Арифметических действий

Задачи изучения темы:

2) Познакомить учащихся с правилами порядка выполнения действий над числами и в соответствии с ними выработать умение находить числовые значения выражений.

3) Познакомить учащихся с тождественными преобразованиями выражений на основе свойств арифметических действий.

В работе над числовыми выражениями можно выделить 2 основных этапа:

1) Изучение простейших выражений вида: сумма (2 + 3); разность (5 -1); произведение (3 4); частное (12:4).

2) Изучение усложненных выражений, содержащих два и более действий, со скобками и без них.

1) При работе с простейшими выражениями в соответствии с требованиями программы перед учителем стоит задача сформировать у детей умения читать и записывать такие выражения.

Первая встреча учащихся с выражениями происходит в первом классе в теме "Числа от 1 до 10", где дети впервые знакомятся со знаками действий "+" и "-". На этом этапе дети записывают выражения, и читают их, ориентируясь на смысл знаков действий, которые осознаются ими как краткое обозначение слов "добавить" и "отбросить". Это находит отражение в чтении выражений: 3 + 2 (3 да 2); 3 - 1 (3 без одного).

Постепенно представления детей об этих действиях расширяются. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц к числу, мы увеличиваем его на столько же единиц, а вычитая - уменьшаем. Это находит отражение при чтении выражений: 4 + 2 (4 увеличить на две единицы); 7 - 1 (7 уменьшить на одну единицу).

Затем дети узнают названия знаков действий "плюс" и "минус". (При изучении сложения и вычитания чисел первого десятка). Этиже выражения читаются иначе: 4 + 2 (4 "плюс" 2); 7 - 1 (7 "минус" 1).

И только при ознакомлении с названиями компонентов и результатов действия сложения вводится строгая математическая терминология, дается название данного математического выражения – «сумма», а несколько позже аналогично вводится термин «разность».

Названия следующих двух математических выражений «произведение» и «частное» вводятся аналогично при изучении действий умножения и деления во втором классе. Здесь же во втором классе вводятся термины "выражение", "значение выражения", которые как и другие математические термины должны усваиваться детьми естественно, как усваиваются ими другие новые для них слова, если они часто употребляются окружающими и находят применение в практике.

2) Наряду с простейшими математическими выражениями изучаются и усложненные выражения, содержащие два и более действий, со скобками и без них. Такие выражения появляются в зависимости от рассмотрения соответствующих вопросов курса математики. Однако их рассмотрение в основном подчинено одной дидактической цели – сформировать умение находить значение выражения, а это непосредственно связано с правилами порядка выполнения арифметических действий.

а) Первым рассматривается правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, когда над числами либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление. Первые такие выражения вида 5 + 1 + 1, 7 - 1 - 1 встречаются в самом начале изучения сложения и вычитания чисел в пределах 10. Уже здесь основное внимание уделяется выяснению вопроса, как вести рассуждения при вычислении значения выражений. В I-II классе встречаются упражнения: 70 – 26 + 10, 90 – 20 – 15, 42 + 18 – 19; во II классе встречаются упражнения: 4 · 10: 5, 60: 10 · 3, 36: 9: 2. При дальнейшем рассмотрении аналогичных выражений делается вывод: в выражениях без скобок действия сложения и вычитания (умножения и деления) выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.

б) Затем появляются выражения, содержащие скобки и опять главное внимание уделяется правилу о порядке выполнения действий в выражениях со скобками. Так мы фактически знакомим детей со вторым правилом о порядке выполнения действий в выражениях, содержащих скобки. Упражнения: 80 – (34+13), 85 – (46 – 14), 60: (30 – 20), 90: (2 ·5).

Во втором классе при изучении действий умножения и деления происходит встреча с выражениями, содержащими действия сложения, вычитания, умножения и деления. Чтобы выяснить вопрос о порядке выполнения действий в таких выражениях, целесообразно для первого рассмотрения взять выражение 3 · 5 + 3. Используя смысл действия умножения, приходим к выводу, что значение этого выражения равно 18. Отсюда следует порядок выполнения действий. В результате мы фактически получаем третье правило о порядке выполнения действий в выражениях без скобок, содержащих действия сложения, вычитания, умножения и деления: в выражениях без скобок вначале выполняются действия умножения или деления, а затем действия сложения или вычитания в том порядке, как они записаны. При этом дается и образец рассуждении, где обращается внимание на проговаривание промежуточного результата, что позволяет предупреждать возможные ошибки детей. Упражнения: 21 + 9: 3, 34 – 12 · 2, 90: 30 – 2, 25 · 4 + 100.

Правила о порядке выполнения арифметических действий заслуживают особого внимания. Это один из сложных и отвлеченных вопросов начального курса математики. Работа над ним требует многочисленных распределенных во времени тренировочных упражнений. Умение применять эти правила в практике вычислений вынесено в основные требования программы в конце каждого года, начиная со второго класса и на конец обучения в начальных классах.

Упражнения:

1. Из заданных пар примеров выбрать только те, где вычисления выполнены по правилам порядка выполнения действий: 20 + 30: 5 = 10, 20 + 30: 5 = 26, 42 – 12: 6 = 40,

42 – 12: 6 = 5, 6 · 5 + 40: 2 = 50, 6 · 5 + 40: 2 = 35.

После объяснения ошибок дать задание: изменить порядок действия так, чтобы выражение имело заданное значение.

2. Расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

72 – 24: 6 + 2 = 66, 72 – 24: 6 + 2 = 6, 72 – 24: 6 + 2 = 10, 72 – 24: 6 + 2 = 69

На последнем году обучения в начальных классах рассмотренные правила дополняются новыми для детей правилами о порядке выполнения действий в выражениях содержащих две пары скобок или два действия внутри скобок. Например: 90 · 8 – (240 + 170) + 190, 469 148 – 148 · 9 + (30 100 – 26 909), 65 6500: (50 + (654 – 54)).

Ознакомление с тождественными преобразованиями выражений. Тождественное преобразование выражения – это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Выполняют такие преобразования выражений, опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие из них (как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и др.) Например: Продолжить запись так, чтобы знак «=» сохранился:

76 – (20 + 4) = 76 – 20…

(10 + 7) · 5 = 10 · 5…

60: (2 · 10) = 60: 10…

Применяя знания свойств действий для обоснования приемов вычислений, учащиеся выполняют преобразования выражений вида:

36 + 20 + (30 + 6) =+ 20 = (30 + 20) + 6 = 56

72: 3 = (60 + 12) : 3 = 60: 3 + 12: 3 = 24

18 · 30 = 18 · (3 · 10) = (18 · 3) · 10 = 540

Необходимо понять, что все эти выражения соединены знаком «=», потому что имеют одинаковые значения.

