2.1. Выбор математического аппарата теории надежности

Сделанное выше определение надежности явно недоста­точно, так как оно носит лишь качественный характер и не позволяет решать различные инженерные задачи в процессе проектирования, изготовления, испытания и эксплуатации авиационной техники. В частности, оно не позволяет решать такие важные задачи, как, например:

Оценивать надежность (безотказность, восстанавливае­мость, сохраняемость, готовность и долговечность) существую­щих и создающихся новых конструкций;

Сравнивать надежность разнотипных элементов и си­стем;

Оценивать эффективность восстановления неисправных самолетов;

Обосновывать планы ремонта и состав запасных частей, потребных для обеспечения планов летной работы;

Определять объем, периодичность, стоимость выполне­ния подготовок к полету, регламентных работ и всего комп­лекса технического обслуживания;

Определять затраты времени, снл и средств, потребные для восстановления неисправных технических устройств.

Трудность определения количественных характеристик на­дежности вытекает из самой природы отказов, каждый из ко­торых является результатом совпадения ряда неблагоприят­ных факторов, таких, как, например, перегрузки, местные отклонения от расчетных режимов работы элементов и си­стем, изъяны материалов, изменение внешних условий и др., обладающих причинными связями разной степени и разной природы, вызывающих внезапные концентрации нагрузок, пре­вышающих расчетную нагрузку.

Отказы авиационной техники зависят от многих причин, in поддающихся предварительной оценке с точки зрения их чычимости как первостепенные или второстепенные. Это по — чюляет рассматривать число отказов и время их появления 1 качестве случайных величин, т. е. величин, которые в зави — пмости от случая могут принимать различные значения, при — м ыранее неизвестно какие именно.

Установление количественных зависимостей классически — III методами при такой сложной ситуации практически не — 1к 11 можно, так как многочисленные второстепенные случай­ные факторы играют такую заметную роль, что выделить пер­вое м’пенные, главные факторы из множества других нельзя. Кроме того, применение только классических методов ис — ’ ледования, основанных на рассмотрении вместо явления его прощенной и идеализированной модели, построенной на учете. ишь главных факторов и пренебрежении второстепенными, всегда дает верный результат.

Полому для изучения таких явлений в настоящее время при достигнутом уровне развития науки и техники лучшим обрн юм могут быть использованы теория вероятностей и ма — | емн і нческая статистика - науки, изучающие закономернос — III в случайных явлениях и в некоторых случаях хорошо до — IIі>’111)110111110 классические методы.

К цоегоннетнам этих методов следует отнести следующие і рн обе юя гельегна:

І) сіаіін’іірнч’кііе методы, не раскрывая индивидуальных її и причин пі лглыюго отказа, устанавливают вместо

……… і. і рvniiiiiHи о pc iyиі. і.іга массовой эксплуатации с

Mill…………. (ІКНІМО (игрой І носімо) в УСЛОВИЯХ

" in in hi і " її і ими ‘іпм і причин;

‘ І "і ими) ні і ii’ii kii методов полученные резуль-

1 » ……… і і ими поиски м подои соответствуют всему

1 .. пік» pcarn. in. iK уїловин эксплуатации, а не той или мі шріїїНініїоїі и сильно упрощенной схеме; м І..І основании массовых наблюдений за появлением от­ит і і. июни і ся возможным выявить общие закономерности, инженерный анализ которых открывает путь для повышения ПНДІ кносш авиационной техники в процессе ее создания и но иержанни на заданном уровне в процессе эксплуатации.

Указанные достоинства этого математического аппарата делают его пока единственно приемлемым для исследования допросов надежности авиационной техники. Вместе с тем, в практике следует учитывать специфические ограничения, при­зі

сущие статистическим методам, которые не могут дать ответа на вопрос, будет ли данное техническое устройство функциони­ровать безотказно на протяжении интересующего нас периода или нет. Эти методы дают возможность только определить ве­роятность безотказной работы того или иного экземпляра авиационной техники и оценить риск того, что за интересую­щий нас период эксплуатации произойдет отказ.

Выводы, полученные статистическим путем, всегда опира­ются на прошлый опыт эксплуатации авиационной техники, а поэтому оценка будущих отказов будет строгой лишь при до­статочно точном совпадении всего комплекса условий эксплу­атации (режимы работы, условия хранения).

