Построить линию пересечения 2 поверхностей. Построение линии пересечения двух плоскостей. Метод замены плоскостей проекций

Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.

Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей заключается в следующем. Вводят вспомогательную плоскость, строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и в пересечении построенных линий находят общую точку двух плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

На рис. 4.5 показано наглядное изображение линии пересечения К,К 2 двух плоскостей аир.

Для наглядного изображения построения первой общей точки линии пересечения плоскостей аир (рис. 4.6) введена вспомогательная

плоскость у. C плоскостью а она пересекается по линии 1–2, с плоскостью β – по линии 3–4. В пересечении линий 1–2 и 3– 4 определена первая общая точка K 1 двух плоскостей аир – первая точка линии их пересечения.

Аналогично строят вторую точку линии пересечения.

Частный случай построения линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая. В этом случае построение линии пересечения упрощается тем, что одна ее проекция совпадает с проекцией проецирующей плоскости на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна.

В качестве примера на рис. 4.7 показано построение проекций Μ"Ν", Μ"Ν" линии пересечения MN фронтально проецирующей плоскости а с плоскостью треугольника АВС.

На фронтальной проекции в пересечении проекций А"В" и А "С" со следом а" находим фронтальные проекции M"wN" двух общих точек заданных плоскостей. По ним построены горизонтальные проекции M" и N" на горизонтальных проекциях А "В" и A "C сторон треугольника. Через точки M" и А" проводим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей. При взгляде по стрелке 5 по фронтальной проекции очевидно, что часть треугольника левее линии пересечения MN(M"N") находится над плоскостью а, т. с. видима, остальная часть – под плоскостью а, т. е. невидима (участок M"B"C"N" показан штриховой линией).

Другой пример построения линии пересечения двух треугольных пластин ABC и DEF, одна из которых (DEF) задана как горизонтально проецирующая плоскость, приведен на рис. 4.8. На горизонтальной проекции в пересечении горизонтальных проекций А " В" и B"C сто-

рон AABC с проекцией D"E"F" второго треугольника находим горизонтальные проекции M" и N" точек их пересечения. По ним на фронтальных проекциях сторон А "В "и В "С" строим фронтальные проекции М" тл N " точек линии пересечения MN. На фронтальной проекции отмечаем видимость частей треугольников, руководствуясь следующим: при взгляде по стрелке 5 на горизонтальной проекции очевидно, что сторона AC находится перед плоскостью треугольника DEF.

Следовательно, сторона AC и ограничиваемая ею часть треугольника ABCro линии пересечения MN видимы (т. е. видима фронтальная проекция четырехугольника A "C"N"M").

На рис. 4.9 приведено построение проекций M"N", M"Ν" линии пересечения двух плоскостей, одна из которых задана проекциями А "В", В "С", А"В", В" C двух пересекающихся прямых, другая – проекциями – D" Е", F"G", D"E", F"G" двух параллельных прямых.

В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами у" и δ".

Плоскость δ пересекает первую заданную плоскость по прямой 1–2, вторую – по прямой 3–4. По фронтальным проекциям 1",2" и 3 ", 4" находим с помощью линий связи горизонтальные проекции 1", 2" и 3", 4" на горизонтальных проекциях/* "В", В" С, D"E", F"G"

прямых. Через них проводим горизонтальные проекции 1 "2" и 3"4" линий пересечения. Отмечаем точку М" – горизонтальную проекцию общей точки М трех плоскостей – двух заданных и вспомогательной 8. По ней определяем фронтальную проекцию М" на фронтальном следе 8" вспомогательной плоскости.

Вспомогательные плоскости у и 8 параллельны. Линии их пересечения с заданными плоскостями попарно параллельны. Поэтому горизонтальные проекции линий пересечения плоскости у с заданными плоскостями проведены через проекцию В" параллельно проекции 1 "2" и через проекцию 5" параллельно проекции 3 "4 В их пересечении найдена горизонтальная проекция N" второй общей точки трех плоскостей, т. е. линии пересечения двух заданных плоскостей. По ней на фронтальном следе у" вспомогательной плоскости построена фронтальная проекция N". Через построенные проекции М", N" и M",N" проводим фронтальную и горизонтальную проекции искомой линии пересечения.

