Нарушение норм материального права в гражданском процессе может являться одной из причин для изменения судебного акта или даже его отмены. Рассмотрим, что именно считается таким нарушением и какова должна быть степень его серьезности.
Разница между материальным и процессуальным правом
Материальное право - нормы, которые непосредственно регулируют общественные отношения. Они собраны в кодексах, законах, актах правительства и органов центральной власти, имеющих соответствующие полномочия по их изданию. Например, гражданский кодекс, закон «О защите прав потребителей». Постановления Правительства, иные следующие за ними акты также относятся к материальному праву. Не всегда понятно, какой акт применять, ведь они часто не согласованы между собой.
С процессуальным правом все проще. Оно включено в процессуальные кодексы. Иногда нормы, регулирующие процесс, изложены и в актах материального права, и тому пример закон о правах потребителей.
Нормативное регламентирование
Порядок применения законодательства регулируется нормами ГПК. Значительное влияние на практическое применение норм оказывается разъяснениями ВС РФ и судов уровня субъектов. Несмотря на применение понятия "нарушение норм материального права", критерии все же отличаются, если говорить обо всех стадиях рассмотрения дела.
Поводы для отмены решений
В процессуальных кодексах в качестве причины изменения или отмены судебных актов перечисляются разные поводы:
- нарушения норм материального права;
- нарушения процедуры рассмотрения дела в суде.
В качестве причины достаточно одного из поводов. При этом они считаются серьезными, если оказали влияние на результаты по делу или могли оказать его.
Подходы к оценке серьезности
Апелляционная стадия предусматривает выявление нарушений норм материального права как таковых. Кассационная стадия требует указать в жалобе нарушения, являющиеся существенными. Что именно понимать под таковыми, в данном случае не указывается. В разъясняющих документах Верховного суда на этот счет ничего также не отмечается, и по аналогии применяются положения об апелляционном пересмотре. Правда, там говорится о нарушениях как таковых.
Картина становится яснее, если изучить судебную практику кассационных инстанций по тем или иным делам, в частности главного суда страны. Другое дело, что судьи, указывая на правильные, по их мнению, подходы, сами не всегда их придерживаются. Таким образом, что определяется как существенные нарушения норм материального и процессуального права, до конца не выяснено.
Серьезные нарушения процесса
Если рассматривать нарушения норм материального и процессуального права в целом, то по первой категории в законе сказано немногое, конкретики мало. В случае с процедурными нормами сделано несколько иначе. Есть ошибки, которые может счесть достаточно серьезными суд, разбирающий дело.
Есть же нарушения, считающиеся серьезными в силу указания закона, без дополнительных условий:
- незаконный состав суда;
- отсутствие сведений об извещении заинтересованной стороны по делу о заседании;
- нарушение правил о языке (например, не привлечен переводчик);
- судебный акт затронул права и интересы лиц, которые не привлекались к процессу;
- судебный акт не подписан судьей или судьями или подписан, но не теми, кто принимал его;
- судья не выполнил правила о совещательной комнате;
- отсутствие протокола заседания.
Одного из перечисленных пунктов достаточно, чтобы решение отменили и на нарушения судом норм материального права не обратили внимания.
Теперь о материальном праве
ГПК описывает нарушения в области материального права следующим образом:
- неприменение закона, который должен был быть применен;
- применение не того закона;
- неправильное толкование норм закона.
Несмотря на то что говорится о законе, данное правило вполне применимо к иным нормативно-правовым актам материального права. В таком случае работает положение о применении процессуального закона по аналогии.
Неправильный выбор закона для решения дела
Здесь подразумевается две ситуации:
- выбран не тот нормативный акт (например, суд применил статьи не земельного, а гражданского кодекса);
- применена не та редакция нормативного акта.
Первый вариант не редкость из-за путаницы в соотношении законов и иных актов. Подобное происходит в сфере регулирования деятельности юридических лиц. Их статус регламентируется и ГК и специальными законами, совместить их бывает совсем не просто. Приходится выбирать между несколькими подходами. Отметим, что периодически меняется и позиция высших судов относительно того, который из них правильный. Имеет место разница в понимании закона между Верховным и Конституционным судами.
Некоторые дела весьма специфичны, например, споры в сфере ЖКХ. Там действует целый пласт нормативных документов, значительно ограничивающих в реальности непосредственное действие кодексов.
