ГБОУ СОШ пос.Прогресс
муниципального района Хворостянский
Самарской области
Открытый урок в 8 классе «Рациональные дроби и их свойства»
(Интегрированный урок: алгебра-английский язык)
Подготовила Сукманова С.В.- учитель математики ГБОУ СОШ пос.Прогресс 2013г.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Цель урока:
Совершенствовать навыки действий с рациональными дробями;
Формировать умения выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;
Учить проводить доказательные рассуждения, используя математическую речь;
Учить умению сосредотачиваться на учебной деятельности и предупреждать ошибки по невнимательности (развивать самоконтроль);
Развивать творчество учеников.
План урока.
- Организационный момент.
- Тест.
- «Логические задачи».
- Работа в группах.
- Рефлексия.
6.Домашнее задание.
7.Итог урока.
Ход урока
- Организационный момент.
Multiplication is vexation,
Division is as bad,
The rule of three perplexes me,
And fractions drive me mad.
(Английские стихи. «Умножение есть мучение, деление – столь же противно,
Тройное правило наводит досаду, а дроби сводят с ума»)
- Тест.
Задания | Ответы |
1.Среди следующих одночленов укажите подобные: 1) x 2 ; 2) y 2 ; 3) –x 2 . | r. 1) u 2) m. 1)u 3) k. 2) u 3) |
2.Преобразуйте в многочлен(3+2а) (2а-3). | u. 4a 2 -9 h. 9-4a 2 t. 9+4a 2 |
3.Разложите на множители 25с-с 2 . | n. (5-c) (5+c) l. c(25-c) a. c(5-c) (5+c) |
4.Представьте трехчлен 2x 2 -8x+6 в виде произведения двух двучленов. | f. 2x(x-8+6) g. (x-1) (x-3) t. 2(x-1) (x-3) |
5.Найдите значение выражения 1/3 (2x+7) при х=0,4. | w. 7,8 s. 5 i. 2,6 |
6.Составьте дробь, числитель которой является произведением переменных x u y, а знаменатель – суммой их квадратов. | o. xy: (x+y) 2 p. xy: (x 2 +y 2 ) b. (x 2 +y 2 ): xy |
7.Укажите допустимые значения переменной в выражении (y-2):(y 2 -4) | i. =0 e. >0 |
- «Веселая пчелка» (Психогимнастика)
Вдох свободный. На вдохе произнести звук «з-з-з». Представим, что пчелка села на нос, руку, ногу. Упражнение учит направлять дыхание и внимание на определенный участок тела.
- Логические задачи.
1 задача
Summer 7xy:(3x-y)
Autumn
Winter
Spider (-1;3),(1;3),(0;3),(1;-3)
Ответ
1колонка: summer-лето, spider-паук, autumn- осень, winter-зима.
«Лишнее» слово – паук, т.к. все остальные – времена года. Таким образом, нужно убрать лишнее.
2 колонка: «лишняя пара»- (1;3), т.к. при х=1 и y= 3 дробь не имеет смысла.
2 задача
Telephone ______ Phone
30a 2 c 3 : (48a 5 c) _______ ?
Ответ
1 колонка: оба слова переводятся одинаково – телефон, но второе слово – сокращение от первого. Таким образом нужно сократить.
2 колонка: сократим дробь, получится 5с 2 :8а 3 .
3 задача
Переведите на английский язык и определите закономерность.
Учебный кабинет (3x+2y): (2x-3y)
Комната – класс (x-8y): (3y-2x) ?
Ответ
1 колонка: Classroom
Room_________ Class
Очевидно, что нужно отнять.
- колонка: вычтем из первой дроби вторую, получится 2.
- Работа в группах (дифференцированные задания)
Класс делится на четыре группы. Каждая группа получает карточку с заданием.
Задание 1 – ой группе.
M. При каком значении а значение дроби (а+6):6 равно 1?
Е. Найдите значение выражения (2х+0,7):3 при х=0,4.
D. Найдите значение дроби (6а 2 -3аb): (8ab-4b 2 ) при а=0,5; b=0,25.
A. Вычислите: 25:125.
R. Зная, что x+3y=8, найдите значение дроби (2x-6y):(0,25x 2 -2,25y 2 ).
(Ответ: M. 0; E. 0,5; D. 1,5; A. 0,2; R. 1. Получилось слово dream.)
