Какого числа родился крылов иван андреевич. «Главный баснописец своей земли. Основные достижения Крылова

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретические сведения

Теоретические сведения

	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Определение	Арифметической прогрессией a n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d - разность прогрессий)	Геометрической прогрессией b n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q - знаменатель прогрессии)
Рекуррентная формула	Для любого натурального n a n + 1 = a n + d	Для любого натурального n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ого члена	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Характеристическое свойство
Сумма n-первых членов

Примеры заданий с комментариями

Задание 1

В арифметической прогрессии (a n ) a 1 = -6, a 2

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 - 1) = a 1 + 21 d

По условию:

a 1 = -6, значит a 22 = -6 + 21 d .

Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 2

Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....

1-й способ (с помощью формулы n -члена)

По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4 .

Так как b 1 = -3,

2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)

Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Ответ : b 5 = -48.

Задание 3

В арифметической прогрессии (a n ) a 74 = 34; a 76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.

Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид .

Из этого следует:

Подставим данные в формулу:

Ответ : 95.

Задание 4

В арифметической прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.

Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:

Какую из них в данном случае удобнее применять?

По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Можно найти сразу и a 1 , и a 16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.

Ответ : 368.

Задание 5

В арифметической прогрессии(a n ) a 1 = -6; a 2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d .

По условию, если a 1 = -6, то a 22 = -6 + 21d . Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 6

Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

При решении воспользуемся формулой n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.

Подставив найденные значения в формулу, получим:

Ответ : .

Задание 7

Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a 27 > 9:

Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:

Ответ : 4.

Задание 8

В арифметической прогрессии a 1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство a n > -6.

Да, да: арифметическая прогрессия — это вам не игрушки:)

Что ж, друзья, если вы читаете этот текст, то внутренний кэп-очевидность подсказывает мне, что вы пока ещё не знаете, что такое арифметическая прогрессия, но очень (нет, вот так: ОООООЧЕНЬ!) хотите узнать. Поэтому не буду мучать вас длинными вступлениями и сразу перейду к делу.

Для начала парочка примеров. Рассмотрим несколько наборов чисел:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt{2};\ 2\sqrt{2};\ 3\sqrt{2};...$

Что общего у всех этих наборов? На первый взгляд — ничего. Но на самом деле кое-что есть. А именно: каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одно и то же число .

Судите сами. Первый набор — это просто идущие подряд числа, каждое следующее на единицу больше предыдущего. Во втором случае разница между рядом стоящими числами уже равна пяти, но эта разница всё равно постоянна. В третьем случае вообще корни. Однако $2\sqrt{2}=\sqrt{2}+\sqrt{2}$, а $3\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}$, т.е. и в этом случае каждый следующий элемент просто возрастает на $\sqrt{2}$ (и пусть вас не пугает, что это число — иррациональное).

Так вот: все такие последовательности как раз и называются арифметическими прогрессиями. Дадим строгое определение:

Определение. Последовательность чисел, в которой каждое следующее отличается от предыдущего ровно на одну и ту же величину, называется арифметической прогрессией. Сама величина, на которую отличаются числа, называется разностью прогрессии и чаще всего обозначается буквой $d$.

Обозначение: $\left({{a}_{n}} \right)$ — сама прогрессия, $d$ — её разность.

И сразу парочка важных замечаний. Во-первых, прогрессией считается лишь упорядоченная последовательность чисел: их разрешено читать строго в том порядке, в котором они записаны — и никак иначе. Переставлять и менять местами числа нельзя.

Во-вторых, сама последовательность может являться как конечной, так и бесконечной. К примеру, набор {1; 2; 3} — это, очевидно, конечная арифметическая прогрессия. Но если записать что-нибудь в духе {1; 2; 3; 4; ...} — это уже бесконечная прогрессия. Многоточие после четвёрки как бы намекает, что дальше идёт ещё довольно много чисел. Бесконечно много, например.:)

Ещё хотел бы отметить, что прогрессии бывают возрастающими и убывающими. Возрастающие мы уже видели — тот же набор {1; 2; 3; 4; ...}. А вот примеры убывающих прогрессий:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt{5};\ \sqrt{5}-1;\ \sqrt{5}-2;\ \sqrt{5}-3;...$

Ладно, ладно: последний пример может показаться чересчур сложным. Но остальные, думаю, вам понятны. Поэтому введём новые определения:

Определение. Арифметическая прогрессия называется:

возрастающей, если каждый следующий элемент больше предыдущего;

убывающей, если, напротив, каждый последующий элемент меньше предыдущего.

Кроме того, существуют так называемые «стационарные» последовательности — они состоят из одного и того же повторяющегося числа. Например, {3; 3; 3; ...}.

Остаётся лишь один вопрос: как отличить возрастающую прогрессию от убывающей? К счастью, тут всё зависит лишь от того, каков знак числа $d$, т.е. разности прогрессии:

Если $d \gt 0$, то прогрессия возрастает;
Если $d \lt 0$, то прогрессия, очевидно, убывает;
Наконец, есть случай $d=0$ — в этом случае вся прогрессия сводится к стационарной последовательности одинаковых чисел: {1; 1; 1; 1; ...} и т.д.

Попробуем рассчитать разность $d$ для трёх убывающих прогрессий, приведённых выше. Для этого достаточно взять любые два соседних элемента (например, первый и второй) и вычесть из числа, стоящего справа, число, стоящее слева. Выглядеть это будет вот так:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt{5}-1-\sqrt{5}=-1$.

Как видим, во всех трёх случаях разность действительно получилась отрицательной. И теперь, когда мы более-менее разобрались с определениями, пора разобраться с тем, как описываются прогрессии и какие у них свойства.

Члены прогрессии и рекуррентная формула

Поскольку элементы наших последовательностей нельзя менять местами, их можно пронумеровать:

\[\left({{a}_{n}} \right)=\left\{ {{a}_{1}},\ {{a}_{2}},{{a}_{3}},... \right\}\]

Отдельные элементы этого набора называются членами прогрессии. На них так и указывают с помощью номера: первый член, второй член и т.д.

Кроме того, как мы уже знаем, соседние члены прогрессии связаны формулой:

\[{{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}=d\Rightarrow {{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+d\]

Короче говоря, чтобы найти $n$-й член прогрессии, нужно знать $n-1$-й член и разность $d$. Такая формула называется рекуррентной, поскольку с её помощью можно найти любое число, лишь зная предыдущее (а по факту — все предыдущие). Это очень неудобно, поэтому существует более хитрая формула, которая сводит любые вычисления к первому члену и разности:

\[{{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d\]

Наверняка вы уже встречались с этой формулой. Её любят давать во всяких справочниках и решебниках. Да и в любом толковом учебнике по математике она идёт одной из первых.

Тем не менее предлагаю немного потренироваться.

Задача №1. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии $\left({{a}_{n}} \right)$, если ${{a}_{1}}=8,d=-5$.

Решение. Итак, нам известен первый член ${{a}_{1}}=8$ и разность прогрессии $d=-5$. Воспользуемся только что приведённой формулой и подставим $n=1$, $n=2$ и $n=3$:

\[\begin{align} & {{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d; \\ & {{a}_{1}}={{a}_{1}}+\left(1-1 \right)d={{a}_{1}}=8; \\ & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+\left(2-1 \right)d={{a}_{1}}+d=8-5=3; \\ & {{a}_{3}}={{a}_{1}}+\left(3-1 \right)d={{a}_{1}}+2d=8-10=-2. \\ \end{align}\]

Ответ: {8; 3; −2}

Вот и всё! Обратите внимание: наша прогрессия — убывающая.

Конечно, $n=1$ можно было и не подставлять — первый член нам и так известен. Впрочем, подставив единицу, мы убедились, что даже для первого члена наша формула работает. В остальных случаях всё свелось к банальной арифметике.

Задача №2. Выпишите первые три члена арифметической прогрессии, если её седьмой член равен −40, а семнадцатый член равен −50.

