Стандартными методами, но зашли в тупик с очередным примером.
В чём состоит трудность и где может быть загвоздка? Отложим в сторону намыленную верёвку, спокойно проанализируем причины и ознакомимся с практическими приёмами решения.
Первое, и самое главное : в подавляющем большинстве случаев для исследования сходимости ряда необходимо применить какой-нибудь знакомый способ, но общий член ряда набит настолько хитрой начинкой, что совершенно не очевидно, что с ней делать. И вы ходите по кругу: не срабатывает первый признак, не годится второй, не получается третьим, четвёртым, пятым методом, потом черновики отбрасываются в сторону и всё начинается заново. Обычно это связано с недостатком опыта или пробелами в других разделах математического анализа. В частности, если запущены пределы последовательностей и поверхностно разобраны пределы функций , то придётся туго.
Иными словами, человек просто не видит нужный приём решения в силу недостатка знаний или опыта.
Бывает виновато и «затмение», когда, например, элементарно не выполнен необходимый признак сходимости ряда, но по незнанию, невнимательности либо небрежности это выпадает из поля зрения. И получается как в той байке, где профессор математики решил детскую задачку с помощью диких рекуррентных последовательностей и числовых рядов =)
В лучших традициях сразу живые примеры: ряды 
и их родственники – расходятся, так как в теории доказаны пределы последовательностей
. Скорее всего, в первом семестре из вас вытрясут душу за доказательство на 1-2-3 страницы, но сейчас вполне достаточно показать невыполнение необходимого условия сходимости ряда, сославшись на известные факты. Известные? Если студент не знает, что корень энной степени – штука чрезвычайно мощная, то, скажем, ряды 
поставят его в тупик. Хотя решение, как дважды два: , т.е. по понятной причине оба ряда расходятся. Скромного комментария «данные пределы доказаны в теории» (или даже вовсе его отсутствия) вполне хватит для зачёта, всё-таки выкладки достаточно тяжёлые и относятся они точно не к разделу числовых рядов.
А изучив ближайшие примеры, вы будете только удивляться краткости и прозрачности многих решений:
Пример 1
Исследовать сходимость ряда
Решение : прежде всего, проверяем выполнение необходимого признака сходимости . Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».
«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?
Примерные образцы оформления задач в конце урока.
Не редкость, когда приходится проводить двухходовое (а то и трёхходовое) рассуждение:
Пример 6
Исследовать сходимость ряда
Решение
: сначала аккуратно разбираемся с тарабарщиной числителя. Последовательность – ограничена: . Тогда:
Сравним наш ряд с рядом . В силу только что полученного двойного неравенства, для всех «эн» будет выполнено:
Теперь сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом .
Знаменатель дроби меньше
знаменателя дроби , поэтому сама дробь
– больше
дроби (распишите несколько первых членов, если не понятно). Таким образом, для любого «эн»:
А значит, по признаку сравнения ряд 
расходится
вместе с гармоническим рядом.
Если немного видоизменить знаменатель: 
, то первая часть рассуждений будет аналогична: 
. Но вот для доказательства расходимости ряда уже применим только предельный признак сравнения, так как неравенство неверно.
Ситуация со сходящимися рядами «зеркальна», то есть, например, для ряда можно использовать оба признака сравнения (неравенство справедливо), а для ряда – только предельный признак (неравенство неверно).
Продолжаем наше сафари по дикой природе, где на горизонте замаячило стадо грациозных и сочных антилоп:
Пример 7
Исследовать сходимость ряда
Решение : необходимый признак сходимости выполняется, и мы снова задаёмся классическим вопросом: что делать? Перед нами нечто напоминающее сходящийся ряд , однако, чёткого правила тут нет – такие ассоциации зачастую обманчивы.
Зачастую, да не в этот раз. С помощью предельного признака сравнения
сравним наш ряд со сходящимся рядом . В ходе вычисления предела используем замечательный предел
, где в качестве бесконечно малой величины
выступает :
сходится вместе с рядом .