Задание 2-ой группе.
Составьте слово, расставив полученные значения в порядке возрастания.
I.При каком значении х значение дроби 3х:(8-х) равно 0?
N.Найдите значение выражения (m-2):m при m=2,5.
H.Найдите значение дроби (10xy-5x 2 ): (4xy-8y 2 ) при x=0,2; y=0,25.
K.Вычислите: 64:32.
T.Зная, что a+2b=-5,найдите значение дроби (2a-4b):(0,2a 2 -0,8b 2 ).
Получилось слово think.
Задание 3- ей группе.
Составьте слово, расставив полученные значения в порядке убывания.
S.Найдите значение выражения (3p+1):4 при р=0,2.
А. Вычислите: 16 2 :8 3 .
Рациональные дроби и их свойства. 8 класс. Повторение. Новоселова Евгения Алексеевна учитель математики МКОУ «Усть-Мосихинская СОШ» .
Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью. В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби. Укажите допустимые значения переменной в выражении: ; ; ; .
Основное свойство рациональной дроби: Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь. Сократите дробь:
Произведение дробей. Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби. Представьте в виде дроби:
Деление дробей. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Выполните деление:
Возведение дроби в степень. Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй- в знаменателе дроби. Представьте в виде дроби:
Представьте в виде рациональной дроби.
Прежде всего, чтобы научиться работать с рациональными дробями без ошибок, необходимо выучить формулы сокращённого умножения. И не просто выучить — их необходимо распознавать даже тогда, когда в роли слагаемых выступают синусы, логарифмы и корни.
Однако основным инструментом остаётся разложение числителя и знаменателя рациональной дроби на множители. Этого можно добиться тремя различными способами:
- Собственно, по формула сокращённого умножения: они позволяют свернуть многочлен в один или несколько множителей;
- С помощью разложения квадратного трёхчлена на множители через дискриминант. Этот же способ позволяет убедиться, что какой-либо трёхчлен на множители вообще не раскладывается;
- Метод группировки — самый сложный инструмент, но это единственный способ, который работает, если не сработали два предыдущих.
Как вы уже, наверное, догадались из названия этого видео, мы вновь поговорим о рациональных дробях. Буквально несколько минут назад у меня закончилось занятие с одним десятиклассником, и там мы разбирали именно эти выражения. Поэтому данный урок будет предназначен именно для старшеклассников.
Наверняка у многих сейчас возникнет вопрос: «Зачем ученикам 10-11 классов изучать такие простые вещи как рациональные дроби, ведь это проходится в 8 классе?». Но в том то и беда, что большинство людей эту тему именно «проходят». Они в 10-11 классе уже не помнят, как делается умножение, деление, вычитание и сложение рациональных дробей из 8-го класса, а ведь именно на этих простых знаниях строятся дальнейшие, более сложные конструкции, как решение логарифмических, тригонометрических уравнений и многих других сложных выражений, поэтому без рациональных дробей делать в старших классах практически нечего.
Формулы для решения задач
Давайте перейдем к делу. Прежде всего, нам потребуется два факта — два комплекта формул. Прежде всего, необходимо знать формулы сокращенного умножения:
- ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — разность квадратов;
- ${{a}^{2}}\pm 2ab+{{b}^{2}}={{\left(a\pm b \right)}^{2}}$ — квадрат суммы или разности;
- ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left(a+b \right)\left({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$ — сумма кубов;
- ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left(a-b \right)\left({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)$ — разность кубов.
В чистом виде они ни в каких примерах и в реальных серьезных выражениях не встречаются. Поэтому наша задача состоит в том, чтобы научиться видеть под буквами $a$ и $b$ гораздо более сложные конструкции, например, логарифмы, корни, синусы и т.д. Научиться видеть это можно лишь при помощи постоянной практики. Именно поэтому решать рациональные дроби совершенно необходимо.
Вторая, совершенно очевидная формула — это разложение квадратного трехчлена на множители:
${{x}_{1}}$; ${{x}_{2}}$ — корни.