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися, частным случаем пересекающихся плоскостей являются взаимно перпендикулярные плоскости.

Построение линии пересечения плоскостей - одна из основных задач начертательной геометрии, имеющих большое практическое значение. Она относится к так называемым позиционными задачам.

Позиционными называются задачи на определение общих элементов различных сопрягаемых геометрических форм. К ним относятся задачи на принадлежность геометрических элементов и на пересечение геометрических объектов, например, пересечение прямой и плоскости с поверхностью, пересечение двух поверхностей и, в частности, задача на пересечение двух плоскостей.

Линия пересечения двух плоскостей является прямой, одновременно принадлежащей обеим пересекающимся плоскостям . Поэтому для построения линии пересечения плоскостей необходимо определить две точки этой прямой или одну точку и направление линии пересечения.

Рассмотрим частный случай пресечения плоскостей, когда одна из них проецирующая. На рис. 3.6 приведены плоскость общего положения, - заданная треугольником АВС и горизонтально-проецирующая Р. Двумя общими точками, принадлежащими обеим плоскостям, являются точки D и Е, которые и определяют линию пересечения.

Для определения этих точек были найдены точки пересечения сторон АВ и ВС с проецирующей плоскостью. Построение точек D и Е как на пространственном чертеже (рис. 3.6, а), так и на эпюре (рис. 3.6,б) не вызывает затруднений, т.к. основано на разобранном выше собирательном свойстве проецирующих следов плоскостей.

Соединяя одноименные проекции точек D и Е получим проекции линии пересечения плоскости треугольника АВС и плоскости Р. Таким образом, горизонтальная проекция D 1 Е 1 линии пересечения заданных плоскостей совпадает с горизонтальной проекцией проецирующей плоскости Р – с её горизонтальным следом.

Рассмотрим общий случай пересечения когда обе плоскости - общего положения. На рис. 3.7. показаны две плоскости общего положения, заданные треугольником и двумя параллельными прямыми. Для определения двух общих точек линии пересечения плоскостей проводим две вспомогательные (горизонтальные) плоскости уровня R и Т. Вспомогательная плоскость R пересекает заданные плоскости по двум горизонталям h и h 1 , которые в своем пересечении определяют точку 1, общую для плоскостей P и Q, так как они одновременно принадлежат вспомогательной секущей плоскости R. Вторая плоскость – посредник Т также пересекает каждую из заданных плоскостей по горизонталям h 2 и h 3 , которые параллельны первым двум горизонталям. В пересечении горизонталей получим вторую общую точку 2 заданных плоскостей. Соединяя на эпюре (рис. 3.8,б) одноименные проекции этих точек, получим проекции линии пересечения плоскостей.

На рис. 3.8 приведены две плоскости, заданные следами. Общими точками плоскостей являются точки пересечении М и N одноименных следов. Соединяя одноименные проекции этих точек прямой линией, получил проекции линии пересечения плоскостей.

Если точки пересечения одноименных следов находятся вне поля чертежа (см. пример 5), а также в тех случаях, когда плоскости заданы не следами, а другими геометрическими элементами, то для определения линии пересечения плоскостей следует использовать вспомогательные плоскости уровня – горизонтальные или фронтальные. Необходимо отметить, что при построении линии пересечения плоскостей, заданных следами, роль вспомогательных секущих плоскостей выполняют плоскости проекций П 1 и П 2 .

На рис. 3.9 показан случай пересечения двух плоскостей, когда известно направление линии пресечения, т.к. плоскость Р является плоскостью уровня (Р||П 1). Поэтому достаточно иметь лишь одну точку пересечения следов и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов. В нашем случае линия пересечения является общей горизонталью NА плоскостей Р и Т.