Российское законодательство трудно назвать стабильным. Регулярно в нормативные акты вносят изменения. Задача судьи правильно определить, какая редакция действовала на момент возникновения спора между сторонами. Иногда сталкиваются с необходимостью изучить документ, который уже отменен. Путаница возникает из-за многоступенчатого порядка вступления актов в силу. Проходит немало времени между подписанием и опубликованием, из-за чего не всегда ясно, в каких временных рамках он действует. Это две основные причины нарушения норм материального права в гражданском процессе.
Вопросы толкования
Задача практикующего юриста - понять смысл закона или подзаконного нормативного акта. Они не всегда написаны так, чтобы было легко понять их смысл. Встречается несогласованность даже в рамках одной статьи закона, не говоря о его положениях, размещенных в разных частях документа. Даже вполне ясная норма может вызывать двоякое толкование.
При составлении текста нормативного документа применяется принцип: от общего к частному. Нельзя сказать, что он успешно применяется. Периодически изложение исключений из общего правила делается так, что до конца непонятно, на какие именно ситуации они распространяются.
Спасением в некоторой степени являются позиции Высших судов, однако они даются не всегда или не дают ответы на все вопросы, появляющиеся у судей.
В заключение
Нарушение судом норм материального и процессуального права - причина отмены ранее принятых судебных актов, упоминающаяся в постановлениях апелляционного и кассационного уровня. Первая касается неправильного выбора акта, который регулирует спорные отношения (не так редакция, применен документ, имеющий меньшую юридическую силу, и т. д.).
Процессуальные нарушения - невыполнение порядка рассмотрения дела. Одного из них достаточно, чтобы судебный акт отменили. Эти нарушения имеют больше влияния на карьеру судьи, чем ошибки в применении материального права.
Понятие норм материального права в гражданском процессе
Материальное право обладает собственными необходимыми, присущими ему формами процессуальной защиты. Судебное право и процесс так же обладают тесной связью друг с другом. Единый дух должны иметь судебный процесс и законодательство, ибо процесс есть лишь форма жизни закона, а значит, отображение его внутренней жизни.
Определение 1
Норма материального права является нормой, выступающей начальным регулятором отношений в обществе, т. е. правилом поведения, на основании которого принимается конкретное решение по делу юридического характера.
Эта норма является общеобязательной, формально определенной и в установленном порядке может приниматься, изменяться, обеспечиваться государством. Она обладает четко определенной структурой:
- Гипотезой;
- Диспозицией;
- Санкцией (которая по содержанию является мерой справедливости и свободы).
Сущность норм материального права в гражданском процессуальном праве
Гражданское процессуальное право является принудительной формой реализации семейно-правовых, гражданско-правовых и иных правовых обязанностей.
Замечание 1
Право является ничтожным без аппарата, который способен принуждать к соблюдению его норм. Этим аппаратом принуждения в большинстве случаев выступает суд.
Одновременно с этим гражданское процессуальное право без регулятивного права являлось бы бесцельным, так как роль гражданского процессуального права заключается в охране и защите существующих прав.
Связь меж процессуальным и материальным правом проявлена непосредственным образом в отдельных нормах и институтах. Во множестве случаев нормы материального права, учреждая сделочную форму, разрешают вопрос по доказательствам, которыми могут устанавливаться факты образования этого правоотношения.
Связь гражданского процессуального права с конституционным правом проявляется в том, что принципы деятельности и организации суда устанавливаются нормами материального права, изначально Конституцией РФ.
Гражданское процессуальное право обладает связью с множеством иных отраслей материального права, нормы которых суд использует в рассмотрении и разрешении гражданских дел.
Гражданское процессуальное право тесно взаимодействует с уголовным процессуальным правом. Данные правовые отрасли объединяет, прежде всего, то, что они урегулировали отношения в обществе, которые связаны с реализацией правосудия на территории России. В гражданском и уголовном процессуальном праве существуют похожие по сути принципы и институты.
Гражданское процессуальное право обладает тесной связью с арбитражным процессуальным правом. Данная связь обуславливается общностью задач судов общей юрисдикции и арбитражных судов в целях защиты субъективных прав и интересов, охраняемых законом.