Решение. Запишем условие задачи в привычных терминах:

\[{{a}_{7}}=-40;\quad {{a}_{17}}=-50.\]

\[\left\{ \begin{align} & {{a}_{7}}={{a}_{1}}+6d \\ & {{a}_{17}}={{a}_{1}}+16d \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}+6d=-40 \\ & {{a}_{1}}+16d=-50 \\ \end{align} \right.\]

Знак системы я поставил потому, что эти требования должны выполняться одновременно. А теперь заметим, если вычесть из второго уравнения первое (мы имеем право это сделать, т.к. у нас система), то получим вот что:

\[\begin{align} & {{a}_{1}}+16d-\left({{a}_{1}}+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & {{a}_{1}}+16d-{{a}_{1}}-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\ & d=-1. \\ \end{align}\]

Вот так просто мы нашли разность прогрессии! Осталось подставить найденное число в любое из уравнений системы. Например, в первое:

\[\begin{matrix} {{a}_{1}}+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ {{a}_{1}}-6=-40; \\ {{a}_{1}}=-40+6=-34. \\ \end{matrix}\]

Теперь, зная первый член и разность, осталось найти второй и третий член:

\[\begin{align} & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+d=-34-1=-35; \\ & {{a}_{3}}={{a}_{1}}+2d=-34-2=-36. \\ \end{align}\]

Готово! Задача решена.

Ответ: {−34; −35; −36}

Обратите внимание на любопытное свойство прогрессии, которое мы обнаружили: если взять $n$-й и $m$-й члены и вычесть их друг из друга, то мы получим разность прогрессии, умноженную на число $n-m$:

\[{{a}_{n}}-{{a}_{m}}=d\cdot \left(n-m \right)\]

Простое, но очень полезное свойство, которое обязательно надо знать — с его помощью можно значительно ускорить решение многих задач по прогрессиям. Вот яркий тому пример:

Задача №3. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а её десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

Решение. Поскольку ${{a}_{5}}=8,4$, ${{a}_{10}}=14,4$, а нужно найти ${{a}_{15}}$, то заметим следующее:

\[\begin{align} & {{a}_{15}}-{{a}_{10}}=5d; \\ & {{a}_{10}}-{{a}_{5}}=5d. \\ \end{align}\]

Но по условию ${{a}_{10}}-{{a}_{5}}=14,4-8,4=6$, поэтому $5d=6$, откуда имеем:

\[\begin{align} & {{a}_{15}}-14,4=6; \\ & {{a}_{15}}=6+14,4=20,4. \\ \end{align}\]

Ответ: 20,4

Вот и всё! Нам не потребовалось составлять какие-то системы уравнений и считать первый член и разность — всё решилось буквально в пару строчек.

Теперь рассмотрим другой вид задач — на поиск отрицательных и положительных членов прогрессии. Не секрет, что если прогрессия возрастает, при этом первый член у неё отрицательный, то рано или поздно в ней появятся положительные члены. И напротив: члены убывающей прогрессии рано или поздно станут отрицательными.

При этом далеко не всегда можно нащупать этот момент «в лоб», последовательно перебирая элементы. Зачастую задачи составлены так, что без знания формул вычисления заняли бы несколько листов — мы просто уснули бы, пока нашли ответ. Поэтому попробуем решить эти задачи более быстрым способом.

Задача №4. Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии −38,5; −35,8; …?

Решение. Итак, ${{a}_{1}}=-38,5$, ${{a}_{2}}=-35,8$, откуда сразу находим разность:

Заметим, что разность положительна, поэтому прогрессия возрастает. Первый член отрицателен, поэтому действительно в какой-то момент мы наткнёмся на положительные числа. Вопрос лишь в том, когда это произойдёт.

Попробуем выяснить: до каких пор (т.е. до какого натурального числа $n$) сохраняется отрицательность членов:

\[\begin{align} & {{a}_{n}} \lt 0\Rightarrow {{a}_{1}}+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac{7}{27}\Rightarrow {{n}_{\max }}=15. \\ \end{align}\]

Последняя строчка требует пояснения. Итак, нам известно, что $n \lt 15\frac{7}{27}$. С другой стороны, нас устроят лишь целые значения номера (более того: $n\in \mathbb{N}$), поэтому наибольший допустимый номер — это именно $n=15$, а ни в коем случае не 16.

Задача №5. В арифметической прогрессии ${{}_{5}}=-150,{{}_{6}}=-147$. Найдите номер первого положительного члена этой прогрессии.

Это была бы точь-в-точь такая же задача, как и предыдущая, однако нам неизвестно ${{a}_{1}}$. Зато известны соседние члены: ${{a}_{5}}$ и ${{a}_{6}}$, поэтому мы легко найдём разность прогрессии:

Кроме того, попробуем выразить пятый член через первый и разность по стандартной формуле:

\[\begin{align} & {{a}_{n}}={{a}_{1}}+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & {{a}_{5}}={{a}_{1}}+4d; \\ & -150={{a}_{1}}+4\cdot 3; \\ & {{a}_{1}}=-150-12=-162. \\ \end{align}\]

Теперь поступаем по аналогии с предыдущей задачей. Выясняем, в какой момент в нашей последовательности возникнут положительные числа:

\[\begin{align} & {{a}_{n}}=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow {{n}_{\min }}=56. \\ \end{align}\]

Минимальное целочисленное решение данного неравенства — число 56.

Обратите внимание: в последнем задании всё свелось к строгому неравенству, поэтому вариант $n=55$ нас не устроит.

Теперь, когда мы научились решать простые задачи, перейдём к более сложным. Но для начала давайте изучим ещё одно очень полезное свойство арифметических прогрессий, которое в будущем сэкономит нам кучу времени и неравных клеток.:)

Среднее арифметическое и равные отступы

Рассмотрим несколько последовательных членов возрастающей арифметической прогрессии $\left({{a}_{n}} \right)$. Попробуем отметить их на числовой прямой:

Члены арифметической прогрессии на числовой прямой

Я специально отметил произвольные члены ${{a}_{n-3}},...,{{a}_{n+3}}$, а не какие-нибудь ${{a}_{1}},\ {{a}_{2}},\ {{a}_{3}}$ и т.д. Потому что правило, о котором я сейчас расскажу, одинаково работает для любых «отрезков».

А правило очень простое. Давайте вспомним рекуррентную формулу и запишем её для всех отмеченных членов:

\[\begin{align} & {{a}_{n-2}}={{a}_{n-3}}+d; \\ & {{a}_{n-1}}={{a}_{n-2}}+d; \\ & {{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+d; \\ & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \\ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n+1}}+d; \\ \end{align}\]

Однако эти равенства можно переписать иначе:

\[\begin{align} & {{a}_{n-1}}={{a}_{n}}-d; \\ & {{a}_{n-2}}={{a}_{n}}-2d; \\ & {{a}_{n-3}}={{a}_{n}}-3d; \\ & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \\ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n}}+2d; \\ & {{a}_{n+3}}={{a}_{n}}+3d; \\ \end{align}\]

Ну и что с того? А то, что члены ${{a}_{n-1}}$ и ${{a}_{n+1}}$ лежат на одном и том же расстоянии от ${{a}_{n}}$. И это расстояние равно $d$. То же самое можно сказать про члены ${{a}_{n-2}}$ и ${{a}_{n+2}}$ — они тоже удалены от ${{a}_{n}}$ на одинаковое расстояние, равное $2d$. Продолжать можно до бесконечности, но смысл хорошо иллюстрирует картинка

Члены прогрессии лежат на одинаковом расстоянии от центра

Что это значит для нас? Это значит, что можно найти ${{a}_{n}}$, если известны числа-соседи:

\[{{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n-1}}+{{a}_{n+1}}}{2}\]

Мы вывели великолепное утверждение: всякий член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому соседних членов! Более того: мы можем отступить от нашего ${{a}_{n}}$ влево и вправо не на один шаг, а на $k$ шагов — и всё равно формула будет верна:

\[{{a}_{n}}=\frac{{{a}_{n-k}}+{{a}_{n+k}}}{2}\]

Т.е. мы спокойно можем найти какое-нибудь ${{a}_{150}}$, если знаем ${{a}_{100}}$ и ${{a}_{200}}$, потому что ${{a}_{150}}=\frac{{{a}_{100}}+{{a}_{200}}}{2}$. На первый взгляд может показаться, что данный факт не даёт нам ничего полезного. Однако на практике многие задачи специально «заточены» под использование среднего арифметического. Взгляните:

Задача №6. Найдите все значения $x$, при которых числа $-6{{x}^{2}}$, $x+1$ и $14+4{{x}^{2}}$ являются последовательными членами арифметической прогрессии (в указанном порядке).