Одной из основополагающих задач начертательной геометрии является задача на на построение линии пересечения двух плоскостей общего положения. Случаи задания плоскостей бывают разные, но в любом случае вам встретится задача, в которой будет необходимо построить линию пересечения двух плоскостей заданных треугольниками (или другими плоскими геометрическими фигурами). Алгоритм решения такой задачи я и предлагаю рассмотреть сейчас.

Итак, даны две плоскости, заданные треугольниками АВС и DEF. Метод сводится к тому, что бы поочередно найти две точки пересечения двух ребер одного треугольника с плоскостью другого. Соединив эти точки мы получим линию пересечения двух плоскостей. Построение точки пересечения прямой с плоскостью более подробно было рассмотрено в предыдущем уроке, напомню только механические действия:

Заключим прямую АС во фронтально-проецирующую плоскость и перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения этой плоскости с прямыми DE и DF - точки 1 и 2

На горизонтальной проекции соединим проекции точек 1 и 2 и найдем точку пересечения получившейся линии с горизонтальной проекцией той прямой, которую мы заключали во фронтально-проецирующую плоскость, в этом случае - с прямой AC. Мы получили точку M.

Заключим прямую BС во фронтально-проецирующую плоскость и перенесем по линиям связи на горизонтальную проекцию точки пересечения этой плоскости с прямыми EF и DF - точки 3 и 4

Соединим их горизонтальные проекции и получим точку пересечения этой прямой с прямой ВС - точку N.

Соединив точки M и N мы получим линию пересечения плоскостей заданных треугольниками. По сути линия пересечения уже найдена. - Осталось лишь определить видимость ребер треугольников. Это делается методом конкурирующих точек.

При помощи наиболее внимательных посетителей сайта удалось найти неточность при определении видимости плоскостей. Ниже приведен чертеж, на котором исправлена видимость линий, ограничивающих плоскости на горизонтальной плоскости

17. Метод замены плоскостей проекций.

МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Изменение взаимного положения изучаемого объекта и плоскостей проекций достигается путем замены одной из плоскостей П 1 или П 2 новой плоскостями П 4 (рис. 148 ). Новая плоскость всегда выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций.

Для решения некоторых задач может потребоваться двойная замены плоскостей проекций (рис. 149 ). Последовательный переход от одной системы плоскостей проекций к другой необходимо осуществлять, выполняя следующее правило: расстояние от новой проекции точки до новой оси должно равняться расстоянию от заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача 1 : Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 148 ). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.

Выберем новую плоскость проекций П 4 , параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П 1 . Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П 1 П 2 в систему П 1 П 4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А 4 В 4 будет натуральной величиной отрезка АВ .

3.6. Построение линии пересечения двух плоскостей

Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двухплоскостей, определяется двумя точками, каждая из которых одновременно принадлежит обеим плоскостям.

На рис. 3.37 плоскость общего положения, заданную тре-угольником АВС, пересекает фронтально - проецирующая плоскость, заданная треугольником DEF, Так как треугольник DEF проецируется на плоскость V в виде прямой линии D"F", то фронтальная проекция линии пересечения обеих плоскостей представляют собой отрезок K 1 "K2". Находим его горизонталь-ную проекцию и определяем видимость.

Рис.3.37 Рис.3.38

Горизонтально проецирующая плоскость а пересекает плоскость треугольника АВС (рис, 3.3 8), Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей представляет из себя отрезок M"N", который определяется на следе оси".

Е
сли плоскости заданы следами на плоскостях проекций, то, токи, определяющие прямую пересечения плоскостей} следует выбирать в точках пересечения одноименных следов плоскостей (рис.3.39); прямая, проходящая через эти точки, общие для обеих плоскостей, - их линия пересечения. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей  и  необходимо:

1) найти точку М" в пересечении следов н" и н" и точку N" в пересечении    и   , а по ним проекции М" и N".

2) провести прямые линии MN и M"N".

Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей.

Р
ис.3.40

На рис.3.40 пересекаются плоскости  и . Плоскость  плоскость общего положения, Плоскость  - горизонтальная плоскость. Для построения линии пересечения необходимо:

1) найти точку N" в пересечении следов  и v;

2) провести через эту точку прямую, исходя из положения

плоскостей и их следов.

