Окружность и все что с ней связано. Разные виды окружностей и теоремы, с ними связанные. Свойства вписанных углов

Окружность в математике является фигурой одной из самых главных и важных. Она необходима для множества расчетов. Знания свойств этой фигуры из школьной программы непременно пригодятся в жизни. Длина окружности требуется при расчете многих материалов с круглым сечением. Заниматься чертежами, строить заборчик возле клумбы - для этого понадобится знание геометрической фигуры и ее свойств.

Понятие окружности и ее основные элементы

Фигура на плоскости, состоящая из многочисленных точек, расположенных на равном расстоянии от центральной, называется окружностью. Отрезок, выходящий из центра и соединяющий его с одной из точек, образующих окружность, называется радиусом. Хордой является отрезок, который соединяет пару точек, расположенных по периметру круга, между собой. Если она расположена так, что проходит через центральную точку, то одновременно является диаметром.

Длина радиуса окружности равна длине диаметра, уменьшенной вдвое. Пара несовпадающих точек, находящихся на окружности, делят ее на две дуги. Если отрезок с концами в этих точках проходит через центральную точку (тем самым являясь диаметром), то образуемые дуги будут являться полуокружностями.

Длина окружности

Расчет периметра окружности определяется несколькими способами: через диаметр или через радиус. На практике было выявлено, что длина окружности (l) при делении на ее же диаметр (d) всегда дает одно число. Это число π, которое ровняется 3,141692666… Расчет производится по формуле: π= l/ d. Преобразуя ее, получается длина окружности. Формула такова: l=πd.

Для нахождения радиуса применим следующую формулу: d=2r. Это стало возможным, благодаря делению. Ведь радиус - это половина диаметра. Как только получили вышеуказанные значения, можно вычислить, чему же ровна длина окружности, по формуле следующего вида: l=2πr.

Основные свойства

Площадь круга всегда больше, если сравнивать ее с площадями иных замкнутых кривых. Касательная - это прямая, которая соприкасается с окружностью только в одной точке. Если прямая пересекает ее в двух местах, то она является секущей. Точка, в которой 2 различные окружности соприкасаются друг с другом, всегда находится на прямой, проходящей через их центральные точки. Пересекающимися на плоскости являются такие окружности, которые имеют 2 общие точки. Угол между ними рассчитывается как угол, образованный касательными к точкам соприкосновения.

Если через точку, не являющейся точкой окружности, провести две секущиеся к ней прямые, то образованный ими угол будет равен разности длин дуг, уменьшенной вдвое. Данное правило действует и в противоположном случае, когда речь идет о двух хордах. Две пересекающиеся хорды образуют угол, равный сумме длин дуг, уменьшенной в два раза. Дуги в такой ситуации выбирают в данном углу и углу, расположенному напротив. Оптическое свойство окружности гласит следующее: лучи света, отраженные от зеркал, расставленных по периметру круга, собираются обратно в его центр. В данном случае источник света должен быть установлен в центральной точке круга.

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

Площадь круга : S=\pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
Используя радианную меру: CD = \alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD \cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr ,

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p} ,

где p = \frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

R = \frac{abc}{4 S}

a , b , c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Окружность и ее элементы Основные понятия
Свойства вписанных углов
Углы, связанные с окружностью
Теорема Птолемея

Вневписанная окружность

Основные понятия

Окружность - множество всех точек плоскости, удаленных на
заданное расстояние от заданной точки (центра).
Круг - часть плоскости, ограниченная окружностью.
O
O
Радиус - отрезок, соединяющий точку окружности с центром.
O
Содержание

Основные понятия

Хорда - отрезок, соединяющий любые две точки окружности.
Диаметр - хорда, проходящая через центр окружности.
O
O
Секущая - прямая, проходящая через две произвольные точки
окружности.
Содержание

