При наличии двух рядов значений, подвергающихся ранжированию, рационально рассчитывать ранговую корреляцию Спирмена.
Такие ряды могут представляться:
- парой признаков, определяемых в одной и той же группе исследуемых объектов;
- парой индивидуальных соподчиненных признаков, определяемых у 2 исследуемых объектов по одинаковому набору признаков;
- парой групповых соподчиненных признаков;
- индивидуальной и групповой соподчиненностью признаков.
Метод предполагает проведение ранжирования показателей в отдельности для каждого из признаков.
Наименьшее значение имеет наименьший ранг.
Этот метод относится к непараметрическому статистическому методу, предназначенному для установления существования связи изучаемых явлений:
- определение фактической степени параллелизма между двумя рядами количественных данных;
- оценка тесноты выявленной связи, выражаемой количественно.
Корреляционный анализ
Статистический метод, предназначенный для выявления существования зависимости между 2 и более случайными величинами (переменными), а также ее силы, получил название корреляционного анализа.
Получил свое название от correlatio (лат.) – соотношение.
При его использовании возможны варианты развития событий:
- наличие корреляции (положительная либо отрицательная);
- отсутствие корреляции (нулевая).
В случае установления зависимости между переменными речь идет об их коррелировании. Иными словами, можно сказать, что при изменении значения Х, обязательно будет наблюдаться пропорциональное изменение значения У.
В качестве инструментов используются различные меры связи (коэффициенты).
На их выбор оказывает влияние:
- способ измерения случайных чисел;
- характер связи между случайными числами.
Существование корреляционной связи может отображаться графически (графики) и с помощью коэффициента (числовое отображение).
Корреляционная связь характеризуется такими признаками:
- сила связи (при коэффициенте корреляции от ±0,7 до ±1 – сильная; от ±0,3 до ±0,699 – средняя; от 0 до ±0,299 – слабая);
- направление связи (прямая или обратная).
Цели корреляционного анализа
Корреляционный анализ не позволяет установить причинную зависимость между исследуемыми переменными.
Он проводится с целью:
- установления зависимости между переменными;
- получения определенной информации о переменной на основе другой переменной;
- определения тесноты (связи) этой зависимости;
- определение направления установленной связи.
Методы корреляционного анализа
Данный анализ может выполняться с использованием:
- метода квадратов или Пирсона;
- рангового метода или Спирмена.
Метод Пирсона применим для расчетов требующих точного определения силы, существующей между переменными. Изучаемые с его помощью признаки должны выражаться только количественно.
Для применения метода Спирмена или ранговой корреляции нет жестких требований в выражении признаков – оно может быть, как количественным, так и атрибутивным. Благодаря этому методу получается информация не о точном установлении силы связи, а имеющая ориентировочный характер.
В рядах переменных могут содержаться открытые варианты. Например, когда стаж работы выражается такими значениями, как до 1 года, более 5 лет и т.д.
Коэффициент корреляции
Статистическая величина характеризующая характер изменения двух переменных получила название коэффициента корреляции либо парного коэффициента корреляции. В количественном выражении он колеблется в пределах от -1 до +1.
Наиболее распространены коэффициенты:
- Пирсона – применим для переменных принадлежащих к интервально шкале;
- Спирмена – для переменных порядковой шкалы.
Ограничения использования коэффициента корреляции
Получение недостоверных данных при расчете коэффициента корреляции возможно в тех случаях, когда:
- в распоряжении имеется достаточное количество значений переменной (25-100 пар наблюдений);
- между изучаемыми переменными установлено, например, квадратичное соотношение, а не линейное;
- в каждом случае данные содержат больше одного наблюдения;
- наличие аномальных значений (выбросов) переменных;
- исследуемые данные состоят из четко выделяемых подгрупп наблюдений;
- наличие корреляционной связи не позволяет установить какая из переменных может рассматриваться в качестве причины, а какая – в качестве следствия.
Проверка значимости корреляции
Для оценки статистических величин используется понятие их значимости или же достоверности, характеризующей вероятность случайного возникновения величины либо крайних ее значений.
Наиболее распространенным методом определения значимости корреляции является определение критерия Стьюдента.
Его значение сравнивается с табличным, количество степенней свободы принимается как 2. При получении расчетного значения критерия больше табличного, свидетельствует о значимости коэффициента корреляции.
При проведении экономических расчетов достаточным считается доверительный уровень 0,05 (95%) либо 0,01 (99%).
Ранги Спирмена
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена позволяет статистически установить наличие связи между явлениями. Его расчет предполагает установление для каждого признака порядкового номера – ранга. Ранг может быть возрастающим либо убывающим.
Количество признаков, подвергаемых ранжированию, может быть любым. Это достаточно трудоемкий процесс, ограничивающий их количество. Затруднения начинаются при достижении 20 признаков.
Для расчета коэффициента Спирмена пользуются формулой:
в которой:
n – отображает количество ранжируемых признаков;
d – не что иное как разность между рангами по двум переменным;
а ∑(d2) – сумма квадратов разностей рангов.
Применение корреляционного анализа в психологии
Статистическое сопровождение психологических исследований позволяет сделать их более объективными и высоко репрезентативными. Статистическая обработка данных полученных в ходе психологических экспериментов способствует извлечению максимума полезной информации.
Наиболее широкое применение в обработке их результатов получил корреляционный анализ.
Уместным является проведение корреляционного анализа результатов, полученных при проведении исследований:
- тревожности (по тестам R. Temml, M. Dorca, V. Amen);
- семейных взаимоотношений («Анализ семейных взаимоотношений» (АСВ) опросник Э.Г. Эйдемиллера, В.В. Юстицкиса);
- уровня интернальности-экстернальности (опросник Е.Ф. Бажина, Е.А. Голынкиной и А.М. Эткинда);
- уровня эмоционального выгорания у педагогов (опросник В.В. Бойко);
- связи элементов вербального интеллекта учащихся при разно профильном обучении (методика К.М. Гуревича и др.);
- связи уровня эмпатии (методика В.В. Бойко) и удовлетворенностью браком (опросник В.В. Столина, Т.Л. Романовой, Г.П. Бутенко);
- связи между социометрическим статусом подростков (тест Jacob L. Moreno) и особенностями стиля семейного воспитания (опросник Э.Г. Эйдемиллера, В.В. Юстицкиса);
- структуры жизненных целей подростков, воспитанных в полных и неполных семьях (опросник Edward L. Deci, Richard M. Ryan Ryan).
Краткая инструкция к проведению корреляционного анализа по критерию Спирмена
Проведение корреляционного анализа с использованием метода Спирмена выполняется по следующему алгоритму:
- парные сопоставимые признаки располагаются в 2 ряда, один из которых обозначается с помощью Х, а другой У;
- значения ряда Х располагаются в порядке возрастания либо убывания;
- последовательность расположения значений ряда У определяется их соответствием значений ряда Х;
- для каждого значения в ряду Х определить ранг — присвоить порядковый номер от минимального значения к максимальному;
- для каждого из значений в ряду У также определить ранг (от минимального к максимальному);
- вычислить разницу (D) между рангами Х и У, прибегнув к формуле D=Х-У;
- полученные значения разницы возводятся в квадрат;
- выполнить суммирование квадратов разниц рангов;
- выполнить расчеты по формуле:
Пример корреляции Спирмена
Необходимо установить наличие корреляционной связи между рабочим стажем и показателем травматизма при наличии следующих данных:
Наиболее подходящим методом анализа является ранговый метод, т.к. один из признаков представлен в виде открытых вариантов: рабочий стаж до 1 года и рабочий стаж 7 и более лет.