На рисунках (3.40 - 3.42) показаны случаи, когда известно направление линии пересечения. Поэтому достаточно иметь лишь одну точку от пересечения следов и, затем, провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов.

3.7.Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения выполняется по следующему алгоритму:

1) через данную прямую (MN) провести некоторую вспомогательную плоскость ();

2} построить прямую (ED), линию пересечения данной плоскости (АВС) и вспомогательной плоскости ();

3) определить положение точки (К) пересечения данной прямой (MN) и построенной линии пересечения (ED);

4) определить видимость прямой (MN) относительно плоскостей Н и V.

На рис.3.43 прямая MN пересекает плоскость, заданную треуголькомАВС. Через прямую MN проводим

ником АВС. Через прямую MN проводим

горизонтально проецирующую плоскость . Так как вспомогательная плоскость  горизонтально - проецирующая, то и горизонтальной проекцией плоскости  и треугольника АВС является прямая линия E"D". Находим ее фронтальную проекцию E"D". Затем построим К",в которой E " D " пересекает M"N" и определяем ее горизонтальную проекцию К". Определяем видимость отрезков МК и

N используя конкурирующие точки

Рис.3.44 Рис.3.45 3.46

На рис.3.44 прямая АВ пересекает плоскость а общего положения. Проводим через прямую АВ горизонтально - проецирующую плоскость , находим линию пересечения плоскости а и плоскости  (MN).

Определяем точку К" как точку пересечения M"N" и А"В". Находим точку К" и определяем видимость.

На рис. 3.45 плоскость а задана следами. Прямая, пересекающая плоскость , является горизонталью, Через прямую АВ проводим горизонтальную плоскость (||Н). Плоскость р пересекает плоскость а по горизонтали NK , принадлежащей плоскости  Затем определяем видимость. На рис. 3.46 плоскость а задана следами; прямая АВ, пересекающая плоскость а, горизонтально - проецирующая, на плоскость Н она проецируется в точку и, следовательно, горизонтальная проекция точки пересечения прямой АВ и плоскости (К) находится в этой точке.

A"=B=K", Положение К" определяется при помощи горизонтали.

3.8. Пересечение двух плоскостей общего положения

Рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей (рис.3.47).

Одна из пересекающихся плоскостей () задана двумя пере-секающимися прямыми (АВ  ВС). Вторая плоскость () задана двумя параллельными прямыми (DE FG). В результате взаимного пересечения плоскостей  и  получена прямая K 1 K 2 (== K 1 K 2). Для определения положения точек K 1 и К 2 возьмем две вспомогательные фронтально - проецирующие плоскости  1 и  2 пересекающие и плоскость , и плоскость . При пересечении плоскостью  1 плоскости  образуется прямая с проекциями 1"2" и 12". При пересечении плоскостью  1 плоскости  образуется прямая с проекциями 3"4" и 3"4". Пересечение линий12 и 34 определяет первую точку K 1 линии пересечения плоскостей  и .

Введя фронтально-проецирующую плоскость  2 , получаем в ее пересечении с плоскостями  и  прямые с проекциями 5 "б",5"б" и 7"8", 7"8". Эти прямые, расположенные в плоскости 2 , в

своем пересечении определяют вторую точку К 2 линии пересечения  и . Получив проекции K 1 " и К 2 " находим на следах  1 v" и  2 v"проекции K 1 " и К 2 ". Проекции K 1 "К 2  и K 1 "K 2 " являются проекциями искомой прямой пересечения плоскостей  и .

3.9. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам пресечения прямых линий с плоскостью

Этот способ заключается в том, что находят точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью. Следовательно, необходимо уметь строить точку пересечения прямой с плоскостью общего положения (рис.3.43).