Основные понятия

Касательная - прямая, проходящая через точку окружности,
перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью
только одну общую точку.
Центральный угол - угол, образованный двумя радиусами.
Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.
O
O
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности,
а стороны являются ее хордами.
O
Содержание

Свойства вписанных углов

1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Доказательство.
1) Центр на одной из сторон.
B
ABC - вписанный угол, BA и BC - хорды, OA - радиус.
Проведем радиус OA. Рассмотрим треугольник OAB:
OB OA
O
A
Следовательно, он равнобедренный
иA B
Угол AOC - внешний, следовательно,
AOC A B 2 B
C
Следовательно,
1
B AOC
2
Угол AOC измеряется дугой AC, следовательно, его половина измеряется половиной дуги AC.
Что и требовалось доказать.
Содержание

Свойства вписанных углов

B
2) Центр лежит внутри угла ABC.
ABC - вписанный угол, BD - диаметр,
ABC ABD DBC
По свойству 1:
ABC ABD DBC
Следовательно,
1
1
AC DC
2
2
1
ABC CA
2
O
C
D
A
Что и требовалось доказать.
B
3) Центр лежит вне угла.
AOB - вписанный угол, BD - диаметр.
ABC ABD CBD
Что и требовалось доказать.
O
1
1
1
DA DC CA
2
2
2
A
C
D
Содержание

Свойства вписанных углов

2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Доказательство.
и - вписанные углы, KL - дуга.
По свойству 1:
Следовательно,
1
KL
2
1
KL
2
O
K
L
Что и требовалось доказать.
Содержание

Свойства вписанных углов

3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой.
A
Доказательство.
- внутренний угол, BC - диаметр.
B
O
C
По свойству 1:
1
BC
2
Так как BC - полуокружность, следовательно, BC 180
Таким образом,
1
1
BC 180 90
2
2
Что и требовалось доказать.
Содержание

Свойства вписанных углов

4. Равные дуги окружности стягиваются равными хордами.
Доказательство.
AB CD , AB и CD - хорды.
A
O
1. Проведем радиусы R OA OB OC OD
2. Треугольники OAB и OCD равны, т.к.
B
C
D
OA OB OC OD (радиусы).
BOA
Следовательно,
1
1
AB и DOC DC
2
2
BOA DOC
В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны,
следовательно, AB CD
Что и требовалось доказать.
Содержание

Углы, связанные с окружностью
Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися
хордами равен полусумме высекаемых ими дуг.
A B
B A
A
2
Доказательство.
O
Угол - внешний угол треугольника DOB.
B A
2
C
B
B
2
A
2
D
Что и требовалось доказать.
Содержание

Углы, связанные с окружностью
Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из одной
точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
A B
2
M
A
Доказательство.
B
2
По теореме о внешнем угле треугольника MBC:
A
B
A B
2
2
2
Что и требовалось доказать.
B
B
A
2
C
A
D
Содержание

Углы, связанные с окружностью
Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания).
Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги,
стягиваемой этой хордой.
A
Доказательство.
1. Проведем диаметр.
2. Угол
опирается на дугу A
2
Тогда,
1
A
A
(A)
2
2
2
2 2
2
B
O
2
A
A
Что и требовалось доказать.
Аналогично для тупого угла
Содержание

Углы, связанные с окружностью
Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен
полуразности высекаемых ими дуг.
Доказательство.
C
1
По теореме о вписанных углах: A
2
.
1
По теореме об угле между касательной и хордой B
2
- внешний угол треугольника ABM.
A
B
B
A
1 1
A B
A B
2
2
2
Что и требовалось доказать.
Содержание
M

Углы, связанные с окружностью
Теорема (угол между касательными). Угол между двумя касательными, проведенными из
одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
Доказательство.
Проведем радиусы в точки касания, они перпендикулярны
касательным.
90 90 B 360 180 B
Примечание.
Тогда
A
B
B
A B
180
2
A B A B
B
2
2
Что и требовалось доказать.
Содержание