Решение. Поскольку указанные числа являются членами прогрессии, для них выполняется условие среднего арифметического: центральный элемент $x+1$ можно выразить через соседние элементы:

\[\begin{align} & x+1=\frac{-6{{x}^{2}}+14+4{{x}^{2}}}{2}; \\ & x+1=\frac{14-2{{x}^{2}}}{2}; \\ & x+1=7-{{x}^{2}}; \\ & {{x}^{2}}+x-6=0. \\ \end{align}\]

Получилось классическое квадратное уравнение. Его корни: $x=2$ и $x=-3$ — это и есть ответы.

Ответ: −3; 2.

Задача №7. Найдите значения $$, при которых числа $-1;4-3;{{}^{2}}+1$ составляют арифметическую прогрессию (в указанном порядке).

Решение. Опять выразим средний член через среднее арифметическое соседних членов:

\[\begin{align} & 4x-3=\frac{x-1+{{x}^{2}}+1}{2}; \\ & 4x-3=\frac{{{x}^{2}}+x}{2};\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6={{x}^{2}}+x; \\ & {{x}^{2}}-7x+6=0. \\ \end{align}\]

Снова квадратное уравнение. И снова два корня: $x=6$ и$x=1$.

Ответ: 1; 6.

Если в процессе решения задачи у вас вылезают какие-то зверские числа, либо вы не до конца уверены в правильности найденных ответов, то есть замечательный приём, позволяющий проверить: правильно ли мы решили задачу?

Допустим, в задаче №6 мы получили ответы −3 и 2. Как проверить, что эти ответы верны? Давайте просто подставим их в исходное условие и посмотрим, что получится. Напомню, что у нас есть три числа ($-6{{}^{2}}$, $+1$ и $14+4{{}^{2}}$), которые должны составлять арифметическую прогрессию. Подставим $x=-3$:

\[\begin{align} & x=-3\Rightarrow \\ & -6{{x}^{2}}=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4{{x}^{2}}=50. \end{align}\]

Получили числа −54; −2; 50, которые отличаются на 52 — несомненно, это арифметическая прогрессия. То же самое происходит и при $x=2$:

\[\begin{align} & x=2\Rightarrow \\ & -6{{x}^{2}}=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4{{x}^{2}}=30. \end{align}\]

Опять прогрессия, но с разностью 27. Таким образом, задача решена верно. Желающие могут проверить вторую задачу самостоятельно, но сразу скажу: там тоже всё верно.

В целом, решая последние задачи, мы наткнулись на ещё один интересный факт, который тоже необходимо запомнить:

Если три числа таковы, что второе является средним арифметическим первого и последнего, то эти числа образуют арифметическую прогрессию.

В будущем понимание этого утверждения позволит нам буквально «конструировать» нужные прогрессии, опираясь на условие задачи. Но прежде чем мы займёмся подобным «конструированием», следует обратить внимание на ещё один факт, который прямо следует из уже рассмотренного.

Группировка и сумма элементов

Давайте ещё раз вернёмся к числовой оси. Отметим там несколько членов прогрессии, между которыми, возможно. стоит очень много других членов:

На числовой прямой отмечены 6 элементов

Попробуем выразить «левый хвост» через ${{a}_{n}}$ и $d$, а «правый хвост» через ${{a}_{k}}$ и $d$. Это очень просто:

\[\begin{align} & {{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+d; \\ & {{a}_{n+2}}={{a}_{n}}+2d; \\ & {{a}_{k-1}}={{a}_{k}}-d; \\ & {{a}_{k-2}}={{a}_{k}}-2d. \\ \end{align}\]

А теперь заметим, что равны следующие суммы:

\[\begin{align} & {{a}_{n}}+{{a}_{k}}=S; \\ & {{a}_{n+1}}+{{a}_{k-1}}={{a}_{n}}+d+{{a}_{k}}-d=S; \\ & {{a}_{n+2}}+{{a}_{k-2}}={{a}_{n}}+2d+{{a}_{k}}-2d=S. \end{align}\]

Проще говоря, если мы рассмотрим в качестве старта два элемента прогрессии, которые в сумме равны какому-нибудь числу $S$, а затем начнём шагать от этих элементов в противоположные стороны (навстречу друг другу или наоборот на удаление), то суммы элементов, на которые мы будем натыкаться, тоже будут равны $S$. Наиболее наглядно это можно представить графически:

Одинаковые отступы дают равные суммы

Понимание данного факта позволит нам решать задачи принципиально более высокого уровня сложности, нежели те, что мы рассматривали выше. Например, такие:

Задача №8. Определите разность арифметической прогрессии, в которой первый член равен 66, а произведение второго и двенадцатого членов является наименьшим из возможных.

Решение. Запишем всё, что нам известно:

\[\begin{align} & {{a}_{1}}=66; \\ & d=? \\ & {{a}_{2}}\cdot {{a}_{12}}=\min . \end{align}\]

Итак, нам неизвестна разность прогрессии $d$. Собственно, вокруг разности и будет строиться всё решение, поскольку произведение ${{a}_{2}}\cdot {{a}_{12}}$ можно переписать следующим образом:

\[\begin{align} & {{a}_{2}}={{a}_{1}}+d=66+d; \\ & {{a}_{12}}={{a}_{1}}+11d=66+11d; \\ & {{a}_{2}}\cdot {{a}_{12}}=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end{align}\]

Для тех, кто в танке: я вынес общий множитель 11 из второй скобки. Таким образом, искомое произведение представляет собой квадратичную функцию относительно переменной $d$. Поэтому рассмотрим функцию $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ — её графиком будет парабола ветвями вверх, т.к. если раскрыть скобки, то мы получим:

\[\begin{align} & f\left(d \right)=11\left({{d}^{2}}+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11{{d}^{2}}+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end{align}\]

Как видим, коэффициент при старшем слагаемом равен 11 — это положительное число, поэтому действительно имеем дело с параболой ветвями вверх:

график квадратичной функции — парабола
Обратите внимание: минимальное значение эта парабола принимает в своей вершине с абсциссой ${{d}_{0}}$. Конечно, мы можем посчитать эту абсциссу по стандартной схеме (есть же формула ${{d}_{0}}={-b}/{2a}\;$), но куда разумнее будет заметить, что искомая вершина лежит на оси симметрии параболы, поэтому точка ${{d}_{0}}$ равноудалена от корней уравнения $f\left(d \right)=0$:

\[\begin{align} & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & {{d}_{1}}=-66;\quad {{d}_{2}}=-6. \\ \end{align}\]

Именно поэтому я не особо спешил раскрывать скобки: в исходном виде корни было найти очень и очень просто. Следовательно, абсцисса равна среднему арифметическому чисел −66 и −6:

\[{{d}_{0}}=\frac{-66-6}{2}=-36\]

Что даёт нам обнаруженное число? При нём требуемое произведение принимает наименьшее значение (мы, кстати, так и не посчитали ${{y}_{\min }}$ — от нас это не требуется). Одновременно это число является разностью исходной прогрессии, т.е. мы нашли ответ.:)

Ответ: −36

Задача №9. Между числами $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{6}$ вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.

