Момент сил относительно оси вращения: основные понятия, формулы, пример решения задачи. Определение и свойства момента силы Момент силы относительно оси o

Рассмотрим, как определяется момент силы относи­тельно оси . Стремление силы вращать тело вокруг непо­движной оси зависит от величины силы, ее наклона и расстояния от оси .

Из опыта известно, что силы, про­ходящие через ось , и силы, параллель­ные оси , НЕ МОГУТ ВЫЗВАТЬ ВРАЩЕНИЯ ТЕЛА вокруг этой оси . Посмотрим на рисунок.

Ни сила Р 1 , линия действия которой пересекает ось Oz , ни сила Р 2 , параллельная оси, не смогут повернуть тело вокруг этой оси.

Для вращательного эффекта силы относительно закрепленной оси вводит­ся понятие момента силы относительно оси М z (Р) . Вращательный эффект силы относительно оси и выражается ее мо­ментом .

Пусть на тело в какой-то точке действует произ­вольная сила Р , не параллельная оси вращения Oz и не пересекающая эту ось. Проведем плоскость H , перпендикулярную оси Oz и проходящую через начало вектора силы . Разложим заданную силу Р на две составляющие: Р 1 , расположенную в плоскости H , и Р 2 , параллель­ную оси Oz .

Составляющая Р 2 , параллельная оси Oz момента относительно этой оси не создает . Составляющая Р 1 , действующая в плоскости H , создает момент относительно оси Oz или, что то же самое, относительно точки О . Мо­мент силы Р 1 измеряется произведением модуля самой силы на длину а перпендикуляра , опущенного из точки О на направление этой силы, т. е.

В выражение момента силы относительно оси входит не вся сила , а только ее составляющая, лежащая в пло­скости, перпендикулярной оси вращения.

Знак момента по общему правилу определяется на­правлением вращения тела: (+) при движении по часовой стрелке , (-) при движении против часовой стрелки (правило условно). При определении знака момента наблюдатель должен непре­менно находиться со стороны положительного направле­ния оси. На рисунке вверху момент силы Р относительно оси Oz положителен , так как для наблюдателя, смотрящего со стороны положительного направления оси (сверху ), тело под действием заданной силы представляется вращаю­щимся вокруг оси по ходу часовой стрелки .

На рисунке внизу момент силы Р относительно оси Oz - величина отрица­тельная .

Рассмотрим частный случай.

В частном случае мо­мент силы Р , расположенной в плоско­сти H , относительно оси Oz , перпендикулярной этой плоскости, определится произведением полной ве­личины силы Р на ее пле­чо l относительно точки пересечения оси Oz и плос­кости H

Изучение свойств пары сил, которая является одним из основных элементов статики, требует введения важного понятия момента силы относительно точки.

Пусть к телу в точке А приложена сила (рис. 89). Выберем любую точку пространства О (обычно в качестве этой точки выбирается начало координат) и проведем из нее радиус-вектор идущий в точку приложения этой силы.

Векторным моментом силы относительно точки О называется свободный вектор, определяемый векторным произведением на

Обозначая его через имеем

Вектор по модулю равен удвоенной площади треугольника, построенного на векторах и Направлен вектор перпендикулярно к плоскости, определяемой векторами так, что если смотреть с его конца на эту плоскость, то сила будет стремиться повернуть тело вокруг точки О против часовой стрелки. Обычно вектор считается приложенным в точке. Если сила отлична от нуля, то векторный момент равен нулю только в том случае, когда точка О лежит на линии действия силы . В системе единиц СИ размерность момента силы относительно точки равна

Из определения векторного момента следует, что он не меняется, если силу переместить по линии ее действия. Действительно, при этом плоскость, определяемая векторами не изменяет своего

расположения в пространстве, а также не изменяется и площадь треугольника, построенного на этих векторах (рис. 89).

Из указанного свойства следует, что понятие момента вектора относительно точки тесно связано с понятием скользящего вектора.

Алгебраический момент силы

Если рассматривается плоская система сил или силы, расположенные в одной плоскости, то целесообразно ввести понятие алгебраического момента силы.

Модуль векторного момента, как указано, равен удвоенной площади треугольника, построенного на векторах Если угол между векторами равен а, то

Но произведение

представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы. Величина называется плечом силы относительно точки О. Расположим в плоскости, определяемой векторами и оси координат при этом ось z будет расположена перпендикулярно этой плоскости (рис. 90). Алгебраическим моментом силы называется произведение плеча силы на модуль силы

Знак алгебраического момента будет плюс, если для наблюдателя, расположенного вдоль положительного направления оси z, сила стремится повернуться вокруг точки О против часовой стрелки. В противоположном случае знак алгебраического момента будет отрицательным.