Отрезки, связанные с окружностью
Теорема. Отрезки касательных к окружностям, проведенным из одной точки, равны.
Доказательство.
B
AOB AOC , так как гипотенуза OA - общая,
OB OC - радиусы.
A
O
Следовательно,
AB AC
С
Что и требовалось доказать.
.
Содержание

Отрезки, связанные с окружностью
Теорема. Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной
окружности величина постоянная.
ab cd
A
Доказательство.
a
Пусть AB и CD - данные хорды, O - точка пересечения.
Проведем хорды AC и BD.
d
D
c
O
b
C
B
AOC ~ DOB , так как AOC DOB - вертикальные,
CAB CDB - опираются на дугу CB.
Тогда
a c
ab cd
d b
Что и требовалось доказать.
Содержание

Отрезки, связанные с окружностью
Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть есть для данной окружности величина
постоянная.
(a b) b (c d) d
Доказательство.
Проведем хорды AC и BD.
A
a
B
AMC ~ DMB (по двум углам):
AMD - общий,
D
d
C
b
c
M
MAC BDC - опираются на дугу BC.
Тогда
b
c
(a b) b (c d) d
c d a b
Что и требовалось доказать.
Содержание

Отрезки, связанные с окружностью
Теорема. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
c 2 a (a b)
M
с
K
a
Доказательство.
MKB ~ MAK, так как KMA - общий,
MKB KAB
B
1
KB
2
b
A
Тогда
c
a
c 2 a (a b)
a b c
Что и требовалось доказать.
Содержание

Отрезки, связанные с окружностью
Теорема. Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается,
равно двум радиусам (теорема синусов).
A
Доказательство.
A
R
A A , так как они опираются на одну дугу BC.
R
a
a
2R
sin A sin A
a
B
С
Что и требовалось доказать.
Содержание

Теорема Птолемея
Теорема. Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений длин
противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.
C
AC BD AB CD AD BC
Доказательство.
1. Проведем диагонали AC и BD.
2. Выберем на диагонали BD точку K так, чтобы BAK CAD
B
3. Тогда треугольники KBA и ACD подобны (по равному по построению A
углу и по углу, опирающемуся на дугу AD); треугольники AKD и ABC
подобны (по двум углам: BAC KAD (по построению) и BDA BCA).
4. Тогда:
K
D
| BK | | CD |
| BA | | AC |
| BK | | AC | | CD | | BA |
AD
|
AC
|
AD
|
BC
|
AC
|
KD
| KD | | BC |
| AC | (| BK | | KD |) | AB | | CD | | AD | | BC |
| AC | | BD | | AB | | CD | | AD | | BC |
Что и требовалось доказать.
Содержание

Окружность, вписанная в многоугольник
Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной
в многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.
1) В любой треугольник можно вписать окружность.
r
S
, где p - полупериметр.
p
Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.
Содержание

Окружность, вписанная в многоугольник
2) В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
a
d
d
AK AL , так как AK и AL - касательные к окружности,
проведенные из одной точки.
Аналогично с остальными отрезками.
b
b
L
a
K
c
c A
Тогда сумма противоположных сторон есть для данного четырехугольника величина
постоянная.
Содержание

Окружность, вписанная в многоугольник
3) Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него
можно вписать окружность.
Из параллелограммов окружность можно вписать в ромб, квадрат.
Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон,
а средняя линия - полусумме боковых сторон.
a
m
a b c d
2
2
c
m
d
b
Содержание

Окружность, описанная около многоугольника
Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной
около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.
1) Около любого треугольника можно описать окружность.
C
B
4S
R
abc
O
S 2R 2 sin sin sin
A
Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к
сторонам.
Содержание

Окружность, описанная около многоугольника
2) В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.
A
С
1
BCD
2
B
A
1
DAB
2
Тогда
A C
1
(BCD DAB) 180
2
C
D
Из всех параллелограммов окружность можно описать около прямоугольника, квадрата.
Содержание