Решение задачи начинается с ранжирования данных, которые сводятся в рабочую таблицу и могут быть выполнены вручную, т.к. их объем не велик:
| Рабочий стаж | Число травм | Порядковые номера | (ранги) | Разность рангов | Квадрат разности рангов |
| d(х-у) | |||||
| до 1 года | 24 | 1 | 5 | -4 | 16 |
| 1-2 | 16 | 2 | 4 | -2 | 4 |
| 3-4 | 12 | 3 | 2,5 | +0,5 | 0,25 |
| 5-6 | 12 | 4 | 2,5 | +1,5 | 2,5 |
| 7 и более | 6 | 5 | 1 | +4 | 16 |
| Σ d2 = 38,5 |
Появление дробных рангов в колонке связано с тем, что в случае появления вариант одинаковых по величине находится среднее арифметическое значение ранга. В данном примере показатель травматизма 12 встречается дважды и ему присваиваются ранги 2 и 3, находим среднее арифметическое этих рангов (2+3)/2= 2,5 и помещаем это значение в рабочую таблицу для 2 показателей.
Выполнив подстановку полученных значений в рабочую формулу и произведя несложные расчёты получаем коэффициент Спирмена равный -0,92
Отрицательное значение коэффициента свидетельствует о наличии обратной связи между признаками и позволяет утверждать, что небольшой стаж работы сопровождается большим числом травм. Причем, сила связи этих показателей достаточно большая.
Следующим этапом расчётов является определение достоверности полученного коэффициента:
рассчитывается его ошибка и критерий Стьюдента
37. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.
С. 56 (64) 063.JPG
http://psystat.at.ua/publ/1-1-0-33
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена используется в случаях, когда:
- переменные имеют ранговую шкалу
измерения;
- распределение данных слишком отличается от нормального
или вообще неизвестно;
- выборки имеют небольшой объём (N < 30).
Интерпретация рангового коэффициента корреляции Спирмена не отличается от коэффициента Пирсона, однако его смысл несколько отличен. Чтобы понять различие этих методов и логически обосновать области их применения сравним их формулы.
Коэффициент корреляции Пирсона:
Коэффициент корреляции Спирмена:
Как видим формулы значительно различаются. Сравним формулы
В формуле корреляции Пирсона используется среднее арифметическое и стандартное отклонение коррелируемых рядов, а в формуле Спирмена не используется. Таким образом, для получения адекватного результата по формуле Пирсона, необходимо, чтобы коррелируемые ряды были приближены к нормальному распределению (среднее и стандартное отклонение являются параметрами нормального распределения ). Для формулы Спирмена это не актуально.
Элементом формулы Пирсона является стандартизация каждого ряда в z-шкалу .
Как видим, перевод переменных в Z-шкалу присутствует в формуле коэффициента корреляции Пирсона. Соответственно, для коэффициента Пирсона абсолютно не имеет значение масштаб данных: к примеру, мы можем коррелировать две переменных, одна из которых имеет мин. = 0 и макс. = 1, а вторая мин. = 100 и макс. = 1000. Как бы не различался размах диапазона значений, все они будут переведены в стандартные z-значения одинаковые по своему масштабу.
В коэффициенте Спирмена такой нормализации не происходит, поэтому
ОБЯЗАТЕЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА СПИРМЕНА ЯВЛЯЕТСЯ РАВЕНСТВО РАЗМАХА ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Перед использованием коэффициента Спирмена для рядов данных с различным размахом, необходимо обязательно их ранжировать . Ранжирование приводит к тому, что значения этих рядов приобретают одинаковый минимум = 1 (минимальный ранг) и максимум, равный количеству значений (максимальный, последний ранг = N, т.е. максимальному количеству случаев в выборке).
В каких случаях можно обойтись без ранжирования
Это случаи, когда данные имеют исходно ранговую шкалу . К примеру, тест ценностных ориентаций Рокича.
Также, это случаи, когда количество вариантов значений невелико и в выборке присутствуют фиксированные минимум и максимум. К примеру, в семантическом дифференциале минимум = 1, максимум = 7.
Пример расчета рангового коэффициента корреляции Спирмена
Тест ценностных ориентаций Рокича был проведён на двух выборках Xи Y. Задача: узнать, насколько близки иерархии ценностей данных выборок (буквально – на сколько они похожи).
Полученное значение r=0,747 проверяется по таблице критических значений . Согласно таблице, при N=18, полученное значение достоверно на уровне p<=0,005
Ранговые коэффициенты корреляции по Спирману и Кендалу
Для переменных, принадлежащих к порядковой шкале или для переменных, не подчиняющихся нормальному распределению, а также для переменных принадлежащих к интервальной шкале, вместо коэффициента Пирсона рассчитывается ранговая корреляция по Спирману. Для этого отдельным значениям переменных присваиваются ранговые места, которые впоследствии обрабатываются с помощью соответствующих формул. Чтобы выявить ранговую корреляцию, уберите в диалоговом окне Bivariate Correlations... (Парные корреляции) метку для расчета корреляции по Пирсону, установленную по умолчанию. Вместо этого активируйте расчет корреляции Спирмана. Это расчет даст следующие результаты. Коэффициенты ранговой корреляции весьма близки к соответствующим значениям коэффициентов Пирсона (исходные переменные имеют нормальное распределение).
titkova-matmetody.pdf с. 45
Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тесноту (силу) и направление
корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями (иерархиями) признаков.
Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений,
которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть:
1) два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых;
2) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых по одному и тому же
набору признаков;
3) две групповые иерархии признаков,
4) индивидуальная и групповая иерархии признаков.
Вначале показатели ранжируются отдельно по каждому из признаков.
Как правило, меньшему значению признака начисляется меньший ранг.
В первом случае (два признака) ранжируются индивидуальные значения по первому
признаку, полученные разными испытуемыми, а затем индивидуальные значения по второму
признаку.
Если два признака связаны положительно, то испытуемые, имеющие низкие ранги по
одному из них, будут иметь низкие ранги и по другому, а испытуемые, имеющие высокие ранги по
одному из признаков, будут иметь по другому признаку также высокие ранги. Для подсчета rs
необходимо определить разности (d) между рангами, полученными данным испытуемым по обоим
признакам. Затем эти показатели d определенным образом преобразуются и вычитаются из 1. Чем
меньше разности между рангами, тем больше будет rs, тем ближе он будет к +1.
Если корреляция отсутствует, то все ранги будут перемешаны и между ними не будет
никакого соответствия. Формула составлена так, что в этом случае rs окажется близким к 0.
В случае отрицательной корреляции низким рангам испытуемых по одному признаку
будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, и наоборот. Чем больше несовпадение
между рангами испытуемых по двум переменным, тем ближе rs к -1.
Во втором случае (два индивидуальных профиля ), ранжируются индивидуальные
значения, полученные каждым из 2-х испытуемым по определенному (одинаковому для них
обоих) набору признаков. Первый ранг получит признак с самым низким значением; второй ранг –
признак с более высоким значением и т.д. Очевидно, что все признаки должны быть измерены в
одних и тех же единицах, иначе ранжирование невозможно. Например, невозможно
проранжировать показатели по личностному опроснику Кеттелла (16PF), если они выражены в
"сырых" баллах, поскольку по разным факторам диапазоны значений различны: от 0 до 13, от 0 до
20 и от 0 до 26. Мы не можем сказать, какой из факторов будет занимать первое место по
выраженности, пока не приведем все значения к единой шкале (чаще всего это шкала стенов).
Если индивидуальные иерархии двух испытуемых связаны положительно, то признаки,
имеющие низкие ранги у одного из них, будут иметь низкие ранги и у другого, и наоборот.