Вместо применения стандартного искусственного приёма домножения и деления на «тройку», можно было изначально провести сравнение со сходящимся рядом .
Но здесь желательна оговорка, что константа-множитель общего члена не влияет на сходимость ряда. И как раз в таком стиле оформлено решение следующего примера:
Пример 8
Исследовать сходимость ряда
Образец в конце урока.
Пример 9
Исследовать сходимость ряда
Решение : в предыдущих примерах мы пользовались ограниченностью синуса, но сейчас это свойство оказывается вне игры. Знаменатель дроби более высокого порядка роста , чем числитель, поэтому при аргумент синуса и весь общий член бесконечно малЫ . Необходимое условие сходимости, как понимаете, выполнено, что не позволяет нам отлынивать от работы.
Проведём разведку: в соответствии с замечательной эквивалентностью
, мысленно отбросим синус и получим ряд . Ну а уж такое-то….
Оформляем решение:
Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
Заменим бесконечно малую эквивалентной: при 
.
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
Пример 10
Исследовать сходимость ряда
Это пример для самостоятельного решения.
Для планирования дальнейших действий в подобных примерах здОрово помогает мысленное отбрасывание синуса, арксинуса, тангенса, арктангенса. Но помните, такая возможность существует лишь при бесконечно малом аргументе, не так давно мне попался провокационный ряд:
Пример 11
Исследовать сходимость ряда
.
Решение
: здесь бесполезно использовать ограниченность арктангенса, и эквивалентность тоже не работает. Выход неожиданно прост:
Исследуемый ряд расходится
, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Вторая причина «затыка на задании» состоит в приличной навороченности общего члена , что вызывает затруднения уже технического характера. Грубо говоря, если рассмотренные выше ряды относятся к разряду «фиг догадаешься», то эти – к категории «хрен решишь». Собственно, это и называют сложностью в «обычном» понимании. Далеко не каждый правильно разрулит несколько факториалов, степеней, корней и прочих обитателей саванны. Больше всего проблем доставляют, конечно же, факториалы:
Пример 12
Исследовать сходимость ряда
Как возвести факториал в степень? Легко. По правилу действий со степенями, необходимо возвести в степень каждый множитель произведения:
И, конечно же, внимание и ещё раз внимание, сам-то по себе признак Даламбера работает традиционно:
Таким образом, исследуемый ряд сходится .
Напоминаю рациональную методику устранения неопределённости : когда понятен порядок роста числителя и знаменателя – совсем не обязательно мучаться и раскрывать скобки.
Пример 13
Исследовать сходимость ряда
Зверь очень редкий, но встречается, и было бы несправедливым обойти его объективом камеры.
Что такое факториал с двойным восклицательным знаком? Факториал «накручивает» произведение положительных чётных чисел:
Аналогично, факториал «накручивает» произведение положительных нечётных чисел:
Проанализируйте, в чём состоит отличие от и
Пример 14
Исследовать сходимость ряда
А в этом задании постарайтесь не запутаться со степенями, замечательными эквивалентностями и замечательными пределами .
Образцы решений и ответы в конце урока.
Но студент достаётся на корм не только тиграм – свою добычу выслеживают и хитрые леопарды:
Пример 15
Исследовать сходимость ряда
Решение
: практически мгновенно отпадают необходимый признак сходимости, предельный признак, признаки Даламбера и Коши. Но хуже всего, что бессилен неоднократно выручавший нас признак с неравенствами. Действительно, сравнение с расходящимся рядом невозможно, так как неравенство 
неверно – множитель-логарифм только увеличивает знаменатель, уменьшая саму дробь 
по отношению к дроби . И другой глобальный вопрос: а почему мы вообще изначально уверены, что наш ряд 
непременно обязан расходиться и его нужно сравнивать с каким-либо расходящимся рядом? Вдруг он вообще сходится?