Для анализа и оценки восстанавливаемости и готовности авиационной техники к полету также применяют эти мето­ды, используя закономерности теории массового обслужива­ния и особенно некоторые разделы теории восстановления.

Определение. Теория вероятностей – это наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Определение. Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном испытании протекает каждый раз по-разному.

Определение. Опыт – деятельность человека или процесс, испытания.

Определение. Событие – результат опыта.

Определение. Предметом теории вероятностей являются случайные явления и специфические закономерности массовых случайных явлений.

Классификация событий:

1. Событие называется достоверным , если в результате опыта оно обязательно произойдет.

Пример. Школьный урок обязательно закончится.

1. Событие называется невозможным , если при заданных условиях оно никогда не произойдет.

Пример. Если в цепи нет электрического тока, лампа не загорится.

1. Событие называется случайным или невозможным , если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Пример. Событие – сдать экзамен.

1. Событие называется равновозможным , если условия появления одинаковые и нет основания утверждать, что в результате опыта одно из них имеет шанс появиться больше, чем другое.

Пример. Выпадение герба или решки при броске монеты.

1. События называются совместными , если появление одного из них не исключает возможностей появления другого.

Пример. При выстреле, промах и перелет – события совместные.

1. Событие называется несовместным , если появление одного из них исключает возможность появления другого.

Пример. При одном выстреле попадание и промах – события не совместные.

1. Два несовместных события называются противоположными , если в результате опыта одно из них обязательно произойдет.

Пример. При сдаче экзамена, события «сдал экзамен» и «не сдал экзамен», называются противоположными.

Обозначение: - нормальное событие, - противоположное событие.

1. Несколько событий образуют полную группу несовместных событий , если в результате опыта наступит только одно из них.

Пример. При сдаче экзамена возможно: «не сдал экзамен», «сдал на «3»», «сдал на «4»», - полная группа несовместных событий.

Правила суммы и произведения.

Определение. Суммой двух произведений a и b называют событие c , которое состоит в появлении события a или события b или обоих одновременно.

Сумму событий называют объединением событий (появление хотя бы одного из событий).

Если в задаче по смыслу очевидно, что должно появиться a ИЛИ b , то говорят, что находят сумму.

Определение. Произведением событий a и b называют событие c , которое состоит в одновременном появлении событий a и b .

Произведением называют пересечение двух событий.

Если в задаче говорят, что находят a И b , значит находят произведение.

Пример. При двух выстрелах:

1. если необходимо найти попадание хотя бы один раз, то находят сумму.
2. если необходимо найти попадание два раза, то находят произведение.

Вероятность. Свойство вероятности.

Определение. Частотой некоторого события называют число равное отношению числа опытов, в котором событие появилось к числу всех произведенных опытов.

Обозначение: r() – частота события .

Пример. Подбрасывая монету 15 раз, и при этом герб выпадет 10 раз, тогда частота появления герба: r()=.

Определение. При бесконечно большом количестве опытов, частота события становится равна вероятности события.

Определение классической вероятности . Вероятностью события называют отношение числа благоприятствующих появлению этого события случаев к числу всех единственно возможных и равновозможных случаев.

Обозначение: , где P – вероятность,

m – число случаев благоприятствующих появлению события .

n – общее число единственно возможных и равновозможных случаев.

Пример . В соревнованиях по бегу принимают участие 60 студентов ЧИЭПа. Каждый имеет номер. Найти вероятность того, что номер студента, выигравшего забег не содержит цифры 5.

Свойства вероятности:

1. значение вероятности не отрицательное и заключено между значениями 0 и 1.
2. вероятность равна 0, тогда и только тогда, когда это вероятность невозможного события.
3. вероятность равна 1, тогда и только тогда, когда это вероятность достоверного события.
4. вероятность одного и того же события неизменно, не зависит от количества проведенных опытов и меняется только тогда, когда изменятся условия проведения опыта.

Определение геометрической вероятности . Геометрической вероятностью называют отношение части области, попадание в которой выбранной точки необходимо найти во всей области, попадание в которой в данной точке равновозможно.

Область может быть мерой площади длины или объема.