Тождественные преобразования выражений выполняют также и на основе конкретного смысла действий. Например, сумму одинаковых слагаемых заменяют произведением: 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 4, и наоборот, 6 · 4 = 6 + 6 + 6 + 6. Опираясь также на смысл действия умножения, преобразуют более сложные выражения: 8 · 4 + 8 = 8 · 5, 7 · 6 – 7 = 7 · 5.

Если в выражениях со скобками скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить: (30 + 20) + 10 = 30 + 20 + 10, (10 · 6) : 4 = 10 · 6: 4 и т.п.

В дальнейшем, используя изученные свойства действий и правила порядка действий, учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. Например: записать выражения без скобок так, чтобы их значения не изменились: (65 + 30) – 20, (20 + 4) · 3, 96 – (46 + 30)

При изучении данной темы учащиеся должны овладеть приемами вычисления, получить прочные вычислительные навыки, заучить результаты сложения и вычитания в пределах 10, а также состав чисел первого 10, узнавать и показывать компоненты и результаты двух арифметических действий и понимать их названия в речи учителя.

По мере овладения учащимися натуральной последовательностью чисел и свойством этого ряда нужно знакомить и с приемами сложения и вычитания, опирающимся на это свойство натурального ряда чисел. Дети учатся этим приемам прибавлять и вычитать единицу из числа, т.е. присчитывать и отсчитывать по 1.

Когда учащиеся овладели приемами присчитывания, учитель знакомит их с приемами отсчитывания.

Если приемами присчитывания ученики первого класса овладевают довольно быстро, то приемами отсчитывания - намного медленнее.

Трудность состоит в том, что прием отсчитывания основан на хорошем знании обратного счета, а обратный счет для многих учащихся первого класса труден. Кроме того, ученики плохо запоминают - сколько нужно отнять, сколько уже отняли, сколько ещё надо отнять.

При изучении каждого числа первого десятка учащиеся получают представление и о составе этих чисел.

В начале необходимо давать такие упражнения, в которых одно из слагаемых воспринимаются детьми наглядно, а второе они отыскивают по представлению.

При выполнении действий сложения и вычитания в пределах данного числа вводятся решение примеров с отсутствующим компонентом. Его обозначают точками, рамками, знаками вопросов и т.д., например:

I – 3, 4 +... = б, ? – 2 = 4. б - ? = 2.

Запишем 1-1=0 (отсутствие предметов обозначают цифры О) Решаются еще примеры, когда разность равна нулю.

Вводить число ноль в качестве вычитаемого, а потом и слагаемого следует на большом числе упражнений. Смысл действий с нулем будет лучше понять учащимся, если ноль в качестве вычитаемого и ноль в качестве слагаемого будет вводиться не одновременно. Затем проводятся упражнения на дифференциацию примеров, в которых ноль будет слагаемым и вычитаемым.
Учитель первого класса должен обращать внимание учащихся на то, что сумма всегда больше каждого из слагаемых, а остаток всегда меньше уменьшаемых.

Уменьшаемое больше или равно вычитаемому, в противном случае вычитание произвести нельзя.

Уже с первого класса ученики должны быть приучены к проверке правильности решения примеров.

Анализ учебника Моро

Обучающийся будет знать:

Конкретный смысл и название действий сложения и вычитания;

Знать и использовать при чтении и записи числовых выражений названия компонентов и результатов сложения и вычитания;

Знать переместительное свойство сложения;

Знать таблицу сложения в пределах 10 и соответствующие случаи вычитания;

Единицы длины: см и дм, соотношение между ними;

Единицу массы: кг.

Находить значение числовых выражений в 1 – 2 действия без скобок;

Применять приемы вычислений:

при сложении – прибавление по частям; перестановка чисел;

при вычитании – вычитание числа по частям и вычитание на основе знания соответствующего случая сложения;

Выполнять сложение и вычитание с числом 0;

Находить число, которое на несколько единиц больше или меньше данного;

Уметь решать задачи в одно действие на сложение и вычитание.

Обучающийся в совместной деятельности с учителем получит возможность научиться:

- группировать предметы по заданному признаку;

- решать ребусы, магические квадраты, круговые примеры, задачи на смекалку, головоломки, цепочки примеров, задачи-шутки, логические задачи;

- строить многоугольники, ломанные линии.

Познавательные УУД :

1. Ориентироваться в учебниках (система обозначений, структура текста, рубрики, словарь, содержание).

2. Осуществлять поиск необходимой информации для выполнения учебных заданий, используя справочные материалы учебника (под руководством учителя).

3. Понимать информацию, представленную в виде текста, рисунков, схем.

4. Сравнивать предметы, объекты: находить общее и различие.

5. Группировать, классифицировать предметы, объекты на основе существенных признаков, по заданным критериям .

Регулятивные УУД :

1. Организовывать свое рабочее место под руководством учителя.

2. Осуществлять контроль в форме сличения своей работы с заданным эталоном.

3.Вносить необходимые дополнения, исправления в свою работу, если она расходится с эталоном (образцом).

4. В сотрудничестве с учителем определять последовательность изучения материала, опираясь на иллюстративный ряд «маршрутного листа».

Коммуникативные УУД :

1. Соблюдать простейшие нормы речевого этикета: здороваться, прощаться, благодарить.

2. Вступать в диалог (отвечать на вопросы, задавать вопросы, уточнять непонятное).

3. Сотрудничать с товарищами при выполнении заданий в паре: устанавливать и соблюдать очерёдность действий, корректно сообщать товарищу об ошибках.

4.Участвовать в коллективном обсуждении учебной проблемы.

Сравнивать разные способы вычислений, выбирать удобный.

Моделировать ситуации, иллюстрирующие арифметическое действие и ход его выполнения.

Использовать математическую терминологию при записи и выполнении арифметического действия (сложения, вычитания).

Моделировать изученные арифметические зависимости.

Прогнозировать результат вычисления.

Контролировать и осуществлять пошаговый контроль правильности и полноты выполнения алгоритма арифметического действия.

Использовать различные приёмы проверки правильности нахождения числового выражения (с опорой на алгоритмы выполнения арифметических действий, прикидку результата).