Вневписанная окружность

Вневписанная окружность - окружность, касающаяся одной стороны треугольника и
продолжения двух других его сторон.
Теорема. Расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности с
продолжением его боковой стороны равно полупериметру p.
A
с
b
С
a B
Доказательство.
N
H
M
1. | AN | | AM | - отрезки касательных, исходящих из одной точки.
| CH | | CN | , | HB | | BM |
2. P | AC | | CH | | AB | | HB | | AN | | AM | 2 | AN |
Таким образом, | AN | p
Примечание: точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника делит его
периметр пополам: | AC | | CH | p
Следствие:
| CH | p | AC | p c
| HB | p b
.
Содержание

Вневписанная окружность

Теорема. Радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне a, вычисляется по формуле:
S
p a
ra
Доказательство.
A
C
1. Площадь четырехугольника ONAM:
SONAM S AOM S AON
1
1
ra | AM | ra | AN |
2
2
ra | AM | p ra
B
H
N
ra
M
O
2. Площадь четырехугольника ONAM:
SONAM S ABC SOMBCN S ABC 2S BOH 2SCHO
1
S ABC 2SBOC S ABC 2 ra a S ABC ra a
2
3. Таким образом,
.
ra p S ABC ra a ra (p a) S ABC ra
Что и требовалось доказать.
S ABC
p a
Содержание

Вневписанная окружность

Теорема. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
S ra rb rc r
Доказательство.
ra rb rc r
S
S
S S
p a p b p c p
S4
S4
ra rb rc r
ra rb rc r 2
p(p a)(p b)(p c)
S
ra rb rc r S 2 S ra rb rc r
Что и требовалось доказать.
Содержание

Радикальная ось - прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей.
Линия центров окружностей - прямая, проходящая через центры двух окружностей.

Теорема 1.

1) Радикальная ось перпендикулярна линии центров окружностей.
2) Отрезки касательных, проведенных из любой точки радикальной оси к этим окружностям, равны.

Доказательство:

1) Рассмотрим \(\triangle BMN\) и \(\triangle AMN\) : они равны по трем сторонам (\(BM=AM=R_1, BN=AN=R_2\) - радиусы первой и второй окружностей соответственно). Таким образом, \(\angle BNM=\angle ANM\) , следовательно, \(MN\) - биссектриса в равнобедренном \(\triangle ANB\) , следовательно, \(MN\perp AB\) .

2) Отметим произвольную точку \(O\) на радикальной оси и проведем касательные \(OK_1, OK_3\) к первой окружности и \(OK_2, OK_4\) ко второй окружности. Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то \(OK_1^2=OK_2^2=OK_3^2=OK_4^2=OB\cdot OA\) .

Теорема 2.

Пусть две окружности с центрами \(M\) и \(N\) касаются внешним образом в точке \(A\) . Две общие касательные (внутренняя и внешняя) \(a\) и \(b\) этих окружностей пересекаются в точке \(B\) . Точки касания - точки \(A, K_1, K_2\) (как показано на рисунке). Тогда \[(1) \ {\large{K_1B=AB=K_2B}}\] \[(2) \ {\large{\angle K_1AK_2=90^\circ}}\]

Доказательство:

1) Т.к. \(BA\) и \(BK_1\) - две касательные, проведенные к первой окружности из одной точки, то отрезки касательных равны: \(BA=BK_1\) . Аналогично, \(BA=BK_2\) . Таким образом, \(BA=BK_1=BK_2\) .

2) Значит, \(BA\) - медиана в \(\triangle K_1AK_2\) , равная половине стороны, к которой она проведена. Значит, \(\angle A=90^\circ\) .

Теорема 3.