Например, если у одного испытуемого фактор Е (доминантность) имеет самый низкий ранг, то и у
другого испытуемого он должен иметь низкий ранг, если у одного испытуемого фактор С
(эмоциональная устойчивость) имеет высший ранг, то и другой испытуемый должен иметь по
этому фактору высокий ранг и т.д.
В третьем случае (два групповых профиля), ранжируются среднегрупповые значения,
полученные в 2-х группах испытуемых по определенному, одинаковому для двух групп, набору
признаков. В дальнейшем линия рассуждений такая же, как и в предыдущих двух случаях.
В случае 4-ом (индивидуальный и групповой профили), ранжируются отдельно
индивидуальные значения испытуемого и среднегрупповые значения по тому же набору
признаков, которые получены, как правило, при исключении этого отдельного испытуемого – он
не участвует в среднегрупповом профиле, с которым будет сопоставляться его индивидуальный
профиль. Ранговая корреляция позволит проверить, насколько согласованы индивидуальный и
групповой профили.
Во всех четырех случаях значимость полученного коэффициента корреляции определяется
по количеству ранжированных значений N. В первом случае это количество будет совпадать с
объемом выборки n. Во втором случае количеством наблюдений будет количество признаков,
составляющих иерархию. В третьем и четвертом случае N – это также количество сопоставляемых
признаков, а не количество испытуемых в группах. Подробные пояснения даны в примерах. Если
абсолютная величина rs достигает критического значения или превышает его, корреляция
достоверна.
Гипотезы.
Возможны два варианта гипотез. Первый относится к случаю 1, второй – к трем остальным
Первый вариант гипотез
H0: Корреляция между переменными А и Б не отличается от нуля.
H2: Корреляция между переменными А и Б достоверно отличается от нуля.
Второй вариант гипотез
H0: Корреляция между иерархиями А и Б не отличается от нуля.
H2: Корреляция между иерархиями А и Б достоверно отличается от нуля.
Ограничения коэффициента ранговой корреляции
1. По каждой переменной должно быть представлено не менее 5 наблюдений. Верхняя
граница выборки определяется имеющимися таблицами критических значений.
2. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена rs при большом количестве одинаковых
рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале
оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих
значений. В случае, если это условие не соблюдается, необходимо вносить поправку на
одинаковые ранги.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:
Если в обоих сопоставляемых ранговых рядах присутствуют группы одинаковых рангов,
перед подсчетом коэффициента ранговой корреляции необходимо внести поправки на одинаковые
ранги Та и Тв:
Та = Σ (а3 – а)/12,
Тв = Σ (в3 – в)/12,
где а – объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду А, в – объем каждой
группы одинаковых рангов в ранговом ряду В.
Для подсчета эмпирического значения rs используют формулу:
38. Точечно-бисериальный коэффициент корреляции.
О корреляции вообще см. вопрос № 36 с. 56 (64) 063.JPG
harchenko-korranaliz.pdf
Пусть переменная X измерена в сильной шкале, а переменная Y – в дихотомической. Точечный бисериальный коэффициент корреляции rpb вычисляется по формуле:
Здесь x 1 – среднее значение по Х объектов со значением «единица» по Y;
x 0 – среднее значение по Х объектов со значением «ноль» по Y;
s х – среднее квадратическое отклонение всех значений по Х;
n 1 – число объектов «единица» по Y, n 0 - число объектов «ноль» по Y;
n = n 1 + n 0 – объем выборки.
Точечный бисериальный коэффициент корреляции можно рассчитать также с помощью других эквивалентных выражений:
Здесь x – общее среднее значение по переменной Х .
Точечный бисериальный коэффициент корреляции rpb изменяется в пределах от –1 до +1. Его значение равно нулю в том случае, если пере-менные с единицей по Y имеют среднее по Y , равное среднему переменных с нулем по Y .
Проверка гипотезы о значимости точечного бисериального коэффициента корреляции заключается в проверке нулевой гипотезы h 0 о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю: ρ = 0, которая осуществляется с помощью критерия Стьюдента. Эмпирическое значение
сравнивается с критическими значениями t a (df ) для числа степеней свободы df = n – 2
Если выполняется условие | t | ≤ tα (df ), нулевая гипотеза ρ = 0 не от-вергается. Точечный биссериальный коэффициент корреляции значимо от-личается от нуля, если эмпирическое значение | t | попадает в критическую область, то есть если выполняется условие | t | > tα (n – 2). Достоверность связи, рассчитанной с помощью точечного бисериального коэффициента корреляции rpb , можно определить также с помощью критерия χ 2 для числа степеней свободы df = 2.
Точечно-бисериальная корреляция
Последующая модификация коэффициента корреляции произведения моментов получила отражение в точечно бисериальном r . Эта стат. показывает связь между двумя переменными, одна из к-рых предположительно непрерывна и нормально распределена, а др. яв-ся дискретной в точном смысле слова. Точечно-бисериальный коэффициент корреляции обозначается через r pbis Поскольку в r pbis дихотомия отражает подлинную природу дискретной переменной, а не яв-ся искусственной, как в случае r bis , его знак определяется произвольно. Поэтому для всех практ. целей r pbis рассматривается в диапазоне от 0,00 до +1,00.
Существует и такой случай, когда две переменные считаются непрерывными и нормально распределенными, но обе искусственно дихотомизированы, как в случае бисериальной корреляции. Для оценки связи между такими переменными применяется тетрахорический коэффициент корреляции r tet ,к-рый был тж выведен Пирсоном. Осн. (точные) формулы и процедуры для вычисления r tet достаточно сложны. Поэтому при практ. применении этого метода используются приближения r tet ,получаемые на основе сокращенных процедур и таблиц.
/on-line/dictionary/dictionary.php?term=511
ТОЧЕЧНО-БИСЕРИАЛЬНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ - это коэффициент корреляции между двумя переменными, одна из которых измерена в дихотомической шкале, а другая – в интервальной шкале. Применяется в классической и современной тестологии как показатель качества тестового задания – надежности-согласованности с общим баллом по тесту.
Для коррелирования переменных, измеренных в дихотомической и интервальной шкале
используют точечно-бисериальный коэффициент корреляции
.
Точечно-бисериальный коэффициент корреляции - это метод корреляционного анализа отношения переменных, одна из которых измерена в шкале наименований и принимает только 2 значения (к примеру, мужчины/женщины, ответ верный/ответ неверный, признак есть/признака нет), а вторая в шкале отношений или интервальной шкале. Формула расчета коэффициента точечно-бисериальной корреляции:
Где:
m1 и m0 - средние значения Х со значением 1 или 0 по Y.
σx – стандартное отклонение всех значений по Х
n1 ,n0 – количество значений Х с 1 или 0 по Y.
n – общее количество пар значений
Чаще всего данный вид коэффициента корреляции применяется для расчета связи пунктов теста с суммарной шкалой. Это один из видов проверки валидности.
39. Рангово-бисериальный коэффициент корреляции.
О корреляции вообще см. вопрос № 36 с. 56 (64) 063.JPG
harchenko-korranaliz.pdf с. 28
Рангово-бисериальный коэффициент корреляции, используемый в случаях, когда одна из переменных (Х ) представлена в порядковой шкале, а другая (Y ) – в дихотомической, вычисляется по формуле
. 
Здесь – средний ранг объектов, имеющих единицу по Y ; – средний ранг объектов с нулем по Y , n – объем выборки.
Проверка гипотезы о значимости рангово-бисериального коэффи-циента корреляции осуществляется аналогично точечному биссериальному коэффициенту корреляции с помощью критерия Стьюдента с заменой в формулах r pb на r rb .