Планировать решение задачи.

Объяснять выбор арифметических действий для решений.

Действовать по заданному плану решения задачи.

Использовать геометрические образы для решения задачи.

Контролировать : обнаруживать и устранять ошибки арифметического (в вычислении) характера.

Наблюдать за изменением решения задачи при изменении её условия.

Выполнять краткую запись разными способами, в том числе с помощью геометрических образов (отрезок, прямоугольник и др.).

Исследовать ситуации, требующие сравнения величин, их упорядочения.

Характеризовать явления и события с использованием величин.

11) Методика изучения арифметических действий. Сложение и вычитание чисел второго десятка (задачи темы, рассматриваемые случаи, сложение и вычитание на основе знания нумерации, случаи сложения и вычитания без перехода через разряд – включить обоснование приемов!!!).

Изучение нумерации и действий в пределах 20, т. е. второго и 1ентра, происходит во 2-м классе коррекционной школы.

Задачи второго концентра: дать понятие о десятке как новой единице; научить считать до 20, присчитывая и отсчитывать по единице, по десятку и равными числовыми группами (по 2, но 5, по 4); познакомить с десятичным составом числа; сформировать представление об однозначных и двузначных числах; научить обозначать числа от 1 до 20 цифрами; познакомить с принципом местного значения цифр; научить складывать и вычитать в приделах 20; дать понятие о новых действиях: умножении и делении; (ознакомить с табличным умножением и делением в пределах 20.

При подборе или изготовлении специальных пособий надо помнить, что на них необходимо показать десятичный состав чисел второго десятка, поэтому десяток и единицы должны быть ярко выделены.

К таким пособиям относятся: 20 палочек (10 палочек рассыпанных и 10, связанных в пучок, т. е. 1 десяток); 20 кубиков и 2 бруска из 10 кубиков; 20 квадратов и 2 полосы по 10 квадратов; линейка длиной 20 см, все картонные полоски длиной по 10 см каждая, разделенные на 10 равных частей; монетная касса; счеты классные и индивидуальные; разрядная таблица с разрядами единиц и десятков; цифровая касса; таблица с числами от 1 до 20, записанными в один и два ряда; таблицы для счета равными числовыми группами по 2, 3, 4, 5; таблица с числами от 1 до 20 с изображением четных и нечетных чисел разным цветом; набор табличек (10 штук) с числом 10 для составления и разложения чисел (на десятки и единицы) от 11 до 20; таблички с числом 20.

Основой в понимании нумерации чисел второго десятка является выделение десятка и ясное представление, что десяток - это десять единиц и в то же время это новая единица счета, которой можно считать так же, как единицами, добавляя к числам один, т. д. названия этой счетной единицы, например один десяток- десятка.

Над нумерацией чисел в пределах 20 складывается из нескольких этапов: 1) получение одного десятка; 2) получение второго десятка от 11 до 19 путем присчитывания к одному у нескольких единиц; 3) получение числа 20 из двух десят 1) письменная нумерация чисел от 11 до 20; 5) получение второго десятка путем присчитывания к предыдущему числу единицы и отсчитывания от последующего числа одной птицы.

Счет в пределах 20.

Вначале с учащимися нужно повторить нумерацию чисел пер1го десятка: получение чисел числового ряда путем прибавления к предшествующему числу и вычитания 1 из последующего, отношение между соседними числами, название чисел и их значение цифрами. Учитель обращает внимание учащихся на, что каждое число от 0 до 10 обозначается новым, не связан с другим, словом, а для обозначения каждого из чисел от О) 9 существует особый знак, который называется цифрой. Число м обозначается двумя цифрами 1 и 0. Учитель сообщает, что существует всего 10 цифр. Вначале повторяется счет единицами в пределах 10 и показывается получение десятка. Важно дифференцировать понятия «десять единиц» и «од > десяток». Десяток - это целое, единое.

Следующим этапом в работе над числами второго десятка яв- счет до 20. Учащиеся должны запомнить названия числительных в порядке числового ряда, считать предметы, их изобразить звуками, прыжками, удары мяча, сами отхлопывать заданное число несколько раз, отсчитывать заданное число предметов в приделах 20, счет ведется путем присчитывания и считывания по единице. При ознакомлении с нумерацией в пределах 20 целесообразно. , знакомить учащихся с единицей измерения дм.

Сложение и вычитание чисел в пределах 20 без перехода через разряд
Повторить десятичный состав чисел от 10 до 20, прямой и обратный счёт от 1 до 20

Закрепить вычислительные навыки в пределах 20 без перехода через разряд

(Числовой ряд).

Числовой ряд от 10 до 20, но в некоторых числах не хватает цифры.

каждый из вас должен из моего мешочка достать цифру, с закрытыми глазами угадать её и поставить на своё место.

10,1., 1., 1., 14, 1., 1., 1., 1., 1., 2..

Повторение десятичного состава числа

Учитель называет десятичный состав числа, а ученики показывают это число.

1дес.3ед., 1дес. 6ед., 1дес.9ед., 2дес., 1дес.2ед.,1дес.8ед.

Сколько десятков и единиц в числе 15? (В числе 15 - 1десяток и 5 единиц.)

Как можно получить число 15?

Математический диктант.

Учитель говорит пример, а ученики записывают только ответ.

10 + 5 15 – 1 15 – 10 14 + 1 15 – 5

Ответы: 15, 14, 5, 15, 10, 10.

Проверка: один ученик читает ответы, а все остальные проверяют.

Подчеркните одной чертой однозначные числа.

Какие числа вы подчеркнули?

Решение текстовой задачи.

Задача: «Ребята на уроке труда готовили украшения на ёлку. В первый день они сделали 12 игрушек, а во второй – на 2 игрушки меньше. Сколько игрушек сделали ребята во второй день?

Работа над содержанием задачи.

О чём говорится в задаче?

Кто делал игрушки?

Сколько дней делали игрушки?

Составление краткой записи.

Сколько игрушек сделали в первый день?

Что говорится про второй день? (Сказано, что на 2 игрушки меньше)

Что спрашивается в задаче? (В задаче спрашивается, сколько игрушек сделали ребята во второй день?)

1 – 12 игр.

2 – ? игр., на 2 игр. меньше.

Поиск решения задачи.

Итак, сколько игрушек сделали в первый день? (12)

Что сказано про второй день?

Что значит «на 2 игрушки меньше?» (на 2 игрушки меньше – это столько же, сколько в первый день, но без двух).

