МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОПРИВОДА
Методические указания и лабораторный практикум для студентов дневного и заочного отделения
Специальность 140604 "Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов"
Печатается по решению редакционно-издательского совета Вятского государственного университета
УДК 621.31112: 621.313
Рецензент: кандидат технических наук доцент каф. АТ В. И. Семёновых
Составитель: преподаватель кафедры ЭПиАПУ Д.В. Ишутинов
Подписано в печать Усл. печ. л. 2,5
Бумага офсетная. Печать копир Aficio 1022
Заказ № 340 Тираж 52 Бесплатно.
Текст напечатан с оригинал-макета, предоставленного составителем
610000, г. Киров, ул. Московская, 36.
Оформление обложки, изготовление – ПРИП ВятГУ
Ó Вятский государственный университет, 2011
ВВЕДЕНИЕ
Аналогия – это частное сходство двух объектов, которое может быть существенным или менее существенным. Существенность сходства зависит от уровня абстрагирования и определяется целью исследования.
Аналогии, отражающие реальный, объективно существующий мир, обладают наглядностью, а значит, упрощают рассуждения и помогают проводить эксперименты, уточняющие природу явлений. Такие аналогии называют моделями .
Модель – это объект-заменитель объекта оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.
Моделирование – это представление реального физического объекта его моделью для получения информации о важнейших свойствах и физических процессах, протекающих в нем, путем проведения экспериментов с его моделью.
В процессе моделирования модель выступает в роли самостоятельного объекта, позволяющие получить некоторые знания – результаты моделирования. Если они подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессов, протекающих в исследуемых объектах, то модель считается адекватной объекту. На основании адекватных моделей могут исследоваться подобные объекты.
1. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИДОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
При разработке и проектировании современных электромеханических систем, представляющих собой сочетание электродвигателя, механической части электропривода и системы управления, возникает необходимость в решении сложных расчетных задач. Для этого во многих случаях прибегают к моделированию.
Виды моделирования можно классифицировать по различным критериям. С точки зрения типа модели и способа представления математического описания классификация представлена на рисунке 1.1.
Таким образом, моделирование может быть условно разделено на два основных вида: математическое и физическое.
Физическим моделированием называют проведение исследований на реальном объекте или его макете. При проведении экспериментов на реальном объекте различные характеристики исследуются на самом объекте или его части. Физическое моделирование может проводиться на объектах, работающих в нормальном режиме или в специальных режимах. Реальное моделирование является наиболее адекватным, но его возможности ограничены физическими, техническими и другими особенностями реальных объектов и систем.
Другим видом физического моделирования является моделирование на макете, которое применяется, в случае если эксперименты с реальным объектом затруднены, невозможны или опасны. Исследования с помощью макета проводятся на установках, которые обладают физическим подобием и сохраняют природу явлений в изучаемом объекте.
Физическое моделирование может протекать в реальном или произвольном масштабе времени. Наибольшую сложность и интерес представляет моделирование в реальном масштабе времени, позволяющее получить наиболее достоверные результаты исследований.
Математическое моделирование может проводиться при помощи аналитических методов исследования, а также с использованием аналоговых (АВМ) и цифровых (ЭВМ) вычислительных машин.
При использовании аналитических методов исследования можно получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик объекта. Аналитическое исследование позволяет получить наиболее общее представление о процессах функционирования системы, однако оно возможно для относительно простых систем, и связано с проведением трудоёмких расчётов. Даже в простейших случаях (для линейных систем) аналитическое моделирование не позволяет получить исчерпывающие результаты. При наличии в системе нелинейных элементов, переменных параметров и других усложняющих расчеты факторов возможности аналитических методов расчёта ещё более ограничены.
Современные вычислительные машины позволяют с достаточной точностью имитировать любые передаточные функции, нелинейные статические характеристики, произведения и частные. Вычислительные машины, а, следовательно, и модели бывают аналоговыми и цифровыми.
Под аналоговой моделью понимается такая, которая описывается уравнениями, связывающими непрерывные величины. Решение дифференциальных уравнений в АВМ носит непрерывный характер. Реальный физический объект заменяется при аналоговом моделировании подобным физическим объектом. В АВМ в качестве такого объекта выступает решающий операционный усилитель. Основным преимуществом моделирования на АВМ является высокая наглядность модели и возможность подключения к модели других технических средств. Также применение АВМ может ускорить исследование достаточно простых систем. С другой стороны возникают проблемы связанные с настройкой сложных моделей; появляются погрешности, обусловленные дрейфом параметров АВМ и кусочной линеаризацией нелинейностей. Максимальная величина выходного напряжения решающего операционного усилителя в АВМ ограничена значением в сто вольт. Поэтому для всех переменных модели вводятся масштабные коэффициенты, в результате чего могут накапливаться дополнительные ошибки.
Под цифровой моделью понимается модель, в которой решение уравнений и процессы, протекающие в ней, носят дискретный характер. Следовательно, все рассчитываемые величины определены в некоторые дискретные интервалы времени. Цифровая модель обладает меньшей физической наглядностью, однако лишена недостатков присущих аналоговой модели. Для проектирования цифровых моделей применяются современные средства вычислительной техники, а расчёт таких моделей основан на применении численных методов.
С помощью средств вычислительной техники математические модели могут исследоваться как прямым решением систем дифференциальных уравнений, так и на основе моделирования по структурным схемам.