Пусть две окружности касаются внешним образом в точке \(A\) . Через точку \(A\) проведены две прямые \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\) , пересекающие каждую окружность в двух точках, как показано на рисунке. Тогда: \[(1) \ {\large{\triangle AB_1C_1 \sim \triangle AB_2C_2}}\] \[(2) \ {\large{B_1C_1\parallel B_2C_2}}\]

Доказательство:

1) Проведем через точку \(A\) общую касательную этих окружностей \(OQ\) . \(\angle OAC_2=\angle QAC_1=\alpha\) как вертикальные. Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то \(\angle OAC_2=\frac12\buildrel\smile\over{AC_2}\) , \(\angle QAC_1=\frac12\buildrel\smile\over{AC_1}\) . Следовательно, \(\buildrel\smile\over{AC_1}=\buildrel\smile\over{AC_2}=2\alpha\) . Таким образом, \(\angle AB_1C_1=\angle AB_2C_2=\alpha\) . Значит, по двум углам \(\triangle AB_1C_1\sim \triangle AB_2C_2\) .

2) Т.к. \(\angle AB_1C_1=\angle AB_2C_2\) , то прямые \(B_1C_1\parallel B_2C_2\) по накрест лежащим углам при секущей \(B_1B_2\) .

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: \

Доказательство

Пусть для определенности \(\angle ABD<\angle CBD\) . Проведем отрезок \(BO\) так, чтобы \(O\) лежала на \(AC\) и \(\angle ABD=\angle CBO\) :

Т.к. \(\angle ACB=\angle ADB\) (опираются на одну и ту же дугу), то по двум углам \(\triangle OBC\sim \triangle ABD\) . Значит: \[\dfrac{OC}{AD}=\dfrac{BC}{BD} \Rightarrow AD\cdot BC=OC\cdot BD\phantom{00000000000} (1)\]

Т.к. \(\angle BAC=\angle BDC\) (опираются на одну и ту же дугу), \(\angle ABO=\angle CBD\) (состоят из равных по построению (оранжевых) углов и общего угла \(\angle DBO\) ), то по двум углам \(\triangle ABO\sim \triangle BDC\) . Значит: \[\dfrac{AO}{DC}=\dfrac{AB}{BD} \Rightarrow AB\cdot CD=AO\cdot BD \phantom{00000000000} (2)\]

Сложим равенства \((1)\) и \((2)\) : \(AD\cdot BC+AB\cdot CD=OC\cdot BD+AO\cdot BD=AC\cdot BD\) , чтд.

Формула Эйлера:

Пусть \(R\) - радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности, \(r\) - радиус вписанной окружности. Тогда расстояние \(d\) между центрами этих окружностей вычисляется по формуле: \[{\large{d^2=R^2-2Rr}}\]

Доказательство:

а) Предположим, что \(d\ne 0\) . Пусть \(O, Q\) - центры описанной и вписанной окружности соответственно. Проведем диаметр описанной окружности \(PS\) через точку \(Q\) . Проведем также биссектрисы углов \(\angle A, \angle B\) - \(AA_1, BB_1\) соответственно (заметим, что они пересекутся в точке \(Q\) , т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис). Хорды \(PS\) и \(BB_1\) пересекаются, следовательно, отрезки этих хорд равны: \(PQ\cdot QS=BQ\cdot QB_1\) .

Т.к. \(OP=OS=R, OQ=d\) , то последнее равенство можно переписать в виде \((R-d)(R+d)=BQ\cdot QB_1 \ (*)\) .

Заметим, что т.к. \(AA_1, BB_1\) - биссектрисы, то \(\buildrel\smile\over{AB_1}=\buildrel\smile\over{B_1C}=x, \ \buildrel\smile\over{CA_1}=\buildrel\smile\over{A_1B}=y\) . Т.к. угол между хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними, то:
\(\angle AQB_1=\frac12(x+y)\) .