Решение. По сути, нам нужно составить последовательность из пяти чисел, причём первое и последнее число уже известно. Обозначим недостающие числа переменными $x$, $y$ и $z$:

\[\left({{a}_{n}} \right)=\left\{ -\frac{1}{2};x;y;z;-\frac{1}{6} \right\}\]

Отметим, что число $y$ является «серединой» нашей последовательности — оно равноудалено и от чисел $x$ и $z$, и от чисел $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{1}{6}$. И если из чисел $x$ и $z$ мы в данный момент не можем получить $y$, то вот с концами прогрессии дело обстоит иначе. Вспоминаем про среднее арифметическое:

Теперь, зная $y$, мы найдём оставшиеся числа. Заметим, что $x$ лежит между числами $-\frac{1}{2}$ и только что найденным $y=-\frac{1}{3}$. Поэтому

Аналогично рассуждая, находим оставшееся число:

Готово! Мы нашли все три числа. Запишем их в ответе в том порядке, в котором они должны быть вставлены между исходными числами.

Ответ: $-\frac{5}{12};\ -\frac{1}{3};\ -\frac{1}{4}$

Задача №10. Между числами 2 и 42 вставьте несколько чисел, которые вместе с данными числами образуют арифметическую прогрессию, если известно, что сумма первого, второго и последнего из вставленных чисел равна 56.

Решение. Ещё более сложная задача, которая, однако, решается по той же схеме, что и предыдущие — через среднее арифметическое. Проблема в том, что нам неизвестно, сколько конкретно чисел надо вставить. Поэтому положим для опредлённости, что после вставки всего будет ровно $n$ чисел, причём первое из них — это 2, а последнее — 42. В этом случае искомая арифметическая прогрессия представима в виде:

\[\left({{a}_{n}} \right)=\left\{ 2;{{a}_{2}};{{a}_{3}};...;{{a}_{n-1}};42 \right\}\]

\[{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{n-1}}=56\]

Заметим, однако, что числа ${{a}_{2}}$ и ${{a}_{n-1}}$ получаются из стоящих по краям чисел 2 и 42 путём одного шага навстречу друг другу, т.е. к центру последовательности. А это значит, что

\[{{a}_{2}}+{{a}_{n-1}}=2+42=44\]

Но тогда записанное выше выражение можно переписать так:

\[\begin{align} & {{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{n-1}}=56; \\ & \left({{a}_{2}}+{{a}_{n-1}} \right)+{{a}_{3}}=56; \\ & 44+{{a}_{3}}=56; \\ & {{a}_{3}}=56-44=12. \\ \end{align}\]

Зная ${{a}_{3}}$ и ${{a}_{1}}$, мы легко найдём разность прогрессии:

\[\begin{align} & {{a}_{3}}-{{a}_{1}}=12-2=10; \\ & {{a}_{3}}-{{a}_{1}}=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end{align}\]

Осталось лишь найти остальные члены:

\[\begin{align} & {{a}_{1}}=2; \\ & {{a}_{2}}=2+5=7; \\ & {{a}_{3}}=12; \\ & {{a}_{4}}=2+3\cdot 5=17; \\ & {{a}_{5}}=2+4\cdot 5=22; \\ & {{a}_{6}}=2+5\cdot 5=27; \\ & {{a}_{7}}=2+6\cdot 5=32; \\ & {{a}_{8}}=2+7\cdot 5=37; \\ & {{a}_{9}}=2+8\cdot 5=42; \\ \end{align}\]

Таким образом, уже на 9-м шаге мы придём в левый конец последовательности — число 42. Итого нужно было вставить лишь 7 чисел: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Ответ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстовые задачи с прогрессиями

В заключение хотелось бы рассмотреть парочку относительно простых задач. Ну, как простых: для большинства учеников, которые изучают математику в школе и не читали того, что написано выше, эти задачи могут показаться жестью. Тем не менее именно такие задачи попадаются в ОГЭ и ЕГЭ по математике, поэтому рекомендую ознакомиться с ними.

Задача №11. Бригада изготовила в январе 62 детали, а в каждый следующий месяц изготовляла на 14 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей изготовила бригада в ноябре?

Решение. Очевидно, количество деталей, расписанное по месяцам, будет представлять собой возрастающую арифметическую прогрессию. Причём:

\[\begin{align} & {{a}_{1}}=62;\quad d=14; \\ & {{a}_{n}}=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end{align}\]

Ноябрь — это 11-й месяц в году, поэтому нам нужно найти ${{a}_{11}}$:

\[{{a}_{11}}=62+10\cdot 14=202\]

Следовательно, в ноябре будет изготовлено 202 детали.

Задача №12. Переплётная мастерская переплела в январе 216 книг, а в каждый следующий месяц она переплетала на 4 книги больше, чем в предыдущий. Сколько книг переплела мастерская в декабре?

Решение. Всё то же самое:

$\begin{align} & {{a}_{1}}=216;\quad d=4; \\ & {{a}_{n}}=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end{align}$

Декабрь — это последний, 12-й месяц в году, поэтому ищем ${{a}_{12}}$:

\[{{a}_{12}}=216+11\cdot 4=260\]

Это и есть ответ — 260 книг будет переплетено в декабре.

Что ж, если вы дочитали до сюда, спешу вас поздравить: «курс молодого бойца» по арифметическим прогрессиям вы успешно прошли. Можно смело переходить к следующему уроку, где мы изучим формулу суммы прогрессии, а также важные и очень полезные следствия из неё.

И. В. Яковлев | Материалы по математике | MathUs.ru

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия это специального вида последовательность. Поэтому прежде чем давать определение арифметической (а затем и геометрической) прогрессии, нам нужно вкратце обсудить важное понятие числовой последовательности.

Последовательность

Вообразите устройство, на экране которого высвечиваются одно за другим некоторые числа. Скажем, 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Такой набор чисел как раз и является примером последовательности.

Определение. Числовая последовательность это множество чисел, в котором каждому числу можно присвоить уникальный номер (то есть поставить в соответствие единственное натуральное число)1 . Число с номером n называется n-м членом последовательности.

Так, в приведённом выше примере первый номер имеет число 2 это первый член последовательности, который можно обозначить a1 ; номер пять имеет число 6 это пятый член последовательности, который можно обозначить a5 . Вообще, n-й член последовательности обозначается an (или bn , cn и т. д.).

Очень удобна ситуация, когда n-й член последовательности можно задать некоторой формулой. Например, формула an = 2n 3 задаёт последовательность: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формула an = (1)n задаёт последовательность: 1; 1; 1; 1; : : :

Не всякое множество чисел является последовательностью. Так, отрезок не последовательность; в нём содержится ¾слишком много¿ чисел, чтобы их можно было перенумеровать. Множество R всех действительных чисел также не является последовательностью. Эти факты доказываются в курсе математического анализа.

Арифметическая прогрессия: основные определения

Вот теперь мы готовы дать определение арифметической прогрессии.

Определение. Арифметическая прогрессия это последовательность, каждый член которой (начиная со второго) равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа (называемого разностью арифметической прогрессии).

Например, последовательность 2; 5; 8; 11; : : : является арифметической прогрессией с первым членом 2 и разностью 3. Последовательность 7; 2; 3; 8; : : : является арифметической прогрессией с первым членом 7 и разностью 5. Последовательность 3; 3; 3; : : : является арифметической прогрессией с разностью, равной нулю.

Эквивалентное определение: последовательность an называется арифметической прогрессией, если разность an+1 an есть величина постоянная (не зависящая от n).

Арифметическая прогрессия называется возрастающей, если её разность положительна, и убывающей, если её разность отрицательна.

1 А вот более лаконичное определение: последовательность есть функция, определённая на множестве натуральных чисел. Например, последовательность действительных чисел есть функция f: N ! R.

По умолчанию последовательности считаются бесконечными, то есть содержащими бесконечное множество чисел. Но никто не мешает рассматривать и конечные последовательности; собственно, любой конечный набор чисел можно назвать конечной последовательностью. Например, конечная последовательность 1; 2; 3; 4; 5 состоит из пяти чисел.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Легко понять, что арифметическая прогрессия полностью определяется двумя числами: первым членом и разностью. Поэтому возникает вопрос: как, зная первый член и разность, найти произвольный член арифметической прогрессии?