Момент силы относительно оси

С понятием момента силы относительно точки тесно связано понятие момента силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называется проекция момента силы относительно произвольной точки оси на ось.

Чтобы это определение имело смысл, необходимо доказать, что проекции на ось моментов силы относительно двух произвольных точек оси равны.

Для доказательства проведем плоскость, перпендикулярную к оси (рис. 91), и спроектируем вектор на эту плоскость.

Обозначим через а угол, образуемый вектором с осью Тогда момент вектора относительно оси определяется формулой:

Отсюда, так как величина не зависит от положения точки О на оси (рис. 92), то

Формула, определяющая осевой момент, позволяет установить геометрическое правило вычисления его. Это правило заключается в следующем: провести плоскость, перпендикулярную к оси, спроектировать на нее вектор

Удвоенная площадь треугольника, образованного этой проекцией и точкой пересечения оси с плоскостью, определяет величину осевого момента.

Знак момента будет положительным, если для наблюдателя, расположенного вдоль положительного направления оси, проекция вектора стремится повернуться вокруг точки пересечения оси с плоскостью против часовой стрелки; если проекция стремится повернуться по часовой стрелке, то знак момента будет отрицательным.

Формулы определения моментов через проекции

В качестве точки О, относительно которой подсчитывается момент скользящего вектора, обычно выбирается начало координат. Тогда момент силы будет приложен в начале координат и проекции его на оси будут соответствующими осевыми моментами. Из определения и геометрического правила вычисления осевого момента следует, что он будет равен нулю, если вектор параллелен оси, либо линия действия его пересекает ось. Если сила задана своими проекциями и известны проекции радиуса-вектора определяющего точку приложения силы (или просто координаты этой точки), то момент вектора относительно точки О и моменты

относительно осей координат, как следует из предыдущего, определяются по формуле:

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью

Момент относительно оси положителен, если сила стремится вращать плоскость перпендикулярную оси против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси.

Момент силы относительно оси равен 0 в двух случаях:

Если сила параллельна оси

Если сила пересекает ось

Если линия действия и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен 0.

27. Связь между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки.

Mz(F)=Mo(F)*cosαМомент силы, относительно оси равен прекции вектора момента сил, относительно точки оси на эту ось.

28. Основная теорема статики о приведении системы сил к заданному центру (теорема Пуансо). Главный вектор и главный момент системы сил.

Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.

Главным вектором системы сил называется вектор R , равный векторной сумме этих сил:

R = F 1 + F 2 + ... + F n = F i .

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L O , равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

L O = M O (F 1) + M O (F 2) + ... + M O (F n) = M O (F i).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Теорема Пуансо: Произвольную пространственную систему сил можно заменить одной силой главным вектором системы сил и парой сил с главным моментом не нарушая состояния твердого тела. Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил действующих на твердое тело и расположен в плоскости действия сил. Главный вектор рассматривается через его проекции на оси координат.

Чтобы привести силы к заданному центру приложенному в некоторой точке твердого тела необходимо: 1) перенести параллельно силу самой себе к заданному центру не изменяя модуля силы; 2) в заданном центре приложить пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту перенесенной силы относительного нового центра, эту пару называют присоединенной парой.

Зависимость главного момента от выбора центра приведения. Главный момент относительно нового центра приведения равен геометрической сумме главного момента относительно старого центра приведения и векторного произведения радиуса-вектора, соединяющего новый центр приведения со старым, на главный вектор.

29 Частные случаи приведения пространственной системы сил

30. Приведение к динаме. Динамой в механике называют такую совокупность силыи пары сил () действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил. Используя векторный моментпары сил, можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которы сила параллельна векторному моменту пары сил.

Уравнение центральной винтовой оси Предположим, что в центре приведения, принятом за начало координат, получены главный вектор с проекциями на оси координат и главный момент с проекциями При приведении системы сил к центру приведения О 1 (рис. 30) получается динама с главным вектором и главным моментом , Векторы и как образующие линаму. параллельны и поэтому могут отличаться только скалярным множителем k 0. Имеем, так как .Главные моменты и , удовлетворяют соотношению

Подставляя , получим

Координаты точки О 1 в которой получена динама, обозначим х, у, z. Тогда проекции вектора на оси координат равны координатам х, у, z. Учитывая это, (*) можно выразить в форме

где i. j ,k - единичные векторы осей координат, а векторное произведение *представлено определителем. Векторное уравнение (**) эквивалентно трем скалярным, которые после отбрасывания можно представить в виде

Полученные линейные уравнения для координат х, у, z являются уравнениями прямой линии - центральной винтовой оси. Следовательно, существует прямая, в точках которой система сил приводится к динаме.

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью

Момент относительно оси положителен, если сила стремится вращать плоскость перпендикулярную оси против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси.