В тех случаях, когда одна переменная измеряется в дихотомической шкале (переменная X), а другая в ранговой шкале (переменная У), используется рангово-бисериальный коэффициент корреляции. Мы помним, что переменная X, измеренная в дихотомической шкале, принимает только два значения (кода) 0 и 1. Особо подчеркнем: несмотря на то что этот коэффициент изменяется в диапазоне от –1 до +1, его знак для интерпретации результатов не имеет значения. Это еще одно исключение из общего правила.
Расчет этого коэффициента производится по формуле:
где `X 1– средний ранг по тем элементам переменной Y , которым соответствует код (признак) 1 в переменной Х ;
`X 0– средний ранг по тем элементам переменной Y, которым соответствует код (признак) 0 в переменной Х\
N – общее количество элементов в переменной X.
Для применения рангово-бисериального коэффициента корреляции необходимо соблюдать следующие условия:
1. Сравниваемые переменные должны быть измерены в разных шкалах: одна X – в дихотомической шкале; другая Y– в ранговой шкале.
2. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.
3. Для оценки уровня достоверности рангово-бисериального коэффициента корреляции следует пользоваться формулой (11.9)и таблицей критических значений для критерия Стьюдентапри k = n – 2.
http://psystat.at.ua/publ/drugie_vidy_koehfficienta_korreljacii/1-1-0-38
Случаи, когда одна из переменных представлена в дихотомической шкале , а другая в ранговой (порядковой) , требуют применения коэффициента рангово-бисериальной корреляции:
rpb=2 / n * (m1 - m0)
где:
n – число объектов измерения
m1 и m0 - средний ранг объектов с 1 или 0 по второй переменной.
Данный коэффициент также применяется при проверке валидности тестов.
40. Коэффициент линейной корреляции.
О корреляции вообще (и в частности о линейной как раз) см. вопрос № 36 с. 56 (64) 063.JPG
КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ г-ПИРСОНА
r -Пирсона (Pearson r ) применяется для изучения взаимосвязи двух метричес- ких переменных, измеренных на одной и той же выборке. Существует множество ситуаций, в которых уместно его применение. Влияет ли интеллект на успе-ваемость на старших курсах университета? Связан ли размер заработной пла-ты работника с его доброжелательностью к коллегам? Влияет ли настроение школьника на успешность решения сложной арифметической задачи? Для ответа на подобные вопросы исследователь должен измерить два интересую-щих его показателя у каждого члена выборки. Данные для изучения взаимо-связи затем сводятся в таблицу, как в приведенном ниже примере.
ПРИМЕР 6.1
В таблице приведен пример исходных данных измерения двух показателей интел-лекта (вербального и невербального) у 20 учащихся 8-го класса.
Связь между этими переменными можно изобразить при помощи диаграммы рас-сеивания (см. рис. 6.3). Диаграмма показывает, что существует некоторая взаимо-связь измеренных показателей: чем больше значения вербального интеллекта, тем (преимущественно) больше значения невербального интеллекта.
Прежде чем дать формулу коэффициента корреляции, попробуем просле-дить логику ее возникновения, используя данные примера 6.1. Положение каждой /-точки (испытуемого с номером /) на диаграмме рассеивания отно-сительно остальных точек (рис. 6.3) может быть задано величинами и знака-ми отклонений соответствующих значений переменных от своих средних ве-личин: (xj - MJ и (у, -М у ). Если знаки этих отклонений совпадают, то это свидетельствует в пользу положительной взаимосвязи (большим значениям по х соответствуют большие значения по у или меньшим значениям по х со-ответствуют меньшие значения по у).
Для испытуемого № 1 отклонение от среднего по х и по у положительное, а для испытуемого № 3 и то и другое отклонения отрицательные. Следовательно, данные того и другого свидетельствуют о положительной взаимосвязи изучаемых призна-ков. Напротив, если знаки отклонений от средних по х и по у различаются, то это будет свидетельствовать об отрицательной взаимосвязи между признаками. Так, для испытуемого № 4 отклонение от среднего по х является отрицательным, по у - положительным, а для испытуемого № 9 - наоборот.
Таким образом, если произведение отклонений (х,- М х ) х (у, - М у ) поло-жительное, то данные /-испытуемого свидетельствуют о прямой (положи-тельной) взаимосвязи, а если отрицательное - то об обратной (отрицатель-ной) взаимосвязи. Соответственно, если х w у ъ основном связаны прямо пропорционально, то большинство произведений отклонений будет поло-жительным, а если они связаны обратным соотношением, то большинство произведений будет отрицательным. Следовательно, общим показателем для силы и направления взаимосвязи может служить сумма всех произведений отклонений для данной выборки:
При прямо пропорциональной связи между переменными эта величина является большой и положительной - для большинства испытуемых откло-нения совпадают по знаку (большим значениям одной переменной соответ-ствуют большие значения другой переменной и наоборот). Если же х и у име-ют обратную связь, то для большинства испытуемых большим значениям одной переменной будут соответствовать меньшие значения другой перемен-ной, т. е. знаки произведений будут отрицательными, а сумма произведений в целом будет тоже большой по абсолютной величине, но отрицательной по знаку. Если систематической связи между переменными не будет наблюдать-ся, то положительные слагаемые (произведения отклонений) уравновесятся отрицательными слагаемыми, и сумма всех произведений отклонений будет близка к нулю.
Чтобы сумма произведений не зависела от объема выборки, достаточно ее усреднить. Но мера взаимосвязи нас интересует не как генеральный параметр, а как вычисляемая его оценка - статистика. Поэтому, как и для формулы дис-персии, в этом случае поступим также, делим сумму произведений отклоне-ний не на N , а на TV- 1. Получается мера связи, широко применяемая в физи-ке и технических науках, которая называется ковариацией (Covahance ):
В
психологии, в отличие от физики, большинство переменных измеряют-ся в произвольных шкалах, так как психологов интересует не абсолютное зна-чение признака, а взаимное расположение испытуемых в группе. К тому же ковариация весьма чувствительна к масштабу шкалы (дисперсии), в которой измерены признаки. Чтобы сделать меру связи независимой от единиц изме-рения того и другого признака, достаточно разделить ковариацию на соот-ветствующие стандартные отклонения. Таким образом и была получена фор-
мула коэффициента корреляции К. Пирсона:
или, после подстановки выражений для о х и
Если значения той и другой переменной были преобразованы в г-значения по формуле
то формула коэффициента корреляции r-Пирсона выглядит проще (071.JPG):
/dict/sociology/article/soc/soc-0525.htm
КОРРЕЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНАЯ - статистическая линейная связь непричинного характера между двумя количественными переменными х и у . Измеряется с помощью "коэффициента К.Л." Пирсона, который является результатом деления ковариации на стандартные отклонения обеих переменных:
,
где s xy - ковариация между переменными х и у ;
s x , s y - стандартные отклонения для переменных х и у ;
x i , y i - значения переменных х и у для объекта с номером i ;
x , y - средние арифметические для переменных х и у .
Коэффициент Пирсона r может принимать значения из интервала [-1; +1]. Значение r = 0 означает отсутствие линейной связи между переменными х и у (но не исключает статистической связи нелинейной). Положительные значения коэффициента (r > 0) свидетельствуют о прямой линейной связи; чем ближе его значение к +1, тем сильнее связь статистическая прямая. Отрицательные значения коэффициента (r < 0) свидетельствуют об обратной линейной связи; чем ближе его значение к -1, тем сильнее обратная связь. Значения r = ±1 означают наличие полной линейной связи, прямой или обратной. В случае полной связи все точки с координатами (x i , y i ) лежат на прямой y = a + bx .