В первом случае математическое моделирование заключается в численном решении системы дифференциальных уравнений, описывающей поведение исследуемого объекта. Такая модель не отражает реальной структуры физического объекта. В данном случае для расчета модели не нужно знание специализированных САПР, однако затрудняется понимание структуры реального физического объекта.
Во втором случае строится структурная модель, в которой элементы соединены в соответствии со структурой исследуемой системы. При использовании структурного метода модель системы представляется в виде моделей типовых динамических звеньев ТАР и нелинейных блоков, имитирующих работу отдельных физических узлов исследуемой системы. Применение структурных моделей позволяет при моделировании сохранить структуру исследуемого объекта, и поэтому на модели легко воспроизводится изменение параметров и структуры реального физического объекта, например, включение корректирующих устройств, выбор глубины обратных связей, изменение момента инерции механической части и жесткости механических характеристик.
Методы математического моделирования
Для исследования характеристик технических систем и физических процессов, протекающих при функционировании любой системы, математическими методами должна быть проведена формализация процессов, т.е. построена математическая модель.
Математическое моделирование - это процесс установления соответствия реальному физическому объекту некоторого математического объекта (математического описания), называемого математической моделью , и исследование этой модели, позволяющее получить, с некоторым приближением, характеристики рассматриваемого реального объекта. Математическое моделирование может быть динамическим, имитационным и комбинированным.
При решении задач электропривода используются динамические модели объектов. Такие модели описываются системами дифференциальных уравнений и исследуются при помощи аналитических, численных или качественных методов.
Аналитическое исследование позволяет получить наиболее общее представление о процессах функционирования системы, однако оно возможно лишь для относительно простых или линейных систем.
Численные методы используются, если невозможно разрешить математическое описание системы в общем виде или система существенно не линейна. Численные методы наиболее эффективны при использовании ЭВМ.
В некоторых случаях для исследования системы достаточно качественных методов анализа математической модели. Такие методы применяются в теории автоматического регулирования и позволяют судить, например, об устойчивости системы при определённом управлении.
В общем виде некоторый динамический объект описывается системой дифференциальных уравнений n-го порядка вида:
, (2.1)
где x 1 , x 2 , … x n – переменные динамического объекта;
– скорость изменения (производные) переменных динамического объекта;
– значение переменных в начальный момент времени;
t – независимая переменная.
Математическое моделирование, основанное на решении обыкновенных дифференциальных уравнений, опирается на численные методы. Численные методы позволяют получить приближенные значения реального непрерывного процесса, которые отстоят друг от друга на некоторый интервал времени, называемый шагом интегрирования. Выбор шага интегрирования зависит от динамических свойств моделируемой системы. Для широкого спектра динамических систем численное решение тем точнее, чем меньше шаг интегрирования. Однако, следует иметь ввиду, что чрезмерное уменьшение шага интегрирования может приводить к существенному увеличению затрат машинного времени.
К наиболее часто применяемым методам численного интегрирования дифференциальных уравнений относятся метод Эйлера (метод конечных приращений) и метод Рунге – Кутта четвёртого порядка.
Метод Эйлера основан на разложении подынтегральной функции в окрестности исследуемой точки в ряд Тейлора:
, (2.2)
где h – малая окрестность исследуемой точки (шаг интегрирования);
e - погрешность разложения в ряд Тейлора.
Метод Эйлера учитывает только первую производную ряда Тейлора. Тогда уравнение (2.2) будет иметь вид:
где - правая часть дифференциального уравнения, вычисленная в точке .
Следовательно, для решения уравнения или системы дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера должна быть составлена следующей система уравнений с начальными условиями:
, (2.4)
где t i , t i +1
x j , i , x j , i+1 – значение j
f j – подынтегральная функция для j – ой переменной;
h – шаг интегрирования;
i = 0 .. m
j = 0 .. n
К достоинствам метода Эйлера можно отнести следующие:
· При достаточно малом шаге интегрирования можно получить высокую точность решения. Погрешность метода примерно равна квадрату шага интегрирования: e » h 2 ;
· Метод Эйлера имеет устойчивый алгоритм вычислений при решении широкого круга задач, связанных с исследованием электромеханических систем электропривода.
К недостаткам метода Эйлера можно отнести то, что уменьшение шага интегрирования необходимое для обеспечения требуемой точности существенно замедляет вычисления.
Метод Рунге – Кутта основан на разложении подынтегральной функции в окрестности исследуемой точки в ряд Тейлора. Вычисление коэффициентов ряда Тейлора (до четвёртого порядка) осуществляется с помощью специальных коэффициентов Рунге – Кутта. Такой подход позволяет получить более высокую точность решения.
Формулы для нахождения численного решения дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге – Кутта имеют следующий вид:
, (2.5)
где t i , t i +1 – значение независимой переменной (времени) на предыдущем и следующем шаге интегрирования;
x j , i , x j , i+1 – значение j – ой переменной динамического объекта на предыдущем и следующем шаге интегрирования;
f j – подынтегральная функция для j – ой переменной;
k l i, j – коэффициенты Рунге – Кутта (l = 1 .. 4 );
h – шаг интегрирования;
i = 0 .. m – число шагов интегрирования;
j = 0 .. n – количество переменных динамического объекта.
К достоинствам метода Рунге – Кутта можно отнести следующие. Высокая точность численного решения. При фиксированном шаге интегрирования погрешность решения примерно равна пятой степени шага интегрирования: e » h 5 .
Однако данный метод не всегда обеспечивает устойчивые решения. Устойчивость решения зависит как от величины шага интегрирования, так и от особенностей динамики исследуемой системы.