Интегральный признак? Несобственный интеграл
навевает траурное настроение. Вот если бы у нас был ряд 
… тогда да. Стоп! Так и рождаются идеи. Оформляем решение в два шага:
1) Сначала исследуем сходимость ряда 
. Используем интегральный признак
:
Подынтегральная функция непрерывна на
Таким образом, ряд 
расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
2) Сравним наш ряд с расходящимся рядом 
. Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится
вместе с рядом 
.
И в таком решении нет ничего необычного или творческого – так и надо решать!
Предлагаю самостоятельно оформить следующую двухходовку:
Пример 16
Исследовать сходимость ряда
Студент с некоторым опытом в большинстве случаев сразу видит, сходится ряд или расходится, но, бывает, что хищник ловко маскируется в кустах:
Пример 17
Исследовать сходимость ряда
Решение
: на первый взгляд вообще не понятно, как ведёт себя этот ряд. А если перед нами туман, то логично начать с черновой проверки необходимого условия сходимости ряда. В целях устранения неопределённости используем непотопляемый метод умножения и деления на сопряженное выражение
:
Необходимый признак сходимости не сработал, но вывел на чистую воду нашего тамбовского товарища. В результате выполненных преобразований получен эквивалентный ряд 
, который в свою очередь сильно напоминает сходящийся ряд .
Записываем чистовое решение:
Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
Умножим и разделим на сопряженное выражение:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .
Возможно, у некоторых возник вопрос, откуда на нашем африканском сафари появились волки? Не знаю. Завезли, наверное. Следующую трофейную шкуру добывать вам:
Пример 18
Исследовать сходимость ряда
Примерный образец решения в конце урока
И, наконец, ещё одна мысль, которая в отчаянии посещает многих студентов: а не использовать ли более редкий признак сходимости ряда ? Признак Раабе, признак Абеля, признак Гаусса, признак Дирихле и прочие неведомые зверушки. Идея рабочая, но в реальных примерах осуществляется очень редко. Лично я за все годы практики лишь 2-3 раза прибегнул к признаку Раабе , когда действительно ничего не помогло из стандартного арсенала. Полностью воспроизвожу ход своего экстремального квеста:
Пример 19
Исследовать сходимость ряда
Решение
: Безо всяких сомнений признак Даламбера. В ходе вычислений активно использую свойства степеней, а также второй замечательный предел
:
Вот тебе и раз. Признак Даламбера не дал ответа, хотя ничего не предвещало такого исхода.
Пошерстив справочник, я нашёл доказанный в теории малоизвестный предел и применил более сильный радикальный признак Коши:
Вот тебе и два. И, главное, совершенно не понятно, сходится ряд или расходится (крайне редкая для меня ситуация). Необходимый признак сравнения? Без особых надежд – даже если немыслимым образом разберусь с порядком роста числителя и знаменателя, то это ещё не гарантирует вознаграждения.
Полный даламбер, но самое скверное, что ряд нужно решить. Нужно. Ведь это будет первый случай, когда я сдамся. И тут мне вспомнилось, что вроде существуют ещё какие-то более сильные признаки. Передо мной был уже не волк, не леопард и не тигр. Это был огромный слон, размахивающий большим хоботом. Пришлось взять в руки гранатомёт:
Признак Раабе
Рассмотрим положительный числовой ряд .
Если существует предел 
, то:
а) При ряд расходится
. Причём полученное значение может быть нулевым или отрицательным
б) При ряд сходится
. В частности, ряд сходится при .
в) При признак Раабе не даёт ответа
.
Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь:
Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился.Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя
, и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.
Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-й том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда . И дальше пошло решение по образцу.
Которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.
На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =)
Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда.
Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате:
При любом натуральном значении :
1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .
2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:
Отрицательный аргумент дела не меняет: 
.
Пожалуй, достаточно.
И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать
.
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала
, интегрировать по частям
и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница
. Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:
Пример 1
Вычислить определённые интегралы
где принимает натуральные значения.
Решение : интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала :
Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:
Привыкаем:
Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.
После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры
и готовимся к старту!
