Продольная волна – это волна, при распространении которой смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны (рис.1, а).
Причиной возникновения продольной волны является деформация сжатия/растяжения, т.е. сопротивление среды изменению ее объема. В жидкостях или газах такая деформация сопровождается разрежением или уплотнением частиц среды. Продольные волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных.
Примерами продольных волн являются волны в упругом стержне или звуковые волны в газах.
Поперечная волна – это волна, при распространении которой смещение частиц среды происходит в направлении, перпендикулярном распространению волны (рис.1,б).
Причиной поперечной волны является деформация сдвига одного слоя среды относительно другого. При распространении поперечной волны в среде образуются гребни и впадины. Жидкости и газы, в отличие от твердых тел, не обладают упругостью по отношению к сдвигу слоев, т.е. не оказывают сопротивления изменению формы. Поэтому поперечные волны могут распространяться только в твердых телах.
Примерами поперечных волн могут служить волны, бегущие по натянутой веревке или по струне.
Волны на поверхности жидкости не являются ни продольными, ни поперечными. Если бросить на поверхность воды поплавок, то можно увидеть, что он движется, покачиваясь на волнах, по круговой траектории. Таким образом, волна на поверхности жидкости имеет как поперечную, так и продольную компоненты. На поверхности жидкости также могут возникать волны особого типа – так называемые поверхностные волны . Они возникают в результате действия силы тяжести и силы поверхностного натяжения.
Рис.1. Продольные (а) и поперечные (б) механические волны
Вопрос 30
Длина волны.
Каждая волна распространяется с какой-то скоростью. Подскоростью волны понимают скорость распространения возмущения. Например, удар по торцу стального стержня вызывает в нем местное сжатие, которое затем распространяется вдоль стержня со скоростью около 5 км/с.
Скорость волны определяется свойствами среды, в которой эта волна распространяется . При переходе волны из одной среды в другую ее скорость изменяется.
Помимо скорости, важной характеристикой волны является длина волны. Длиной волны называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний в ней.
Поскольку скорость волны - величина постоянная (для данной среды), то пройденное волной расстояние равно произведению скорости на время ее распространения. Таким образом, чтобы найти длину волны, надо скорость волны умножить на период колебаний в ней :
v - скорость волны; T - период колебаний в волне; λ (греческая буква «ламбда») - длина волны.
Выбрав направление распространения волны за направление оси x и обозначив через y координату колеблющихся в волне частиц, можно построить график волны . График синусоидальной волны (при фиксированном времени t) изображен на рисунке 45. Расстояние между соседними гребнями (или впадинами) на этом графике совпадает с длиной волны λ.
Формула (22.1) выражает связь длины волны с ее скоростью и периодом. Учитывая, что период колебаний в волне обратно пропорционален частоте, т. е. T = 1/ν, можно получить формулу, выражающую связь длины волны с ее скоростью и частотой:
Полученная формула показывает, что скорость волны равна произведению длины волны на частоту колебаний в ней .
Частота колебаний в волне совпадает с частотой колебаний источника (так как колебания частиц среды являются вынужденными) и не зависит от свойств среды, в которой распространяется волна. При переходе волны из одной среды в другую ее частота не изменяется, меняются лишь скорость и длина волны .
Вопрос 30.1
Уравнение волн
Для получения уравнения волны, то есть аналитического выражения функции двух переменных S = f (t, x) , представим что, в некоторой точке пространства возникают гармонические колебания с круговой частотой w и начальной фазой, для упрощения равной нулю (см. рис.8). Смещение в точке М : S м = A sin w t , где А - амплитуда. Поскольку частицы среды, заполняющие пространство, связаны между собой, то колебания от точки М распространяются вдоль оси х со скоростью v . Через некоторое время Dt они достигают точки N . Если в среде отсутсвует затухание, то смещение в этой точке имеет вид: S N = A sin w (t - Dt) , т.е. колебания запаздывают на время Dt относительно точки M . Поскольку , то заменив произвольный отрезок MN координатой х , получим уравнение волны в виде.
Различают продольные и поперечные волны. Волна называется поперечной , если частицы среды совершают колебания в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны (рис. 15.3). Поперечная волна распространяется, например, вдоль натянутого горизонтального резинового шнура, один из концов которого закреплен, а другой приведен в вертикальное колебательное движение.