С другой стороны, \(\angle B_1AA_1=\frac12\big(\buildrel\smile\over{B_1C}+\buildrel\smile\over{CA_1}\big)=\frac12(x+y)\)

Таким образом, \(\angle AQB_1=\angle B_1AA_1\) . Следовательно, \(\triangle QB_1A\) - равнобедренный и \(B_1Q=B_1A\) . Значит, равенство \((*)\) можно переписать как:
\(R^2-d^2=BQ\cdot AB_1 \ (**)\) .

Проведем еще один диаметр описанной окружности \(B_1B_2\) . Тогда \(\triangle B_1AB_2\) - прямоугольный (\(\angle A\) опирается на диаметр). Пусть также вписанная окружность касается стороны \(AB\) в точке \(K\) . Тогда \(\triangle BKQ\) - прямоугольный.
Заметим также, что \(\angle KBQ=\angle AB_2B_1\) (т.к. они опираются на одну и ту же дугу).
Значит, \(\triangle B_1AB_2\sim \triangle BKQ\) по двум углам, следовательно:

\(\dfrac{KQ}{AB_1}=\dfrac{BQ}{B_1B_2} \Rightarrow \dfrac{r}{AB_1}=\dfrac{BQ}{2R} \Rightarrow BQ\cdot AB_1=2Rr\) .

Подставим это в \((**)\) и получим:

\(R^2-d^2=2Rr \Rightarrow d^2=R^2-2Rr\) .

б) Если \(d=0\) , т.е. центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то \(AK=BK=\sqrt{R^2-r^2} \Rightarrow AB=2\sqrt{R^2-r^2}\) . Аналогично \(AC=BC=AB=\sqrt{R^2-r^2}\) , т.е. треугольник равносторонний. Следовательно, \(\angle A=60^\circ \Rightarrow \angle KAO=30^\circ \Rightarrow r=\frac12R \Rightarrow R=2r\) или \(0=R^2-2Rr\) (т.е. в этом случае формула также верна).

Теорема о бабочке:

Пусть через середину хорды \(AB\) - точку \(O\) , проведены две хорды \(MN\) и \(KP\) . Пусть \(MP\cap AB=X, KN\cap AB=Y\) . Тогда \[{\large{OX=OY}}\]

Доказательство:

Проведем перпендикуляры \(XX_1, YY_2\perp MN, XX_2, YY_1\perp KP\) .
Следующие углы равны, т.к. опираются на одну и ту же дугу: \(\angle PMO=\angle NKO, \angle MPO=\angle KNO\) .
Следующие углы равны, т.к. вертикальные: \(\angle XOX_1=\angle YOY_2, \angle XOX_2=\angle YOY_1\) .

Следующие прямоугольные треугольники подобны:

1) \(\triangle XX_1O\sim \triangle YY_2O \Rightarrow \dfrac{XO}{YO}=\dfrac{XX_1}{YY_2}\)

2) \(\triangle XX_2O\sim \triangle YY_1O \Rightarrow \dfrac{XO}{YO}=\dfrac{XX_2}{YY_1}\)

3) \(\triangle MXX_1\sim \triangle KYY_1 \Rightarrow \dfrac{XX_1}{YY_1}=\dfrac{MX}{KY}\)

4) \(\triangle PXX_2\sim \triangle NYY_2 \Rightarrow \dfrac{XX_2}{YY_2}=\dfrac{PX}{NY}\)

Из 1) и 2) следует, что

\(\dfrac{XO^2}{YO^2}=\dfrac{XX_1\cdot XX_2}{YY_1\cdot YY_2}\)

Из 3) и 4) следует, что

\(\dfrac{XX_1\cdot XX_2}{YY_1\cdot YY_2}=\dfrac{MX\cdot PX}{KY\cdot NY}\)

Совместив последние два равенства, получим:

\(\dfrac{XO^2}{YO^2}=\dfrac{MX\cdot PX}{KY\cdot NY}\)

