Дорогие друзья! Для вас очередная статья с призмами. Имеется в составе экзамена такой тип заданий, в которых требуется определить объём многогранника. При чём он дан не в «чистом виде», а сначала его требуется построить. Я бы выразился так – его нужно «увидеть» в другом заданном теле.
Статья на с такими заданиями уже была на блоге, . В представленных ниже заданиях даются прямые правильные призмы – треугольная или шестиугольная. Если совсем позабыли что такое призма, то .
В правильной призме в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно в основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник, а в основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник.
При решении задач используется формула объёма пирамиды, рекомендую посмотреть информацию . Так же будет полезно с параллелепипедами, принцип решения заданий схож. Ещё раз посмотрите формулы, которые необходимо знать.
Объём призмы:
Объём пирамиды:
245340. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А 1 правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.
Получили пирамиду с основанием АВС и вершиной А 1 . Площадь её основания равна площади основания призмы (основание общее). Высота также общая. Объём пирамиды равен:
Ответ: 2
245341. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, А 1 , С 1 , правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Это пирамида с основанием АА 1 С 1 С и высотой равной расстоянию между ребром АС и вершиной В. Но в данном случае вычислять площадь этого основания и указанную высоту слишком долгий путь к результату. Проще поступить следующим образом:
Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма данной призмы АВСА 1 В 1 С 1 вычесть объём пирамиды ВА 1 В 1 С 1 . Запишем:
Ответ: 4
245342. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А 1 , В 1 , В, С, правильной треугольной призмы АВСА 1 В 1 С 1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Чтобы получить объём указанного многогранника необходимо из объёма призмы АВСА 1 В 1 С 1 вычесть объёмы двух тел – пирамиды ABCА 1 и пирамиды CА 1 В 1 С 1 . Запишем:
Ответ: 4
245343. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Это пирамида имеющая общее основание с призмой и высотой равной высоте призмы. Объём пирамиды будет равен:
Ответ: 4
245344. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, С, A 1 , B 1 , C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Полученный многогранник является прямой призмой. Объём призмы равен произведению площади основания и высоты.
Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть треугольника АВС.
Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь треугольника АВС равна одной шестой части этого шестиугольника, подробнее об этом (пункт 6). Следовательно площадь АВС равна 1. Вычисляем:
Ответ: 3
245345. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, D, E, A 1 , B 1 , D 1 , E 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВDЕ.
Так как призма правильная, то в её основании лежит правильный шестиугольник. Площадь четырехугольника АВDЕ равна четырём шестым этого шестиугольника. Почему? Подробнее об этом посмотрите (пункт 6). Следовательно площадь АВDЕ будет равна 4. Вычисляем:
Ответ: 8
245346. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, В, C, D, A 1 , B 1 , С 1 , D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Полученный многогранник является прямой призмой.
Высота исходной призмы и полученной общая, она равна двум (это длина бокового ребра). Остаётся определить площадь основания, то есть четырёхугольника АВCD. Отрезок AD соединяет диаметрально противоположные точки правильного шестиугольника, а это означает, что он разбивает его на две равные трапеции. Следовательно площадь четырёхугольника АВCD (трапеции) равна трём.
Вычисляем:
Ответ: 6
245347. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
Построим указанный многогранник на эскизе:
Полученный многогранник является пирамидой с основанием АВС и высотой ВВ 1 .
*Высота исходной призмы и полученной общая, она равна трём (это длина бокового ребра).
Остаётся определить площадь основания пирамиды, то есть треугольника АВC. Она равна одной шестой площади правильного шестиугольника, являющегося основанием призмы. Вычисляем:
Ответ: 1
245357. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны корню из трёх.
Объём призмы равен произведению площади основания призмы и её высоты.
Высота прямой призмы равна её боковому ребру, то есть она уже нам дана – это корень из трёх. Вычислим площадь правильного шестиугольника лежащего в основании. Его площадь равна шести площадям равных друг другу правильных треугольников, при чём сторона такого треугольника равна ребру шестиугольника:
*Использовали формулу площади треугольника – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними.
Вычисляем объём призмы:
Ответ: 13,5
Что можно отметить особо? Внимательно стройте многогранник, не мысленно, а именно на листочке прорисуйте его. Тогда вероятность ошибки из-за невнимательности будет исключена. Запомните свойства правильного шестиугольника. Ну и формулы объёма, которые использовали важно помнить.
Решите две задачи на объём самостоятельно:
27084. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны √3.
27108. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2√3 и наклонены к плоскости основания под углом 30 0 .
На этом всё. Удачи!
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен, если расскажете о сайте в социальных сетях
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, B 1, D 1 единичного куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Ответ: Искомый многогранник ABCB 1 D 1 составлен из двух треугольных пирамид с общим основанием. Он получается из куба отсечением трех треугольных пирамид. Его объем равен 0,5.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида A 1 ABC. Ее объем равен 1/3.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, A 1, C 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида C 1 ABA 1. Ее объем равен 1/3.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, E, F, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является шестиугольная пирамида A 1 ABCDEF. Ее объем равен 1/3.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида A 1 ABC. Ее объем равен 1/18.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является четырехугольная пирамида A 1 ABCD. Ее объем равен 1/6.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, E, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является пятиугольная пирамида A 1 ABCDE. Ее объем равен 5/18.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A 1, B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является четырехугольная пирамида СABB 1 A 1. Ее объем равен 1/9.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, A 1, B 1, C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная призма ABCA 1 B 1 C 1. Ее объем равен 1/6.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является четырехугольная призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Ее объем равен 1/2.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, D, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида A 1 ABD. Ее объем равен 1/9.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, E, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида A 1 ACE. Ее объем равен 1/6.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, B 1, C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида C 1 ABB 1. Ее объем равен 1/18.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, С 1, D 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания и боковое ребро которой равны 1. Ответ: Искомым многогранником является треугольная пирамида D 1 ABC 1. Ее объем равен 1/18.