Разложение функции в ряд Фурье на промежутке
Рассмотрим некоторую функцию , которая определена
по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье
:
, где – так называемые коэффициенты Фурье
.
При этом число называют периодом разложения , а число – полупериодом разложения .
Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:
Действительно, распишем его подробно:
Нулевой член ряда принято записывать в виде .
Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:
Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения , полупериод , коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:
Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?
Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.
Как разложить функцию в ряд Фурье?
По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла .
Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)
Пример 2
Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы .
Решение : первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье.
Начало стандартное, обязательно записываем, что:
В данной задаче период разложения , полупериод .
Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :
Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье . Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла . Для удобства я буду нумеровать пункты:
1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:
2) Используем вторую формулу:
Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям
: 
При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала .
В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле
:
Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки
, так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её
! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» 
проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания;-)
И самое главное – предельная концентрация внимания!
3) Ищем третий коэффициент Фурье:
Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям
:
Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:
(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки . Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .
(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание
уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» 
всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла;-)
(3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.
(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: .
(5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения.
Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:
Подставим их в формулу 
:
При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.
Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке : 
Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле , буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее) .
Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .
График функции представляет собой обычную прямую на плоскости
, которая проведена чёрным пунктиром: 
Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье 
при любом значении «икс»
сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода
в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)
Таким образом: 
. Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи 
ставится значок «тильда», а не знак равенства.
Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.
На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).
Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье 
входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда 
тоже представляет собой периодическую функцию
.
Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда 
– непременно периодична
и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа.
Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется.
На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается.
Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода
. В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: 
. Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина.
Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда
. Распишем наше богатство подробно:
Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть,
На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме .
Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция , однако полная сумма ряда всё же разрывна.
На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора.
Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё.
После выполнения чертежа завершаем задание:
Ответ
: 
Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:
Пример 3
Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда.
Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке )
и терпит разрыв 1-го рода
в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:
Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.
Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.
Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: 
и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.
В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.
По сути-то ничего нового здесь нет.
Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.
Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде
Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:
Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.
Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:
Пример 4
Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.
Решение : фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.
Разложим функцию в ряд Фурье:
Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:
1) Первый интеграл распишу максимально подробно:
2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:
Второй интеграл берём по частям
:
На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?
Во-первых, не теряем первый интеграл 
, где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала
. Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках
при использовании формулы 
. Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.
Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов.
Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)
3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:
Интегрируем по частям:
Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу 
, не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:
Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды:
На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .
Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах
Ответ :
Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: 
. Решение (см. 2-й том Бохана)
такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции
в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.
На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.
А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:
Пример 5
Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.
В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.
Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций
С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» 
и произвольном периоде «два эль» 
.
Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .
Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам
:
Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.
Для промежутка :
Для произвольного промежутка:
К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций 
. Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:
Пример 6
Дана функция . Требуется:
1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;
2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .
Решение : в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.
1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой
Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: 
.
Коэффициенты Фурье ищем по формулам 
. Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля 
, рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.
Два:
Интегрируем по частям:
Таким образом:
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.
Ответ
: 
2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :
В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими процессами: колебательными движениями деталей машин, приборов, движением небесных тел и элементарных частиц, электромагнитными колебаниями и т.д. Математически такие процессы описываются периодическими функциями.
Функция f (x ), определенная на всей числовой оси, кроме, может быть, некоторых точек, называется периодической с периодом Т, если существует такое число Т≠0, что для любого значения х из области определения функции выполняется равенство:
f (x + T ) = f (x ).
Если число Т является периодом функции f (x ), то число Т·п при любом целом п так же будет периодом этой функции.
Наименьший из положительных периодов данной функции называют основным периодом функции.
Например, любую константу можно рассматривать как периодическую функцию с каким угодно периодом. Наиболее известными периодическими функциями с периодом Т = 2π являются тригонометрические функции у = sin х, у = cos х..
Свойства периодических функций
Сумма, разность, произведение и частное периодических функций с периодом Т есть периодическая функция с тем же периодом.
