольник OBM , который равняется треугольнику ABC .
11. С помощью символов запишите, какие лучи на рисунке параллельны.
ТЕМА 15. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
1. Отметьте точку A .
2. Отступивши от точки A десять клеточек вниз и четыре клеточки правее, отметьте точку B .
3. Отступивши от точки B шесть клеточек правее, отметьте точку C .
4. Отступивши от точки C десять клеточек вверх и четыре клеточек левее, отметьте точку D .
5. Попарно соедините все точки рисунка.
6. Если есть точка пересечения, отметьте её буквой O .
7. Найдите с помощью линейки равные отрезки на рисунке.
8. Отметьте равные отрезки равным количеством штрихов, начиная с наименьшего.
9. Наведите меньшую общую сторону двух треугольников оранжевым цветом, а большую коричневым.
10. Найдите, какие из образованных треугольников равные по третьему признаку равенства треугольников, и запишите их равность.
ТЕМА 16. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА.
1. Нарисуйте угол K , градусная мера которого будет равна 60◦.
2. Отметьте на сторонах угла равные отрезки KP и KE и соедините их концы.
3. Отметьте на рисунке равные углы и их градусные меры.
4. Запишите, какой треугольник образовался и укажите его вид.
5. Проведите желтым цветом медиану PO .
6. Нарисуйте оранжевым цветом дополнительный луч к лучу OP . Отметьте на нём отрезок OM , который равняется отрезку PO .
7. Нарисуйте и найдите градусную меру угла OME .
ТЕМА 17. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА И СВОЙТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА.
1. Нарисуйте прямой угол B .
2. На одной стороне угла отложите отрезок BA длинной 8 см.
3. На другой стороне угла отложите отрезок BC , длинной 6 см.
4. Соедините точки A и C .
5. С помощью символов запишите, какая геометрическая фигура образовалась.
6. Наведите коричневым цветом большую сторону треугольника.
7. Наведите жёлтым цветом вершины углов, сумма градусных мер которых равна 90◦.
8. С помощью символов запишите сумму углов, отмеченных желтым цветом.
9. Проведите медиану BM .
10. Отметьте равные отрезки на рисунке.
11. Найдите соотношения отрезков AC и BM . С помощью символов запишите результат вычислений.
12. Отметьте синим цветом равные углы на рисунке.
ТЕМА 18. ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА И ЕГО СВОЙСТВА.
1. Нарисуйте три прямые: a - черным цветом, b -красным, c - желтым, какие попарно пересекаются.
2. Отметьте точки пересечения. Прямые a и b пересекаются в точке A , b и c в точке B , прямые c и a в точке C .
3. С помощью символов запишите, какая фигура образовалась точками, отрезками и внутренней частью плоскости.
4. Отметьте внутренние углы треугольника ABC цифрами 1, 2, 3, по часовой стрелке, начиная с вершины A .
5. Отметьте внешний угол, смежный с углом 1 соответственно прямой a , цифрой 4.
6. Отметьте внешний угол, смежный с углом 2 соответственно прямой b , цифрой 5.
7. Отметьте внешний угол, смежный с углом 3 соответственно прямой c , цифрой 6.
8. Запишите в виде выражения соотношения между углом 4 и любым внутренним углом рисунка.
9. Запишите в виде выражения соотношения между углом 6 и суммой любых углов рисунка.
10. Запишите в виде выражения соотношения между углом 4 и суммой любых углов рисунка.
ТЕМА 19. НЕРАВНОСТЬ ТРЕУГОЛЬНИКА.
1. Нарисуйте тупоугольный треугольник OPD с тупым углом P .
2. Нарисуйте прямоугольный треугольник ACB с прямым углом C .
3. Нарисуйте остроугольный треугольник MNR .
4. Отметьте красным цветом вершины наибольших углов каждого из нарисованных треугольников.
5. Наведите красным цветом долгие стороны каждого из нарисованных треугольников.
6. Отметьте желтым цветом наименьшие углы каждого из нарисованных треугольников.
7. Наведите желтым цветом короткие стороны каждого из нарисованных треугольников.
8. Сравняйте длину стороны MN с суммой длин двух других сторон. Запишите в виде неравенства результаты сравнения.
49. Из листа бумаги, согнув его соответствующим образом, сделать модель прямого угла.50. Найти острые, прямые и тупые, углы на окружающих предметах.51. Проверить при помощи чертёжного треугольника углы ученической тетради.52. На чертеже 18 изображено несколько углов. Указать, какие из этих углов прямые. Назвать тупые углы.53. Начертить на глаз несколько прямых углов в различных положениях и проверить их чертежным треугольником.54. При помощи линейки построить прямой угол с вершиной, совпадающей с вершиной данного прямого угла. Сколько таких прямых углов можно построить?55. На сторонах прямого угла расположены две точки. Одна из них - на расстоянии 30 мм от вершины, другая - на расстоянии 40 мм. Построить эти точки и измерить расстояние между ними.56. 1) Вычислить величину каждого из двух углов, полученных при делении угла, равного 0,6 d, его биссектрисой.2) Решить задачу 56 (1), если данный угол равен: а) 1 2/3d; б) 15/6 d.Смежные углы.57. Начертить два неравных смежных угла так, чтобы их общая сторона была:
а) вертикальной; б) горизонтальной; в) наклонной. 58. Среди углов, данных на чертеже 19, указать смежные углы. Объяснить, почему углы на чертеже 19, в нельзя назвать смежными.59. Всегда ли верно, что: а) если два угла смежные, то их сумма равна двум прямым углам; б) если сумма двух углов равна двум прямым, то углы смежные? Привести примеры.60. 1) Построить для данного угла (острого или тупого) угол, дополняющий его до развёрнутого.2) Сколько можно построить углов, смежных данному? Доказать, что эти углы равны.61. Один из смежных углов тупой (острый). Каким является другой угол?62. Один из смежных углов равен: а) 0,9 d; б) 7/8d. Найти величину другого угла.63. Один из смежных углов больше другого на: а) 1/3d; б) d. Найти величину каждого из этих углов.64.1) Один из смежных углов в три раза больше другого. Найти величину каждого из этих углов.2) Один из смежных углов составляет 20% другого. Найти величину каждого из этих углов.65. Угол ABC равен: a) 0,8d; б) 11/3 d. Продолжить стороны этого угла за вершину и вычислить величину каждого из образовавшихся углов.66. Найти величину угла, образованного биссектрисами двух смежных углов.67. Из точки С, взятой на прямой АВ, проведены два луча СМ и CN так, что они образуют с прямой АВ равные острые углы (черт. 20), / 1 = / 2. Объяснить, почему
/ 3 = / 4.68. 1) Из точки, взятой на прямой, по одну сторону этой прямой проведены два луча (черт. 21) так, что / 1 = 0,5 d, / 2 =7/8 d. Найти величину третьего угла.2) На прямой дана точка, из которой по одну сторону прямой проведены два луча (черт. 22) так, что / 1 = 3/5 d, / 2 составляет половину первого угла. Найти величину третьего угла.69. 1) Через вершину угла, равного 8/9d, вне его проведена прямая, образующая с одной из его сторон угол, равный d/3. Найти величину угла, образованного прямой с другой стороной данного угла.2) Через вершину угла, равного 8/9 d, проведена прямая, делящая угол на два угла, один из которых равен d/3. Найти каждый из образовавшихся углов, меньших