Каким действием узнаем, сколько игрушек во второй день? (Вычитанием)

Как запишем решение задачи?

Ответили на вопрос задачи?

Запись решения задачи.

12 игр. – 2 игр. = 10 игр.

Запись ответа.

Ответ: 10 игрушек.

последовательность и приемы изучения сложения и вычитания в пределах 20.

I. Приемы сложения и вычитания, основанные на знаниях десятичного состава числа (10+3, 13-3, 13-10) и нумерации чисел в пределах 20 (16+1, 17-1).

При решении этих примеров закрепляются взаимосвязь сложения и вычитания, переместительное свойство сложения, названия компонентов и результатов действий. При этом учащиеся постепенно перестают пользоваться наглядными пособиями, но от них требуется пояснение действий.

II. Сложение и вычитание без перехода через десяток.

Выполнение действий основано на разложении компонентов на десятки и единицы: к двузначному числу прибавляется однозначное. Из двузначного числа вычитается однозначное. Сначала нужно рассмотреть случаи, когда количество единиц в 1слаг. числе больше, чем во втором слагаемом (13+2, 1+3), и только потом включать случаи вида 11+6, 13+5, хотя их решения одинаковы,--5

Объяснение сопровождается использованием наглядных пособий и подробной записью решения, например: 13+2. Первое слагаемое (13) состоит из 1 десятка и 3 единиц: 1 десяток палочек и 1е 3 палочки. Второе слагаемое 2. Прибавляем 2 палочки. 3 палочки и 2 палочки - 5 палочек и 1 десяток палочек. Получить 1 десяток (палочек) и 5 единиц (палочек) - это число 15. шчит, 13+2=15. Подобным образом объясняются и случаи вы.

Важно постоянно подчеркивать, что складываются и вычитают-при решении таких примеров единицы. При записи примера 1ащиеся могут подчеркивать единицы: 14+2 = 16, 16-2 = 14. иногда целесообразно единицы и десятки записывать разным цветом. На доске их можно обводить кружочком.

При решении примеров на сложение закрепляется умение учащихся пользоваться переместительным законом сложения: решение примера 2 + 14 проводится на основе решения примера 14+2. Полезно сопоставлять примеры на сложение и вычитание в пределах 20 с примерами на те же действия в пределах 10:

7+ 2= 9 9-2= 7 5+ 3= 8- 3=

2+ 7= 9 9-7= 2 3+...= 8-...=

17+ 2=19 19-2 = 17 17+ 2= 19- 2=

2+17=19 19-7=12 2+...= 19-...=

б) получение суммы 20 и вычитание однозначного числа из 20:

Решение примеров такого вида, особенно на вычитание, вызывает значительные трудности у многих умственно отсталых школьников. Учащихся смущает то, что при сложении единиц в разряде единиц получается нуль. Разложив 20 на два десятка и вычтя из одного десятка заданное количество единиц, дети забывают этот результат прибавить к десятку и получают ошибочный ответ: 20-3 = 7.

Использование наглядных пособий, актуализация имеющихся знаний и опора на них помогают преодолеть эти трудности. Необходимо повторить таблицу сложения и вычитания в пределах 10. дополнение однозначного числа до десятка, вычитание из 10.

Объяснение сложения не представляет ничего нового по сравне нию с объяснением решения примеров вида 13+2, кроме образова ния 1 десятка: 5+5=10 (или 1 дес.); 1 дес. + 1 дес.=2 дес.=20. ^"Рассмотрим пример на вычитание: 20-3. В числе 20 нуль единиц, а нужно вычесть 3 единицы. Занимаем 1 десяток, раздроб ляем его на 10 единиц и вычитаем 3 единицы, получаем 7 единиц. Всего остается 1 десяток и 7 единиц, или 17. Проведенное рассуж-

Ш дение записывается так: 20-3=17.

В случае затруднений при понимании и приема вычислений объяснение можно провести с помощью палочек, связанных н пучки. Например, 20 - это 2 десятка (берем 2 пучка палочек) и нуль единиц. Занимаем 1 десяток и раздробляем его на 10 единиц (развязываем пучок палочек). 10 единиц минус 3 единицы получается 7 единиц. Всего остается 1 десяток и 7 единиц, или 17.

Решаются примеры на перестановку слагаемых, составляются по образцу, по аналогии:

Действия сложения и вычитания сопоставляются: 15+5=20; 20-5=15;

в) вычитание из двузначного числа двузначного: 15-12; 20-15. х Решение примеров такого вида можно объяснить разными приемами:

1. разложить уменьшаемое и вычитаемое на десятки и единицы и вычитать десятки из десятков, единицы из единиц;

2. разложить вычитаемое на десяток и единицы. Вычитать из уменьшаемого десятки, а из полученного числа - единицы.

Учащимся трудно знакомиться сразу с двумя приемами и даже трудно последовательно знакомиться сначала с одним, а потом с другим приемом. Умственно отсталые школьники самостоятельно не могут выбрать, когда целесообразнее использовать тот или иной прием. Поэтому знакомство с двумя, приемами только запутывает их. Лучше отработать хорошо один прием вычислений и научить учащихся самостоятельно пользоваться им.

Начало формы

Конец формы

12) Методика изучения арифметических действий. Сложение и вычитание чисел второго десятка (задачи темы, рассматриваемые случаи, сложение и вычитание с переходом через разряд; методика ознакомления с сочетательным свойством сложения, правилом вычитания числа из суммы и суммы из числа).

Сложение и вычитание в пределах 20.

Овладение вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 20 основано на хорошем знании сложения и вычитания в пределах 10, знание нумерации и состава чисел в пределах 20.

При изучении действий сложения и вычитания в пределах 20, как и при изучении соответствующих действий в пределах 10, большое значение имеет наглядность и практическая деятельность с пособиями самих учащихся. Поэтому все виды наглядных пособий, используемых при изучении нумерации, найдут применение и при изучении арифметических действий.

Действия сложения и вычитания целесообразнее изучать параллельно после знакомства с определенным случаем сложения изучать соответствующий случай вычитания сопоставления со сложением.

Во втором классе учащиеся должны знать название компонентов действий сложения и вычитания.

1. Приемы сложения и вычитания, основанные на знаниях десятичного состава чисел.