2. Если функция f (x ) имеет период Т, то функция f (a · x ) имеет период , гдеа ≠0, а = const .
Например,
так как функции y
=
sinx
,
y
=
cosx
являются
периодическими с периодом Т=2π,
то функции
y
=
sinkx
и y
=
coskx
также являются
периодическими и имеют период
.
Функцииy
=
sinkx
и у
=
coskx
называют
«простыни
гармониками».
3.
Определенный интеграл от периодической
функции по отрезку, который равен
периоду, не зависит от положения отрезка
интегрирования на оси, т.е.
если f
(x
)
=
f
(x
+
T
),
тo
.
Геометрически для неотрицательных функций это свойство означаетравенство площадей закрашенных областей фигур (рисунок 2).
Рисунок 2
4.2. Ортогональные системы функций
Рассмотрим несколько вспомогательных понятий, которые потребуются нам в дальнейшем.
Функции f (x ) и φ(х) называются ортогональными на отрезке [а, b ], если они определены, интегрируемы на этом отрезке и выполняется равенство
.
Например,
рассмотрим функции f
(x
)=
х
и
на
отрезке.
Они определены
и непрерывны на отрезке .
Найдем
определенный интеграл от произведения
этих функций по указанному отрезку:
.
Следовательно,
функции f
(x
)
=
x
и
ортогональны
на отрезке.
Система функций f ,(x ), f 2 (x ),…, f n (x ) называется ортогональной на отрезке [a , b ], если любые две различные функции ортогональны, т.е.
В качестве примера приведем систему {1, cosx , sinx , cos2x , sin2x ,..., cosnx , sinnx ,... }, п Z, которая является ортогональной системой функций на отрезке [-π, π], т.е. является ортогональной системой на отрезке, равном периоду этих функций.
4.3. Гармонические колебания. Тригонометрический ряд
Одним,
из важнейших понятий в радиоэлектронике
являются электрические колебания. Это
колебания напряжения, тока, заряда.
Например, радиоволны представляют собой
колебания электромагнитного поля.
Гармоническим
колебанием
будем
называть любой процесс, который
описывается периодической функцией с
периодом
или, что равносильно, функцией вида
Эту функцию называют синусоидальной или гармоникой; А - амплитуда колебания, это наибольшее значение размаха колебания; ω -угловая частота, показывает, сколько раз данное периодическое явление повторится за 2π (единицу времени); φ - начальная фаза гармонического колебания.
Если мы сложим периодические функции
частоты
которых
ω,
2ω,…, k
ω,…
кратны
наименьшей из них, а периоды соответственно
равны
,
то в результате получим функцию
которая также является периодической с периодом Т, но будет значительно отличаться от синусоидальной функции.
Оказывается, что если взять бесконечное множество простых гармоник, то любую периодическую функцию, с определенными, правда, свойствами, можно представить в виде их суммы или, как говорят, в виде тригонометрического ряда.
Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида
=
.
Числа
а
п
и b
n
,
где n
=1,2,3,...,
называют
коэффициентами
ряда.
Свободный
член (нулевую гармонику) записывают в
виде 
для единообразия последующих формул.
Для изучения сложного колебания, описываемого функцией f (x ), периодической с периодом Т=2π, можно представить его в виде суммы простых гармонических колебаний, т.е. разложить в функцию в тригонометрический ряд
.
Поставленная задача требует решения трех вопросов:
При каких условиях периодическую функцию f (x ) с периодом Т можно представить в виде тригонометрического ряда?
Единственно ли это разложение?
Как вычислить коэффициенты этого ряда?
Мы начнем с решения последних двух вопросов.
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
или,
короче,
Действительные числа a i , b i называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2, т.к. функции sinnx и cosnx также периодические функции с периодом 2.
Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-; ], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).
Определим коэффициенты этого ряда.
Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:
Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул. Подробнее см. Интегрирование тригонометрических функций.
Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-; ], то существует интеграл
Такой
результат получается в результате того,
что
.