С теоретической частью мы разобрались. Но как решать реальные рациональные дроби, которые рассматриваются в 8 классе? Сейчас мы и потренируемся.
Задача № 1
\[\frac{27{{a}^{3}}-64{{b}^{3}}}{{{b}^{3}}-4}:\frac{9{{a}^{2}}+12ab+16{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+4b+4}\]
Давайте попробуем применить вышеописанные формулы к решению рациональных дробей. Прежде всего, хочу объяснить, зачем вообще нужно разложение на множители. Дело в том, что при первом взгляде на первую часть задания хочется сократить куб с квадратом, но делать этого категорически нельзя, потому что они являются слагаемыми в числителе и в знаменателе, но ни в коем случае не множителями.
Вообще, что такое сокращение? Сокращение — это использование основного правила работы с такими выражениями. Основное свойство дроби заключается в том, что мы можем числитель и знаменатель можем умножить на одно и то же число, отличное от «нуля». В данном случае, когда мы сокращаем, то, наоборот, делим на одно и то же число, отличное от «нуля». Однако мы должны все слагаемые, стоящие в знаменателе, разделить на одно и то же число. Делать так нельзя. И сокращать числитель со знаменателем мы вправе лишь тогда, когда оба они разложены на множители. Давайте это и сделаем.
Теперь необходимо посмотреть, сколько слагаемых находится в том или ином элементе, в соответствии с этим узнать, какую формулу необходимо использовать.
Преобразуем каждое выражение в точный куб:
Перепишем числитель:
\[{{\left(3a \right)}^{3}}-{{\left(4b \right)}^{3}}=\left(3a-4b \right)\left({{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}} \right)\]
Давайте посмотрим на знаменатель. Разложим его по формуле разности квадратов:
\[{{b}^{2}}-4={{b}^{2}}-{{2}^{2}}=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]
Теперь посмотрим на вторую часть выражения:
Числитель:
Осталось разобраться со знаменателем:
\[{{b}^{2}}+2\cdot 2b+{{2}^{2}}={{\left(b+2 \right)}^{2}}\]
Давайте перепишем всю конструкцию с учетом вышеперечисленных фактов:
\[\frac{\left(3a-4b \right)\left({{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}} \right)}{\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)}\cdot \frac{{{\left(b+2 \right)}^{2}}}{{{\left(3a \right)}^{2}}+3a\cdot 4b+{{\left(4b \right)}^{2}}}=\]
\[=\frac{\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right)}{\left(b-2 \right)}\]
Нюансы умножения рациональных дробей
Ключевой вывод из этих построений следующий:
- Далеко не каждый многочлен раскладывается на множители.
- Даже если он и раскладывается, необходимо внимательно смотреть, по какой именно формуле сокращенного умножения.
Для этого, во-первых, нужно оценить, сколько всего слагаемых (если их два, то все, что мы можем сделать, то это разложить их либо по сумме разности квадратов, либо по сумме или разности кубов; а если их три, то это, однозначно, либо квадрат суммы, либо квадрат разности). Очень часто бывает так, что или числитель, или знаменатель вообще не требует разложения на множители, он может быть линейным, либо дискриминант его будет отрицательным.
Задача № 2
\[\frac{3-6x}{2{{x}^{2}}+4x+8}\cdot \frac{2x+1}{{{x}^{2}}+4-4x}\cdot \frac{8-{{x}^{3}}}{4{{x}^{2}}-1}\]
В целом, схема решения этой задачи ничем не отличается от предыдущей — просто действий будет больше, и они станут разнообразнее.