Заметим, что для пересекающихся хорд \(AB\) и \(MP\) : \(AX\cdot XB=MX\cdot PX\) . Аналогично \(AY\cdot YB=KY\cdot NY\) . Значит:

\(\dfrac{XO^2}{YO^2}==\dfrac{AX\cdot XB}{AY\cdot YB}\)

Обозначим \(OX=x, OY=y, OA=OB=t \Rightarrow\)

\(\dfrac{x^2}{y^2}=\dfrac{(t-x)(t+x)}{(t+y)(t-y)}=\dfrac{t^2-x^2}{t^2-y^2} \Rightarrow x^2t^2-x^2y^2=y^2t^2-x^2y^2 \Rightarrow x^2=y^2 \Rightarrow x=y\) .

“А в окружность я влюбился и на ней остановился.”

Информационно-учебный проект.

Тема: окружность

Цель проекта: Изучить свойства, виды разных окружностей и теоремы, с ними связанные.

Я начал свою работу с того, что изучил свойства окружности в школьном курсе геометрии по учебнику А.В.Погорелова “Геометрия 7-9” и материал за рамками школьного курса. При сборе информации из различных источников и в работе над проектом я расширил свои знания и буду продолжать дальше изучать эту тему и делиться знаниями с одноклассниками и всеми, кому это интересно.

Окружность - геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом. Замкнутый круг, не имеющий внутренное пространство.

Другие определения

Окружность диаметра AB - это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

Окружность - это фигура, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек равно данному числу, отличному от единицы. (см. Окружность Аполлония)

Также фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками.

Связанные определения

Радиус - не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой . Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .

Окружность называется единичной , если ее радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.

Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Теорема Птолемея.

Клавдий Птолемей (), живший в конце первого - начале второго века н.э., был древнегреческим ученым-астрономом, математиком, астрологом, географом, оптиком и теоретиком музыки. Он известен как комментатор Евклида. Птолемей пытался доказать знаменитый Пятый постулат. Основной труд Птолемея - “Альмагест”, в котором он изложил сведения по астрономии. Включал “Альмагест” и каталог звездного неба.

Теорема Птолемея. Вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон.

Доказательство необходимости . Поскольку четырехугольник вписан в окружность, то

Из треугольника по теореме косинусов находим

Аналогично из треугольника :

Сумма этих косинусов равна нулю:

Отсюда выразим :

Рассмотрим треугольники и и найдем :

что и требовалось доказать.

Попутно мы доказали еще одно утверждение. Для четырехугольника, вписанного в окружность,

Доказательство достаточности. Пусть выполнено равенство

Докажем, что вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Обозначим через радиус окружности, описанной вокруг . Из точки опустим перпендикуляры на прямые и и обозначим точки пересечения этих прямых и перпендикуляров к ним через и соответственно. По теореме синсов для треугольника получаем (диаметр описанной окружности для этого треугольника равен ):

По теореме синусов для треугольника имеем

Следовательно,

Таким же образом, рассматривая треугольники и получим соотношения

Отсюда, подставляя эти выражения в исходное равенство, имеем

откуда следует, что точки и лежат на одной прямой.

Докажем теперь, что из этого следует, что вокруг четырехугольника можно описать окружность (достаточное условие теоремы Симсона).

Построим окружности на отрезках и как на диаметрах. Первая из них проходит через точки и (углы и прямые), а вторая - через точки и (). Углы и равны как вертикальные, откуда следует, что , а значит, и . Отсюда , и вокруг четырехугольника можно описать окружность.

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

где e - основание натурального логарифма,

i - мнимая единица.

Угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, принимается за 1 радиан.

Длина единичной полуокружности обозначается через π.

Геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое, называется кругом .

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Прямая, проходящая через две различных точки на окружности, называется секущей .

Центральный угол - угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

В данном случае угол АОВ является центральным.

Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается. В данном случае угол ABC является вписанным.

Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .

Две окружности, радиусы которых пересекаются под прямым углом, называются

ортогональными.