3. Динамические расчеты систем по структурным схемам
с использованием системы САПР System View
САПР System View позволяет на уровне структурных моделей производить расчеты динамических систем и получать результаты в виде таблиц, графиков переходных процессов и частотных характеристик, а также комплексных показателей качества регулирования.
Структурная схема набирается на рабочем поле основного окна пакета SV (рис. 3.1) с помощью блоков, которые для удобства работы объединены в четыре библиотеки. Блоки суммирования и умножения выполнены отдельно.
  |
| Рисунок 3.1 – Основное окно System View |
Библиотеки элементов расположены в левой части рабочего окна SV и содержат в своём составе набор различных функциональных и динамических элементов. Графически элементы представляются в виде прямоугольника с входами и выходами. В верхнем левом углу записывается порядковый номер элемента в структурной схеме, в центре в виде рисунка - тип элемента.
Развитие основных психических процессов - памяти, внимания, воображения, образного мышления, речи; перекодирование информации, т.е. преобразование из абстрактных символов в образы; формирование навыка самостоятельного моделирования; развитие мелкой моторики при частичном или полном графическом воспроизведении. Развитие у детей познавательного интереса к математике Значение моделирования в развитии дошкольников.
Использование моделирования в развитии математических представлений дошкольников дает ощутимые положительные результаты, а именно: -позволяет выявить скрытые связи между явлениями и сделать их доступными пониманию ребенка; -улучшает понимание ребенком структуры и взаимосвязи составных частей объекта или явления; - повышает наблюдательность ребенка, дает ему возможность заметить особенности окружающего мира;
Этапы работы с моделями Четырех ступенчатая последовательность применения метода моделирования. Первый этап предполагает знакомство со смыслом арифметических действий. Второй - обучение описанию этих действий на языке математических знаков и символов. Третий - обучение простейшим приемам арифметических вычислений Четвертый этап - обучение способам решения задач Этапы работы с моделями
Наглядная плоскостная модель "Домик, где знаки и числа живут" Цель применения: -закрепить умения детей составлять числа из двух меньших; складывать и вычитать числа; -дать детям представления о неизменности числа, величины при условии различий в суммировании; - учить или закреплять умение сравнивать числа (больше, меньше, равно).
Наглядная плоскостная модель "Солнечная система" Только для детей старшей и подготовительной группы. Цели применения: -дать (или закрепить) представления детей о геометрических телах и фигурах (сравнивая круг, шар с другими геометрическими телами и фигурами); -научить детей определять и отражать в речи основания группировки, классификации, связи и зависимости полученной группы (солнечная система); -научить (или закрепить) умение детей определять последовательность ряда предметов по размеру; -развивать понимание пространственных отношений, определять местонахождение одних объектов относительно других; -совершенствовать порядковый и количественный счет; -закрепить умение пользоваться условной меркой для измерения расстояний; - закрепить умение решать арифметические задачи.
Наглядная плоскостная модель "Счетный торт" Цель применения: -учить детей решать арифметические задачи и развивать познавательные способности ребенка; - учить выделять математические отношения между величинами, ориентироваться в них.
Татьяна Портнова
Я представляю опыт работы ДОУ №17 "Рождественский" г. Петровска по теме метод моделирования как способ обучения дошкольников математики .
Одним из наиболее перспективных методов математического развития дошкольников является моделирование . МОДЕЛИРОВАНИЕ для дошкольников позволяет одновременно решить сразу несколько задач, главные из которых – это привить детям основы логического мышления, научить простому счету, облегчить ребенку познание. В результате знания ребенка поднимаются на более высокий уровень обобщения, приближаются к понятиям.
В своей работе я опиралась на метод моделирования , разработанный Д. Б. Элькониным, Л. А. Венгером, Н. А. Ветлугиной, он заключается в том, что мышление ребенка развивают с помощью специальных схем, моделей , которые в наглядной и доступной для него форме воспроизводят скрытые свойства и связи того или иного объекта.
Использование моделирования в развитии математических представлений дошкольников дает ощутимые положительные результаты, а именно :
Позволяет выявить скрытые связи между явлениями и сделать их доступными пониманию ребенка;
Улучшает понимание ребенком структуры и взаимосвязи составных частей объекта или явления;
Повышает наблюдательность ребенка, дает ему возможность заметить особенности окружающего мира;
В своей работе я использую четырех ступенчатую последовательность применения метода моделирования .
Первый этап предполагает знакомство со смыслом арифметических действий.
Второй - обучение описанию этих действий на языке математических знаков и символов .
Третий - обучение простейшим приемам арифметических вычислений
Четвертый этап - обучение способам решения задач
Слайд 5 (фото дети модели делают )
Чтобы овладеть моделированием как методом научного познания , необходимо создавать модели . Создавать вместе с детьми и следить, чтобы дети принимали в изготовлении моделей непосредственное и активное участие. Продумывая разнообразные модели вместе с детьми , я придерживалась следующих требований :
Модель должна отображать обобщенный образ и подходить к группе объектов.
Раскрывать существенное в объекте.
Замысел по созданию модели следует обсудить с детьми, чтобы она была им понятна.
Моделирование как новый вид работы дает простор для творчества и фантазии детей, обеспечивая развитие их мышления.
Созданные нами модели многофункциональны . На основе моделей создаем разнообразные дидактические игры. При помощи картинок-моделей организовываем различные виды ориентированной деятельности детей. Модели использую на занятиях, в совместной с воспитателем и самостоятельной детской деятельности.