2. Сложение и вычитание без перехода через десяток:

а) к двухзначному числу прибавляется однозначное число. Из двухзначного числа вычитается однозначное число;

б) получение суммы 20 и вычитание однозначного числа из 20;

в) вычитание из двухзначного числа двухзначного: 15-12, 20-15.

Решение примеров такого вида можно объяснить разными приемами:

1. Разложить уменьшаемое и вычитаемое на десятки и единицы и вычитать десятки из десятков, единицы из единиц.

2. Разложить вычитаемое на десяток и единицы. Вычитать из уменьшаемого десятки, а из полученного числа - единицы.

3. Сложение и вычитание с переходом через ряд представляет наибольшие трудности для учащихся, с психофизическими нарушениями. вычитание с переходом через десяток тоже требует ряд операций;

Уменьшаемое разложить на десяток и единицы

Вычитаемое разложить на два числа, одно из которых равно числу уменьшаемого единицы

Вычесть единицы

Вычесть из десятка оставшееся число единиц

Подготовительная работа должна заключаться в повторении:

а) таблица сложения и вычитания в пределах 10,

б) состава чисел первого десятка (всех возможных вариантов

из двух чисел)

в) дополнение чисел до 10

г) разложение двухзначного числа на десятки и единицы

д) вычитание из десяти однозначных чисел

е) рассмотрение случаев вида 17-8, 15-5.

учащиеся работают с составом чисел 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19).

ученик: «9+8=. Надо дополнить 9 до 10, 8 – это 1 и 7. 9 и 1 - это 10. Осталось прибавить 7, 10+7=17, значит, 9+8=17. Выполню другим способом 8+9=. 9 – это 2 и 7, 8+2=10, 10 +7=17, значит, 8+9=17. От перестановки слагаемых сумма не меняется. Значит вычисление выполнено, верно. Запишем выражение в тетрадь 9+8=17.

ложение однозначных чисел с переходом через десяток

Выполним сложение по частям:

7 + 9 = (7 + 3) + 6 = 10 + 6 = 16 Ответ: 7 + 9 = 16.

Тип урока: ОНЗ.

Тема урока: «Прикидка результатов арифметических действий».

Основные цели:

1) сформировать представление о прикидке результатов арифметических действий, умение ее выполнять, познакомить учащихся со знаком « » » и с записью прикидки результата с помощью этого знака;

2) актуализировать алгоритм оценки частного, умение определять количество цифр в частном, смысл действий умножения и деления и взаимосвязь между ними;

3) тренировать умение решать составные уравнения с комментированием по компонентам действий, решать задачи на разностное и кратное сравнение чисел.

Мыслительные операции, необходимые на этапе проектирования: обобщение, классификация.

Демонстрационный материал:

2) плакат с пословицей:

День сегодняшний – ученик вчерашнего

3) задания для актуализации знаний:

2160: 9 = 24;

567 · 3 = 1701;

1920: 2 = 960.

2160: 9 = 240;

1920: 2 = 960.

4) карточки с выражениями:

5) карточки с соотношениями:

6) карточка с двойным неравенством:

1000: 200 < 1040: 208 < 1200: 300

7) карточки с шагами алгоритма прикидки результатов арифметических действий:

8) карточки с записями:

9) карточка с опорным сигналом:

Раздаточный материал:

1) листы с заданием:

2) карточки для работы в группах (по количеству групп) с шагами алгоритма:

3) конверты с вложенным «заданием от Стивенса»:

892 468 – 596 275 = 3993

72 529 + 3456 = 97 085

26 312: 46 = 572

305 · 540 = 12 900

4) эталон для самопроверки самостоятельной работы:

892468 – 596275 = 3993 ложно 892 468 – 596 275 » 900 000 – 600 000 = 300 000

72529 + 3456 = 97085 ложно 72 529 + 3456 » 80 000 + 4000 = 84 000

26312: 46 = 572

305 ∙ 540 = 12900 ложно 305 · 540 » 300 · 500 = 150 000

Так как первое, второе и четвертое равенства ложны, то верно третье равенство.

Ход урока:

1. Мотивация к учебной деятельности

Цель :

1) включение учащихся в учебную деятельность – тренировать в понимании значения уметь учиться;

2) определить содержательные рамки урока: арифметические действия;

3) мотивация учащихся к учебной деятельности посредством анализа пословицы.

Организация учебного процесса на этапе 1 :

На доске висят смайлики прошлых уроков и плакат с пословицей Д–2.

– Прочитайте про себя записанную на доске пословицу. Как вы понимаете ее смысл. (…)

– Чему вы научились на последних уроках? (Делать оценку результатов арифметических действий.)

– Сегодня вы продолжите работу по анализу результатов арифметических действий, и полученные на предыдущих уроках знания помогут вам в этой работе.

По какому плану вы будете работать? (…)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном действии.

Цель:

1) актуализировать алгоритм оценки частного, умение определять количество цифр в частном, смысл действий умножения и деления и взаимосвязь между ними;

2) повторить действия с круглыми числами, умножение многозначного числа на однозначное;

3) тренировать мыслительные операции: анализ, сравнение, обобщение, классификация.

4) мотивировать к пробному действию и его самостоятельному выполнению и обоснованию;

5) предъявить индивидуальное задание для пробного действия (прикидка частного);

6) организовать фиксацию образовательной цели и темы урока;

7) организовать выполнение пробного действия и фиксацию затруднения, демонстрирующего недостаточность имеющихся знаний, для осуществления прикидки частного;

8) организовать анализ полученных ответов и зафиксировать индивидуальные затруднения в выполнении пробного действия или его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1) Актуализация умения определять количество цифр в частном.

Учитель открывает записанные на доске числовые равенства (Д-3):

2160: 9 = 24

567 · 3 = 1701

1920: 2 = 960

– Посмотрите на доску и скажите, какое равенство, по вашему мнению, «лишнее»? (Второе, так как в нем действие умножения, а в остальных – действие деления.)

Один из учащихся или сам учитель стирает (закрывает) его с доски. На доске остаются равенства:

2160: 9 = 24

1920: 2 = 960

– Среди оставшихся равенств только одно верное. Найдите его, не выполняя вычислений. (Верным является третье равенство.)

– Как вы определили, что первые два равенства не верны? (В первом частном должно быть три цифры, а не две. Второе частное должно быть однозначным, а оно – двузначное.)

– Что помогло сделать такие выводы? (Правило определения количества цифр в частном.)

– Подумайте и исправьте допущенные ошибки. (Первое частное равно 240, а не 24; второе – равно 4, а не 40.)