Момент силы относительно оси равен 0 в двух случаях:

Если сила параллельна оси

Если сила пересекает ось

Если линия действия и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен 0.

27. Связь между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки.

Mz(F)=Mo(F)*cosαМомент силы, относительно оси равен прекции вектора момента сил, относительно точки оси на эту ось.

28. Основная теорема статики о приведении системы сил к заданному центру (теорема Пуансо). Главный вектор и главный момент системы сил.

Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.

Главным вектором системы сил называется вектор R , равный векторной сумме этих сил:

R = F 1 + F 2 + ... + F n = F i .

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L O , равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

L O = M O (F 1) + M O (F 2) + ... + M O (F n) = M O (F i).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Теорема Пуансо: Произвольную пространственную систему сил можно заменить одной силой главным вектором системы сил и парой сил с главным моментом не нарушая состояния твердого тела. Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил действующих на твердое тело и расположен в плоскости действия сил. Главный вектор рассматривается через его проекции на оси координат.

Чтобы привести силы к заданному центру приложенному в некоторой точке твердого тела необходимо: 1) перенести параллельно силу самой себе к заданному центру не изменяя модуля силы; 2) в заданном центре приложить пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту перенесенной силы относительного нового центра, эту пару называют присоединенной парой.

Зависимость главного момента от выбора центра приведения. Главный момент относительно нового центра приведения равен геометрической сумме главного момента относительно старого центра приведения и векторного произведения радиуса-вектора, соединяющего новый центр приведения со старым, на главный вектор.

29 Частные случаи приведения пространственной системы сил

30. Приведение к динаме. Динамой в механике называют такую совокупность силыи пары сил () действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил. Используя векторный моментпары сил, можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которы сила параллельна векторному моменту пары сил.

Уравнение центральной винтовой оси Предположим, что в центре приведения, принятом за начало координат, получены главный вектор с проекциями на оси координат и главный момент с проекциями При приведении системы сил к центру приведения О 1 (рис. 30) получается динама с главным вектором и главным моментом , Векторы и как образующие линаму. параллельны и поэтому могут отличаться только скалярным множителем k 0. Имеем, так как .Главные моменты и , удовлетворяют соотношению

Определение

Векторное произведение радиус – вектора (), который проведен из точки О (рис.1) в точку к которой приложена сила на сам вектор называют моментом силы ()по отношению к точке O:

На рис.1 точка О и вектор силы ()и радиус – вектор находятся в плоскости рисунка. В таком случае вектор момента силы () перпендикулярен плоскости рисунка и имеет направление от нас. Вектор момента силы является аксиальным. Направление вектора момента силы выбирается таким образом, что вращение вокруг точки О в направлении силы и вектор создают правовинтовую систему. Направление момента сил и углового ускорения совпадают.

Величина вектора равна:

где – угол между направлениями радиус – вектора и вектора силы, – плечо силы относительно точки О.

Момент силы относительно оси

Моментом силы по отношению к оси является физическая величина, равная проекции вектора момента силы относительно точки избранной оси на данную ось. При этом выбор точки значения не имеет.

Главный момент сил

Главным моментом совокупности сил относительно точки О называется вектор (момент силы), который равен сумме моментов всех сил, действующих в системе по отношению к той же точке:

При этом точку О называют центром приведения системы сил.

Если имеются два главных моменты ( и )для одной системы сил для разных двух центров приведение сил (О и О’), то они связаны выражением:

где - радиус-вектор, который проведен из точки О к точке О’, – главный вектор системы сил.

В общем случае результат действия на твердое тело произвольной системы сил такое же, как действие на тело главного момента системы сил и главного вектора системы сил, который приложен в центре приведения (точка О).

Основной закон динамики вращательного движения

где – момент импульса тела находящегося во вращении.

Для твердого тела этот закон можно представить как:

где I – момент инерции тела, – угловое ускорение.

Единицы измерения момента силы

Основной единицей измерения момента силы в системе СИ является: [M]=Н м

В СГС: [M]=дин см

Примеры решения задач

Пример

Задание. На рис.1 показано тело, которое имеет ось вращения OO". Момент силы, приложенный к телу относительно заданной оси, будет равен нулю? Ось и вектор силы расположены в плоскости рисунка.

Решение. За основу решения задачи примем формулу, определяющую момент силы:

В векторном произведении (видно из рисунка) . Угол между вектором силы и радиус – вектором также будет отличен от нуля (или ), следовательно, векторное произведение (1.1) нулю не равно. Значит, момент силы отличен от нуля.

Ответ.

Пример

Задание. Угловая скорость вращающегося твердого тела изменяется в соответствии с графиком, который представлен на рис.2. В какой из указанных на графике точек момент сил, приложенных к телу равен нулю?