"Коэффициент К.Л." Пирсона применяется также для измерения тесноты связи в модели регрессии линейной парной.
41. Корреляционная матрица и корреляционный граф.
О корреляции вообще см. вопрос № 36 с. 56 (64) 063.JPG
Корреляционная матрица. Часто корреляционный анализ включает в себя изучение связей не двух, а множества переменных, измеренных в количествен-ной шкале на одной выборке. В этом случае вычисляются корреляции для каждой пары из этого множества переменных. Вычисления обычно прово-дятся на компьютере, а результатом является корреляционная матрица.
Корреляционная матрица (Correlation Matrix ) - это результат вычисления корреляций одного типа для каждой пары из множества Р переменных, изме-ренных в количественной шкале на одной выборке.
ПРИМЕР
Предположим, изучаются связи между 5 переменными (vl, v2,..., v5; P = 5), изме-ренными на выборке численностью N=30 человек. Ниже приведена таблица ис-ходных данных и корреляционная матрица.
И
сходные данные:
Корреляционная матрица:
Нетрудно заметить, что корреляционная матрица является квадратной, симметрич-ной относительно главной диагонали (таккакг,у= /} у), с единицами на главной диа-гонали (так как г и = Гу = 1).
Корреляционная матрица является квадратной: число строк и столбцов равно числу переменных. Она симметрична относительно главной диагона-ли, так как корреляция х с у равна корреляции у с х. На ее главной диагонали располагаются единицы, так как корреляция признака с самим собой равна единице. Следовательно, анализу подлежат не все элементы корреляцион-ной матрицы, а те, которые находятся выше или ниже главной диагонали.
Количество коэффициентов корреляции, подлежащих анализу при изучении связей Рпризнаков определяется формулой: Р(Р- 1)/2. В приведенном выше примере количество таких коэффициентов корреляции 5(5 - 1)/2 = 10.
Основная задача анализа корреляционной матрицы - выявление структуры взаимосвязей множества признаков. При этом возможен визуальный анализ корреляционных плеяд - графического изображения структуры статистически значимых связей, если таких связей не очень много (до 10-15). Другой спо-соб - применение многомерных методов: множественного регрессионного, факторного или кластерного анализа (см. раздел «Многомерные методы...»). Применяя факторный или кластерный анализ, можно выделить группиров-ки переменных, которые теснее связаны друг с другом, чем с другими пере-менными. Весьма эффективно и сочетание этих методов, например, если признаков много и они не однородны.
Сравнение корреляций - дополнительная задача анализа корреляционной матрицы, имеющая два варианта. Если необходимо сравнение корреляций в одной из строк корреляционной матрицы (для одной из переменных), при-меняется метод сравнения для зависимых выборок (с. 148-149). При сравне-нии одноименных корреляций, вычисленных для разных выборок, применя-ется метод сравнения для независимых выборок (с. 147-148).
Методы сравнения корреляций в диагоналях корреляционной матрицы (для оценки стационарности случайного процесса) и сравнения нескольких корре-ляционных матриц, полученных для разных выборок (на предмет их одно-родности), являются трудоемкими и выходят за рамки данной книги. Позна-комиться с этими методами можно по книге Г. В. Суходольского 1 .
Проблема статистической значимости корреляций. Проблема заключается в том, что процедура статистической проверки гипотезы предполагает одно- кратное испытание, проведенное на одной выборке. Если один и тот же метод применяется многократно, пусть даже и в отношении различных переменных, то увеличивается вероятность получить результат чисто слу-чайно. В общем случае, если мы повторяем один и тот же метод проверки гипотезы к раз в отношении разных переменных или выборок, то при уста-новленной величине а мы гарантированно получим подтверждение гипоте-зы в ахк числе случаев.
Предположим, анализируется корреляционная матрица для 15 переменных, то есть вычислено 15(15-1)/2 = 105 коэффициентов корреляции. Для проверки гипотез установлен уровень а = 0, 05. Проверяя гипотезу 105 раз, мы пять раз (!) получим ее подтверждение независимо от того, существует ли связь на самом деле. Зная это и получив, скажем, 15 «статистически достоверных» коэффициентов корреляции, сможем ли мы сказать, какие из них получены случайно, а какие - отражают ре-альную связь?
Строго говоря, для принятия статистического решения необходимо умень-шить уровень а во столько раз, сколько гипотез проверяется. Но вряд ли это целесообразно, так как непредсказуемым образом увеличивается вероятность проигнорировать реально существующую связь (допустить ошибку II рода).
Одна только корреляционная матрица не является достаточным основанием для статистических выводов относительно входящих в нее отдельных коэффи- циентов корреляций!
Можно указать лишь один действительно убедительный способ решения этой проблемы: разделить выборку случайным образом на две части и прини-мать во внимание только те корреляции, которые статистически значимы в обеих частях выборки. Альтернативой может являться использование много-мерных методов (факторного, кластерного или множественного регрессион-ного анализа) - для выделения и последующей интерпретации групп статис-тически значимо связанных переменных.
Проблема пропущенных значений. Если в данных есть пропущенные значе-ния, то возможны два варианта расчета корреляционной матрицы: а) построч-ное удаление значений (Exclude cases listwise ); б) попарное удаление значений (Exclude cases pairwise ). При построчном удалении наблюдений с пропусками удаляется вся строка для объекта (испытуемого), который имеет хотя бы одно пропущенное значение по одной из переменных. Этот способ приводит к «пра-вильной» корреляционной матрице в том смысле, что все коэффициенты вы-числены по одному и тому же множеству объектов. Однако если пропущенные значения распределены случайным образом в переменных, то данный метод может привести к тому, что в рассматриваемом множестве данных не останется ни одного объекта (в каждой строке встретится, по крайней мере, одно пропу-щенное значение). Чтобы избежать подобной ситуации, используют другой способ, называемый попарным удалением. В этом способе учитываются только пропуски в каждой выбранной паре столбцов-переменных и игнорируются пропуски в других переменных. Корреляция для пары переменных вычисляет-ся по тем объектам, где нет пропусков. Во многих ситуациях, особенно когда число пропусков относительно мало, скажем 10%, и пропуски распределены достаточно хаотично, этот метод не приводит к серьезным ошибкам. Однако иногда это не так. Например, в систематическом смещении (сдвиге) оценки может «скрываться» систематическое расположение пропусков, являющееся причиной различия коэффициентов корреляции, построенных по разным под-множествам (например - для разных подгрупп объектов). Другая проблема, связанная с корреляционной матрицей, вычисленной при попарном удалении пропусков, возникает при использовании этой матрицы в других видах анали-за (например, в множественном регрессионном или факторном анализе). В них предполагается, что используется «правильная» корреляционная матрица с определенным уровнем состоятельности и «соответствия» различных коэффи-циентов. Использование матрицы с «плохими» (смещенными) оценками приводит к тому, что программа либо не в состоянии анализировать такую матри-цу, либо результаты будут ошибочными. Поэтому, если применяется попарный метод исключения пропущенных данных, необходимо проверить, имеются или нет систематические закономерности в распределении пропусков.
Если попарное исключение пропущенных данных не приводит к какому-либо систематическому сдвигу средних значений и дисперсий (стандартных отклонений), то эти статистики будут похожи на аналогичные показатели, вы-численные при построчном способе удаления пропусков. Если наблюдается значительное различие, то есть основание предполагать наличие сдвига в оцен-ках. Например, если среднее (или стандартное отклонение) значений перемен-ной А, которое использовалось при вычислении ее корреляции с переменной В, намного меньше среднего (или стандартного отклонения) тех же значений переменной А, которые использовались при вычислении ее корреляции с пе-ременной С, то имеются все основания ожидать, что эти две корреляции (А-В нА-С) основаны на разных подмножествах данных. В корреляциях будет сдвиг, вызванный неслучайным расположением пропусков в значениях переменных.