Пример. Найти вероятность попадания некоторой точки на участок длиной 10 км, если необходимо, чтобы она попала вблизи концов отрезка, не далее, чем на 1 км от каждого.

Замечание.

Если меры области s и S имеют разные единицы измерения по условию задачи, то для решения необходимо s и S придать единую размерность.

Соединение. Элементы комбинаторики.

Определение. Объединения элементов различных групп, отличающиеся порядком элементов или хотя бы одним элементом называют соединениями.

Соединения бывают:

Размещение

Сочетание

Перестановки

Определение. Размещениями из n – элементов по m раз, называют соединение, отличающееся друг от друга, хотя бы одним элементом и порядком расположения элементов.

Определение. Сочетаниями из n элементов по m, называется соединение, состоящее из одних и тех же элементов, отличающиеся хотя бы одним элементом.

Определение. Перестановками из n элементов, называют соединения, состоящие из одних и тех же элементов, отличающееся друг от друга только порядком расположения элементов.

Пример.

1) сколькими способами можно составить автоколонну из 5 автомобилей.

2) сколькими способами можно назначить в классе 3х дежурных, если всего человек в классе 25.

Так как порядок элементов не важен и группы соединений отличаются количеством элементов, то вычислим число сочетаний из 25 элементов по 3.

способов.

3) Сколькими способами из цифр 1,2,3,4,5,6 можно составить 4х значное число. Следовательно, т.к. соединения отличаются порядком расположения и хотя бы одним элементом, то вычислим размещение из 6 элементов по 4.

Пример на использование элементов комбинаторики, на вычисление вероятности.

В партии из n изделий – m – бракованных. Произвольным образом выбираем l-изделий. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно k – браков.

Пример.

В магазин на склад привезли 10 холодильников из них 4- 3хкамерных, остальные – 2хкамерные.

Найти вероятность того, что среди выбранных произвольным образом 5 холмов – 3 будут 3хкамекрными.

Основные теоремы теории вероятностей.

Теорема 1.

Вероятность суммы 2х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие.

1) если событие образует полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1.

2) сумма вероятностей 2х противоположных событий равна 1.

Теорема 2.

Вероятность произведения 2х независимых событий равна произведению их вероятностей.

Определение. Событие A называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того произойдет событие В или нет.

Определение. 2 события называются независимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от появления или не появления второго.

Определение. Вероятность события В вычисленное при условии, что событие А имело место, называют условной вероятностью.

Теорема 3.

Вероятность произведения 2х независимых событий равна вероятности появления одного события на условную вероятность второго при том, что первое событие произошло.

Пример.

В библиотеке имеется 12 учебников по математике. Из них, 2 учебника по элементарной математике, 5 – по теории вероятностей, остальные – по высшей математике. Выбираем произвольным образом 2 учебника. Найти вероятность того, что они оба поп элементарной математике.

Теорема 4. Вероятность появления события хотя бы 1 раз.

Вероятность появления хотя бы одного из событий, образующих полную группу несовместных событий равно разности между первым и произведением вероятностей противоположных данным событий.

Пусть тогда

Следствие.

Если вероятность появления каждого из события , одинакова и равна p, тогда вероятность того, что появится хотя бы одно из данных событий, равно

N – количество произведенных опытов.

Пример.

Производят 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания при первом выстреле 0,7 , при втором – 0,8 , при третьем – 0,9. найти вероятность того, что при трех независимых выстрелах в мишень будет:

А) 0 попаданий;

Б) 1 попадание;

В) 2 попадания;

Г) 3 попадания;

Д) хотя бы одно попадание.

Теорема 5. Формула полной вероятности.

Пусть событие А может появиться совместно с одной из гипотез , тогда вероятность того, что событие А произошло, находят по формуле:

и . Приводим к общему знаменателю.

Т.о. выиграть одну партию из 2х у равносильного противника вероятнее, чем выиграть 2 партии из 4х.