Получить искомую формулу n-го члена арифметической прогрессии нетрудно. Пусть an

арифметическая прогрессия с разностью d. Имеем:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
В частности, пишем:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
и теперь становится ясно, что формула для an имеет вид:
an = a1 + (n 1)d:

Задача 1. В арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11; : : : найти формулу n-го члена и вычислить сотый член.

Решение. Согласно формуле (1 ) имеем:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Свойство и признак арифметической прогрессии

Свойство арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии an для любого

Иначе говоря, каждый член арифметической прогрессии (начиная со второго) является средним арифметическим соседних членов.

	Доказательство. Имеем:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

что и требовалось.

Более общим образом, для арифметической прогрессии an справедливо равенство

a n = a n k+ a n+k

при любом n > 2 и любом натуральном k < n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Оказывается, формула (2 ) служит не только необходимым, но и достаточным условием того, что последовательность является арифметической прогрессией.

Признак арифметической прогрессии. Если для всех n > 2 выполнено равенство (2 ), то последовательность an является арифметической прогрессией.

Доказательство. Перепишем формулу (2 ) следующим образом:

a na n 1= a n+1a n:

Отсюда видно, что разность an+1 an не зависит от n, а это как раз и означает, что последовательность an есть арифметическая прогрессия.

Свойство и признак арифметической прогрессии можно сформулировать в виде одного утверждения; мы для удобства сделаем это для трёх чисел (именно такая ситуация часто встречается в задачах).

Характеризация арифметической прогрессии. Три числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда 2b = a + c.

Задача 2. (МГУ, экономич. ф-т, 2007) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в указанном порядке образуют убывающую арифметическую прогрессию. Найдите x и укажите разность этой прогрессии.

Решение. По свойству арифметической прогрессии имеем:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Если x = 1, то получается убывающая прогрессия 8, 2, 4 с разностью 6. Если x = 5, то получается возрастающая прогрессия 40, 22, 4; этот случай не годится.

Ответ: x = 1, разность равна 6.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Легенда гласит, что однажды учитель велел детям найти сумму чисел от 1 до 100 и сел спокойно читать газету. Однако не прошло и нескольких минут, как один мальчик сказал, что решил задачу. Это был 9-летний Карл Фридрих Гаусс, впоследствии один из величайших математиков в истории.

Идея маленького Гаусса была такова. Пусть

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Запишем данную сумму в обратном порядке:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

и сложим две этих формулы:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Каждое слагаемое в скобках равно 101, а всего таких слагаемых 100. Поэтому

2S = 101 100 = 10100;

Мы используем эту идею для вывода формулы суммы

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Полезная модификация формулы (3 ) получается, если в неё подставить формулу n-го члена an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

Задача 3. Найти сумму всех положительных трёхзначных чисел, делящихся на 13.

Решение. Трёхзначные числа, кратные 13, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 104 и разностью 13; n-й член этой прогрессии имеет вид:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Давайте выясним, сколько членов содержит наша прогрессия. Для этого решим неравенство:

an 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

Итак, в нашей прогрессии 69 членов. По формуле (4 ) находим искомую сумму:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Иван Андреевич Крылов - это русский писатель, баснописец, драматург. Биография Крылова будет описана в этой статье. Мы расскажем не только о жизни писателя, но и о его творчестве. Вы узнаете, что Крылов Иван Андреевич является не только создателем басен. Им были написаны и другие произведения. Подробнее об этом читайте ниже.

Детские годы будущего писателя

Биография Крылова начинается следующим образом. Будущий писатель появился на свет в Москве. Конечно, читателям было бы интересно узнать также о времени рождения такого человека, как Иван Крылов. "Когда родился он?" - спросите вы. Отвечаем: Иван Андреевич появился на свет в 1769 году, 2 (13) февраля.

Учился будущий писатель бессистемно и мало. Когда умер Андрей Прохорович, его отец, служивший в Твери мелким чиновником, Ивану Андреевичу шел десятый год. Родитель Ивана "наукам не учился", однако читать очень любил и привил сыну свою любовь. Отец мальчика сам выучил его письму и чтению, а также оставил сундук книг в наследство сыну. Портрет Крылова Ивана Андреевича смотрите ниже.

Жизнь у Львова Николая Александровича

Крылов получил дальнейшее образование при покровительстве Львова Николая Александровича, писателя, который познакомился со стихами юного поэта. В детские годы интересующий нас автор много времени проводил в доме Львова, расположенном в том же городе, где родился Иван Андреевич Крылов (то есть в Москве). Он вместе с детьми этого человека учился, а также слушал разговоры художников и литераторов, посещавших Николая Александровича. Впоследствии сказались недостатки такого отрывочного образования. Крылов, например, был всегда слаб в орфографии, однако приобрел с годами довольно широкий кругозор и прочные знания, научился говорить по-итальянски и играть на скрипке.

Служба Ивана Андреевича

Иван Андреевич был записан в нижний земский суд на службу, хотя это была лишь формальность. Крылов никогда или почти никогда не ходил в присутствие, не получал и денег. В возрасте 14 лет произошел переезд в Петербург, где жил Крылов Иван Андреевич некоторое время после того, как туда отправилась его мать хлопотать о назначении пенсии. Будущий писатель перевелся в Петербургскую казенную палату на службу. Но не очень интересовали его служебные дела.

Первые пьесы Крылова

Среди увлечений Ивана Андреевича на первом месте находились литературные занятия, а также посещение театра. Не изменились эти пристрастия и после того, как он лишился матери в 17 лет и вынужден был заботиться о младшем брате. Крылов писал много для театра в 80-е годы. Им были созданы либретто таких комических опер, как "Бешеная семья" и "Кофейница", а также трагедии "Филомела" и "Клеопатра", комедия под названием "Сочинитель в прихожей". Произведения эти ни известности, ни денег молодому автору не принесли, однако помогли войти в круг литераторов Петербурга. Покровительствовал Крылову Я. Б. Княжнин, известный драматург, но самолюбивый юноша, решив, что над ним насмехаются в доме "мэтра", порвал со своим другом. Он написал комедию под названием "Проказники" - произведение, в котором главные герои, Таратор и Рифмокрад, сильно напоминали Княжнина и его супругу. Это было уже более зрелое творение, чем предшествующие пьесы, однако постановка данной комедии была запрещена. У Ивана Андреевича испортились отношения с театральной дирекцией, которая решала судьбу драматических сочинений.

Деятельность Ивана Андреевича в сфере журналистики

Основная деятельность с конца 80-х годов разворачивалась у этого автора в сфере журналистики. В течение 8 месяцев в 1789 году Иван Андреевич издавал журнал под названием "Почта духов". Проявившаяся уже в раннем творчестве сатирическая направленность здесь сохранилась, но несколько трансформировалась. Крыловым была написана карикатурная картина, изображающая современное общество. Свой рассказ он облек в форму переписки между волшебником Маликульмульком и гномами. Это издание было закрыто, поскольку у журнала было очень мало подписчиков - всего 80. Судя по тому, что в 1802 году "Почту духов" переиздали, появление ее для читающей публики не осталось незамеченным.

Журнал "Зритель"

В 1790 году биография Крылова отмечена тем, что Иван Андреевич вышел в отставку, приняв решение сосредоточиться на литературной деятельности. Писатель приобрел в январе 1792 года типографию и вместе с Клушиным, своим другом, также литератором, принялся издавать журнал под названием "Зритель", который пользовался уже некоторой популярностью.

"Зрителю" наибольший успех принесли написанные самим Крыловым произведения "Каиб", "Мысли философа о моде", "Речь, говоренная повесою в собрании дураков", "Похвальная речь в память моему дедушке". Росло число подписчиков.

"Меркурий"

Журнал в 1793 году переименовали в "Меркурий". Его издатели к тому времени сосредоточились на иронических нападках в адрес Карамзина и его сторонников. "Меркурию" реформаторское творчество этого писателя было чуждо, казалось излишне подверженным влияниям Запада, искусственным. Одной из излюбленных тем творчества Крылова в молодые годы, а также объектом изображения во множестве комедий, написанных им, является преклонение перед Западом. Карамзинисты, кроме того, отталкивали Ивана Андреевича пренебрежением к классицистической традиции стихосложения, этого писателя возмущал "простонародный", излишне незамысловатый слог Карамзина.