Начнем с первой дроби: посмотрим на ее числитель и сделаем возможные преобразования:
Теперь посмотрим на знаменатель:
Со второй дробью: в числителе вообще ничего нельзя сделать, потому что это линейное выражение, и вынести из него какой-либо множитель нельзя. Посмотрим на знаменатель:
\[{{x}^{2}}-4x+4={{x}^{2}}-2\cdot 2x+{{2}^{2}}={{\left(x-2 \right)}^{2}}\]
Идем к третьей дроби. Числитель:
Разберемся со знаменателем последней дроби:
Перепишем выражение с учетом вышеописанных фактов:
\[\frac{3\left(1-2x \right)}{2\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}\cdot \frac{2x+1}{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}\cdot \frac{\left(2-x \right)\left({{2}^{2}}+2x+{{x}^{2}} \right)}{\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right)}=\]
\[=\frac{-3}{2\left(2-x \right)}=-\frac{3}{2\left(2-x \right)}=\frac{3}{2\left(x-2 \right)}\]
Нюансы решения
Как видите, далеко не все и не всегда упирается в формулы сокращенного умножения — иногда просто достаточно вынести за скобки константу или переменную. Однако бывает и обратная ситуация, когда слагаемых настолько много или они так построены, что формулы сокращенного умножения к ним вообще невозможно. В этом случае к нам на помощь приходит универсальный инструмент, а именно, метод группировки. Именно это мы сейчас и применим в следующей задаче.
Задача № 3
\[\frac{{{a}^{2}}+ab}{5a-{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-5b}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]
Разберем первую часть:
\[{{a}^{2}}+ab=a\left(a+b \right)\]
\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) \right)=\]
\[=\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)\]
Давайте перепишем исходное выражение:
\[\frac{a\left(a+b \right)}{\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)}\cdot \frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}\]
Теперь разберемся со второй скобкой:
\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+25-10a={{a}^{2}}-10a+25-{{b}^{2}}=\left({{a}^{2}}-2\cdot 5a+{{5}^{2}} \right)-{{b}^{2}}=\]
\[={{\left(a-5 \right)}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \right)\]
Так как два элемента не получилось сгруппировать, то мы сгруппировали три. Осталось разобраться лишь со знаменателем последней дроби:
\[{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]
Теперь перепишем всю нашу конструкцию:
\[\frac{a\left(a+b \right)}{\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)}\cdot \frac{\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \right)}{\left(a-b \right)\left(a+b \right)}=\frac{a\left(b-a+5 \right)}{{{\left(a-b \right)}^{2}}}\]
Задача решена, и больше ничего упростить здесь нельзя.
Нюансы решения
С группировкой мы разобрались и получили еще один очень мощный инструмент, который расширяет возможности по разложению на множители. Но проблема в том, что в реальной жизни нам никто не будет давать вот такие рафинированные примеры, где есть несколько дробей, у которых нужно лишь разложить на множитель числитель и знаменатель, а потом по возможности их сократить. Реальные выражения будут гораздо сложнее.
Скорее всего, помимо умножения и деления там будут присутствовать вычитания и сложения, всевозможные скобки — вообщем, придется учитывать порядок действий. Но самое страшное, что при вычитании и сложении дробей с разными знаменателями их придется приводить к одному общему. Для этого каждый из них нужно будет раскладывать на множители, а потом преобразовывать эти дроби: приводить подобные и многое другое. Как это сделать правильно, быстро, и при этом получить однозначно правильный ответ? Именно об этом мы и поговорим сейчас на примере следующей конструкции.
Задача № 4
\[\left({{x}^{2}}+\frac{27}{x} \right)\cdot \left(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9} \right)\]
Давайте выпишем первую дробь и попытаемся разобраться с ней отдельно:
\[{{x}^{2}}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{2}}}{1}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}}{x}+\frac{27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+27}{x}=\frac{{{x}^{3}}+{{3}^{3}}}{x}=\]
\[=\frac{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\]
Переходим ко второй. Сразу посчитаем дискриминант знаменателя:
Он на множители не раскладывается, поэтому запишем следующее:
\[\frac{1}{x+3}+\frac{1}{{{x}^{2}}-3x+9}=\frac{{{x}^{2}}-3x+9+x+3}{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\]
\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}\]
Числитель выпишем отдельно:
\[{{x}^{2}}-2x+12=0\]
Следовательно, этот многочлен на множители не раскладывается.
Максимум, что мы могли сделать и разложить, мы уже сделали.
Итого переписываем нашу исходную конструкцию и получаем:
\[\frac{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}{x}\cdot \frac{{{x}^{2}}-2x+12}{\left(x+3 \right)\left({{x}^{2}}-3x+9 \right)}=\frac{{{x}^{2}}-2x+12}{x}\]
Все, задача решена.