Волна называется продольной, если частицы среды совершают колебания в направлении распространения волны (рис. 15.5).
Продольную волну можно наблюдать на длинной мягкой пружине большого диаметра. Ударив по одному из концов пружины, можно заметить, как по пружине будут распространяться последовательные сгущения и разрежения ее витков, бегущие друг за другом. На рисунке 15.6 точками показано положение витков пружины в состоянии покоя, а затем положения витков пружины через последовательные промежутки времени, равные четверти периода.
Таким образом, продольная волна в рассматриваемом случае представляет собой чередующиеся сгущения (Сг) и разрежения (Раз) витков пружины.
Энергия бегущей волны. Вектор плотности потока энергии
Упругая среда, в которой распространяется волна, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды. Можно показать, что объемная плотность энергии для плоской бегущей гармонической волны S = Acos(ω(t-) + φ 0) где r = dm/dV - плотность среды, т.е. периодически изменяется от 0 до rА2w2 за время p/w = Т/2. Среднее значение плотности энергии за промежуток времени p/w = Т/2
Для характеристики переноса энергии вводят понятие вектора плотности потока энергии - вектор Умова. Выведем выражение для него. Если через площадку DS^ , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Dt энергия DW, то плотность потока энергии Рис. 2 где DV = DS^ uDt - объем элементарного цилиндра, выделенного в среде. Поскольку скорость переноса энергии или групповая скорость есть вектор, то и плотность потока энергии можно представить в виде вектора, Вт/м2 (18)
Этот вектор ввел профессор Московского университета Н.А. Умов в 1874 г. Среднее значение его модуля называют интенсивностью волны(19) Для гармонической волны u = v , поэтому для такой волны в формулах (17)-(19) u можно заменить на v. Интенсивность определяется плотностью потока энергий — этовектор совпадает с направлением, в котором переносится энергия и равен потоку энергии перенсимой через.
Когда говорят о интенсивности, то подразумевают физическое значение вектора —потока энергии. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды.
Вектор Пойнтинга S можно определить через векторное произведение двух векторов:
(в системе СГС),
(в системе СИ),
где E и H — векторы напряжённости электрического и магнитного полей соответственно.
(в комплексной форме) ,
где E и H — векторы комплексной амплитуды электрического и магнитного полей соответственно.
Этот вектор по модулю равен количеству энергии, переносимой через единичную площадь, нормальную к S , в единицу времени. Своим направлением вектор определяет направление переноса энергии.
Поскольку тангенциальные к границе раздела двух сред компоненты E и H непрерывны (см. граничные условия ), то вектор S непрерывен на границе двух сред.
Стоячая волна — колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов)амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.
Примерами стоячей волны могут служить колебания струны , колебания воздуха в органной трубе; в природе — волны Шумана .
Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны , подводящие энергию к местам её поглощения или излучения.
Для демонстрации стоячих волн в газе используют трубу Рубенса .
Если колебательное движение возбуждают в какой - либо точке среды, то оно распространяется от одной точки к другой в результате взаимодействия частиц вещества. Процесс распространения колебаний называют волной.
Рассматривая механические волны, мы не будем обращать внимание на внутреннее строение среды. Вещество при этом считаем сплошной средой, которая изменяется от одной точки к другой.
Частицей (материальной точкой), будем называть маленький элемент объема среды, размеры которого, много больше, чем расстояния между молекулами.
Механические волны распространяются только в средах, которые обладают свойствами упругости. Силы упругости в таких веществах при небольших деформациях пропорциональны величине деформации.
Основным свойством волнового процесса является то, что волна, перенося энергию и колебательное движение, не переносит массу.
Волны бывают продольные и поперечные.
Продольные волны
Волну называю продольной, в том случае, если частицы среды совершают колебания в направлении распространения волны.
Продольные волны распространяются в веществе, в котором возникают силы упругости, при деформации растяжения и сжатия в веществе в любом агрегатном состоянии.