Издание "Меркурия" прекратилось в 1793 году, и Крылов уехал из Петербурга на несколько лет.

Жизнь и творчество писателя в период с 1795 по 1801 год

За период 1795-1801 гг. сохранились лишь отрывочные сведения о его жизни. Биография Крылова того времени представлена весьма кратко. Известно, что он путешествовал по провинции, гостил в поместьях своих товарищей. В 1797 году писатель отправляется к С. Ф. Голицыну и живет у него в качестве учителя детей и секретаря.

Пьеса под названием "Трумф, или Подщипа" была написана в 1799-1800 годах для домашнего спектакля Голицына. В злом, заносчивом, тупом вояке Трумфе угадывался царь Павел I. Ирония была настолько язвительной, что в России впервые опубликовали данную пьесу лишь в 1871 году.

Первые басни

Князь Голицын после смерти этого царя был назначен генерал-губернатором в Риге, и Крылов Иван Андреевич находился 2 года здесь в качестве его секретаря. Он опять вышел в отставку в 1803 году и путешествовал по стране, играл в карты. Именно в это время, о котором известно немного, и начал создавать Иван Андреевич Крылов басни.

В 1805 году писатель показал в Москве И. И. Дмитриеву, известному баснописцу и поэту, свой перевод двух басен Лафонтена - "Разборчивая невеста" и "Дуб и трость". Дмитриев высоко оценил проделанную Крыловым работу и отметил первым, что автор наконец нашел свое призвание. Иван Андреевич, однако, сам понял это не сразу. В 1806 году он издал лишь 3 басни, а затем вернулся опять к драматургии.

Три знаменитые пьесы в 1807 году

Писатель выпустил в 1807 году три пьесы, которые стали очень популярными и с успехом были поставлены на сцене. Это "Илья Богатырь", "Урок дочкам" и "Модная лавка". Наибольшим успехом пользовались последние две, высмеивавшие пристрастие представителей дворянства к французскому языку, нравам, моде и т. д. "Модная лавка" была поставлена даже при дворе.

Крылов Иван Андреевич, несмотря на долгожданный успех в театральной сфере, решил все-таки пойти по другому пути. Этот драматург прекратил создавать пьесы. Решил писать Иван Андреевич Крылов басни, созданию которых он уделял все больше внимания с каждым годом.

Крылов продолжает создавать басни

В 1809 году был выпущен первый сборник, который сразу же сделал по-настоящему знаменитым Крылова. Всего им было написано более 200 различных басен, объединенных в 9 книг. Творил Иван Андреевич до последних своих дней: знакомые и друзья писателя получили его последнее прижизненное издание в 1844 году вместе с сообщением о смерти писателя.

В творчестве Крылова сначала преобладали переложения и переводы басен Лафонтена ("Волк и Ягненок", "Стрекоза и Муравей"), после чего постепенно этот автор стал находить самостоятельные сюжеты, связанные со злободневными событиями действительности. Например, реакцией на политические события являются басни "Волк на псарне", "Лебедь, Щука и Рак", "Квартет". В основу "Пустынника и медведя", "Любопытного" и других легли более отвлеченные сюжеты. Но созданные "на злобу дня" басни стали очень скоро восприниматься как обобщенные.

В свое время смеявшийся над стилем Карамзина за пристрастие к простонародным выражениям, Иван Крылов начал сам создавать понятные всем произведения. Он превратился в подлинно народного писателя.

Смерть Ивана Андреевича

Иван Крылов умер в Санкт-Петербурге в 1844 году. Похороны Ивана Андреевича были пышными. Второй человек в русском государстве, граф Орлов, отстранил студента, несшего гроб, и сам понес его до дрог. Современники Крылова полагали, что Саша, дочь его кухарки, была рождена от него. Подтверждается это тем, что писатель отдал девочку в пансион, а после смерти кухарки воспитывал как дочь, кроме того, дал за нее богатое приданое. Все свое имущество, а также все права на сочинения перед своей кончиной Иван Андреевич завещал мужу Саши.

Так заканчивается в нашем изложении краткая биография Крылова. Теперь вы знаете, что этот человек создавал не только басни. Кроме того, вам может быть неизвестно о том, что А. Г. Рубинштейном положены на музыку такие его басни, как "Квартет", "Стрекоза и Муравей", "Осел и Соловей", "Кукушка и Орел". А Касьяник Ю. М. создал также вокальный цикл для фортепьяно и баса "Басни Крылова", который включает в себя произведения "Ворона и Лисица", "Осел и Соловей", "Прохожие и Собаки", "Троеженец". Все эти творения весьма интересны.

Кто такой Иван Крылов, что и о чем он писал? Про все это и мы сегодня постараемся рассказать вам, упираясь на разные источники из интернета.

К рылов Иван Андреевич

Русский публицист, поэт, баснописец, издатель сатирико-просветительских журналов. Более всего известен как автор 236 басен, собранных в девять прижизненных сборников.

Б иография

Отец, Андрей Прохорович Крылов (1736-1778), умел читать и писать, но «наукам не учился», служил в драгунском полку, в 1773 году отличился при защите Яицкого городка от пугачёвцев, затем был председателем магистрата в Твери. Умер в капитанском звании в бедности. Мать, Мария Алексеевна (1750-1788) после смерти мужа осталась вдовой. семья жила в бедности.

Иван Крылов первые годы детства провёл в разъездах с семьёй. Грамоте выучился дома (отец его был большой любитель чтения, после него к сыну перешёл целый сундук книг); французским языком занимался в семействе состоятельных соседей.

Будущий баснописец очень рано приступил к работе и познал тяжесть жизни в нищете. В 1777 г. он был записан в гражданскую службу подканцеляристом Калязинского нижнего земского суда, а затем Тверского магистрата. Эта служба была, по-видимому, только номинальной, и Крылов считался, вероятно, в отпуске до окончания ученья.

Еще одной «жизненной школой» Ивана Крылова, биография которого весьма многогранна, стал простой народ. Будущий писатель с удовольствием посещал различные народные гулянья и развлечения, сам нередко принимал участие в уличных боях. Именно там, втолпе простого люда, черпал Иван Андреевич перлы народной мудрости иискрометного мужицкого юмора, емкие просторечные выражения, которые со временем лягут в основу его известных басен.

В четырнадцатилетнем возрасте попал в Петербург, куда мать отправилась хлопотать о пенсии. Затем перевелся на службу в Петербургскую казенную палату. Однако дела служебные его не слишком интересовали. На первом месте среди увлечений Крылова были литературные занятия и посещение театра.

После того, как в семнадцать лет он лишился матери, на его плечи легли заботы о младшем брате. В 80-е годы много писал для театра. Из-под его пера вышли либретто комических опер Кофейница и Бешеная семья, трагедии Клеопатра и Филомела, комедия Сочинитель в прихожей. Эти произведения не принесли молодому автору ни денег, ни известности, но помогли попасть в круг петербургских литераторов.

Ему покровительствовал известный драматург Я.Б.Княжнин, однако самолюбивый молодой человек, решив, что в доме «мэтра» над ним насмехаются, порвал со своим старшим другом. Крылов написал комедию Проказники, в главных героях которой, Рифмокраде и Тараторе, современники без труда узнали Княжнина и его жену.

В 1785 г. Крылов написал трагедию «Клеопатра» (не сохранилась) и отнёс её на просмотр знаменитому актёру Дмитревскому; Дмитревский поощрил молодого автора к дальнейшим трудам, но пьесы в этом виде не одобрил. В 1786 г. Крылов написал трагедию «Филомела», которая ничем, кроме изобилия ужасов и воплей и недостатка действия, не отличается от других «классических» тогдашних трагедий.