Длина окружности: C = 2∙π∙R = π∙D

Радиус окружности: R = C/(2∙π) = D/2

Диаметр окружности: D = C/π = 2∙R

Две окружности, заданные уравнениями:

являются концентрическими (то есть имеющими общий центр) в том и только в том случае, когда A1 = A2 и B1 = B2.

Две окружности являются ортогональными (то есть пересекающиеся под прямым углом) тогда и только тогда, когда выполняется условие

Вписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

В треугольнике

Свойства вписанной окружности:

В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.

Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A 1 и B 1 , то A 1 B 1 = A 1 B + AB 1 .

Точки касания вписанной в треугольник T окружности соединены отрезками - получается треугольник T 1

биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T 1
Пусть T 2 - ортотреугольник T 1 . Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
Пусть T 3 - серединный треугольник T 1 . Тогда биссектрисы T являются высотами T 3 .

Центр O вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
Радиус вписанной в треугольник окружности равен

В многоугольнике

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру

Описанная окружность.

Описанная окружность - окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O ) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства

Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Для треугольника :

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.

У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного - вне треугольника, у прямоугольного - на середине гипотенузы.

3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.

Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.

Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.

Радиус

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам

Где:

a , b , c - стороны треугольника,

α - угол, лежащий против стороны a ,

S - площадь треугольника.

Положение центра описанной окружности

Пусть радиус-векторы вершин треугольника, - радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

где

Уравнение описанной окружности

Пусть координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости, - координаты центра описанной окружности. Тогда

а уравнение описанной окружности имеет вид

Для точек , лежащих внутри окружности, определитель отрицателен, а для точек вне ее - положителен.

Формула Эйлера: Если d - расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны r и R соответственно, то d 2 = R 2 − 2 Rr .

Для четырехугольника.

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник необходимо является выпуклым.

Вокруг выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан).

Можно описать окружность вокруг:

любого прямоугольника (частный случай квадрат)

любой равнобедренной трапеции

У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|

Окружность Аполлония - геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек - величина постоянная, не равная единице.

Биполярные координаты - ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Пусть на плоскости даны две точки A и B . Рассмотрим все точки P этой плоскости, для каждой из которых

где k - фиксированное положительное число. При k = 1 эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку AB ; в остальных случаях указанное геометрическое место - окружность, называемая окружностью Аполлония .

Окружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D) и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек

Радиус окружностей Аполлония равен :

Единичная окружность - это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. Понятие единичной окружности можно легко обобщить до n-мерного пространства ( n 2). В таком случае используется термин «единичная сфера».

Для всех точек на окружности действительно согласно с теоремой Пифагора: x 2 + y 2 = 1.

Не путайте термины «окружность» и «круг»!

Окружность на данном расстоянии от данной точки, на одной плоскости - кривая.

Круг - геометрическое место точек, расположенное не дальше чем окружность , на одной плоскости - фигура.

Также к единичной окружности можно отнести раздел алгебры,как тригонометрия.

Тригонометрия.

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: соединив любую точку ( x , y ) на единичной окружности с началом координат (0,0), мы получаем отрезок, находящийся под углом α относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда действительно:

cos α = x

sin α = y

Подставив эти значения в вышеуказанное уравнение x 2 + y 2 = 1, мы получаем:

cos 2 α + sin 2 α = 1

Обратите внимание на общепринятое написание cos 2 x = (cos x ) 2 .

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как угол отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

sin( x + 2 π k ) = sin( x )

cos( x + 2 π k ) = cos( x )

для всех целых чисел k , иными словами, k принадлежит Z .

Комлексная плоскость.

В комплексной плоскости единичную окружность описывает множество :

Множество G удоволетворяет условиям мультипликативной группы (с нейтральным элементом e i 0 = 1).

Теорема о секущих - теорема планиметрии. Формулируется следующим образом:

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.