В гражданском и арбитражном процессах существуют общие институтоы:
Предметом разбирательства дел могут служит споры по праву, которые возбуждаются посредством предъявления иска; разрешение и разбирательство дел производится в состязательной процессуальной форме при участии сторон и проверкой доказательств, на основании которых должны устанавливаться действительные взаимные отношения сторон.
Но если деятельность суда общей юрисдикции регламентирована материальными нормами Гражданского процессуального кодекса, то деятельность арбитражных судов урегулирована специализированными правовыми актами, которые устанавливают порядок рассмотрения споров в арбитражных судах.
Защита материальных прав в гражданском процессе
Содержанием материально-правовых способов защиты гражданских прав представляются действия, непосредственным образом направленные на устранение препятствий, которые возникают на пути реализации гражданских прав субъектами. Хоть в целом гражданско-правовые меры направляются на устранение препятствий в реализации гражданских прав, обладают восстановительным характером, их содержание представляется многообразным.
Замечание 2
По собственным целям материально-правовые действия защиты могут быть пресекательные, восстановительные и штрафные.
Особенности материально-правовых способов защиты обуславливаются соотношением специальных и общегражданских методов и средств правового регулирования. Кроме этого, необходимо понимать, что способы защиты гражданских прав предусматриваются охранительными нормами гражданского материального права.
Материально-правовыми способами защиты гражданских прав может достигаться реальное устранение препятствий, которые возникают по пути реализации субъектами их гражданских прав. Особенностями содержания материальных правовых способов защиты гражданских прав предопределяются конкретными направлениями защиты. В соответствии с этими целями материально-правовые способы защиты могут быть подразделены на восстановительные, пресекательные и штрафные.
Пресекательные меры заключаются в пресечении действий, которые нарушают право либо создают угрозу их нарушения; прекращении правовых отношений; приостановке работ; отмена актов, которые нарушают права и пр.
Восстановительные меры заключаются в восстановлении положения, которое существовало до нарушения прав; уничтожении препятствий в реализации права собственности; возврате имущества из незаконного хранения; возврате товара ненадлежащего качества; устранении недостатков реализованного товара; действиях по возмещению убытков и пр.
Штрафные меры выражаются неустойкой, отказом от приема работ и пр. Содержание пресекательных способов защиты состоит в том, что прекращаются неблагоприятные или незаконные действия, восстанавливается возможность беспрепятственного применения собственных прав.
Вектор
− чисто математическое понятие, которое лишь применяется в физике или других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач.
Вектор
− направленный отрезок прямой.
В курсе элементарной физики приходится оперировать двумя категориями величин − скалярными и векторными
.
Скалярными
величинами (скалярами) называют величины, характеризующиеся числовым значением и знаком. Скалярами являются длина − l
, масса − m
, путь − s
, время − t
, температура − T
, электрический заряд − q
, энергия − W
, координаты и т.д.
К скалярным величинам применяются все алгебраические действия (сложение, вычитание, умножение и т.д.).
Пример 1
.
Определить полный заряд системы, состоящий из зарядов, входящих в нее, если q 1 = 2 нКл, q 2 = −7 нКл, q 3 = 3 нКл.
Полный заряд системы
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) нКл = −2 нКл = −2 × 10 −9 Кл.
Пример 2
.
Для квадратного уравнения вида
ax 2 + bx + с = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √{b 2 − 4ac}).
Векторными
величинами (векторами) называют величины, для определения которых необходимо указать кроме численного значения так же и направление. Векторы − скорость v
, сила F
, импульс p
, напряженность электрического поля E
, магнитная индукция B
и др.
Численное значение вектора (модуль) обозначают буквой без символа вектора или заключают вектор между вертикальными черточками r = |r|
.
Графически вектор изображают стрелкой (рис. 1),
Длина которой в заданном масштабе равна его модулю, а направление совпадает с направлением вектора.
Два вектора равны, если совпадают их модули и направления.
Векторные величины складываются геометрически (по правилу векторной алгебры).
Нахождение векторной суммы по данным составляющим векторам называется сложением векторов.
Сложение двух векторов производят по правилу параллелограмма или треугольника. Суммарный вектор
с = a + b
равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах a
и b
. Модуль его
с = √{a 2 + b 2 − 2abcosα} (рис. 2). 