Если честно, это была не такая уж и сложная задача: там все легко раскладывалось на множители, быстро приводились подобные слагаемые, и все красиво сокращалось. Поэтому сейчас давайте попробуем решить задачку посерьезней.
Задача № 5
\[\left(\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{x-2} \right)\cdot \left(\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x} \right)\]
Сначала давайте разберемся с первой скобкой. С самого начала разложим на множители знаменатель второй дроби отдельно:
\[{{x}^{3}}-8={{x}^{3}}-{{2}^{3}}=\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)\]
\[\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{{{x}^{3}}-8}-\frac{1}{{{x}^{2}}}=\]
\[=\frac{x}{{{x}^{2}}+2x+4}+\frac{{{x}^{2}}+8}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}-\frac{1}{x-2}=\]
\[=\frac{x\left(x-2 \right)+{{x}^{2}}+8-\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]
\[=\frac{{{x}^{2}}-2x+{{x}^{2}}+8-{{x}^{2}}-2x-4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\]
\[=\frac{{{x}^{2}}-4x+4}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{{{\left(x-2 \right)}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left({{x}^{2}}+2x+4 \right)}=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\]
Теперь поработаем со второй дробью:
\[\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}-\frac{2}{2-x}=\frac{{{x}^{2}}+2\left(x-2 \right)}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\]
\[=\frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}\]
Возвращаемся к нашей исходной конструкции и записываем:
\[\frac{x-2}{{{x}^{2}}+2x+4}\cdot \frac{{{x}^{2}}+2x+4}{\left(x-2 \right)\left(x+2 \right)}=\frac{1}{x+2}\]
Ключевые моменты
Еще раз ключевые факты сегодняшнего видеоурока:
- Необходимо знать «назубок» формулы сокращенного умножения — и не просто знать, а уметь видеть в тех выражениях, которые будут вам встречаться в реальных задачах. Помочь нам в этом может замечательное правило: если слагаемых два, то это либо разность квадратов, либо разность или сумма кубов; если три — это может быть только квадрат суммы или разности.
- Если какая-либо конструкция не раскладывается при помощи формул сокращенного умножения, то нам на помощь приходит либо стандартная формула разложения трехчленов на множители, либо метод группировки.
- Если что-то не получается, внимательно посмотрите на исходное выражение — а требуются ли вообще какие-то преобразования с ним. Возможно, достаточно будет просто вынести множитель за скобку, а это очень часто бывает просто константа.
- В сложных выражениях, где требуется выполнить несколько действий подряд, не забывайте приводить к общему знаменателю, и лишь после этого, когда все дроби приведены к нему, обязательно приведите подобное в новом числителе, а потом новый числитель еще раз разложите на множители — возможно, что-то сократится.
Вот и все, что я хотел вам рассказать сегодня о рациональных дробях. Если что-то непонятно — на сайте еще куча видеоуроков, а также куча задач для самостоятельного решения. Поэтому оставайтесь с нами!
Глава 1.Рациональные дроби.
1.РАЦИОНАЛЬНАЛЬНЫЕ ДРОБИ И ИХ СВОЙСТВА.
Рациональные выражения.
1.Какие выражения называют дробными выражениями? (Ответ:Если в выражении с переменными, кроме операций сложения, умножения, вычитания и возведения в натуральную степень, производится и операция деления на переменную, то такие выражения называются дробными выражениями.)
2.Какие выражения называют рациональными выражениями?(Ответ: Целые и дробные выражения).
3.Что такое допустимое значение переменных?(Ответ: Значение переменных, при которых выражение имеет смысл).
4.Что называют рациональной дробью?(Ответ: Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены).
Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
1.Что означает нулевой многочлен?(Ответ: Многочлен не равный тождественно нулю.)
2.Основное свойство рациональной дроби.(Ответ: Если числитель и знаменатель рациональной дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.)
3.Что называют тождеством?(Ответ: Тождеством называются равенство, верное при всех допустимых значениях, входящих в него переменных.)
4.Как получить выражение тождественно равное данному?(Ответ: Если изменить знак числителя или знак знаменателя дроби и знак перед дробью.)
2.СУММА И РАЗНОСТЬ ДРОБЕЙ.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
1.Как сложить дроби с одинаковыми знаменателями? (Ответ:Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.)