К созданию моделей подключаю родителей , которым даю задания по изготовлению несложных моделей (родители дома вместе с ребенком создают модель ) .
Таким образом, осуществляется взаимосвязь трех сторон :
родитель
и ребенок.
Хочу познакомить с моделями , которые я использую в работе с детьми.
Наглядная плоскостная модель "От секунды до года"
Цель применения :
Дать детям представления о временных отношениях, их взаимосвязи ;
Закрепить представления детей об отношении целого и части, научить обозначать в пространстве отношения во времени; совершенствовать счет.
Описание работы с моделью :
Знакомлю детей с моделью постепенно . Сначала знакомлю с самими терминами (секунда, минута, час, сутки, неделя, месяц, год) . Что по временным меркам больше, а что меньше, что во что входит.
Далее даю более четкие, узкие представления. Например, секунда - это почти самая маленькая временная единица, но если их 60, то они будут составлять большую временную единицу - минуту, и таким образом провожу работу до тех пор, пока дети не усвоят все термины, все взаимосвязи временных отношений, начиная от секунды и заканчивая годом.
Наглядная плоскостная модель
"Домик, где знаки и числа живут"
Цель применения :
Закрепить умения детей составлять числа из двух меньших; складывать и вычитать числа;
Дать детям представления о неизменности числа, величины при условии различий в суммировании;
Учить или закреплять умение сравнивать числа (больше, меньше, равно) .
Структура модели : модель представляет собой 4-этажный домик, на каждом этаже расположено разное количество окошек, где будут жить знаки и цифры, но так как домик волшебный, то поселяться в домик знаки и цифры могут только с помощью детей. Окна в домике располагаются следующим образом :
Описание работы с моделью :
первый и второй этажи будут использоваться для решения задачи, которая состоит в том, чтобы дать детям представления о неизменности числа, величины при условии различий в суммировании. Например : 4 = 1 + 1 + 1 + 1; 4 = 2 + 2.
Третий этаж будет использоваться, чтобы научить детей (или закрепить умение) составлять числа из двух меньших, а также вычитать числа. Например, 3 + 5 = 8 или 7 - 4 = 3 и т. п.
Последний, четвертый, этаж будет использоваться, чтобы научить детей (или закрепить умение) сравнивать числа между собой, с помощью знаков "меньше", "больше" или "равно".
Модель можно использовать в любых видах деятельности : на занятиях, в свободной деятельности детей, при индивидуальной работе с детьми и т. д.
Слайд 11-12
Наглядная плоскостная модель "Солнечная система"
Только для детей старшей и подготовительной группы.
Цели применения :
Дать (или закрепить) представления детей о геометрических телах и фигурах (сравнивая круг, шар с другими геометрическими телами и фигурами) ;
Научить детей определять и отражать в речи основания группировки, классификации, связи и зависимости полученной группы (солнечная система) ;
Научить (или закрепить) умение детей определять последовательность ряда предметов по размеру ;
Развивать понимание пространственных отношений, определять местонахождение одних объектов относительно других;
Совершенствовать порядковый и количественный счет;
Закрепить умение пользоваться условной меркой для измерения расстояний;
Закрепить умение решать арифметические задачи.
Структура модели :
модель представляет собой наглядную плоскостную схему, на которой изображена солнечная система. В дополнение к схеме имеется специальная карточка, которая предназначается для взрослого, где запечатлена информация о солнечной системе (небольшой рассказ о солнечной системе, размеры планет) . К модели прилагается комплекс смоделированных планет , при этом необходимо соблюдать пропорциональность их размеров друг к другу.
Описание работы с моделью :
Для решения задачи, необходимо объяснить детям, что все планеты солнечной системы и само солнце, конечно, - это одна целая группа (семья) . "У нашей звезды Солнце есть своя семья. В нее входит 9 планет, которые вращаются вокруг Солнца, то есть все эти 10 космических тел объединены в одну группу. Задания для детей :
1. разложить планеты в ряд, по мере увеличения размера планет или, наоборот, от самой большой планеты к самой маленькой.
2. определить местонахождение одной планеты относительно другой, ориентируясь по схеме : планета Земля находится левее планеты Юпитер и т. п.
3. Можно использовать условную мерку, например любую веревочку, линейку и т. д для измерения расстояний между планетами и звездой, между планетами и т. д.
4. Планеты можно пересчитывать как в прямом, так и в обратном порядке, можно составлять разного вида задачи и решать их, в солнечной системе крупных планет только 3, включая звезду, сколько тогда маленьких и т. п.
Слайд 13-14
Наглядная плоскостная модель "Счетный торт"
Цель применения :
Учить детей решать арифметические задачи и развивать познавательные способности ребенка;
Учить выделять математические отношения между величинами, ориентироваться в них.
Структура модели ,
модель включает в себя :
1. Пять наборов "сладких счетных частей", каждый из которых разделен на части (как на равные, так и на разные части) . Каждый счетный торт в виде круга, имеет свой цвет.
2. Овалы, вырезанные из белого картона, которые обозначают "целое" и "часть". В игровой ситуации они будут называться тарелочками, куда дети будут раскладывать куски счетного.
Описание работы с моделью :
в арифметической задаче математические отношения можно рассматривать как "целое" и "часть".
Сначала необходимо дать детям представления о понятии "целое" и "часть".
