Развитие понятия числа. Число как основное понятие математики

F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0} F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1} F n = F n − 1 + F n − 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} , для целого числа n > 1 {\displaystyle n>1} .

То есть, начиная с двух начальных значений, каждое число равно сумме двух предшествующих.

Последовательность Фибоначчи интенсивно изучена и обобщена многими способами, например, начиная последовательность с других чисел, отличных от 0 или 1, или путём сложения более двух предшествующих чисел для образования следующего числа.

Расширение на отрицательные числа

Если использовать рекурсию F n − 2 = F n − F n − 1 {\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1}} , можно расширить числа Фибоначчи на отрицательные числа. Мы получаем:

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

с формулой общего члена F − n = (− 1) n + 1 F n {\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}} .

Видео по теме

Расширение на вещественные и комплексные числа

Существует много возможных обобщений, которые расширяют числа Фибоначчи на вещественные числа (а иногда и на комплексные числа). Они используют золотое сечение φ и базируются на формуле Бине

F n = φ n − (− φ) − n 5 . {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt {5}}}.}

Аналитическая функция

Fe ⁡ (x) = φ x − φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

имеет свойство, что F e (n) = F n {\displaystyle Fe(n)=F_{n}} для чётных целых чисел n . Аналогично, для аналитической функции

Fo ⁡ (x) = φ x + φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

выполняется F o (n) = F n {\displaystyle Fo(n)=F_{n}} для всех нечётных целых чисел n .

Собирая всё вместе, получим аналитическую функцию

Fib ⁡ (x) = φ x − cos ⁡ (x π) φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi)\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

для которой выполняется F i b (n) = F n {\displaystyle Fib(n)=F_{n}} для всех целых чисел n .

Поскольку F i b (z + 2) = F i b (z + 1) + F i b (z) {\displaystyle Fib(z+2)=Fib(z+1)+Fib(z)} для всех комплексных чисел z , эта функция даёт также расширение последовательности Фибоначчи для всей комплексной плоскости. Таким образом, мы можем вычислить обобщённую функцию Фибоначчи для комплексной переменной, например,

Fib ⁡ (3 + 4 i) ≈ − 5248 , 5 − 14195 , 9 i {\displaystyle \operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248{,}5-14195{,}9i}

Векторное пространство

Термин последовательности Фибоначи может быть применен для любой функции g , отображающей целочисленную переменную в некоторое поле, для которой . Эти функции в точности являются функциями вида g (n) = F (n) g (1) + F (n − 1) g (0) {\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)} , так что последовательности Фибоначчи образуют векторное пространство , базисом которого являются функции F (n) {\displaystyle F(n)} и F (n − 1) {\displaystyle F(n-1)} .

В качестве области определения функции g может быть взята любая абелева группа (рассматриваемая как Z -модуль). Тогда последовательности Фибоначчи образуют 2-мерный Z -модуль.

Целые последовательности Фибоначчи

2-мерный Z -модуль последовательностей целых чисел Фибоначчи состоит из всех целых последовательностей, удовлетворяющих соотношению g (n + 2) = g (n) + g (n + 1) {\displaystyle g(n+2)=g(n)+g(n+1)} . Если выразить в терминах двух первых начальных значений, получим

g (n) = F (n) g (1) + F (n − 1) g (0) = g (1) φ n − (− φ) − n 5 + g (0) φ n − 1 − (− φ) 1 − n 5 , {\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi)^{1-n}}{\sqrt {5}}},}

где φ - золотое сечение.

Отношение между двумя последовательными элементами сходится к золотому сечению, за исключением случая последовательности, которая состоит из нулей и последовательностей, в которых отношение двух первых членов равно (− φ) − 1 {\displaystyle (-\varphi)^{-1}} .

Последовательность можно записать в виде

a φ n + b (− φ) − n , {\displaystyle a\varphi ^{n}+b(-\varphi)^{-n},}

в которой a = 0 {\displaystyle a=0} тогда и только тогда, когда b = 0 {\displaystyle b=0} . В таком виде простейшим нетривиальным примером является a = b = 1 {\displaystyle a=b=1} и эта последовательность состоит из чисел Люка :

L n = φ n + (− φ) − n . {\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi)^{-n}.}

Мы имеем L 1 = 1 {\displaystyle L_{1}=1} и L 2 = 3 {\displaystyle L_{2}=3} . Выполняется:

φ n = (1 + 5 2) n = L (n) + F (n) 5 2 , L (n) = F (n − 1) + F (n + 1) . {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}={\frac {L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned}}}

Любая нетривиальная последовательность целых чисел Фибоначчи (возможно, после сдвига на конечное число позиций) является одной из строк таблицы Витхоффа . Сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а сдвинутая последовательность Люка является второй строкой .