При α = 90°, с = √{a 2 + b 2 } − теорема Пифагора.
Тот же вектор c можно получить по правилу треугольника, если из конца вектора a
отложить вектор b
. Замыкающий вектор c (соединяющий начало вектора a
и конец вектора b
) является векторной суммой слагаемых (составляющих векторов a
и b
).
Результирующий вектор находят как замыкающую той ломанной линии, звеньями которой являются составляющие векторы (рис. 3).
Пример 3
.
Сложить две силы F 1 = 3 Н и F 2 = 4 Н, векторы F 1
и F 2
составляют с горизонтом углы α 1 = 10° и α 2 = 40°, соответственно
F = F 1 + F 2
(рис. 4).
Результатом сложения этих двух сил является сила, называемая равнодействующей. Вектор F
направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах F 1
и F 2
, как сторонах, и по модулю равен ее длине.
Модуль вектора F
находим по теореме косинусов
F = √{F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)},
F = √{3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)} ≈ 6,8 H.
Если
(α 2 − α 1) = 90°, то F = √{F 1 2 + F 2 2 }.
Угол, который вектор F
составляет с осью Ox, находим по формуле
α = arctg((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctg((3.0,17 + 4.0,64)/(3.0,98 + 4.0,77)) = arctg0,51, α ≈ 0,47 рад.
Проекция вектора a на ось Ox (Oy) − скалярная величина, зависящая от угла α между направлением вектора a
и оси Ox (Oy). (рис. 5)
Проекции вектора a
на оси Ox и Oy прямоугольной системы координат. (рис. 6)
Чтобы не допустить ошибок при определении знака проекции вектора на ось, полезно запомнить следующее правило: если направление составляющей совпадает с направлением оси, то проекция вектора на эту ось положительна, если же направление составляющей противоположно направлению оси, то проекция вектора отрицательна. (рис. 7)
Вычитание векторов − это сложение, при котором к первому вектору прибавляется вектор, численно равный второму, противоположно направленный
a − b = a + (−b) = d
(рис. 8). 
Пусть надо из вектора a
вычесть вектор b
, их разность − d
. Чтобы найти разность двух векторов, надо к вектору a
прибавить вектор (−b
), то есть вектором d = a − b
будет вектор, направленный от начала вектора a
к концу вектора (−b
) (рис. 9).
В параллелограмме, построенном на векторах a
и b
как сторонах, одна диагональ c
имеет смысл суммы, а другая d
− разности векторов a
и b
(рис. 9).
Произведение вектора a
на скаляр k равно вектору b
= ka
, модуль которого в k раз больше модуля вектора a
, а направление совпадает с направлением a
при положительном k и противоположно ему при отрицательном k.
Пример 4
.
Определить импульс тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 5 м/с. (рис. 10)
Импульс тела p
= mv
; p = 2 кг.м/с = 10 кг.м/с и направлен в сторону скорости v
.
Пример 5
.
Заряд q = −7,5 нКл помещен в электрическое поле с напряженностью E = 400 В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.
Сила равна F
= qE
. Так как заряд отрицательный, то вектор силы направлен в сторону, противоположную вектору E
. (рис. 11)
Деление
вектора a
на скаляр k равнозначно умножению a
на 1/k.
Скалярным произведением
векторов a
и b
называют скаляр «c», равный произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (рис. 12) 
Пример 6
.
Найти работу постоянной силы F = 20 Н, если перемещение S = 7,5 м, а угол α между силой и перемещением α = 120°.
Работа силы равна по определению скалярному произведению силы и перемещения
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 м × cos120° = −150 × 1/2 = −75 Дж.
Векторным произведением
векторов a
и b
называют вектор c
, численно равный произведению модулей векторов a и b, умноженных на синус угла между ними:
с = a × b = ,
с = ab × sinα.
Вектор c
перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a
и b
, причем его направление связано с направлением векторов a
и b
правилом правого винта (рис. 13).
Пример 7
.
Определить силу, действующую на проводник длиной 0,2 м, помещенный в магнитном поле, индукция которого 5 Тл, если сила тока в проводнике 10 А и он образует угол α = 30° с направлением поля.