Положите перед детьми на тарелочку обозначающую "целое", счетный торт (все его части, скажите, что торт целый мама испекла и что мы его кладем строго на тарелочку, которая обозначает "целое". Теперь мы разрежем торт на две части, каждую из них назовем "часть". Объясните, что теперь, когда целое (целый торт) разделили на части (на 2 кусочка) то целого теперь нет, a есть только 2 части. Которые не могут оставаться на чужой тарелочке и их необходимо переложить на свои места - тарелочки, обозначающие "часть". Одну часть на одну тарелку, другую часть на другую тарелку. Затем соедините 2 куска опять вместе и покажите, что опять получилось целое. Таким образом, мы продемонстрировали, что соединение частей дает целое, а вычитание части из целого дает часть.
Слайд 15-16
Наглядная объемная модель "песочные часы"
Цель применения :
научить детей измерять время при помощи модели песочных часов ; активно включаться в процесс экспериментирования.
Структура модели :
модель объемная , трехмерная.
Чтобы можно было измерять время, необходимо открыть крышечку донца одной из бутылок и насыпать туда песка ровно столько, сколько его необходимо, чтобы за 1 минуту песок из одного отсека часов перешел в другой. Сделать это нужно путем экспериментирования.
писание работы с моделью :
с помощью модели песочных часов можно сначала провожу познавательное ознакомительное занятие. Показываю детям картинки с изображением разных песочных часов, потом демонстрирую модель , рассказываю о происхождения песочных часов, зачем они нужны, как ими пользоваться, как они работают. Затем вместе с детьми проводим эксперименты : например, эксперимент, доказывающий точность часов.
Таким образом, моделирование является важным учебным средством и действием, с помощью которого можно осуществлять различные учебные и развивающие цели и задачи,
Все формы использования моделирования дают положительные результаты в практическом применении, активизируя познавательную деятельность детей.
Мастер – класс
« Использование моделирования в обучении математике»
Цель:
Содействовать систематизации знаний учителей о моделировании и подготовке педагогов к использованию учебных моделей в образовательном процессе по математике.
Задачи:
Создать условия для организации работы по освоению педагогами учебных моделей и определению возможностей и эффективности их применения в процессе обучении математике.
Организационный этап.
Создание психологической готовности участников мастер-класса к совместной работе.
– Уважаемые коллеги, здравствуйте! Я рада приветствовать вас на своём мастер-классе.
Тема моего мастер-класса «Использование моделирования в обучении математике ».
Перед вами лежит таблица-фиксация знаний, заполните, пожалуйста, вторую графу «Знаю» по данной теме и отложите.
| Хочу узнать |
|||
| Моделирование |
Моя цель: Способствовать систематизации знаний учителей о моделировании и подготовке педагогов к использованию учебных моделей в образовательном процессе по математике.
А Ваша цель? (ответы)
2. Актуальность.
- Как вы думаете, почему именно математика так широко представлена в программе начального образования?
Математика как учебный предмет в начальной школе призвана максимально развивать личность младшего школьника, способствовать становлению его самостоятельности в учебно-познавательной деятельности, поэтому она широко представлена в программе начального образования: 4 часа в неделю или 536 часов за курс начальной школы. Задача учителя начальной школы – сформировать у всех детей базовый уровень математических представлений и способов деятельности, необходимых для социальной адаптации в обществе. Решение этой задачи часто вызывает большие трудности, так как ни один из математических объектов в реальной действительности не существует, а мышление детей младшего школьного возраста по преимуществу наглядно-образное, способности даже к простейшему осмыслению математического материала весьма различны.
Поэтому современные требования к формированию умственных действий на уроках математики требуют применения наиболее эффективных методов и приёмов обучения. Одним из них является метод моделирования.
Метод моделирования стал одним из основных методов научного исследования. Этот метод в отличие от других является всеобщим, используется во всех науках, на всех этапах научного исследования. Он обладает огромной эвристической силой, позволяет свести изучение сложного к простому, невидимого и неощутимого – к видимому и ощутимому, незнакомого – к знакомому, т.е. сделать сложное явление реальной действительности доступным для тщательного и всестороннего изучения. В связи с этим применение моделей и моделирования в обучении, по мнению большинства ученых теоретиков, приобретает особое значение для повышения теоретического уровня педагогической науки и практики.
Необходимость овладения младшими школьниками методом моделирования как методом познания в процессе обучения можно обосновать с разных позиций.
- Как вы думаете с каких?
Во-первых, как показывают эксперименты, введение в содержание обучения понятий модели и моделирования существенно меняет отношение учащихся к учебному предмету, делает их учебную деятельность более осмысленной и более продуктивной.
Во-вторых, целенаправленное и систематическое обучение методу моделирования приближает младших школьников к методам научного познания, обеспечивает их интеллектуальное развитие.
- В определении моделирования вставьте пропущенные слова.
«Моделирование – это метод опосредованного познания, при котором изучается не интересующий нас объект, а его заместитель (модель ), находящийся в некотором объективном соответствии с познавательным объектом, способный замещать его в определённых отношениях и дающий при этом новую информацию об объекте» (Л. М. Фридман) Слайд 2
При введение моделирования в содержание обучения математике важно, чтобы учащиеся сами овладели методом моделирования, научились строить и преобразовывать модели, отражая различные отношения и закономерности, сами изучали какие-либо объекты, явления с помощью моделирования.
Когда учащиеся, решая практическую математическую задачу, понимают, что она представляет собой знаковую модель некоторой реальной ситуации, составляют последовательность различных ее моделей, затем изучают (решают) эти модели и, наконец, переводят полученное решение на язык исходной задачи, то тем самым школьники овладевают методом моделирования.
Знакомство с видами моделей.