Отсюда
получаем:
Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sinnx и интегрируем в пределах от - до.
Получаем:
Выражение для коэффициента а 0 является частным случаем для выражения коэффициентов a n .
Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2, непрерывная на отрезке [-; ] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты
существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).
Функциональные ряды.
Определение.
Частными (частичными) суммами
функционального ряда
называются функции
Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке (х=х 0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности называется суммой рядав точке х 0 .
Определение. Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд называется областью сходимости ряда.
Определение. Ряд называется равномерно сходящимся на отрезке , если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.
Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для равномерной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого числа >0 существовал такой номерN(), что при n>N и любом целом p>0 неравенство
выполнялось бы для всех х на отрезке .
Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.
Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция f(x) имеет период 2 и на отрезке
[-;] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок
[-;] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна, то ряд Фурье для функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности функции f(x) его сумма равна f(x), а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа. При этом ряд Фурье функцииf(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Функция f(x), для которой выполняются условия теоремы Дирихле называется кусочно – монотонной на отрезке [-;].
Теорема. Если функция f(x) имеет период 2, кроме того, f(x) и ее производная f’(x) – непрерывные функции на отрезке [-;] или имеют конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке, то ряд Фурье функции f(x) сходится при всех значениях х, причем в точках непрерывности его сумма равна f(x), а в точках разрыва она равна . При этом ряд Фурье функцииf(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции f(x).
Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке [-;].
В ряде случаев, исследуя коэффициенты рядов вида (С) или можно установить, что эти ряды сходятся (исключая, быть может, отдельные точки) и являются рядами Фурье для своих сумм (см., например, предыдущий п°), но во всех этих случаях естественно возникает вопрос,
как найти суммы этих рядов или - точнее - как выразить их в конечном виде через элементарные функции, если они, вообще, в таком виде выражаются. Еще Эйлер (а также Лагранж) с успехом применял для суммирования тригонометрических рядов в конечном виде аналитические функции комплексной переменной. Идея метода Эйлера состоит в следующем.
Допустим, что при некотором наборе коэффициентов ряды (С) и сходятся к функциям повсюду в промежутке исключая разве лишь отдельные точки. Рассмотрим теперь степенной ряд с теми же коэффициентами, расположенный по степеням комплексной переменной
На окружности единичного круга т. е. при этот ряд по предположению сходится, исключая отдельные точки:
В таком случае, по известному свойству степенных рядов ряд (5) заведомо сходится при т. е. внутри единичного круга, определяя там некоторую функцию комплексной переменной. Используя известные нам [см. § 5 главы XII] разложения элементарных функций комплексной переменной, часто удается свести к ним и функцию Тогда для имеем:
и по теореме Абеля , лишь только ряд (6) сходится, его сумма получается как предел
Обычно этот предел равен попросту что и позволяет вычислить в конечном виде функции
Пусть, например, предложены ряды
Доказанные в предыдущем п° утверждения приводят к заключению, что оба эти ряда сходятся (первый - исключая точки 0 и
служат рядами Фурье для определяемых ими функций Но что это за функции? Для ответа на этот вопрос составим ряд
По сходству с логарифмическим рядом легко устанавливается его сумма:
следовательно,
Теперь легкое вычисление дает:
так что модуль этого выражения есть , а аргумент .
и, таким образом, окончательно
Результаты эти нам знакомы и даже были однажды получены с помощью «комплексных» соображений ; но в первом случае мы исходили из функций и , а во втором - из аналитической функции Здесь же впервые нам отправной точкой послужили сами ряды. Дальнейшие примеры подобного рода читатель найдет в следующем п°.
Подчеркнем еще раз, что нужно наперед быть уверенным в сходи и рядов (С) и чтобы иметь право определить их суммы с помощью предельного равенства (7). Одно существование предела в правой части этого равенства еще не позволяет сделать заключение о сходимости упомянутых рядов. Чтобы показать это на примере, рассмотрим ряды