Сила Ампера
dF = I = Idl × B или F = I(l)∫{dl × B},
F = IlBsinα = 5 Тл × 10 А × 0,2 м × 1/2 = 5 Н.
Рассмотрите решение задач
.
1. Как направлены два вектора, модули которых одинаковы и равны a, если модуль их суммы равен: а) 0; б) 2а; в) а; г) a√{2}; д) a√{3}?
Решение
.
а) Два вектора направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Сумма этих векторов равна нулю.
б) Два вектора направлены вдоль одной прямой в одном направлении. Сумма этих векторов равна 2a.
в) Два вектора направлены под углом 120° друг к другу. Сумма векторов равна a. Результирующий вектор находим по теореме косинусов:
a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 и α = 120°.
г) Два вектора направлены под углом 90° друг к другу. Модуль суммы равен
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 и α = 90°. 
д) Два вектора направлены под углом 60° друг к другу. Модуль суммы равен
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 и α = 60°.
Ответ
: Угол α между векторами равен: а) 180°; б) 0; в) 120°; г) 90°; д) 60°.
2. Если a = a 1 + a 2 ориентации векторов, то, что можно сказать о взаимной ориентации векторов a 1 и a 2 , если: а) a = a 1 + a 2 ; б) a 2 = a 1 2 + a 2 2 ; в) a 1 + a 2 = a 1 − a 2 ?
Решение
.
а) Если сумма векторов находится как сумма модулей этих векторов, то вектора направлены вдоль одной прямой, параллельно друг другу a 1 ||a 2
.
б) Если вектора направлены под углом друг к другу, то их сумма находится по теореме косинусов для параллелограмма
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 и α = 90°.
вектора перпендикулярны друг другу a 1 ⊥ a 2
.
в) Условие a 1 + a 2 = a 1 − a 2
может выполниться, в случае если a 2
− нулевой вектор, тогда a 1 + a 2 = a 1 .
Ответы
. а) a 1 ||a 2
; б) a 1 ⊥ a 2
; в) a 2
− нулевой вектор.
3. Две силы по 1,42 H каждая приложены к одной точке тела под углом 60° друг к другу. Под каким углом надо приложить к той же точке тела две силы по 1,75 H каждая, чтобы действие их уравновешивало действие первых двух сил?
Решение.
По условию задачи две силы по 1,75 Н уравновешивают две силы по 1,42 Н. Это возможно, если равны модули результирующих векторов пар сил. Результирующий вектор определим по теореме косинусов для параллелограмма. Для первой пары сил:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
для второй пары сил, соответственно
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2 .
Приравняв левые части уравнений
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Найдем искомый угол β между векторами
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
После вычислений,
cosβ = (2.1,422 + 2.1,422.cos60° − 2.1,752)/(2.1,752) = −0,0124,
β ≈ 90,7°.
Второй способ решения
.
Рассмотрим проекцию векторов на ось координат ОХ (рис.).
Воспользовавшись соотношением между сторонами в прямоугольном треугольнике, получим
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2)
,
откуда
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) и β ≈ 90,7°.
4. Вектор a = 3i − 4j
. Какова должна быть скалярная величина c, чтобы |ca
| = 7,5?
Решение
.
ca
= c(3i − 4j
) = 7,5
Модуль вектора a
будет равен
a 2 = 3 2 + 4 2 , и a = ±5,
тогда из
c.(±5) = 7,5,
найдем, что
c = ±1,5.
5. Векторы a 1 и a 2 выходят из начала координат и имеют декартовы координаты концов {6, 0} и {1, 4}, соответственно. Найдите вектор a 3 такой, что: а) a 1 + a 2 + a 3 = 0; б) a 1 − a 2 + a 3 = 0.
Решение
.
Изобразим векторы в декартовой системе координат (рис.)
а) Результирующий вектор вдоль оси Ox равен
a x = 6 + 1 = 7.
Результирующий вектор вдоль оси Oy равен
a y = 4 + 0 = 4.
Чтобы сумма векторов была равна нулю, необходимо, чтобы выполнялось условие
a 1
+ a 2
= −a 3
.
Вектор a 3
по модулю будет равен суммарному вектору a 1 + a 2
, но направлен в противоположную ему сторону. Координата конца вектора a 3
равна {−7, −4}, а модуль
a 3 = √{7 2 + 4 2 } = 8,1.