2.Как выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями? (Ответ: Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть чиститель второй дроби, а знаменатель осиавить тем же.)
3.Как сложить или вычесть дроби с разными знаменателями? (Ответ: Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.)
3.ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСНОЕ ДРОБЕЙ.
Умножение дробей. Возведение дроби в степень.
1.Как умножить дробь на дробь?(Ответ: Чтобы умножить дробь на дробь,нужно перемножить их числитель и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе- знаменателемдроби.)
2.Как возвести дробь в степень?(Ответ: Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числители, а второй- в знаменателе дроби.)
ДЕЛЕНИЕ ДРОБй.
1.Что нужно сделать чтобы разделить одну дробь на другую?(Ответ: Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, взаимообратную второй.)
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ.
1.Что такое рациональное выражение?(Ответ: это любое выражение, составленное из чисел, буквенных переменных, арифметических операций и возведения в степень.)
2.Что означает упрощение рациональных выражений?(Ответ:
это применение
тождественных преобразований, с целью упростить запись выражения
(сделать его короче и удобнее для дальнейшей работы).
Функция и ее формула.
1.Что называют обратными пропорциональностями?(Ответ: Обра́тная пропорциона́льность – называется функция, которую можно задать формулой вида).
Из курса алгебры школьной программы переходим к конкретике. В этой статье мы подробно изучим особый вид рациональных выражений – рациональные дроби , а также разберем, какие характерные тождественные преобразования рациональных дробей имеют место.
Сразу отметим, что рациональные дроби в том смысле, в котором мы их определим ниже, в некоторых учебниках алгебры называют алгебраическими дробями. То есть, в этой статье мы под рациональными и алгебраическими дробями будем понимать одно и то же.
По обыкновению начнем с определения и примеров. Дальше поговорим про приведение рациональной дроби к новому знаменателю и о перемене знаков у членов дроби. После этого разберем, как выполняется сокращение дробей. Наконец, остановимся на представлении рациональной дроби в виде суммы нескольких дробей. Всю информацию будем снабжать примерами с подробными описаниями решений.
Навигация по странице.
Определение и примеры рациональных дробей
Рациональные дроби изучаются на уроках алгебры в 8 классе. Мы будем использовать определение рациональной дроби, которое дается в учебнике алгебры для 8 классов Ю. Н. Макарычева и др.
В данном определении не уточняется, должны ли многочлены в числителе и знаменателе рациональной дроби быть многочленами стандартного вида или нет. Поэтому, будем считать, что в записях рациональных дробей могут содержаться как многочлены стандартного вида, так и не стандартного.
Приведем несколько примеров рациональных дробей
. Так , x/8
и 
- рациональные дроби. А дроби 
и не подходят под озвученное определение рациональной дроби, так как в первой из них в числителе стоит не многочлен, а во второй и в числителе и в знаменателе находятся выражения, не являющиеся многочленами.
Преобразование числителя и знаменателя рациональной дроби
Числитель и знаменатель любой дроби представляют собой самодостаточные математические выражения, в случае рациональных дробей – это многочлены, в частном случае – одночлены и числа. Поэтому, с числителем и знаменателем рациональной дроби, как и с любым выражением, можно проводить тождественные преобразования. Иными словами, выражение в числителе рациональной дроби можно заменять тождественно равным ему выражением, как и знаменатель.
В числителе и знаменателе рациональной дроби можно выполнять тождественные преобразования . Например, в числителе можно провести группировку и приведение подобных слагаемых, а в знаменателе – произведение нескольких чисел заменить его значением. А так как числитель и знаменатель рациональной дроби есть многочлены, то с ними можно выполнять и характерные для многочленов преобразования, например, приведение к стандартному виду или представление в виде произведения.
Для наглядности рассмотрим решения нескольких примеров.
Пример.
Преобразуйте рациональную дробь 
так, чтобы в числителе оказался многочлен стандартного вида, а в знаменателе – произведение многочленов.
Решение.
Приведение рациональных дробей к новому знаменателю в основном применяется при сложении и вычитании рациональных дробей .