На рис. 3,48 дано построение линии пересечения двух треугольников АВС и DEF. Прямая K 1 K 2 построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника АВС с плоскостью треугольника DEF Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость  1 проведенная через АС, пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 1."2" и 1"2"; в пересечении проекций А"С" и 1"2" получаем горизонтальную проекцию точки K 1 " - пересечения

прямой АС и треугольника DEF. Затем строим фронтальную проекцию K 1 //

Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость  2 , проведенная через ВС, пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 3"4" и 3"4", В пересечении проекций 3"4" и В"С" получаем горизонтальную проекцию точки К 2 - пересечения прямой ВС и треугольника DEF. Затем строим фронтальную проекцию точки К 2 . Видимость на чертеже определяем методом конкурирующих точек (см, рис.3.36),

4. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

Задание прямых линии и плоских фигур в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение задач, позволяет получить ответ или не- посредственно по данному чертежу, или при помощи простейших построений. Такое частное взаимное расположение прямых линий, плоских фигур и плоскостей проекций может быть обеспечено преобразованием чертежа. Достигается это:

1) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия или плоская фигура, не изменяя своего положения в пространстве, оказалась в каком - либо частном положении в новой системе плоскостей проекций (способ перемены плоскостей проекций).

2) изменением положения прямой линии или плоской фигуры, путем поворота вокруг некоторой оси так, чтобы прямая или фигура оказалась в частном положении относительно неизменной системы плоскостей проекций (способ вращения и частный случаи его способ совмещения).

3) изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем перемещения их в частное, положение так, чтобы траектории перемещения их точек находились в параллельных плоскостях при неизменной системе плоскостей проекций (способ параллельного перемещения).

4.1 Способ перемены плоскостей проекций

Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том, что положение точек, прямых линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система Н, V дополняется плоскостями, образующими с Н или с V, или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций,

Каждая новая система выбирается таким образом, чтобы получить положение наиболее выгодное для выполнения требуемого построения.

4.1.1. Введение в систему Н, V одной дополнительной плоскости проекции

В большинстве случаев дополнительную плоскость в системуН, V вводят согласно определенному условию, отвечающему цели построения. Примером может служить плоскость V 1 на рис.4.1.

Т
ак как требовалось определить величину отрезка АВ и угол между АВ и плоскостью Н, то плоскость Vi расположена перпендикулярно к плоскости Н (образовалась система Н, V 1) и параллельно АВ

С
ледовательно в системе Н, V 1 отрезок АВ является фронталью (А"В" || оси X 1) и величина A 1 "B 1 " равна натуральной величине отрезка АВ, угол  1 равен углу наклона ка АВ к плоскости Н.

Рис.4.2 Рис.4.3

На рис.4.2 выбор плоскости H 1 также подчинен цели: определить угол между прямойCD и плоскостью V, а также натуральную величину отрезка CD. Поэтому плоскость H 1 выбрана перпендикулярно V и в тоже время параллельно отрезку CD (ось H 1 /V || C"D") Следовательно, в системе V, H 1 отрезок CD является горизонталью

(C"D" оси V/H 1), величина C 1 "D 1 " равна натуральной величине

отрезка CD , а угол ф 2 равен углу наклона отрезка CD к плоскости V.

В случае, изображенном на рис. 4.3, выбор плоскости H 1 вполне зависит от задания.

Необходимо определить натуральный вид треугольника АВС. Так как в данном случае плоскость, определяемая треугольником, перпендикулярна к плоскости V, то для изображения его без искажения необходимо ввести в систему H 1 , V дополнительную плоскость, отвечающую двум условиям: Н 1, V (для образования системы V,Н 1) и H 1 || АВС (H 1 || А"В"С"), что дает возможность изобразить треугольник АВС на плоскости Hiбез искажения. Новая ось V/H 1 || А"В"С". Для построения проекции A" 1 B 1 "C" 1 от новой оси откладываем отрезки, равные расстояниям точек А", В",С" от оси V/H. Натуральный вид треугольника АВС выражается новой его проекцией A" 1 B" 1 C" 1 .

Введение дополнительной плоскости проекции дает возможность преобразовать чертеж таким образом, что плоскость общего положения, заданная в системе Н, V, становиться перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций.