С конца 80-х основная деятельность разворачивалась в сфере журналистики. В 1789 в течение восьми месяцев издавал журнал «Почта духов». Сатирическая направленность, проявившаяся уже в ранних пьесах, сохранилась и здесь, но в несколько преображенном виде. Крылов создал карикатурную картину современного ему общества, облекая свой рассказ в фантастическую форму переписки гномов с волшебников Маликульмульком. Издание было прекращено, так как у журнала оказалось всего восемьдесят подписчиков. Судя по тому, что «Почта духов» была переиздана в 1802, ее появление все же не осталось незамеченным читающей публикой.

В 1790 вышел в отставку, решив полностью посвятить себя литературной деятельности. Он стал владельцем типографии и в январе 1792 вместе со своим другом литератором Клушиным начал издавать журнал «Зритель», пользовавшийся уже большей популярностью.

В 1793 журнал был переименован в «Санкт-Петербургский Меркурий». К этому времени его издатели сосредоточились прежде всего на постоянных иронических нападках на Карамзина и его последователей.

В конце 1793 издание «Санкт-Петербургского Меркурия» прекратилось, и Крылов на несколько лет уехал из Петербурга. По словам одного из биографов писателя, «С 1795 по 1801 год Крылов как бы исчезает от нас». Некоторые отрывочные сведения позволяют предположить, что он некоторое время жил в Москве, где много и азартно играл в карты. Очевидно, он странствовал по провинции, жил в поместьях своих друзей.

В 1797 году Крылов поступил на службу к князю в роли домашнего учителя и личного секретаря. В этот период автор не перестает создавать драматические и поэтические произведения. А в 1805 году отправляет на рассмотрение сборник басен известному критику И.И. Дмитриеву. Последний по достоинству оценил творчество автора и сказал, что это его истинное призвание. Так, в историю русской литературы вошел блестящий баснописец, который последние годы жизни посвятил написанию и изданию произведений этого жанра, работая библиотекарем.

Именно для домашнего спектакля у Голицыных в 1799-1800 была написана пьеса Трумф или Подщипа. В злой карикатуре на тупого, заносчивого и злого вояку Трумфа легко угадывался Павел I, не нравившийся автору прежде всего своим преклонением перед прусской армией и королем Фридрихом II. Ирония была настолько язвительна, что в России пьесу впервые опубликовали только в 1871.

В 1807 выпустил сразу три пьесы, завоевавшие большую популярность и с успехом шедшие на сцене. Это – Модная лавка, Урок дочкам и Илья Богатырь. Особенно большим успехом пользовались две первые пьесы, каждая из которых по своему высмеивала пристрастие дворян к французскому языку, модам, нравам и т.д. и фактически ставила знак равенства между галломанией и глупостью, распутством и мотовством. Пьесы неоднократно ставились на сцене, причем Модную лавку играли даже при дворе.

Крылов стал классиком при жизни. Уже в 1835 В.Г.Белинский в своей статье Литературные мечтания нашел в русской литературе всего лишь четырех классиков и поставил Крылова в один ряд с Державиным, Пушкиным и Грибоедовым.

Умер Крылов в 1844 в Санкт-Петербурге.

Б асни Крылова

Б елка

У Льва служила Белка.
Не знаю, как и чем; но дело только в том,
Что служба Белкина угодна перед Львом;
А угодить на Льва, конечно, не безделка.
За то обещан ей орехов целый воз.
Обещан – между тем всё время улетает;
А Белочка моя нередко голодает
И скалит перед Львом зубки свои сквозь слёз.
Посмотрит: по лесу то там, то сям мелькают
Её подружки в вышине:
Она лишь глазками моргает, а оне
Орешки знай себе щелкают да щелкают.
Но наша Белочка к орешнику лишь шаг,
Глядит – нельзя никак:
На службу Льву её то кличут, то толкают.
Вот Белка, наконец, уж стала и стара
И Льву наскучила: в отставку ей пора.
Отставку Белке дали,
И точно, целый воз орехов ей прислали.
Орехи славные, каких не видел свет;
Все на отбор: орех к ореху – чудо!
Одно лишь только худо -
Давно зубов у Белки нет.

В олк и Лисица

Охотно мы дарим,

Что нам не надобно самим.

Мы этой басней поясним,

Затем что истина сноснее вполоткрыта.

Лиса, курятинки накушавшись досыта

И добрый ворошок припрятавши в запас,

Под стогом прилегла вздремнуть в вечерний час.

Волк и Лисица Крылов

Глядит, а в гости к ней голодный Волк тащится.

«Что, кумушка, беды! – он говорит. -

Ни косточкой не мог нигде я поживиться;

Меня так голод и морит;

Собаки злы, пастух не спит,

Пришло хоть удавиться!»

«Неужли?» – «Право, так». – «Бедняжка куманёк?

Да не изволишь ли сенца? Вот целый стог:

Я куму услужить готова».

А куму не сенца, хотелось бы мяснова -

Да про запас Лиса ни слова.

И серый рыцарь мой,

Обласкан по уши кумой,

Пошёл без ужина домой.

В орона и лисица

Уж сколько раз твердили миру,
Что лесть гнусна, вредна; но только все не впрок,
И в сердце льстец всегда отыщет уголок.
Вороне где-то бог послал кусочек сыру;
На ель Ворона взгромоздясь,
Позавтракать было совсем уж собралась,
Да позадумалась, а сыр во рту держала.
На ту беду, Лиса близехонько бежала;
Вдруг сырный дух Лису остановил:
Лисица видит сыр, –
Лисицу сыр пленил,
Плутовка к дереву на цыпочках подходит;
Вертит хвостом, с Вороны глаз не сводит
И говорит так сладко, чуть дыша:

«Голубушка, как хороша!
Ну что за шейка, что за глазки!
Рассказывать, так, право, сказки!
Какие перышки! какой носок!
И, верно, ангельский быть должен голосок!
Спой, светик, не стыдись!
Что ежели, сестрица,
При красоте такой и петь ты мастерица,
Ведь ты б у нас была царь-птица!»

Вещуньина с похвал вскружилась голова,
От радости в зобу дыханье сперло, –
И на приветливы Лисицыны слова
Ворона каркнула во все воронье горло:
Сыр выпал – с ним была плутовка такова.

Л ебедь, щука и рак

Когда в товарищах согласья нет,

На лад их дело не пойдет,

И выйдет из него не дело, только мука.

Однажды Лебедь, Рак да Щука

Везти с поклажей воз взялись

И вместе трое все в него впряглись;

Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!

Поклажа бы для них казалась и легка:

Да Лебедь рвется в облака,

Рак пятится назад, а Щука тянет в воду.

Кто виноват из них, кто прав –
судить не нам;

Да только воз и ныне там.

Л исица и виноград

Голодная кума Лиса залезла в сад;

В нем винограду кисти рделись.

У кумушки глаза и зубы разгорелись;

А кисти сочные, как яхонты, горят;

Лишь то беда, висят они высоко:

Отколь и как она к ним ни зайдет,

Хоть видит око,

Да зуб неймет.

Пробившись попусту час целый,

Пошла и говорит с досадою: “Ну что ж!

На взгляд-то он хорош,

Да зелен – ягодки нет зрелой:

Тотчас оскомину набьешь”.

М артышка и очки

Мартышка к старости слаба глазами стала;

А у людей она слыхала,

Что это зло еще не так большой руки:

Лишь стоит завести Очки.

Очков с полдюжины себе она достала;

Вертит Очками так и сяк:

То к темю их прижмет,

То их на хвост нанижет,

Мартышка и очки. Басни Крылова

То их понюхает,

то их полижет;
Очки не действуют никак.

Мартышка и очки. Басни Крылова

“Тьфу пропасть! – говорит она, – и тот дурак,

Кто слушает людских всех врак:

Все про Очки лишь мне налгали;

А проку на волос нет в них”.
Мартышка тут с досады и с печали

О камень так хватила их,

Мартышка и очки. Басни Крылова

Что только брызги засверкали.

К несчастью, то ж бывает у людей:

Как ни полезна вещь, – цены не зная ей,

Невежда про нее свой толк все к худу клонит;

А ежели невежда познатней,

Так он ее еще и гонит.