Б) Результирующий вектор вдоль оси Ox равен
a x = 6 − 1 = 5,
а результирующий вектор вдоль оси Oy
a y = 4 − 0 = 4.
При выполнении условия
a 1
− a 2
= −a 3
,
вектор a 3
будет иметь координаты конца вектора a x = –5 и a y = −4, а модуль его равен
a 3 = √{5 2 + 4 2 } = 6,4.
6. Посыльный проходит 30 м на север, 25 м на восток, 12 м на юг, а затем в здании поднимается на лифте на высоту 36 м. Чему равны пройденный им путь L и перемещение S?
Решение
.
Изобразим ситуацию, описанную в задаче на плоскости в произвольном масштабе (рис.).
Конец вектора OA
имеет координаты 25 м на восток, 18 м на север и 36 вверх (25; 18; 36). Путь, пройденный человеком равен
L = 30 м + 25 м + 12 м +36 м = 103 м.
Модуль вектора перемещения найдем по формуле
S = √{(x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 },
где x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √{25 2 + 18 2 + 36 2 } = 47,4 (м).
Ответ
: L = 103 м, S = 47,4 м.
7. Угол α между двумя векторами a и b равен 60°. Определите длину вектора с = a + b и угол β между векторами a и c . Величины векторов равны a = 3,0 и b = 2,0.
Решение
.
Длину вектора, равного сумме векторов a
и b
определим воспользовавшись теоремой косинусов для параллелограмма (рис.).
с = √{a 2 + b 2 + 2abcosα}.
После подстановки
с = √{3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°} = 4,4.
Для определения угла β воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
При этом следует знать, что
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Решая простое тригонометрическое уравнение, приходим к выражению
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
следовательно,
β = arctg(bsinα/(a + bcosα)),
β = arctg(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Сделаем проверку, воспользовавшись теоремой косинусов для треугольника:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
откуда
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
и
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4,4)) = 23°.
Ответ
: c ≈ 4,4; β ≈ 23°.
Решите задачи
.
8. Для векторов a
и b
, определенных в примере 7, найдите длину вектора d = a − b
угол γ
между a
и d
.
9. Найдите проекцию вектора a = 4,0i + 7,0j на прямую, направление которой составляет угол α = 30° с осью Ox. Вектор a и прямая лежат в плоскости xOy.
10. Вектор a составляет угол α = 30° с прямой АВ, a = 3,0. Под каким углом β к прямой АВ нужно направить вектор b (b = √{3}), чтобы вектор с = a + b был параллелен АВ? Найдите длину вектора c .
11. Заданы три вектора: a = 3i + 2j − k ; b = 2i − j + k ; с = i + 3j . Найдите а) a + b ; б) a + c ; в) (a, b) ; г) (a, c)b − (a, b)c .
12. Угол между векторами a и b равен α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Найдите длины векторов с = (a, b)a + b и d = 2b − a/2 .
13. Докажите, что векторы a и b перпендикулярны, если a = {2, 1, −5} и b = {5, −5, 1}.
14. Найдите угол α между векторами a и b , если a = {1, 2, 3}, b = {3, 2, 1}.
15. Вектор a
составляет с осью Ox угол α = 30°, проекция этого вектора на ось Oy равна a y = 2,0. Вектор b
перпендикулярен вектору a
и b = 3,0 (см. рис.).
Вектор с = a + b
. Найдите: a) проекции вектора b
на оси Ox и Oy; б) величину c и угол β между вектором c
и осью Ox; в) (a, b); г) (a, c).
Ответы
:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. β = 300°; c = 3,5.
11. а) 5i + j; б) i + 3j − 2k; в) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. α = 44,4°.
15. а) b x = −1,5; b y = 2,6; б) с = 5; β ≈ 67°; в) 0; г) 16,0.
Изучая физику, Вы имеете большие возможности продолжить свое образование в техническом ВУЗе. Для этого потребуется параллельное углубление знаний по математике, химии, языку, реже другие предметы. Победитель республиканской олимпиады, Савич Егор, заканчивает один из факультетов МФТИ, на котором, большие требования предъявляются к знаниям по химии. Если требуется помощь в ГИА по химии , то обращайтесь к профессионалам, Вам точно окажут квалифицированную и своевременную помощь.