Рис.4.4 Рис.4.5

На рис.4.4 плоскость общего положения, заданная треугольником АВС в системе Н, V, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций V 1 . Для этого в треугольнике АВС проведена горизонталь AD, Плоскость, перпендикулярная к AD, перпендикулярна к АВС и в то же время к плоскости Н (так как.ADН). Этому соответствует плоскость V 1 и треугольник АВС проецируется на нее в отрезок B" 1 C" 1 , Угол ф 1 соответствует углу наклона треугольника АВС к плоскости Н.

Е
сли же взять плоскость H 1 (рис. 4.5), перпендикулярную к плоскости V и плоскости, заданной треугольником АВС (для чего необходимо провести ось V/H 1 перпендикулярно к фронтали треугольника АВС), то определим угол ф 2 - наклона плоскости треугольника АВС к плоскости V.

4.1.2.Введение в систему H . V двух дополнительных плоскостей проекций

Рассмотрим следующий пример (рис.4.б, 4.7): прямую общего положения АВ, заданную в системеН, V, требуется расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проекций.

В этом случае придерживаемся такой схемы:

1) от системы H,V переходим к системе Н, V 1 в которой дополнительная плоскость V 1  Н и V 1 || АВ,

2) от системы H,V 1 переходим к системе V 1 H 1 гдеH 1 V 1 и H 1 AB. Решение сводится к последовательному построению проекций А 1  и A 1 " точки.А, В 1  и B 1 " точки В.

Прямая АВ, общего положения в системе H,V, становится параллельной плоскости V 1 в системе Н, V 1 и проецируется в точку на плоскости H 1 в системе V 1 , H 1 т.е. АВ H 1 ,

На рис.4.8 дан пример построения натурального вида треугольника АВС.

Решение такой задачи проводится по следующей схеме:

1) от системы H,V переходим к системе H,V 1 , в которой V 1  Н и V 1  AD (AD - горизонталь треугольника АВС), V 1 АВС.

2) от системы Н, V 1 переходим к системе Vi, Hi, в которой H 1 1 V 1 и H 1 || АВС,

В первой части задачи дополнительная плоскость V 1 перпендикулярна плоскости треугольникаАВС. Это построение повторяет показанное на рис, 4.4.

Во второй части построения на рис.4.8 сводятся к проведению оси V 1 /H 1  C" 1 "A 1 "B 1 " т.е. плоскость H 1 проведена параллельно плоскости АВС, что приводит к определению натурального вида, выражаемого проекцией C" 1 "A 1 "B 1 ".

4.2.Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций

При вращении вокруг некоторой, неподвижной прямой i (ось вращения) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскость вращения). При этом точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (цен m р вращения). Радиус окружности равняется расстоянию от вращаемой точки до центра (это радиус вращения). Если какая-либо точка данной системы находится на оси вращения i, то при вращении системы эта точка считается неподвижной. Ось вращения может быть, задана и выбрана. Если ось вращения выбирается, то ее выгодно располагать перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, так как при этом упрощаются построения.

4.2.1.Вращение вокруг заданной оси

Рис.4.9 Рис.4.10

Пусть точка А вращается вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости Н (рис.4.9). При вращении точка А описывает окружность радиуса R, плоскость которой находится в плоскости  и перпендикулярна к плоскости V, а, следовательно, параллельна плоскости Н Величина радиуса R выражается длиной перпендикуляра, проведенного из точки А на ось вращения. Окружность, описанная в пространстве точкой А, проецируется на плоскость Н без искажения, Так как плоскость а перпендикулярна к V, то проекции точек окружности на плоскость V расположатся на v" , т.е. на прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции

оси вращения. Нарис.4.9 справа: окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси i, спроецирована без искажения на плоскость Н. Из центра О проведена окружность радиуса R=OA. На плоскость V эта окружность спроецировалась в виде отрезка прямой, равного 2R,

На рис,4.10 изображено вращение точки А вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости V. Окружность, описанная точкой А, спроецирована без искажения на плоскость V. Из точки О проведена окружность радиуса R==OA". На плоскости Н эта окружность изображена отрезком прямой, равным 2R.