– Докажите это. (240 ∙ 9 = 2160; 521 ∙ 4 = 2084.)

Учитель сам исправляет записи (вешает новый плакат) или просит сделать это кого-то из детей:

2160: 9 = 240

1920: 2 = 960

2) Повторение смысла умножения и деления, взаимосвязи между ними.

– Запишите верные равенства, которые можно составить с числами 240, 4 и 960.

Учащиеся могут работать на планшетках или в рабочих тетрадях. После обсуждения равенства открываются на доске:

240 · 4 = 960; 4 · 240 = 960; 960: 4 = 240; 960: 240 = 4

Д–5:

– Давайте вспомним, что значит: «умножить a на b »? (Найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a . )

– Что значит: «разделить a на b » ? (Найти такое число c , при умножении которого на b получается число a . )

3) Актуализация алгоритма оценки частного.

На доску вывешивается двойное неравенство (Д-6), предварительно с доски убирается все лишнее:

1000: 200 < 1040: 208 < 1200: 300

– Скажите, верно выполнена оценка частного? (Нет, так как получилось, что частное больше 5, но меньше 4.)

– Как вы думаете, почему так получилось? (Неверно подобраны числа при нахождении верхней и нижней границ.)

– Исправьте ошибки, пользуясь алгоритмом оценки частного.

Один из учащихся выполняет оценку частного на доске, проговаривая шаги алгоритма оценки частного, остальные учащиеся могут работать в своих рабочих тетрадях:

900: 300 < 1040: 208 < 1200: 200

3 < 1040: 208 < 6

– Рассмотрите полученный результат. Какие точные значения частного возможны? (Получившемуся двойному неравенству удовлетворяют числа 4 и 5.)

– Как поверить, какое из них является частным от деления 1040 на 208? (Проверить с помощью умножения; по последней цифре.)

– Хорошо! Определите точное значение частного. (208 ∙ 5 = 1040, значит, 1040: 208 = 5.)

- Что вы сейчас повторили? (…)

4) Индивидуальное задание.

Листы Р–1 заданием лежат у каждого учащегося на столе:

– Как-то раз, проверяя домашнее задание, я обнаружила, что, выполняя деление 11 476 на 38, Женя получил в ответе 32, Сережа – 402, Коля – 302, а Борис – 2002. Надо за 30 секунд определить, кто из мальчиков получил отметку «5»?

Что нового в задании? (Надо быстро определить, какой из результатов верный.)

Сформулируйте свою цель и тему урока. (Цель: быстро определить, какой из результатов верный, тема урока: «Быстрый способ определения, какой ответ верный».)

Выполните задание за отведённое время.

Можно демонстративно засечь время выполнения задания при помощи песочных часов или таймера. Когда время закончится, учитель спрашивает детей:

У кого нет ответа?

Что вы не смогли сделать? (Мы не смогли быстро определить, какой ответ верный.)

Кто может ответить, кто из мальчиков получил «пятерку»? (Коля, Сережа….)

Как вы можете обосновать свой ответ? Какое правило использовали для получения ответа?

Что вы не можете сделать? (Мы не можем обосновать правильность своего результата.)

Что же делать? (Надо разобраться в сложившейся ситуации.)

3. Выявление места и причины затруднения.

Цель:

1) организовать восстановление выполненных операций и фиксацию (вербальную и знаковую) места – шага, операции, где возникло затруднение;

2) организовать соотнесение действий учащихся с используемым способом (алгоритмом, понятием и т.д.) и на этой основе организовать выявление и фиксирование во внешней речи причины затруднения – тех конкретных знаний, умений или способностей, которых недостаёт для решения исходной задачи такого класса или типа.

Организация учебного процесса на этапе 3:

– Какое задание выполняли? (За короткое время пытались определить, какое из чисел является частным от деления 11 476 на 38.)

Как выполняли задание? (…)

Где возникло затруднение? (Было отведено мало времени.)

– Почему не справились с заданием? (Нет быстрого способа определения, какое число является частным.)

Что вы сейчас должны сделать? (Поставить цель, составить план действий.)

4. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель :

в коммуникативной форме о

Этап 4

Рганизовать построение учащимися проекта будущих учебных действий:

1. уточнение цели проекта (построить алгоритм прикидки результатов арифметических действий);

2. определение средств (алгоритмы, модели, учебник и т.д.);

3. построение плана достижения цели.

Организация учебного процесса на этапе 4:

Как в математике называют быстрый способ определения верности результатов арифметических действий (Оценкой.)

– Значит, какую цель вы поставите перед собой? (Придумать быстрый способ оценки результатов арифметических действий.)

– Быстрый способ приближенных вычислений называют «прикидкой». Это тема урока.

Учитель открывает тему урока на доске:

«ПРИКИДКА РЕЗУЛЬТАТОВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ»

Что можно использовать при построении алгоритма? (Алгоритмы оценки результатов арифметических действий, правило определения количества цифр в частном.)

Что вы использовали при оценке результатов арифметических действий? (Круглые числа.)

Каков план действий? (На основе алгоритма оценки результатов арифметических действий построить новый способ действий для выполнения прикидки.)

5. Построение проекта выхода из затруднения.

Цель :

1) организовать коммуникативное взаимодействие с целью реализации построенного проекта, направленного на приобретение недостающих знаний: алгоритм прикидки результатов арифметических действий;

2) создать условия для построения учащимися алгоритма прикидки результатов арифметических действий; зафиксировать его в речи, графической и знаковой форме (с помощью эталона), сформировать способность к его практическому использованию, познакомить учащихся со знаком «» »;

3) организовать уточнение общего характера нового знания.

Организация учебного процесса на этапе 5:

– Давайте попробуем сделать это вместе. Рассмотрите деление 11 476 на 38.

Что можно сделать с делимым и делителем? С какими числами удобно работать? (Заменить делимое и делитель близкими по значению круглыми числами: 11 476 – числом 12 000, а 38 – числом 40.)

– Что получится частное? (300.)

– Это точное значение частного? (Нет, приближенное, но близкое по значению к искомому.)

– Можем ли вы использовать этот результат, чтобы определить, кто из мальчиков получил отметку «5»? (Отметку «5» получил Коля, так как его частное от деления равно 302.)

– Сумели быстро ответить на поставленный вопрос? (Да.)

– Что вы для этого сделали? (Мы выполнили деление, заменив данные числа удобными круглыми числами.)