- Какие виды моделей вы знаете и применяете на практике? (при затруднении предлагается выбрать из предложенных вариантов: вербальные, словесные, иллюстрационные, предметные, эвристические, схематические, математические, геометрические)
Виды моделей: вербальные, предметные, схематические, математические.
Можно выделить четыре модели, которые используются при работе над задачей на уроках математики: предметные, вербальные, схематические, математические.
Составляется кластер. (Сначала самостоятельно, а в процессе работы изменяется, пополняется, исправляются недочёты.)
Примерами предметных моделей могут быть сюжетные иллюстрации, отдельные предметы или их изображения. Слайд 3
К группе вербальных моделей мы относим в первую очередь сам текст задачи, кроме того, различные виды кратких записей текста задачи. Для некоторых текстовых задач более удобной формой вербальной модели является таблица. Слайд 4
Коля – 3
Таня - ?, на 2больше
Всего - ?
Схематические модели служат для визуального представления задачной ситуации, но здесь используются не конкретные предметы и их изображения, а различного рода условные обозначения, которые заменяют реальные предметы(например, круги, квадраты, отрезки, точки и т.п.).
Наиболее распространённые в начальной школе модели этого вида – схематические иллюстрации и схематические чертежи. Слайд 6
Под математическими моделями надо понимать математические выражения или равенства (3+4, 3+5=8). Слайд 7
Математическое выражение (например, запись вида 5+3);
Математическое равенство (например, запись вида 5+3=8).
(Раздаточный материал для групп «Виды моделей»)
4.Действия которые можно проводить с моделями.
Чтобы процесс переходов от одной модели к другой при решении текстовой задачи был продуманным, хорошо организованным и эффективным, важно разработать комплекс дидактических заданий по работе с учебными моделями.
- Давайте уточним, какие действия можно проводить с моделями?
1)Задания на соотнесение моделей: Слайд 8
при выполнении заданий на соотнесение моделей ребёнок должен определить, соответствуют ли друг другу предложенные для сравнения модели, и объяснить, почему соответствие есть или отсутствует. Например, дан рисунок, схема и равенство. Ученик рассказывает, почему схема подходит к рисунку и к равенству. Слайд 9
2) Задания на построение модели:
самостоятельно построить на парте из геометрических фигур схему, соответствующую рисунку, тексту задачи или математической записи, составить математическое выражение, соответствующее предложенному рисунку, схеме или тексту задачи. Слайд 10
3) Задания на выбор модели:
при выполнении заданий этой группы дети из нескольких предложенных вариантов выбирают тот, который соответствует другой модели. Слайд 11
4) Примеры заданий на изменение модели:
изменить предложенную схему так, чтобы новая схема соответствовала сюжетной иллюстрации, тексту задачи, числовому выражению или равенству;
изменить предложенный текст задачи так, чтобы новый текст соответствовал сюжетной иллюстрации, схеме, числовому выражению. Слайд 12
Многие задания в учебнике можно дифференцировать.
Использование учебных моделей позволяет сделать более доступным для ребёнка восприятие и понимание текста задачи, поскольку модели помогают визуализировать скрытые при непосредственном наблюдении связи и отношения, представленные в тексте задачи.
Благодаря возможности наглядно представлять наиболее существенные характеристики изучаемого объекта, модель служит весьма продуктивным видом визуализации.
Поскольку мышление детей младшего школьного возраста по преимуществу наглядно-образное, опора на модели делает возможным приобщение учеников к некоторым (пусть самым простым) теоретическим обобщениям. Это весьма значимо на первых шагах обучения решению задачи. Однако для того, чтобы работа с моделями приводила к максимальной «отдаче», их применение должно быть последовательным и систематическим.
Слайд 13 (пустой)
(Раздаточный материал « Группы заданий, ориентированных на выполнение одного из следующих действий:….»
5. Группы заданий, ориентированных на выполнение одного из следующих действий:
- задания на соотнесение моделей:
1. Соотнесение предметной и вербальной моделей.
2. Соотнесение предметной и схематической моделей. Подходит ли схема к рисунку?
3.Соотнесение предметной и математической моделей.
Верно ли составлен пример к рисунку?
4.Соотнесениевербальной и математической моделей.
Верно ли Ваня решил задачу?
5.Соотнесение вербальной и схематической моделей.
Проверь, верно ли Петя составил схему к задаче.
6.Соотнесение схематической и математической моделей.
Верно ли составлен пример к схеме
- выбор модели:
1. Задания на выбор модели при сравнении предметных и вербальных моделей.
Какая краткая запись подходит к рисунку?
2. Задания на выбор модели при сравнении предметных и схематических моделей.
Выбери схему к рисунку.
3. Задания на выбор модели при сравнении предметных и математических моделей.
Какой пример подходит к рисунку?
4.Задания на выбор модели при сравнении вербальных и математических моделей.
Выбери верное решение задачи .
5. Задания на выбор модели при сравнении вербальных и схематических моделей.
Выбери схему
6. Задания на выбор модели при сравнении схематических и математических моделей.
Какой пример подходит к схеме?
- изменение модели:
1. Задание на изменение модели в паре « Предметная модель – вербальная модель»
Измени рисунок так, чтобы он соответствовал тексту задачи. Или наоборот.
Измени краткую запись, чтобы она подходила к рисунку
2. Задание на изменение модели в паре « Предметная модель – схематическая модель»
Дополни схему
3. Задание на изменение модели в паре « Предметная модель – математическая модель»
Петя записал пример к рисунку. Часть примера не видна. Дополни запись.