Из этого следует, что при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций, одна из проекций вращаемой точки перемещаетсяпо прямой, перпендикулярной к проекции оси вращения.

4.2.2.Вращение вокруг выбранной оси

В ряде случаев ось вращения может быть выбрана. При этом, если ось вращения выбрать проходящей через один из концов отрезка, то построение упрощается, так как точка, через которую проходит ось, будет неподвижной и для поворота отрезка необходимо будет построить новое положение проекции только одной точки - другого конца отрезка.

Рис.4.11 Рис.4.12

На рис. 4.11 необходимо определить натуральную величину отрезка АВ и угол наклона его к плоскости Н. Ось вращения i выбрана перпендикулярно к плоскости Н и проходит через точку А. Поворачивая отрезок АВ вокруг оси i переводим его в положение,

параллельное плоскости V (т.е. АВ становится фронталью). Величина А В равна натуральной величине отрезка АВ, а угол А // В // В // равен углу наклона отрезка АВ к плоскости Н.

Аналогично определяется натуральная величина отрезка CD и угол наклона его к плоскости V (рис.89). Ось вращения i выбрана перпендикулярно к плоскости V и проходит через точку С. Поворачивая отрезок CD вокруг оси i переводим его в положение, параллельное плоскости Н (т.е. CD становится горизонталью). Величина С D равна натуральной величине отрезка CD и угол С / D равен углу наклона отрезка CD к плоскости V.

На рис 4.13 необходимо определить натуральный вид треугольника АВС и угол наклона его к плоскости Н. Т.к.. плоскость треугольника АВС является плоскостью общего положения, то данную задачу решаем по схеме:

1 Вращением вокруг оси i , перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через точкуС, переводим треугольник АВС из общего положения в положение фронтально - проецирующей плоскости.

2.Вращением вокруг оси i 1 , перпендикулярной к плоскости V и проходящей через точку А, переводим треугольникАВС из положения фронтально- проецирующей плоскости в положение плоскости, параллельной плоскости Н.

Для того, чтобы треугольник АВС перевести в положение фронтально- проецирующей плоскости, в плоскости треугольника АВС проводим горизонталь плоскости СК, Ее фронтальная проекция С // К // параллельна оси X. Горизонтальная проекция С / К / равна натуральной величине отрезка СК. Ось вращения i выбираем перпендикулярно Н и проводим через точку С, Плоскость АВС становится в положение фронтально- проецирующей плоскости, если горизонталь данного треугольника (СК) займет положение, перпендикулярное к плоскости V и, следовательно, отрезок СК станет перпендикулярен к оси X, а фронтальная проекция С // К // проецируется в точку. Из центра i / С / радиусом, равным С / К / , проводим дугу и строим новую проекцию К.Т.к. при вращении любой точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, траектория перемещения точки расположена в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, то проекция К // расположена на прямой К // К // , параллельной оси X.

Методом засечек находим В / и А / . Фронтальная проекция В"" лежит на прямойВ // В // и параллельной оси X, фронтальная проекция А / лежит на прямой А / А / , параллельной оси X. В результате данного вращения плоскость АВС стала фронтально проецирующей и угол (р равен углу наклона плоскостиАВС к плоскости Н.

Ось вращения i 1 выбираем перпендикулярно V и проводим через точку А. Вращаем точку К и точку С радиусом А К, точку В радиусом А В до тех пор, пока плоскость АВС не займет положение, параллельное плоскости Н и, следовательно, отрезок А 1 // К 1 // В 1 // параллелен оси ОХ. Т.к. траектории перемещения точек С,В и К при этом на горизонтальную плоскость Н с проецировалась в прямые, параллельные

С / лежит на прямой С / С / ,

В / 1 лежит на прямой В / В / 1 ,

К / 1 лежит на прямой К / К / 1.

Проекция A / B / C / определяет натуральный вид треугольника АВС.

лекция

Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей заключается в следующем. Вводят вспомогательную плоскость , строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и в пересечении построенных линий находят общую точку двух плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью еще одной вспомогательной плоскости.