2.1. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты

2.2. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность

2.3. Геометрические вероятности

2.4. Теорема сложения вероятностей

2.5. Полная группа событий

2.6. Противоположные события

2.7. Принцип практической невозможности маловероятных событий

2.8. Произведение событий. Условная вероятность

2.9. Теорема умножения вероятностей

2.10. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

2.10. Вероятность появления хотя бы одного события

Лекция №3 следствия теорем сложения и умножения

3.1. Теорема сложения вероятностей совместных событий

3.2. Формула полной вероятности

3.3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

4. Повторение испытаний

4.1. Формула Бернулли

4.2. Предельные теоремы в схеме Бернулли

4.3. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

4.3. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

5. Случайные величины

5.1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины

5.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения

5.3. Биномиальное распределение

5.4. Распределение Пуассона

5.5. Геометрическое распределение

5.6. Гипергеометрическое распределение

6. Математическое ожидание дискретной случайной величины

6.1. Числовые характеристики дискретных случайных величин

6.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

6.3. Вероятностный смысл математического ожидания

6.4. Свойства математического ожидания

6.5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях

7. Дисперсия дискретной случайной величины

7.1. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины

7.2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания

7.3. Дисперсия дискретной случайной величины

7.4. Формула для вычисления дисперсии

7.5. Свойства дисперсии

7.6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

7.7. Среднее квадратическое отклонение

7.8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

7.9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

7.10. Начальные и центральные теоретические моменты

8. Закон больших чисел

8.1. Предварительные замечания

8.2. Неравенство Чебышева

8.3. Теорема Чебышева

8.4. Сущность теоремы Чебышева

8.5. Значение теоремы Чебышева для практики

8.6. Теорема Бернулли

Функция распределения вероятностей случайной величины

9.1. Определение функции распределения

9.2. Свойства функции распределения

9.3. График функции распределения

10. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

10.1. Определение плотности распределения

10.2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

10.3. Закон равномерного распределения вероятностей

11. Нормальное распределение

11.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

11.2. Нормальное распределение

11.3. Нормальная кривая

11.4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой

11.5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

11.6. Вычисление вероятности заданного отклонения

11.7. Правило трех сигм

11.8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы

11.9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс

11.10. Функция одного случайного аргумента и ее распределение

11.11. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента

11.12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения

11.13. Распределение «хи квадрат»

11.14. Распределение Стьюдента

11.15. Распределение f Фишера – Снедекора

12. Показательное распределение

12.1. Определение показательного распределения

12.2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины

§ 3. Числовые характеристики показательного распределения

12.4. Функция надежности

12.5. Показательный закон надежности

12.6. Характеристическое свойство показательного закона надежности

1.2. Области применения теории вероятностей

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники:

 в теории надежности,

 теории массового обслуживания,

 теоретической физике,

 геодезии,

 астрономии,

 теории стрельбы,

 теории ошибок наблюдений,

 теории автоматического управления,

 общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках.

Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.

В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

1.3. Краткая историческая справка

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI-XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654 – 1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева (1821 – 1894) и его учеников А.А.Маркова (1856 – 1922) и А.М. Ляпунова (1857 – 1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Н. В. Смирнов и др.).

1.4. Испытания и события. Виды событий

Основными понятиями теории вероятностей являются понятие элементарного события и понятие пространства элементарных событий. Выше событие названо случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий S оно может либо произойти, либо не произойти. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «совокупность условий S осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание». Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.

Определение. Случайным событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта.

При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. То есть в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.

Определение. Пространством элементарных исходов Ω называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой ω («омега»).

Тогда событиями называют подмножества множества Ω. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие A Ω, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество A.

Будем для простоты считать, что число элементарных событий конечно. Подмножество пространства элементарных событий называют случайным событием. Это событие в результате испытания может произойти или не произойти (выпадение трех очков при бросании игральной кости, звонок в данную минуту по телефону и т. д.).

Пример 1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел – это испытание. Попадание в определенную область мишени – событие.

Пример 2. В урне имеются цветные шары. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие.

В математической модели можно принять понятие события как первоначальное, которому не дается определения и которое характеризуется лишь своими свойствами. Исходя из реального смысла понятия события, можно определить различные виды событий.

Определение. Случайное событие называют достоверным , если оно заведомо произойдет (выпадение от одного до шести очков при бросании кости), и невозможным , если оно заведомо не может произойти в результате опыта (выпадение семи очков при бросании кости). При этом достоверное событие содержит все точки пространства элементарных событий, а невозможное событие не содержит ни одной точки этого пространства.