4. Задание на изменение модели в паре « Вербальная модель – математическая модель»
Измените текст задачи, чтобы она решалась так:
5. Задание на изменение модели в паре « Вербальная модель – схематическая модель »
Исправь схему
6. . Задание на изменение модели в паре « Схематическая модель – математическая модель»
Катя сделала схему, исправь её ошибку.
- Дополни условие и вопрос, чтобы задача решалась сложением.
- Измени схему так, чтобы показать её с помощью действия вычитания
- построение модели:
1.Задание на построение модели в паре « Предметная модель – вербальная модель»
Составь задачу по рисунку или сделай рисунок к тексту задачи (краткой записи)
2. Задание на построение модели в паре « Предметная модель – схематическая модель»
Составь схему к предложенному рисунку или, наоборот, сделай рисунок к предложенной схеме
3.Задание на построение модели в паре « Предметная модель – математическая модель»
Составь пример к рисунку
4.Задание на построение модели в паре «Вербальная модель – математическая модель»
Составь задачу, которая решается так 5. Задание на построение модели в паре « Вербальная модель – схематическая модель»
Составь задачу по схеме
Составь пример по схеме или схему к выражению
6. Работа в группах:
Задания для работы в группах
1) Из предложенного ряда дидактических заданий выберите задание на соотнесение предметной и вербальной моделей при работе над задачей.
2) Из предложенного ряда дидактических заданий выберите задание на соотнесение предметной и вербальной моделей при работе над задачей.
а) Подходит ли схема к рисунку?
б)Проверь, верно ли Катя составила схему к задаче?
в) Проверь, верно ли Сергей решил задачу.
г) Подходит ли краткая запись к рисунку?
д) Верно ли составлен пример к рисунку?
е) Верно ли составлен пример к схеме?
3) Из предложенного ряда дидактических заданий выберите задание на соотнесение предметной и схематической моделей при работе над задачей.
а) Верно ли составлен пример к схеме?
б) Подходит ли рисунок к задаче?
в) Проверь, верно ли Сергей решил задачу.
г) Подходит ли схема к рисунку?
д) Верно ли составлен пример к рисунку?
е) Проверь, верно ли Катя составила схему к задаче?
1) Определите задание на выбор модели . Слайд 14
Определите задание на соотнесение моделей . Слайд 15
3) Определите задание на построение моделей. Слайд 16
7.Методические варианты использования моделей. Слайд 17
Методические варианты использования моделей: репродуктивно-наглядный, продуктивно-наглядный, репродуктивно-практический, продуктивно-практический. Рассмотрим примеры использование моделей для поиска решения текстовой задачи: « У Коли 3 яблока, а у Лены 2 яблока. Сколько яблок у детей вместе?»
Вариант 1. Репродуктивно-наглядный
Учитель демонстрирует модель (на доске, наборном полотне) и на её основе даёт словесное объяснение о способе решения задачи. При этом объяснение выступает репродуктивной передачей информации от учителя к детям.
Ребята, я располагаю на наборном полотне 3 кружка слева, потому что у нас в задаче сказано, что у Коли было 3 яблока, и 2 кружка справа - столько яблок, по условию задачи у Лены. В задаче нужно узнать, сколько всего яблок у детей, поэтому я придвину кружки друг к другу. Значит, эта задача решается с помощью действия сложения. Давайте запишем вместе решение задачи: 3+2=5.
Вариант 2. Продуктивно-наглядный
Учитель демонстрирует модель (на доске, на наборном полотне) и в процессе её построения проводит с детьми беседу эвристического характера с тем, чтобы дети сами «открыли» способ решения задачи. Здесь используется продуктивная форма получения знания.
Пример объяснения решения задачи:
Дети, сейчас я покажу слева яблоки Коли, а справа яблоки Лены. Сколько кружков я должна поставить слева? Почему? (После ответов детей учитель располагает на наборном полотне 3 кружка слева.) Сколько кружков нужно расположить на наборном полотне справа? Почему? (После ответов детей учитель располагает на наборном полотне 2 кружка справа.) Что нужно сделать, чтобы показать, что мы собираем вместе яблоки Коли и Лены? (После ответов детей учитель придвигает одни кружки к другим). Каким действием решается задача? Почему? Как запишем решение задачи?
Вариант 3. Репродуктивно-практический
Учитель строит модель (на доске, на наборном полотне) и одновременно просит детей построить такую же модель на парте или в тетради. В ходе построения модели учитель даёт словесное объяснение репродуктивного характера о способе решения задачи.
Пример объяснения решения задачи:
Дети, сейчас я на наборном полотне поставлю 3 кружка слева, потому что, по условию задачи, у Коли было 3 яблока, а 2 кружка справа – столько яблок у Лены. Положите вместе со мной 3 кружка на парте слева, а 2 кружка на парте справа. В задаче нужно узнать, сколько всего яблок у детей. Поэтому я придвину кружки друг к другу и вы тоже на партах придвиньте свои кружки друг к другу. Так как мы с вами придвигаем кружки, задача решается сложением. Давайте запишем вместе решение задачи: 3+2=5.
Вариант 4. Продуктивно - практический
Учитель строит модель (на доске, наборном полотне) и одновременно просит детей построить такую же модель на парте или в тетради. В процессе построения модели учитель проводит с детьми беседу эвристического характера с тем, чтобы дети сами «открыли» способ решения задачи.
Пример объяснения решения задачи
Дети, давайте покажем слева яблоки Коли, а справа яблоки Лены. Сколько кружков мы должны показать слева? Почему? Давайте вместе сделаем это: я поставлю кружки слева на наборном полотне, а вы положите их слева у себя на парте.