При распространении продольной волны в среде возникают чередования сгущений и разрежений частиц, перемещающихся в направлении распространения волны со скоростью ${\rm v}$. Сдвиг частиц в этой волне происходит по линии, которая соединяет их центры, то есть вызывает изменение объема. Все время существования волны, элементы среды выполняют колебания у своих положений равновесия, при этом разные частицы совершают колебания со сдвигом по фазе. В твердых телах скорость распространения продольных волн больше, чем скорость поперечных волн.
Волны в жидкостях и газах всегда продольные. В твердом теле тип волны зависит от способа ее возбуждения. Волны на свободной поверхности жидкости являются смешанными, они одновременно и продольные и поперечные. Траекторией движения частицы воды на поверхности при волновом процессе является эллипс или еще более сложная фигура.
Акустические волны (пример продольных волн)
Звуковые (или акустические) волны, являются продольными волнам. Звуковые волны в жидкостях и газах представляют собой колебания давления, распространяющиеся в среде. Продольные волны, имеющие частоты от 17 до 20~000 Гц называют звуковыми.
Акустические колебания с частотой ниже границы слышимости называют инфразвуком. Акустические колебания с частотой выше 20~000 Гц называют ультразвуком.
Акустические волны в вакууме распространяться не могут, так как упругие волны способны распространяться только в той среде, где имеется связь между отдельными частицами вещества. Скорость звука в воздухе равна в среднем 330 м/с.
Распространение в упругой среде продольных звуковых волн связано с объемной деформацией. В этом процессе давление в каждой точке среды непрерывно изменяется. Это давление равно суме равновесного давления среды и добавочного давления (звуковое давление), которое появляется в результате деформации среды.
Сжатие и растяжение пружины (пример продольных волн)
Допустим, что упругая пружина подвешена горизонтально на нитях. По одному концу пружины ударяют так, что сила деформации направлена вдоль оси пружины. От удара происходит сближение нескольких витков пружины, возникает сила упругости. Под воздействием силы упругости витки расходятся. Двигаясь по инерции, витки пружины проходят положение равновесия, образуется разрежение. Некоторое время витки пружины на конце в месте удара будут колебаться около своего положения равновесия. Данные колебания с течением времени передаются от витка к витку по всей пружине. В результате происходит распространение сгущения и разрежения витков, распространяется продольная упругая волна.
Аналогично продольная волна распространяется по металлическому стержню, если ударить по его концу с силой, направленное вдоль его оси.
Поперечные волны
Волну называют поперечной волной, если колебания частиц среды происходят в направлениях перпендикулярных к направлению распространения волны.
Механические волны могут быть поперечными только в среде, в которой возможны деформации сдвига (среда обладает упругостью формы). Поперечные механические волны возникают в твердых телах.
Волна, распространяющаяся по струне (пример поперечной волны)
Пусть одномерная поперечная волна распространяется по оси X , от источника волны, находящегося в начале координат - точке О. Примером такой волны является, волна, которая распространяется в упругой бесконечной струне, один из концов которой заставляют совершать колебательные движения. Уравнение такой одномерной волны:
\\ }\left(1\right),\]
$k$ -волновое число$;;\ \lambda $ - длина волны; $v$ - фазовая скорость волны; $A$ - амплитуда; $\omega $- циклическая частота колебаний; $\varphi $ - начальная фаза; величина $\left[\omega t-kx+\varphi \right]$ называется фазой волны в произвольной точке.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Какова длина поперечной волны, если она распространяется по упругой струне со скоростью $v=10\ \frac{м}{с}$, при этом период колебаний струны составляет $T=1\ c$?
Решение. Сделаем рисунок.
Длина волны - это расстояние, которое волна проходит за один период (рис.1), следовательно, ее можно найти по формуле:
\[\lambda =Tv\ \left(1.1\right).\]
Вычислим длину волны:
\[\lambda =10\cdot 1=10\ (м)\]
Ответ. $\lambda =10$ м
Пример 2
Задание. Звуковые колебания с частотой $\nu $ и амплитудой $A$ распространяются в упругой среде. Какова максимальная скорость движения частиц среды?