А B C D E F Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, A 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3. А1А1А1А1 C1C1C1C1 F1F1F1F1 E1E1E1E1 D1D1D1D1 B1B1B1B1 3 х 1 0 х В
2. 2. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 А BC Найдем площадь треугольника АВС и площадь 6-угольника. aa =sin B1B1B1B1
A BCD Найти это отношение можно исследуя геометрический чертеж, а не вычисляя площади. Шестиугольник – 6 треугольников. Треугольник АВС содержит 1 такой треугольник. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 3 B1B1B1B1 3 S 6 = 6 3 х 1 0 х В
3. 3. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, D, E, B 1, C 1, D 1, E 1, правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 14. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 F1F1F1F1 E1E1E1E1 B1B1B1B1 B CDE4 3 х 1 0 х В Площадь трапеции BCDE равна половине площади 6-угольника
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, A 1, B 1, D 1, E 1, правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 14, а боковое ребро равно 3. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 F1F1F1F1 3 E1E1E1E1 B CDE Найдем площадь 6- угольника и прямоугольника. D1D1D1D1 B1B1B1B1 aa = – cos60 0 a 3 a
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, D, E, A 1, B 1, D 1, E 1, правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 14, а боковое ребро равно 3. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 F1F1F1F1 3 E1E1E1E1 B CDE D1D1D1D1 B1B1B1B х 1 0 х В
5. 5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A 1, B 1, C 1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 7. А B C D E F А1А1А1А1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 А BC Найдем площадь треугольника АВС и площадь 6-угольника. aa =sin60 0 B1B1B1B1 77 7
A BCD Найти это отношение можно исследуя геометрический чертеж, а не вычисляя площади. Шестиугольник – 6 треугольников. Треугольник АВС содержит 1 такой треугольник. C1C1C1C1 А B C D E F А1А1А1А1 D1D1D1D1 E1E1E1E1 F1F1F1F1 B1B1B1B1 7 7 S 6 = х 1 0 х В 11 3, 5 5.
В А С С1С1С1С1 В1В1В1В Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A 1, B 1, В, С правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3. Искомый объем можно рассмотреть как разность объема треугольной призмы и двух пирамид. А1А1А1А1 3 х 1 0 х В 11 4
В А С С1С1С1С1 В1В1В1В Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, A 1, С 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 D 1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2. Искомый объем можно рассмотреть как разность объема треугольной призмы и пирамиды A 1 B 1 C 1 B. А1А1А1А1 3 х 1 0 х В 11 4
А В С С1С1С1С1 А1А1А1А1 В1В1В1В Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, A 1 правильной треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно х 1 0 х В 11 2
C D А B D1D1 C1C1 B1B1 A1A Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, C, B 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=3, АD=3, AA 1 = х 1 0 х В 11 4, 5 abS 2 1 = 33
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А 1, В, C, C 1, B 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=4, АD=3, AA 1 =4. D A B C A1A1 D1D1 C1C1 B1B1 Получилась четырехугольная пирамида с основанием СВВ 1 С 1. Мне хочется опрокинуть параллелепипед на грань CBВ 1 C 1. C B B1B1 C1C1 A DD1D1 A1A х 1 0 х В
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, B 1, C 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=5, АD=3, AA 1 =4. C D A B D1D1 C1C1 B1B1 A1A1 Неудобный чертеж, т.к. не совсем ясен вид отсеченного многогранника. Мне хочется опрокинуть параллелепипед на грань ABВ 1 А 1. A B B1B1 A1A1 C DD1D1 C1C1 АВВ 1 С 1 – треугольная призма с основанием АВС и высотой В 1 С х 1 0 х В abS 2 1 = 54
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В, C, D 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=4, АD=3, AA 1 =4. C D A B D1D1 C1C1 B1B1 A1A х 1 0 х В 11 8 abS 2 1 = 34
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, D, A 1, B, C, B 1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого АВ=3, АD=4, AA 1 =5. D A В C A1A1 D1D1 C1C1 В1В х 1 0 х В Диагональное сечение делит параллелепипед на два равных многогранника. Равные фигуры имеют равные объемы.
Источник задания: Решение 2943. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.
Задание 8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины D, Е, F, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 10, а боковое ребро равно 12.
Решение.
В основании призмы лежит правильный шестигранник. Вершины DEF образуют треугольник в основании призмы. Таких равных треугольников в основании призмы ровно 6 (см. рисунок ниже).
Легко показать, что площади треугольников AFO и FOD равны. Например, высота треугольника AFO равна y/2 (синяя линия к стороне FA на рисунке), а основание FA=x. Тогда площадь AFO S=1/2∙x∙y/2=xy/4. По аналогии площадь треугольника FOD. У него высота x/2, проведенная к стороне FD=y. Получаем площадь: S=1/2∙y∙x/2=xy/4. Также из рисунка хорошо видно, что треугольники AFO и DOC равны, и отсальные 4 треугольника также равны. Поэтому площадь треугольника DEF равна 1/6 от площади основания призмы: 10/6. В результате получаем объем многогранника.