О рёл и Крот

Не презирай совета ничьего,
Но прежде рассмотри его.
Со стороны прибыв далёкой
В дремучий лес, Орёл с Орлицею вдвоём
Задумали навек остаться в нём
И, выбравши ветвистый дуб высокой,
Гнездо себе в его вершине стали вить,
Надеясь и детей тут вывести на лето.
Услыша Крот про это,
Орлу взял смелость доложить,
Что этот дуб для их жилища не годится,
Что весь почти он в корне сгнил
И скоро, может быть, свалится,
Так чтоб Орёл гнезда на нём не вил.
Но кстати ли Орлу принять совет из норки,
И от Крота! А где же похвала,
Что у Орла
Глаза так зорки?
И что за стать Кротам мешаться сметь в дела
Царь-птицы!
Так многого с Кротом не говоря,
К работе поскорей, советчика презря, -
И новоселье у царя
Поспело скоро для царицы.
Всё счастливо: уж есть и дети у Орлицы.

Но что ж? – Однажды, как зарей,
Орёл из-под небес к семье своей
С богатым завтраком с охоты торопился,
Он видит: дуб его свалился
И подавило им Орлицу и детей.
От горести невзвидя свету:
«Несчастный! – он сказал, -
За гордость рок меня так люто наказал,
Что не послушался я умного совету.
Но можно ль было ожидать,
Чтобы ничтожный Крот совет мог добрый дать?»
«Когда бы ты не презрел мною, -
Из норки Крот сказал, – то вспомнил бы, что рою
Свои я норы под землей
И что, случаясь близ корней,
Здорово ль дерево, я знать могу верней».

С лон и Моська

По улицам Слона водили,

Как видно, напоказ.

Известно, что Слоны в диковинку у нас,

Так за Слоном толпы зевак ходили.

Ну так и лезет в драку с ним.

Отколе ни возьмись, навстречу Моська им.

Увидевши Слона, ну на него метаться,

И лаять, и визжать, и рваться;

Ну так и лезет в драку с ним.

“Соседка, перестань срамиться, –

Ей Шавка говорит, – тебе ль с Слоном
возиться?

Смотри, уж ты хрипишь, а он себе идет
Вперед

И лаю твоего совсем не примечает. –

“Эх, эх! – ей Моська отвечает, –

Вот то-то мне и духу придает,

Что я, совсем без драки,

Могу попасть в большие забияки.

Пускай же говорят собаки:

“Ай, Моська! знать, она сильна,

Что лает на Слона!”

Ф акты

Крылов был очень полным и в прямом смысле толстокожим существом. У окружающих иногда складывалось впечатление, что у него нет ни эмоций, ни чувств, так как все заплыло жиром. На самом же деле внутри писателя скрывалось тонкое понимание мира и внимательное к нему отношение. Это видно из практически любой басни.

Крылов начинал свою карьеру с обычного писаря в Тверском суде.

Надо отметить, что Иван Андреевич сильно любил поесть. Причем аппетит его порой впечатлял даже видавших виды обжор. Рассказывают, что однажды он опоздал на один светский вечер. В качестве «наказания» хозяин велел подать Крылову огромную, в несколько раз превышавшую разовую норму порцию макарон. Это едва ли было под силу даже двум взрослым мужчинам. Однако писатель спокойно все съел и с удовольствием продолжил общий обед. Удивление публики было безмерным!

Иван выдал свой первый сатирический журнал «Почта духов».

Крылов чрезвычайно сильно любил книги и 30 лет работал в библиотеке.

В Санкт-Петербурге, на набережной Кутузова, в одной из аллей Летнего сада в 1855 году был открыт памятник великому русскому баснописцу Ивану Андреевичу Крылову. Этот монумент – второй из памятников русским литераторам в России.

Сразу после смерти И.А. Крылова, в ноябре 1844 года, редакцией газеты «Петербургские ведомости» был объявлен сбор средств на сооружение памятника. К 1848 году собрано было более 30 тысяч рублей. Петербургская Академия художеств объявила конкурс проектов. Лучшей была признана работа скульптора-анималиста барона П.К. Клодта.

К слову сказать, именно в библиотеке у Ивана Андреевича сложилась традиция спать после сытного обеда около двух часов. Его друзья знали эту привычку и всегда приберегали для своего гостя свободное кресло.

Более десяти лет Иван Крылов путешествовал по городам и селам России, где находил вдохновение для своих новых басен.

Писатель не был женат никогда, хотя считается, что от внебрачной связи с кухаркой у него родилась дочь, которую он воспитывал как законную и родную.

Иван Крылов был редактором славяно-русского словаря.

Между прочим, нужно заметить, что в молодости будущий баснописец увлекался боями «стенка на стенку». Благодаря своим габаритам и росту он неоднократно одерживал победу над довольно взрослыми и крепкими мужиками!

Ходили слухи, что в доме работала поварихой его родная дочь Александра.

Кстати диван был любимым местом Ивана Андреевича. Есть сведения, что Гончаров написал своего Обломова именно с Крылова.

Достоверно известно, что Иван Андреевич Крылов является автором 236 басен. Многие сюжеты позаимствованы у древних баснописцев Лафонтена и Эзопа. Наверняка вы нередко слышали крылатые выражения, которые являются цитатами из творчества знаменитого и выдающегося баснописца Крылова.

Литературный жанр басни был открыт в России именно Крыловым.

Все друзья писателя рассказывали еще один интересный факт, связанный с домом Крылова. Дело в том, что над его диваном висела огромная картина под довольно опасным углом. Его просили убрать ее, чтобы она случайно не упала на голову баснописца. Однако Крылов только смеялся, и действительно, даже после его смерти она продолжала висеть под тем же углом.

Двустороннее воспаление легких или переедание стало основной причиной смерти баснописца. Точных причин смерти не установлено.

Карты на деньги были любимой игрой Ивана Андреевича. Петушиные бои были еще одним увлечением Крылова.

Известен и такой интересный факт про Крылова. Ему врачи предписали ежедневные прогулки. Однако по ходу его движения купцы постоянно его заманивали, чтобы он купил у них меха. Когда Ивану Андреевичу это надоело, он целый день проходил по лавкам торгашей, дотошно рассматривая все меха. В конце он удивленно вопрошал каждого купца: «И это все что у вас есть?»… Ничего не купив, он переходил к следующему торговцу, чем здорово потрепал им нервы. После этого к нему больше не приставали с просьбами купить что-то.

Крылов работал до последнего своего дня, несмотря на тяжелую болезнь.

Крылов по-особенному любил свою басню «Ручей».

Как-то раз в театре очевидцы рассказывали интересный факт о Крылове. Ему не посчастливилось сидеть рядом с эмоциональным человеком, который то и дело вскрикивал что-то, подпевал выступающему и вел себя достаточно шумно. – Однако что это за безобразие?! – Громко произнес Иван Андреевич. Дерганый сосед встрепенулся и спросил, уж не к нему ли обращены эти слова. – Что вы, – отвечал Крылов, – я обратился к человеку на сцене, который мешает мне слушать вас!

В 22 года он полюбил дочь священника из Брянского уезда Анну. Девушка ответила ему взаимностью. Но когда молодые люди решили жениться, родные Анны воспротивились этому браку. Они были в дальнем родстве с Лермонтовым и, к тому же, состоятельны. Поэтому выдать замуж дочь за бедного рифмоплёта они отказались. Но Анна так тосковала, что родители наконец согласились выдать её замуж за Ивана Крылова, о чём телеграфировали ему в Санкт-Петербург. Но Крылов ответил, что у него нет денег, чтобы приехать в Брянск, и попросил привезти Анну к нему. Родные девушки были оскорблены ответом, и брак не состоялся.

В 1941 году Крылову присваивают звание академика.

Иван Андреевич очень любил табак, который не только курил, но и нюхал и жевал.

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей Как найти прямую пересечения двух плоскостей

Переподготовка увольняемых военнослужащих II