Решение. Запишем уравнение одномерной волны:
\\ }\left(2.1\right),\]
Скорость движения частиц среды равна:
\[\frac{ds}{dt}=-A\omega {\sin \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ }\ \left(2.2\right).\]
Максимальное значение выражения (2.2), учитывая область значений функции синус:
\[{\left(\frac{ds}{dt}\right)}_{max}=\left|A\omega \right|\left(2.3\right).\]
Циклическую частоту найдем как:
\[\omega =2\pi \nu \ \left(2.4\right).\]
Окончательно максимальная величина скорости движения частиц среды в нашей продольной (звуковой) волне равна:
\[{\left(\frac{ds}{dt}\right)}_{max}=2\pi A\nu .\]
Ответ. ${\left(\frac{ds}{dt}\right)}_{max}=2\pi A\nu$
Все мы хорошо знакомы с прилагательными «продольный» и «поперечный». И не просто знакомы, а активно используем их в повседневной жизни. Но когда речь заходит о волнах, неважно каких - в жидкости, воздухе, твердой материи или то часто возникает ряд вопросов. Обычно, слыша слова «поперечные и продольные волны», среднестатистический человек представляет синусоиду. Действительно, колебательные возмущения на воде именно так и выглядят, поэтому жизненный опыт дает именно такую подсказку. На самом деле мир более сложен и разнообразен: в нем существуют как продольные волны, так и поперечные.
Если в какой-либо среде (поле, газ, жидкость, твердая материя) возникают колебания, переносящие энергию от одной точки к другой со скоростью, зависящей от свойств самой среды, то они называются волнами. Из-за того, что колебания распространяются не мгновенно, фазы волны в начальной точке и какой-либо конечной по мере удаления от источника все больше различаются. Важный момент, который следует всегда помнить: при переносе энергии через колебания сами частицы, из которых состоит среда, не перемещаются, а остаются на своих уравновешенных положениях. Причем, если рассматривать процесс более детально, становится понятно, что колеблются не единичные частицы, а их группы, сосредоточенные в какой-либо единице объема. Это можно проиллюстрировать на примере с обыкновенной веревкой: если один ее конец зафиксировать, а с другого производить волнообразные движения (в любой плоскости), то хотя волны возникают, материал веревки не разрушается, что происходило бы при движении частиц в ее структуре.
Продольные волны характерны только газообразным и жидким средам, а вот поперечные - также и твердым телам. В настоящее время существующая классификация делит все колебательные возмущения на три группы: электромагнитные, жидкостные и упругие. Последние, как можно догадаться из названия, присущи упругим (твердым) средам, поэтому их иногда называют механическими.
Продольные волны возникают тогда, когда частицы среды колеблются, ориентируясь вдоль вектора распространения возмущения. Примером может служить удар по торцу металлического стержня плотным массивным предметом. распространяются в перпендикулярном вектору воздействия направлении. Закономерный вопрос: «Почему же в газах и жидких средах могут возникать только продольные волны»? Объяснение простое: причина этого заключается в том, что частицы, составляющие данные среды, могут свободно перемещаться, так как жестко не зафиксированы, в отличие от твердых тел. Соответственно, поперечные колебания принципиально невозможны.
Вышесказанное можно сформулировать немного иначе: если в среде деформация, вызванная возмущением, проявляется в виде сдвига, растяжения и сжатия, то речь идет о твердом теле, для которого возможны как продольные, так и поперечные волны. Если же появление сдвига невозможно, то среда может быть любой.
Особый интерес представляют продольные (ПЭВ). Хотя теоретически ничего не мешает возникновению таких колебаний, официальная наука отрицает их существование в естественной среде. Причина, как всегда бывает, проста: современная электродинамика исходит из принципа, что электромагнитные волны могут быть только поперечными. Отказ от подобного мировоззрения повлечет за собой необходимость пересмотра многих фундаментальных убеждений. Несмотря на это, существует много публикаций результатов экспериментов, практически доказывающих существование ПЭВ. А это косвенно означает обнаружение еще одного состояния материи, при котором, собственно, возможна генерация данного типа волн.
Различают продольные и поперечные волны. Волна называется поперечной , если частицы среды совершают колебания в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны (рис. 15.3). Поперечная волна распространяется, например, вдоль натянутого горизонтального резинового шнура, один из концов которого закреплен, а другой приведен в вертикальное колебательное движение.