Анализ корреляционных плеяд. После решения проблемы статистической зна-чимости элементов корреляционной матрицы статистически значимые корре-ляции можно представить графически в виде корреляционной плеяды или пле-яд. Корреляционная плеяда - это фигура, состоящая из вершин и соединяющих их линий. Вершины соответствуют признакам и обозначаются обычно цифра-ми - номерами переменных. Линии соответствуют статистически достоверным связям и графически выражают знак, а иногда - и /j-уровень значимости связи.
Корреляционная плеяда может отра-жать все статистически значимые связи корреляционной матрицы (иногда называ-ется корреляционным графом ) или только их содержательно выделенную часть (напри-мер, соответствующую одному фактору по результатам факторного анализа).
ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ПЛЕЯДЫ
Подготовка к проведению государственной (итоговой) аттестации выпускников: формирования базы ЕГЭ (общий список участников ЕГЭ всех категорий с указанием предметов) – с учетом резервных дней в случае совпадения предметов;
План работы (27)
Решение2. Деятельность ОУ по совершенствованию содержания и оценке качества по предметам естественно-математического образования МОУ СОШ № 4, Литвиновская, Чапаевская,
Дисциплина "высшая математика" у некоторых вызывает неприятие, так как поистине не всем дано ее понять. Но те, кому посчастливилось изучать этот предмет и решать задачи, используя различные уравнения и коэффициенты, могут похвастаться практически полной в ней осведемленности. В психологической науке существует не только гуманитарная направленность, но и определенные формулы и способы для математической проверки выдвигаемой в ходе исследований гипотезы. Для этого применяются различные коэффициенты.
Коэффициент корреляции Спирмена
Это распространенное измерение по определению тесноты связи между какими-либо двумя признаками. Коэффициент еще называют непараметрическим методом. Он показывает статистику связи. То есть мы знаем, например, что у ребенка агрессия и раздражительность связаны между собой, а коэффициент корреляции рангов Спирмена показывает статистическую математическую связь этих двух признаков.
Как вычисляется ранговый коэффициент?
Естественно, что для всех математических определений или величин существуют свои формулы, по которым они вычисляются. Ею обладает и коэффициент корреляции Спирмена. Формула у него следующая:
С первого взгляда формула не совсем понятна, но если разобраться, все очень легко вычисляется:
- n - это количество признаков или показателей, которые проранжированы.
- d - разность определенных двух рангов, соответствующих конкретным двум переменным каждого испытуемого.
- ∑d 2 - сумма всех квадратов разностей рангов признака, квадраты которых вычисляются отдельно для каждого ранга.
Область применения математической меры связи
Для применения рангового коэффициента необходимо, чтобы количественные данные признака были проранжированы, то есть им был присвоен определенный номер в зависимости от места, на котором расположен признак, и от его значения. Доказано, что два ряда признаков, выраженных в числовом виде, несколько параллельны между собой. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяет степень этой параллельности, тесноты связи признаков.
Для математической операции по расчету и определению связи признаков с помощью указанного коэффициента нужно произвести некоторые действия:
- Каждому значению какого-либо испытуемого или явления присваивается номер по порядку - ранг. Он может соответствовать значению явления по возрастанию и по убыванию.
- Дальше сопоставляются ранги значения признаков двух количественных рядов для того, чтобы определить разность между ними.
- В отдельном столбце таблицы для каждой полученной разности прописывается ее квадрат, а внизу результаты суммируются.
- После этих действий применяется формула, по которой рассчитывается коэффициент корреляции Спирмена.
Свойства коэффициента корреляции
К основным свойствам коэффициента Спирмена относят следующие:
- Измерение значений в пределах от -1 до 1.
- Знак коэффициента интерпретаций не имеет.
- Теснота связи определяется по принципу: чем выше величина, тем теснее связь.
Как проверить полученное значение?
Для проверки связи признаков между собой необходимо выполнить определенные действия:
- Выдвигается нулевая гипотеза (H0), она же основная, затем формулируется другая, альтернативная первой (H 1). Первая гипотеза будет заключаться в том, что коэффициент корреляции Спирмена равняется 0 - это значит, что связи не будет. Вторая, наоборот, гласит, что коэффициент не равен 0, тогда связь есть.
- Следующим действием будет нахождение наблюдаемого значения критерия. Оно находится по основной формуле коэффициента Спирмена.
- Далее находятся критические значения заданного критерия. Это можно сделать только с помощью специальной таблицы, где отображаются различные значения по заданным показателям: уровень значимости (l) и число, определяющее (n).
- Теперь нужно сравнить два полученных значения: установленного наблюдаемого, а также критического. Для этого необходимо построить критическую область. Нужно начертить прямую линию, на ней отметить точки критического значения коэффициента со знаком "-" и со знаком"+". Слева и справа от критических значений полукругами от точек откладываются критические области. Посередине, объединяя два значения, отмечается полукругом ОПГ.
- После этого делается вывод о тесноте связи между двумя признаками.
Где лучше использовать эту величину
Самой первой наукой, где активно использовался этот коэффициент, была психология. Ведь это наука, не основывающаяся на цифрах, однако для доказательства каких-либо важных гипотез, касающихся развития отношений, черт характера людей, знаний студентов, требуется статистическое подтверждение выводов. Также его используют в экономике, в частности, при валютных оборотах. Здесь оцениваются признаки без статистики. Очень удобен коэффициент ранговой корреляции Спирмена в этой области применения тем, что оценка производится независимо от распределения переменных, так как они заменяются ранговым числом. Активно применяется коэффициент Спирмена в банковском деле. Социология, политология, демография и другие науки также используют его в своих исследованиях. Результаты получаются быстро и максимально точно.
Удобно и быстро используется коэффициент корреляции Спирмена в Excel. Здесь существуют специальные функции, которые помогают быстро получить необходимые значения.
Какие еще коэффициенты корреляции существуют?
Кроме того, что мы узнали про коэффициент корреляции Спирмена, существуют еще различные корреляционные коэффициенты, позволяющие измерить, оценить качественные признаки, связь между количественными признаками, тесноту связи между ними, представленными в ранговой шкале. Это такие коэффициенты, как биссериальный, рангово-биссериальный, контенгенции, ассоциации, и так далее. Коэффициент Спирмена очень точно показывает тесноту связи, в отличие от всех остальных методов ее математического определения.
Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тесноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя признаками или двумя профилями (иерархиями) признаков.
Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений,
которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть:
1) два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых;
2) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испытуемых по одному и тому же набору признаков;
3) две групповые иерархии признаков,
4) индивидуальная и групповая иерархии признаков.
Вначале показатели ранжируются отдельно по каждому из признаков.
Как правило, меньшему значению признака начисляется меньший ранг.
В первом случае (два признака) ранжируются индивидуальные значения по первому признаку, полученные разными испытуемыми, а затем индивидуальные значения по второму признаку.
Если два признака связаны положительно, то испытуемые, имеющие низкие ранги по одному из них, будут иметь низкие ранги и по другому, а испытуемые, имеющие высокие ранги по
одному из признаков, будут иметь по другому признаку также высокие ранги. Для подсчета rs необходимо определить разности (d) между рангами, полученными данным испытуемым по обоим признакам. Затем эти показатели d определенным образом преобразуются и вычитаются из 1. Чем
меньше разности между рангами, тем больше будет rs, тем ближе он будет к +1.