На рисунке 4.5 показано наглядное изображение линии пересечения К К 2 двух плоскостей Рн Q.

Рис. 4.5

Для наглядного изображения построения первой общей точки линии пересечения плоскостей Р и Q (рис. 4.6) введена вспомогательная плоскость S. С плоскостью Р она пересекается по линии 1-2, с плоскостью Q - по линии 3-4. В пересечении линий 1-2 и 3-4 определена первая общая точка К двух плоскостей Р и Q - первая точка линии их пересечения.

Аналогично вводят новую секущую плоскость и строят вторую точку линии пересечения.

Частный случай построения линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая. В этом случае построение линии пересечения упрощается тем, что одна ее проекция совпадает с проекцией проецирующей плоскости на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна.

В качестве примера на рисунке 4.7 показано построение проекций т"п", тп линии пересечения MN фронтально-про- ецирующей плоскости Р с плоскостью треугольника АВС.

На фронтальной проекции в пересечении проекций а"Ь" и а’с" со следом Р и находим фронтальные проекции т" и п" двух общих точек заданных плоскостей. По ним построены горизонтальные проекции т и п на горизонтальных проекциях ab и ас сторон треугольника. Через точки тип проводим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей. При взгляде по стрелке S по фронтальной проекции очевидно, что часть треугольника левее линии пересечения MN (т"п") находится над плоскостью Р, т. е. видима, остальная часть - под плоскостью Р, т. е. невидима (участок mbcn показан штриховой линией).

Другой пример построения линии пересечения двух треугольных пластин АВС и DEF, одна из которых (DEF) задана как горизонтально-проецирующая плоскость, приведен на

Рис. 4.8

рисунке 4.8. На горизонтальной проекции в пересечении горизонтальных проекций ab и Ас сторон ААВС с проекцией dfe второго треугольника находим горизонтальные проекции тип точек их пересечения. По ним на фронтальных проекциях сторон а"Ь" и Ь"с" строим фронтальные проекции т’ и п" точек линии пересечения MN. На фронтальной проекции отмечаем видимость частей треугольников, руководствуясь следующим: при взгляде по стрелке S по горизонтальной проекции очевидно, что сторона АС находится перед плоскостью треугольника DEF.

Следовательно, сторона АС и ограничиваемая ею часть треугольника АВС до линии пересечения MN видимы (т. е. видима фронтальная проекция четырехугольника а"с"п"т"). Видимая часть фронтальной проекции Л DEF на чертеже оттенена.

Построение линии пересечения плоскостей общего положения. На рисунке 4.9 приведено построение проекций т"п", /иллинии пересечения двух плоскостей, одна из которых задана проекциями а’Ь’, b"c", ab, Ьс двух пересекающихся прямых, другая - проекциями d"e", f’g’, de, fg двух параллельных прямых.

В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами R, и T v .

Плоскость R пересекает первую заданную плоскость по прямой 1-2 , вторую - по прямой 3-4. По фронтальным проекциям /", 2" и 3", 4’ находим с помощью линий связи горизонтальные проекции !, 2 и 3, 4 на горизонтальных проекциях ab, Ьс, de, fg прямых. Через них проводим горизонтальные проекции линий 1-2 и 3-4 линий пересечения. Отмечаем точку т - горизонтальную проекцию общей точки М трех плоскостей - двух заданных и вспомогательной R. По ней определяем фронтальную проекцию т" на фронтальном следе Л„ вспомогательной плоскости.

Вспомогательные плоскости Т и R параллельны. Линии их пересечения с заданными плоскостями также параллельны. Поэтому горизонтальные проекции линий пересечения плоскости Т с заданными плоскостями проведены через проекцию Ь параллельно проекции 1-2 и через проекцию 5 параллельно проекции 3-4. В их пересечении найдена горизонтальная проекция я второй общей точки трех плоскостей, т. е. линии пересечения двух заданных плоскостей. По ней на фронтальном следе Т„ вспомогательной плоскости построена фронтальная проекция я". Через построенные проекции яГ, я" и т, я проводим фронтальную и горизонтальную проекции искомой линии пересечения MN.