– Что значит: удобными ? (Во-первых, они близки по значению данным, а во-вторых, их деление свелось к табличному.)

– Как вы думаете, можно ли этим способом выполнить прикидку результатов других действий? (Можно.)

– Теперь сядьте по группам. Ваша задача: сконструировать общий алгоритм прикидки результатов арифметических действий, расположив шаги алгоритма в нужном порядке. За работу!

Учащиеся рассаживаются по группам. Каждой группе выдаются карточки Р–2 с шагами алгоритма. Группа учащихся, выполнившая задание раньше всех, приглашается к доске для фиксации своего варианта алгоритма, независимо от его правильности.

– Обратите внимание на алгоритм, предложенный вашими одноклассниками. Согласны ли вы с их мнением? Есть ли другие варианты? (…)

После обсуждения на доске фиксируется согласованный вариант искомого алгоритма, например:

– Вернитесь на свои места. Прочитайте получавшийся алгоритм хором.

Дети читают хором шаги алгоритма.

– Что вы будете понимать под «удобными числами»? (Под «удобными числами» мы будем понимать числа, которые, во-первых, близки по значению, а во-вторых, удобны для вычислений.)

– А для чего третий шаг? (Прикидка ведь делается для чего-то, с помощью нее мы отвечаем на поставленный вопрос.)

– Молодцы! Вам остается придумать и записать опорный конспект к новому алгоритму. Предложите свой вариант.

Учащиеся придумывают и фиксируют на своих планшетках или выданных листах бумаги свои варианты опорных конспектов. Можно предоставить им полную свободу творчества в плане выбора символов для обозначений, а можно договориться о них сразу.

– Так как вы составили единый алгоритм прикидки результата для всех арифметических действий, давайте знак действия обозначим «звездочкой».

На доске фиксируется символ: *.

– Осталось придумать обозначение «удобных» чисел и знак приближенного равенства.

Можно выслушать предложения детей и выйти на нужное обозначение, которое так же фиксируется на доске: *, а , » .

После окончания работы учитель просит детей поднять планшетки или листы и показать, что у них получилось, а затем организует обсуждение предложенных вариантов. После этого на доску вывесить ранее заготовленный опорный сигнал Д–9:

– Выполнили вы свою задачу? (Не до конца, нужно еще потренироваться в его использовании.)

6. Первичное закрепление во внешней речи.

Цель :

зафиксировать в речи изученное учебное содержание: алгоритм прикидки арифметических действий, тренироваться в применении, построенного алгоритма при выполнении задания.

Организация учебного процесса на этапе 6:

1) – Вначале ответьте устно с помощью построенного алгоритма на вопрос: «Реально ли проехать на автомобиле расстояние 1543 км за 48 часов?». Как это сделать? (Надо прикинуть скорость движения автомобиля.)

– С чего начнете? (Составим выражение для нахождения скорости. Так как скорость равна пройденному пути, деленному на время движения, то получится выражение 1543: 48.)

Учитель выставляет на доске карточку с записью:

1543: 48

– Что сделаете потом? (Прикидку частного. Для этого вначале заменим числа 1543 и 48 удобными круглыми числами – 1500 и 50, затем выполним деление и получим число 30.)

По ходу ответов учитель выставляет на доске карточку с частным 1500: 50 и дописывает результат прикидки:

– В чем заключается последний шаг алгоритма? (Анализируем полученный результат и делаем вывод.)

– Какой вывод вы сделаете в данном случае? (Преодолеть 1543 км за 48 часов реально, так как скорость автомобиля может быть равна 30 км/ч. Так как скорость автомобиля, вообще говоря, может быть и большей, то можно проехать это расстояние и за меньшее время.)

2) № 1, стр. 28 (устно).

а) 248 и 702 заменяем удобными числами – 200 и 700. 200 · 700 =140 000. Значит, в ответе получается шестизначное число, а у Веры – пятизначное число.

б) Число 42 300 заменим удобным числом 42 000, а число 6 оставим без изменения. Тогда

42 000: 6 = 7000, а у Володи получился ответ почти в 10 раз меньше.

3) № 3 (1) , стр . 29.

603 · 490 ≈ 600 · 500 = 300 000 6 0 3

4 9 0

5 4 2 7

2 4 1 2

2 9 5 4 7 0

Задание выполняется одним из учащихся на доске с комментированием, остальные дети работают в тетрадях.

3) № 4 (1) , стр . 29.

Работа с данным заданием проводится в парах с комментированием в громкой речи.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель:

1) организовать самостоятельное выполнение учащимися заданий на новый способ действий: проверить свое умение производить прикидку результатов арифметических действий.

2) организовать самооценку детьми правильность выполнения задания (при необходимости – коррекцию возможных ошибок).

Организация учебного процесса на этапе 7:

Что вы теперь должны сделать? (Проверить свои знания.)

Что вам поможет проверить свои знания? (Самостоятельная работа.)

– У вас на столах лежат конверты с посланием от вашего старого мудрого знакомого. Как вы думаете, от кого? (От Стивенса!)

– Еще одну свою загадку Стивенс предлагает отгадать сегодня каждому из вас. Достаньте из конвертов задание.

Учащиеся вынимают из конвертов, лежащих на столах, листы с числовыми равенствами Р–3:

892 468 – 596 275 = 3993

72 529 + 3456 = 97 085

26 312: 46 = 572

305 · 540 = 12 900

– Известно, что среди данных примеров только один решен верно. Сумейте отыскать его за 1 минуту. Можете работать на этих же листах. Начали!

Здесь так же можно засечь время с помощью песочных часов. Учащиеся обозначают неверные равенства знаком минус прямо на листах с заданием. После окончания времени, отведенного на выполнение самостоятельной работы, детям раздаются эталоны для самопроверки, по которым они проверяют свои результаты.

– Стоп! Ваше время закончилось. Проверьте себя по эталону для самопроверки и зафиксируйте результат проверки при помощи знаков «+» или «?».

Как вы выполняли задание?

– Кто испытал затруднение при выполнении задания? (…)

– В чем причина? (Не смогли подобрать «удобные» числа; допустили вычислительные ошибки и т.п.)

– Поднимите руки, у кого все верно. (…)

– Вы молодцы! Поставьте себе «+»!

8. Включение в систему знаний и повторение.

Цель:

тренировать способность к решению задач на разностное и кратное сравнение чисел, решению составных уравнений с комментированием по компонентам действий.

Организация учебного процесса на этапе 8:

1) № 6, стр. 29.