Если корреляция отсутствует, то все ранги будут перемешаны и между ними не будет
никакого соответствия. Формула составлена так, что в этом случае rs окажется близким к 0.
В случае отрицательной корреляции низким рангам испытуемых по одному признаку
будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, и наоборот. Чем больше несовпадение между рангами испытуемых по двум переменным, тем ближе rs к -1.
Во втором случае (два индивидуальных профиля), ранжируются индивидуальные
значения, полученные каждым из 2-х испытуемым по определенному (одинаковому для них обоих) набору признаков. Первый ранг получит признак с самым низким значением; второй ранг – признак с более высоким значением и т.д. Очевидно, что все признаки должны быть измерены в одних и тех же единицах, иначе ранжирование невозможно. Например, невозможно проранжировать показатели по личностному опроснику Кеттелла (16PF), если они выражены в "сырых" баллах, поскольку по разным факторам диапазоны значений различны: от 0 до 13, от 0 до
20 и от 0 до 26. Мы не можем сказать, какой из факторов будет занимать первое место по выраженности, пока не приведем все значения к единой шкале (чаще всего это шкала стенов).
Если индивидуальные иерархии двух испытуемых связаны положительно, то признаки, имеющие низкие ранги у одного из них, будут иметь низкие ранги и у другого, и наоборот. Например, если у одного испытуемого фактор Е (доминантность) имеет самый низкий ранг, то и у другого испытуемого он должен иметь низкий ранг, если у одного испытуемого фактор С
(эмоциональная устойчивость) имеет высший ранг, то и другой испытуемый должен иметь по
этому фактору высокий ранг и т.д.
В третьем случае (два групповых профиля), ранжируются среднегрупповые значения, полученные в 2-х группах испытуемых по определенному, одинаковому для двух групп, набору признаков. В дальнейшем линия рассуждений такая же, как и в предыдущих двух случаях.
В случае 4-ом (индивидуальный и групповой профили), ранжируются отдельно индивидуальные значения испытуемого и среднегрупповые значения по тому же набору признаков, которые получены, как правило, при исключении этого отдельного испытуемого – он не участвует в среднегрупповом профиле, с которым будет сопоставляться его индивидуальный профиль. Ранговая корреляция позволит проверить, насколько согласованы индивидуальный и групповой профили.
Во всех четырех случаях значимость полученного коэффициента корреляции определяется по количеству ранжированных значений N. В первом случае это количество будет совпадать с объемом выборки n. Во втором случае количеством наблюдений будет количество признаков, составляющих иерархию. В третьем и четвертом случае N – это также количество сопоставляемых признаков, а не количество испытуемых в группах. Подробные пояснения даны в примерах. Если абсолютная величина rs достигает критического значения или превышает его, корреляция достоверна.
Гипотезы.
Возможны два варианта гипотез. Первый относится к случаю 1, второй – к трем остальным случаям.
Первый вариант гипотез
H0: Корреляция между переменными А и Б не отличается от нуля.
H1: Корреляция между переменными А и Б достоверно отличается от нуля.
Второй вариант гипотез
H0: Корреляция между иерархиями А и Б не отличается от нуля.
H1: Корреляция между иерархиями А и Б достоверно отличается от нуля.
Ограничения коэффициента ранговой корреляции
1. По каждой переменной должно быть представлено не менее 5 наблюдений. Верхняя граница выборки определяется имеющимися таблицами критических значений.
2. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена rs при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих значений. В случае, если это условие не соблюдается, необходимо вносить поправку на одинаковые ранги.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:
Если в обоих сопоставляемых ранговых рядах присутствуют группы одинаковых рангов, перед подсчетом коэффициента ранговой корреляции необходимо внести поправки на одинаковые ранги Та и Тв:
Та = Σ (а3 – а)/12,
Тв = Σ (в3 – в)/12,
где а – объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду А, в – объем каждой
группы одинаковых рангов в ранговом ряду В.
Для подсчета эмпирического значения rs используют формулу:
Расчет
коэффициента ранговой корреляции Спирмена rs
1. Определить, какие два признака или две иерархии признаков будут участвовать в
сопоставлении как переменные А и В.
2. Проранжировать значения переменной А, начисляя ранг 1 наименьшему значению, в соответствии с правилами ранжирования (см. П.2.3). Занести ранги в первый столбец таблицы по порядку номеров испытуемых или признаков.
3. Проранжировать значения переменной В, в соответствии с теми же правилами. Занести ранги во второй столбец таблицы по порядку номеров испытуемых или признаков.
5. Возвести каждую разность в квадрат: d2. Эти значения занести в четвертый столбец таблицы.
Та = Σ (а3 – а)/12,
Тв = Σ (в3 – в)/12,
где а – объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду А; в – объем каждой группы
одинаковых рангов в ранговом ряду В.
а) при отсутствии одинаковых рангов
rs 1 − 6 ⋅
б) при наличии одинаковых рангов
Σd 2 T T
r 1 − 6 ⋅ a в,
где Σd2 – сумма квадратов разностей между рангами; Та и Тв – поправки на одинаковые
N – количество испытуемых или признаков, участвовавших в ранжировании.
9. Определить по Таблице (см. Приложение 4.3) критические значения rs для данного N. Если rs, превышает критическое значение или, по крайней мере, равен ему, корреляция достоверно отличается от 0.
Пример 4.1.При определении степени зависимости реакции употребления алкоголя на глазодвигательную реакцию в испытуемой группе были получены данные до употребления алкоголя и после употребления. Зависит ли реакция испытуемого от состояния опьянения?
Результаты эксперимента:
До:16, 13, 14, 9, 10, 13, 14, 14, 18, 20, 15, 10, 9, 10, 16, 17, 18. После: 24, 9, 10, 23, 20, 11, 12, 19, 18, 13, 14, 12, 14, 7, 9, 14. Сформулируем гипотезы:
Н0: корреляция между степенью зависимости реакции до употребления алкоголя и после не отличается от нуля.
Н1: корреляция между степенью зависимости реакции до употребления алкоголя и после достоверно отличается от нуля.
Таблица 4.1. Расчет d2 для рангового коэффициента корреляции Спирмена rs при сопоставлении показателей глазодвигательной реакции до эксперимента и после (N=17)
|
значения |
значения |
|||||
Так
как, мы имеем повторяющиеся ранги, то в данном случае будем применять формулу с
поправкой на одинаковые ранги:
Та= ((23-2)+(33-3)+(23-2)+(33-3)+(23-2)+(23-2))/12=6
Тb =((23-2)+(23-2)+(33-3))/12=3
Найдем эмпирическое значение коэффициента Спирмена:
rs = 1- 6*((767,75+6+3)/(17*(172-1)))=0,05
По таблице (приложение 4.3) находим критические значения коэффициента корреляции
0,48 (p ≤ 0,05)
0,62 (p ≤ 0,01)
Получаем
rs=0,05∠rкр(0,05)=0,48
Вывод: Н1гипотеза отвергается и принимается Н0. Т.е. корреляция между степенью
зависимости реакции до употребления алкоголя и после не отличается от нуля.