Сколько кружков мы должны показать справа? Почему? Давайте вместе сделаем это: я поставлю кружки справа на наборном полотне, а вы положите их справа у себя на парте. Что нужно сделать, чтобы показать, что мы собираем вместе яблоки Коли и Лены? Правильно, нужно придвинуть кружки друг к другу. Давайте вместе сделаем это: я на наборном полотне, а вы у себя на партах. Что мы сделали, чтобы найти ответ к задаче? Значит, каким действием решается задача? Как запишем решение задачи?
При объяснении трудного для детей материала рекомендуется чаще использовать продуктивно – практический вариант моделирования, поскольку при этом обеспечивается эвристическая форма передачи информации («субъективное открытие знания») и практическая деятельность ребёнка по построению и преобразованию моделей, что особенно важно для ребёнка со средними или слабыми математическими способностями.
8. Конструкции текста задачи: Слайд 18
(Раздаточный материал для учителей)
Условие выражено в повествовательной форме, за ним следует вопрос, выраженный вопросительным предложением; наиболее часто встречающаяся конструкция текста.
Условие выражено в повествовательной форме, за ним следует вопрос, выраженный повествовательным предложением.
Часть условия выражена в повествовательной форме в начале текста, затем вопросительное предложение, включающее вопрос и часть условия.
Часть условия выражена в повествовательной форме, затем следует также повествовательное предложение, включающее вопрос и часть условия.
Текст задачи представляет одно сложное вопросительное предложение, в котором сначала стоит вопрос задачи, затем условие.
9. Задания для работы в группах:
1 . Каждой группе подобрать из учебника или составить задачу 2,3,4,5 конструкций.
2. Практикум « Виды работ над задачей»
1) на нахождение остатка (опорное слово: осталось)
составить задачу
4 вида моделей
из групп заданий выбрать 1(блок « Задания на изменение модели»)
изменить конструкцию задачи
2)на нахождение суммы (опорное слово: стало)
составить задачу
4 вида моделей
из групп заданий выбрать 2 (блок « Задания на соотнесение модели»)
изменить конструкцию задачи
3)на нахождение разности (опорное слово: на сколько)
составить задачу
4 вида моделей
из групп заданий выбрать 1 (блок « Задания на построение модели»)
изменить конструкцию задачи
10. Практикум «Разработка вспомогательных моделей, которые используются при решении задач в начальной школе» Объединение моделей в систему.
1 тип схем
a b
2 тип схем
?, на б/м
a b
3 тип схем
Было –
Стало --
a b
4 тип схем
Было –
Осталось --
a
b c
5 тип схем
a c
Рефлексия мастер-класса
Возьмите карточку с таблицей-фиксацией, если есть, чем дополнить, впишите в третий столбик. Кто может зачитать данные своей таблицы? (Ответы участников)
Метод « Чемодан, Корзина, Мясорубка»
Для эффективного решения различных задач обработки И необходима их математическая постановка, которая прежде всего включает в себя математическое описание, т. е. модель И как объекта исследования. К настоящему времени разработан целый ряд таких моделей , некоторые из них рассматриваются в этой главе.
1.1. Случайные поля
Наиболее распространенными в настоящее время являются информационные комплексы, включающие в себя пространственные системы датчиков и цифровую вычислительную технику. Поэтому мы будем в основном рассматривать МИ с дискретными пространственными и временными переменными. Не ограничивая общности, будем считать, что МИ заданы на многомерных прямоугольных сетках с единичным шагом. На рис. 1.1,а и 1.1,б изображены двумерная и трехмерная сетки. В общем случае И задано в узлах n-мерной сетки .
В зависимости от физической природы значения И могут
быть скалярными (например, яркость монохроматического изображения), векторными
(поле скоростей, цветные изображения, поле смещений) и более сложнозначными
(например, матричными). Если обозначить через значение И в узле (пикселе) , то И есть совокупность
этих значений на сетке: 
.
Если данные представляют собой временную последовательность И, то иногда удобно считать эту последовательность одним И, увеличив размерность сетки на единицу. Например, последовательность из плоских И (рис. 1.1,а) можно рассматривать как одно трехмерное И (рис. 2.1,б).
Если требуется временную переменную выделить особо, то
будем ее записывать сверху: 
. Это И задано на прямом произведении сеток и I,
где I – множество значений временного индекса. Сечение 
, т.е. совокупность
отсчетов И при фиксированном значении временного индекса i,
называется i-м кадром И
. Каждый кадр задан на сетке . Например, на рис. 1.1,б
изображено три двухмерных кадра.
Таким образом, МИ можно рассматривать как некоторую функцию, определенную на многомерной сетке. Значение элементов И невозможно точно предсказать заранее (иначе система наблюдения была бы не нужна), поэтому естественно рассматривать эти значения как случайные величины (СВ), применяя аппарат теории вероятностей и математической статистики. Итак, приходим к основной модели МИ – системе СВ, заданных на многомерной сетке. Такие системы называются дискретными случайными полями (СП) или случайными функциями нескольких переменных.
Для описания СП, как и любой другой системы СВ, можно
задать сов-местную функцию распределения вероятностей (ФР) его элементов или совместную
плотность распределения вероятностей (ПРВ) 
. Однако И обычно состоит из очень большого
количества элементов (тысячи и миллионы), поэтому ФР (или ПРВ) при таком
количестве переменных становится необозримой и требуются другие, менее громоздкие
методы описания СП.