Анализ задачи:

Известно… Надо найти…

Чтобы узнать, сколько всего было деревьев в роще, надо найти сумму деревьев всех видов.

Из условия известно только количество берез – 240, а количество остальных деревьев не известно, но их можно найти. Сказано, что кленов было на 93 меньше, чем берез, то есть 240 – 93. Чтобы узнать количество сосен, надо удвоить полученное число кленов. Сложим количество берез и сосен и разделим на 3 – получим количество елей. Для ответа на вопрос задачи надо сложить полученные числа.

1) 240 – 93 = 147 (д.) – количество кленов;

2) 147 · 2 = 294 (д.) – количество сосен;

4) 534: 3 = 178 (д.) – количество елей;

Известно, что подберезовиков было в 4 раза больше, чем белых. Значит, чтобы найти их количество, надо полученное число белых грибов умножить на 4.

Чтобы найти количество подосиновиков, из 34 вычтем найденное число подберезовиков.

1) 38 – 34 = 4 (г.) – белых;

2) 4 · 4 = 16 (г.) – подберезовиков;

3) 34 – 16 = 18 (г.)

Ответ: из леса принесли 4 белых гриба, 16 подберезовиков и 18 подосиновиков.

– Прочитайте условия задач и выберите ту задачу, которую вам хочется решить.

Учащиеся читают условия задач и делают свой выбор.

– Поднимите руки те, кто будет решать первую задачу. (…)

– А теперь поднимите руки те, кто будет решать вторую задачу. (…)

Двое учащихся работают самостоятельно на скрытых досках, остальные выполняют решение в рабочих тетрадях. В завершение те, кто работал у доски, обосновывают заполнение схемы, проводят анализ задачи и объясняют решение. В завершение, учитель организует согласование представленных вариантов решения со всеми учащимися класса.

2) № 8 (а), стр. 29.

(920 – х ) : 20 Å 25 = 63 Последнее действие – сложение, не известно слагаемое.

(920 – х ) : 20 = 63 – 25 Чтобы найти слагаемое, надо из суммы вычесть известное

Слагаемое. (920 – х ) : 20 равно разности 63 и 25, или 38.

(920 – х ) : 20 = 38 Последнее действие – деление. Не известно делимое. Чтобы

920 – х = 38 · 20 найти делимое, надо частное умножить на делитель. 920 – х

Равно произведению 38 и 20, или 760.

920 – х = 760 Не известно вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, надо из

х = 920 – 760 уменьшаемого вычесть разность. х равен разности 920 и 760,

х = 160 или 160.

(920 – 160) : 20 + 25 = 63 Проверка : подставим число 160 в данное уравнение вместо х .

38 + 25 = 63 920 – 160 = 760, 760: 20 = 38, 38 + 25 = 63. Итак, значение

63 = 63 (и) выражения в левой части равенства равно числу, стоящему в

правой части. Равенство истинно, следовательно, уравнение

Решено верно.

Один учащийся работает на доске с комментированием, а остальные дети – в тетрадях.

9. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

Цели:

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) организовать рефлексивный анализ учебной деятельности с точки зрения выполнения требований, известных учащимся;

3) оценить собственную деятельность на уроке;

4) зафиксировать неразрешенные на уроке затруднения, если они есть, как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 9:

– Что нового вы сегодня узнали? (Как выполнять «прикидку результатов арифметических действий».)

– Что означает термин «прикидка»? (Способ быстрых приближенных вычислений.)

– Как делают прикидку? (Заменяют числа удобными круглыми числами, а затем выполняют действие.)

Можно попросить детей придумать ситуации из жизни, в разрешении которых поможет прикидка результатов арифметических действий.

– С каким новым математическим знаком вы познакомились на уроке? («Приближенно равно».)

– Для чего он используется? (Для записи результата неточных вычислений.)

– У кого остались вопросы на конец урока?

– Кто считает, что он хорошо разобрался в теме? (…)

– Как вы думаете, над чем надо поработать дома? (…)

Домашнее задание:

Задачи изучения темы:

В работе над числовыми выражениями можно выделить 2 основных этапа:

1) Изучение простейших выражений вида: сумма (2 + 3); разность (5 -1); произведение (3 4); частное (12:4).

2) Изучение усложненных выражений, содержащих два и более действий, со скобками и без них.

Упражнения:

42 – 12: 6 = 5, 6 · 5 + 40: 2 = 50, 6 · 5 + 40: 2 = 35.

2. Расставить скобки так, чтобы выражение имело заданное значение:

72 – 24: 6 + 2 = 66, 72 – 24: 6 + 2 = 6, 72 – 24: 6 + 2 = 10, 72 – 24: 6 + 2 = 69

76 – (20 + 4) = 76 – 20…

(10 + 7) · 5 = 10 · 5…

60: (2 · 10) = 60: 10…

36 + 20 + (30 + 6) =+ 20 = (30 + 20) + 6 = 56

72: 3 = (60 + 12) : 3 = 60: 3 + 12: 3 = 24

18 · 30 = 18 · (3 · 10) = (18 · 3) · 10 = 540

Необходимо понять, что все эти выражения соединены знаком «=», потому что имеют одинаковые значения.

Для действительных чисел можно определить арифметические действия – сложение, вычитание, умножение и деление. Как это делается, можно узнать из приводимых ниже мелким шрифтом рассуждений. Читатель, который найдет нужным познакомиться с этими рассуждениями, увидит, что арифметические действия над бесконечными дробями сопряжены с необходимостью совершать некоторые бесконечные процессы. На практике арифметические действия над действительными числами производятся приближенно.

На этом пути возможны и формальные определения этих действий. Об этом будет идти речь в § 1.8.

В следующем параграфе перечисляются свойства действительных чисел, вытекающие из сделанных определений. Мы формулируем эти свойства. Их можно доказать, но мы доказываем их лишь в отдельных случаях (полное доказательство см., например, в учебнике С. М. Никольского «Математический анализ», т. I, гл. 2). Эти свойства собраны в пять групп (I – V). Первые три из них содержат элементарные свойства, которыми мы руководствуемся при арифметических вычислениях и решении неравенств. Группа IV составляет одно свойство (Архимеда). Наконец, группа V также состоит из одного свойства. Это свойство формулируется на языке пределов. Оно будет доказано, но позже – в § 2.5.

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей Как найти прямую пересечения двух плоскостей

Переподготовка увольняемых военнослужащих II