Рассмотрим подробнее процесс образования поперечных волн. Возьмем в качестве модели реального шнура цепочку шариков (материальных точек), связанных друг с другом упругими силами (рис. 15.4, а). На рисунке 15.4 изображен процесс распространения поперечной волны и показаны положения шариков через последовательные промежутки времени, равные четверти периода.
В начальный момент времени (t 0 = 0) все точки находятся в состоянии равновесия (рис. 15.4, а). Затем вызываем возмущение, отклонив точку 1 от положения равновесия на величину А и 1-я точка начинает колебаться, 2-я точка, упруго связанная с 1-й, приходит в колебательное движение несколько позже, 3-я - еще позже и т.д. Через четверть периода колебания \(\Bigr(t_2 = \frac{T}{4} \Bigl)\) распространятся до 4-й точки, 1-я точка успеет отклониться от своего положения равновесия на максимальное расстояние, равное амплитуде колебаний А (рис. 15.4, б). Через полпериода 1-я точка, двигаясь вниз, возвратится в положение равновесия, 4-я отклонилась от положения равновесия на расстояние, равное амплитуде колебаний А (рис. 15.4, в), волна распространилась до 7-й точки и т.д.
К моменту времени t 5 = T 1-я точка, совершив полное колебание, проходит через положение равновесия, а колебательное движение распространится до 13-й точки (рис. 15.4, д). Все точки от 1-й до 13-й расположены так, что образуют полную волну, состоящую из впадины и горба.
Волна называется продольной, если частицы среды совершают колебания в направлении распространения волны (рис. 15.5).
Продольную волну можно наблюдать на длинной мягкой пружине большого диаметра. Ударив по одному из концов пружины, можно заметить, как по пружине будут распространяться последовательные сгущения и разрежения ее витков, бегущие друг за другом. На рисунке 15.6 точками показано положение витков пружины в состоянии покоя, а затем положения витков пружины через последовательные промежутки времени, равные четверти периода.
Таким образом, продольная волна в рассматриваемом случае представляет собой чередующиеся сгущения (Сг) и разрежения (Раз) витков пружины.
Вид волны зависит от вида деформации среды. Продольные волны обусловлены деформацией сжатия - растяжения, поперечные волны - деформацией сдвига. Поэтому в газах и жидкостях, в которых упругие силы возникают толь-ко при сжатии, распространение поперечных волн невозможно. В твердых телах упругие силы возникают и при стажии (растяжении) и при сдвиге, поэтому в них возможно распространение как продольных, так и поперечных волн.
Как показывают рисунки 15.4 и 15.6, и в поперечной и в продольной волнах каждая точка среды колеблется около своего положения равновесия и смещается от него не более чем на амплитуду, а состояние дефомации среды передается от одной точки среды к другой. Важное отличие упругих волн в среде от любого другого упорядоченного движения ее частиц заключается в том, что распространение волн не связано с переносом вещества среды.
Следовательно, при распространении волн происходит перенос энергии упругой деформации и импульса без переноса вещества. Энергия волны в упругой среде состоит из кинетической энергии совершающих колебания частиц и из потенциальной энергии упругой деформации среды.
Рассмотрим, например, продольную волну в упругой пружине. В фиксированный момент времени кинетическая энергия распределена по пружине неравномерно, так как одни витки пружины в этот момент покоятся, а другие, напротив, движутся с максимальной скоростью. То же самое справедливо и для потенциальной энергии, так как в этот момент какие-то элементы пружины не деформированы, другие же деформированы максимально. Поэтому при рассмотрении энергии волны вводят такую характеристику, как плотность \(\omega\) кинетической и потенциальной энергий (\(\omega=\frac{W}{V} \)- энергия, приходящаяся на единицу объема). Плотность энергии волны в каждой точке среды не остается постоянной, а периодически изменяется при прохождении волны: энергия распространяется вместе с волной.
Любой источник волн обладает энергией W , которую волна при своем распространении передает частицам среды.
Интенсивность волны I показывает, какую энергию в среднем переносит волна за единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения волны\
В СИ единицей интенсивности волны является ватт на квадратный метр Дж/(м 2 \(\cdot\) c) = Вт/м 2
Энергия и интенсивность волны прямо пропорциональны квадрату ее амплитуды \(~I \sim A^2\).
Литература
Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - С. 425-428.