Ранговая корреляция Спирмена (корреляция рангов). Ранговая корреляция Спирмена - самый простой способ определения степени связи между факторами. Название метода свидетельствует о том, что связь определяют между рангами, то есть рядами полученных количественных значений, ранжированных в порядке убывания или возрастания. Надо иметь в виду, что, во-первых, ранговое корреляцию Не рекомендуется проводить, если связь пар меньше четырех и больше двадцати; во-вторых, ранговая корреляция позволяет определять связь и в другом случае, если значение имеют полуколичественный характер, то есть не имеют числового выражения, отражают четкий порядок следования этих величин; в-третьих, ранговое корреляцию целесообразно применять в тех случаях, когда достаточно получить приблизительные данные. Пример расчета коэффициента ранговой корреляции для определения вопрос: замеряют вопросник X и Y подобные личностные качества испытуемых. С помощью двух вопросников (X и Y), которые требуют альтернативных ответов "да" или "нет", получили первичные результаты - ответы 15 испытуемых (N = 10). Результаты подали в виде суммы утвердительных ответов отдельно для вопросника X и для вопросника В. Эти результаты сведены в табл. 5.19.
Таблица 5.19. Табулирование первичных результатов для расчета коэффициента ранговой корреляции по Спирмену (р) *
Анализ сводной корреляционной матрицы. Метод корреляционных плеяд.
Пример. В табл. 6.18 приведены интерпретации одиннадцати переменных, которые тестируют по методике Векслера. Данные получили на однородной выборке в возрасте от 18 до 25 лет (n = 800).
Перед расслаиванием корреляционную матрицу целесообразно ранжировать. Для этого в исходной матрицы вычисляют средние значения коэффициентов корреляции каждой переменной со всеми остальными.
Затем по табл. 5.20 определяют допустимые уровни расслоение корреляционной матрицы при заданных доверительной вероятности 0,95 и n - количества
Таблица 6.20. Восходящая корреляционная матрица
| Переменные | 1 | 2 | 3 | 4 | бы | 0 | 7 | 8 | 0 | 10 | 11 | M (rij) | Ранг |
| 1 | 1 | 0,637 | 0,488 | 0,623 | 0,282 | 0,647 | 0,371 | 0,485 | 0,371 | 0,365 | 0,336 | 0,454 | 1 |
| 2 | 1 | 0,810 | 0,557 | 0,291 | 0,508 | 0,173 | 0,486 | 0,371 | 0,273 | 0,273 | 0,363 | 4 | |
| 3 | 1 | 0,346 | 0,291 | 0,406 | 0,360 | 0,818 | 0,346 | 0,291 | 0,282 | 0,336 | 7 | ||
| 4 | 1 | 0,273 | 0,572 | 0,318 | 0,442 | 0,310 | 0,318 | 0,291 | 0,414 | 3 | |||
| 5 | 1 | 0,354 | 0,254 | 0,216 | 0,236 | 0,207 | 0,149 | 0,264 | 11 | ||||
| 6 | 1 | 0,365 | 0,405 | 0,336 | 0,345 | 0,282 | 0,430 | 2 | |||||
| 7 | 1 | 0,310 | 0,388 | 0,264 | 0,266 | 0,310 | 9 | ||||||
| 8 | 1 | 0,897 | 0,363 | 0,388 | 0,363 | 5 | |||||||
| 9 | 1 | 0,388 | 0,430 | 0,846 | 6 | ||||||||
| 10 | 1 | 0,336 | 0,310 | 8 | |||||||||
| 11 | 1 | 0,300 | 10 |
Обозначения: 1 - общая осведомленность; 2 - понятийнисть; 3 - внимательность; 4 - вдатнисть К обобщения; б - непосредственное запоминание (на цифрах) 6 - уровень освоения родном языке; 7 - скорость овладения сенсомоторном навыками (кодирование символами) 8 - наблюдательность; 9 - комбинаторные способности (к анализу и синтезу) 10 - способность к организации частей в осмысленное целое; 11 - способность к эвристического синтеза; M (rij) - среднее значение коэффициентов корреляции переменной с остальными переменных наблюдений (в нашем случае n = 800): r (0) - значение нулевой "Рассекая" плоскости - минимальная значимая абсолютная величина коэффициента корреляции (n - 120, r (0) = 0,236; n = 40, r (0) = 0,407) | Δr | - допустимый шаг расслоения (n = 40, | Δr | = 0,558) в - допустимое количество уровней расслоения (n = 40, s = 1 ; n = 120, s = 2); r (1), r (2), ..., r (9) - абсолютное значение секущей плоскости (n = 40, r (1) = 0,965).
Для n = 800 находим значение гтип и границ ги после чего Расслаивающая ранжированы корреляционную матрицу, выделяя корреляционные плеяды внутри слоев, или отделяем части корреляционной матрицы, вырисовывая объединения корреляционных плеяд для вышележащих слоев (рис. 5.5).
Содержательный анализ полученных плеяд выходит за пределы математической статистики. Надо отметить два формальные показатели, которые помогают при содержательной интерпретации плеяд. Одним существенным показателем служит степень вершины, то есть количество ребер, примыкающих к вершине. Переменная с наибольшим количеством ребер является "ядром" плеяды и ее можно рассматривать как индикатор остальных переменных этой плеяды. Другой существенный показатель - плотность связи. Переменная может иметь меньше связей в одной плеяде, но теснее, и больше связей в другой плеяде, однако менее тесных.
Предсказания и оценки. Уравнение у = b1x + b0 называется общим уравнением прямой. Оно свидетельствует о том, что пары точек (x, y), которые
Рис. 5.5. Корреляционные плеяды, полученные расслоением матрицы
лежат на некоторой прямой, связанные так, что для любого значения х величину в в находящегося с ним в паре, можно найти, умножив х на некоторое число b1 добавив вторых, число b0 к этому произведению.
Коэффициент регрессии позволяет определить степень изменения следственной фактора при изменении причинного фактора на одну единицу. Абсолютные величины характеризуют зависимость между переменными факторами по их абсолютными значениями. Коэффициент регрессии вычисляют по формуле:
Планирование и анализ экспериментов. Планирование и анализ экспериментов - это третья важная отрасль статистических методов, разработанных для нахождения и проверки причинных связей между переменными.
Для исследования многофакторных зависимостей в последнее время все чаще используют методы математического планирования эксперимента.
Возможность одновременного варьирования всеми факторами позволяет: а) уменьшить количество опытов;
б) свести ошибку эксперимента к минимуму;
в) упростить обработку полученных данных;
г) обеспечить наглядность и легкость по сравнению результатов.
Каждый фактор может приобретать некоторую соответствующее количество различных значений, которые называются уровнями и обозначают -1, 0 и 1. Фиксированный набор уровней факторов определяет условия одного из возможных опытов.
Совокупность всех возможных сочетаний вычисляют по формуле:
Полным факторным экспериментом называется эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов. Полные факторные эксперименты могут обладать свойством ортогональности. При ортогональном планировании факторы в эксперименте является некоррелированными, коэффициенты регрессии, которые высчитывают в итоге, определяют независимо друг от друга.
Важным преимуществом метода математического планирования эксперимента является его универсальность, пригодность во многих областях исследований.
Рассмотрим пример сравнения влияния некоторых факторов на формирование уровня психического напряжения в регулировщиков цветных телевизоров.
В основу эксперимента положен ортогональный План 2 три (три фактора изменяются на двух уровнях).
Эксперимент проводили с полным части 2 +3 с трехкратным повторением.
Ортогональное планирование базируется на построении уравнения регрессии. Для трех факторов оно выглядит так:
Обработка результатов в этом примере включает:
а) построение ортогонального плана 2 +3 таблице для расчета;
б) вычисления коэффициентов регрессии;
в) проверку их значимости;
г) интерпретацию полученных данных.
Для коэффициентов регрессии упомянутого уравнения надо было поставить N = 2 3 = 8 вариантов, чтобы иметь возможность оценить значимость коэффициентов, где количество повторений К равнялось 3.
Составлена матрица планирования эксперимента выглядела.