Определение. Два случайных события называют несовместными , если они не могут произойти одновременно при одном и том же исходе испытания. И вообще любое количество событий называются несовместными , если появление одного из них исключает появление других.

Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте).

Другой пример – из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» – несовместные.

Определение. Несколько событий образуют полную группу , если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет наибольший интерес, поскольку используется далее.

Пример. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

Пример. Если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение. События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты – равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Пример. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события. Действительно, предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.

В приведенном выше примере с шарами появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

Математика — царица всех наук, часто ставится под суд молодыми людьми. Выдвигаем тезис «Математика — бесполезна». И опровергаем на примере одной из самых интересных загадочных и интересных теорий. Как теория вероятности помогает в жизни , спасает мир, какие технологии и достижения основываются на этих, казалось бы, нематериальных и далеких от жизни формул и сложных вычислений.

История теории вероятности

Теория вероятности — область математики, изучающая случайные события, и, естественно, их вероятность. Зародилась такого рода математика вовсе не в скучных серых кабинетах, а… игральных залах. Первые подходы к оценке вероятности того или иного события были популярны еще в Средневековье среди «гамлеров» того времени. Однако тогда они имели лишь эмпирическое исследование (то есть оценка на практике, методом эксперимента). Нельзя причислить авторство теории вероятности определенному человеку, так как работали над ней множество знаменитых людей, каждый из которых вложил свою толику.

Первыми из таких людей стали Паскаль и Ферма. Они изучали теорию вероятности на статистике игры в кости. Она открыли первейшие закономерности. Х. Гюйгенс проделал схожую работу на 20 лет раньше, но теоремы не были сформулированы точно. Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли, Лаплас, Пуасон и многие другие.

Пьер Ферма

Теория вероятности в жизни

Я вас удивлю: мы все в той или иной мере используем теорию вероятности, на основе анализе произошедших в нашей жизни событий. Мы знаем, что смерть во время автомобильной аварии боле вероятна, чем от удара молнии, потому что первое, к сожалению, происходит очень часто. Так или иначе мы обращаем на вероятность вещей внимание, чтобы спрогнозировать свое поведение. Но вот обида, к сожалению, не всегда человек может точно определить вероятность тех или иных событий.

Например, не зная статистики, большинство людей склонны думать, что шанс погибнуть в авиакатастрофе больше, чем в автомобильной аварии. Теперь же мы знаем, изучив факты (о которых, думаю, многие наслышаны), что это совсем не так. Дело в том, что наш жизненный «глазомер» иногда дает сбой, потому что авиатранспорт кажется значительно страшнее людям, привыкшим твердо ходить по земле. Да и большинство людей не так часто используют этот вид транспорта. Даже если мы и может оценить вероятность события верно, то, скорее всего, крайне неточно, что не будет иметь никакого смысла, скажем, в космической инженерии, где миллионные доли решают многое. А когда нам нужна точность, то мы обращаемся к кому? Конечно же, к математике.

Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Выпуская на рынок определенный товар, грамотный предприниматель наверняка учтет риски, а также вероятности покупки в том или рынке, стране и т.д. Практически не представляют свою жизнь без теории вероятности брокеры на мировых рынках. Предсказывание денежного курса (в котором точно не обойтись без теории вероятности) на денежных опционах или знаменитейшем рынке Forex дает возможность зарабатывать на данной теории серьезные деньги.

Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи километров от Земли. Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны — все это можно выразить в процентах. А главное, предпринимать соответствующие контрдействия исходя из полученных данных.

Мне посчастливилось попасть на математическую научную конференцию моего города, где одна из работ-победительниц говорила о практической значимости теории вероятности в жизни . Вам наверняка, как и всем людям, не нравится стоять подолгу в очередях. Данная работа доказывала, как может ускориться процесс покупки, если использовать теорию вероятности расчета людей в очереди и регулирование деятельности (открытие касс, увеличение продавцов и т.п.). К сожалению, сейчас большинство даже крупных сетей игнорирует этот факт и полагается лишь на собственные наглядные расчеты.

Любую деятельность любой сферы можно проанализировать, использую статистику, рассчитать благодаря теории вероятности и заметно улучшить.