Изменение знаков перед дробью, а также в ее числителе и знаменателе
Основное свойство дроби можно использовать для смены знаков у членов дроби. Действительно, умножение числителя и знаменателя рациональной дроби на -1 равносильно смене их знаков, а в результате получится дробь, тождественно равная данной. К такому преобразованию приходится достаточно часто обращаться при работе с рациональными дробями.
Таким образом, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя дроби, то получится дробь, равная исходной. Этому утверждению отвечает равенство .
Приведем пример. Рациональную дробь можно заменить тождественно равной ей дробью с измененными знаками числителя и знаменателя вида .
С дробями можно провести еще одно тождественное преобразование, при котором меняется знак либо в числителе, либо в знаменателе. Озвучим соответствующее правило. Если заменить знак дроби вместе со знаком числителя или знаменателя, то получится дробь, тождественно равная исходной. Записанному утверждению соответствуют равенства и .
Доказать эти равенства не составляет труда. В основе доказательства лежат свойства умножения чисел. Докажем первое из них: . С помощью аналогичных преобразований доказывается и равенство .
Например, дробь можно заменить выражением или .
В заключение этого пункта приведем еще два полезных равенства и . То есть, если изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то дробь изменит свой знак. Например, 
и 
.
Рассмотренные преобразования, позволяющие изменять знак у членов дроби, часто применяются при преобразовании дробно рациональных выражений.
Сокращение рациональных дробей
В основе следующего преобразования рациональных дробей, имеющего название сокращение рациональных дробей, лежит все тоже основное свойство дроби. Этому преобразованию соответствует равенство , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c - ненулевые.
Из приведенного равенства становится понятно, что сокращение рациональной дроби подразумевает избавление от общего множителя в ее числителе и знаменателе.
Пример.
Сократите рациональную дробь .
Решение.
Сразу виден общий множитель 2
, выполним сокращение на него (при записи общие множители, на которые сокращают, удобно зачеркивать). Имеем 
. Так как x 2 =x·x
и y 7 =y 3 ·y 4
(при необходимости смотрите ), то понятно, что x
является общим множителем числителя и знаменателя полученной дроби, как и y 3
. Проведем сокращение на эти множители: 
. На этом сокращение завершено.
Выше мы выполняли сокращение рациональной дроби последовательно. А можно было выполнить сокращение в один шаг, сразу сократив дробь на 2·x·y 3
. В этом случае решение выглядело бы так: 
.
Ответ:
.
При сокращении рациональных дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель рациональной дроби разложить на множители. Если общего множителя нет, то исходная рациональная дробь не нуждается в сокращении, в противном случае – проводится сокращение.
В процессе сокращения рациональных дробей могут возникать различные нюансы. Основные тонкости на примерах и в деталях разобраны в статье сокращение алгебраических дробей .
Завершая разговор о сокращении рациональных дробей, отметим, что это преобразование является тождественным, а основная сложность в его проведении заключается в разложении на множители многочленов в числителе и знаменателе.
Представление рациональной дроби в виде суммы дробей
Достаточно специфическим, но в некоторых случаях очень полезным, оказывается преобразование рациональной дроби, заключающееся в ее представлении в виде суммы нескольких дробей, либо сумме целого выражения и дроби.
Рациональную дробь, в числителе которой находится многочлен, представляющий собой сумму нескольких одночленов, всегда можно записать как сумму дробей с одинаковыми знаменателями, в числителях которых находятся соответствующие одночлены. Например, 
. Такое представление объясняется правилом сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями .
Вообще, любую рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей множеством различных способов. Например, дробь a/b
можно представить как сумму двух дробей – произвольной дроби c/d
и дроби, равной разности дробей a/b
и c/d
. Это утверждение справедливо, так как имеет место равенство 
. К примеру, рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей различными способами:
Представим исходную дробь в виде суммы целого выражения и дроби. Выполнив деление числителя на знаменатель столбиком, мы получим равенство 
. Значение выражение n 3 +4
при любом целом n
является целым числом. А значение дроби является целым числом тогда и только тогда, когда ее знаменатель равен 1
, −1
, 3
или −3
. Этим значениям отвечают значения n=3
, n=1
, n=5
и n=−1
соответственно.
Ответ:
−1 , 1 , 3 , 5 .
Список литературы.
- Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 13-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2009. - 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
- Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.