Последовательности Люка

Другое обобщение последовательностей Фибоначчи - последовательности Люка , определённые следующим образом:

U (0) = 0 {\displaystyle U(0)=0} , U (1) = 1 {\displaystyle U(1)=1} , U (n + 2) = P U (n + 1) − Q U (n) {\displaystyle U(n+2)=PU(n+1)-QU(n)} ,

где обычная последовательность Фибоначчи является частным случаем с P = 1 {\displaystyle P=1} и . Другая последовательность Люка начинается с V (0) = 2 {\displaystyle V(0)=2} , V (1) = P {\displaystyle V(1)=P} . Такие последовательности имеют приложение в теории чисел и проверке простоты .

В случае, когда Q = − 1 {\displaystyle Q=-1} , эта последовательность называется P -последовательностью Фибоначчи . Например, последовательность Пелля называется также 2-последовательностью Фибоначчи .

3-последовательность Фибоначчи

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ... последовательность A006190 в OEIS

4-последовательность Фибоначчи

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... последовательность A001076 в OEIS

5-последовательность Фибоначчи

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... последовательность A052918 в OEIS

6-последовательность Фибоначчи

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... последовательность A005668 в OEIS

n -константа Фибоначчи - это значение, к которому стремится отношение смежных чисел n -последовательности Фибоначчи. Она называется также n -м отношением ценного металла и является единственным положительным корнем уравнения x 2 − n x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}-nx-1=0} . Например, в случае n = 1 {\displaystyle n=1} константа равна 1 + 5 2 {\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} , или золотому сечению , а в случае константа равна 1 + √ 2 , или серебряному сечению . Для общего случая n -константа равна n + n 2 + 4 2 {\displaystyle {\tfrac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}} .

В общем случае U (n) {\displaystyle U(n)} можно называть - последовательностью Фибоначчи , а V (n) {\displaystyle V(n)} можно назвать (P , − Q) {\displaystyle (P,-Q)} -последовательностью Люка .

(1,2)-последовательность Фибоначчи

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... последовательность A001045 в OEIS

(1,3)-последовательность Фибоначчи

1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, ... последовательность A006130 в OEIS

(2,2)-последовательность Фибоначчи

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ... последовательность A002605 в OEIS

(3,3)-последовательность Фибоначчи

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... последовательность A030195 в OEIS

Числа Фибоначчи высокого порядка

Последовательность Фибоначчи порядка n - это последовательность целых чисел, в которой каждый элемент является суммой предыдущих n элементов (за исключением первых n элементов последовательности). Обычные числа Фибоначчи имеют порядок 2. Случаи n = 3 {\displaystyle n=3} и n = 4 {\displaystyle n=4} тщательно исследованы. Число разложений неотрицательных целых чисел на части, не превосходящие n , является последовательностью Фибоначчи порядка n . Последователь количеств строк из 0 и 1 длины m , содержащих не более n последовательных нулей, также является последовательностью Фибоначчи порядка n .

Эти последовательности, их границы отношений членов и их пределы отношений членов исследовал Марк Барр в 1913 .

Числа трибоначчи

Числа трибоначчи похожи на числа Фибоначчи, но вместо двух предопределённых чисел последовательность начинается с трёх чисел и каждый следующий член является суммой предыдущих трёх:

, , , , , , , , , , , , 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … (последовательность A000073 в OEIS)

Постоянная трибоначчи

1 + 19 + 3 33 3 + 19 − 3 33 3 3 ≈ 1 , 839286755214161 , {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}\approx 1,839286755214161,} последовательность A058265 в OEIS

является значением, к которому стремится отношение двух соседних чисел трибоначчи. Число является корнем многочлена x 3 − x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0} , а также удовлетворяет уравнению x + x − 3 = 2 {\displaystyle x+x^{-3}=2} . Постоянная трибоначчи важна для изучения плосконосого куба .

Величина, обратная постоянной трибоначчи , выраженная отношением ξ 3 + ξ 2 + ξ = 1 {\displaystyle \xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1} , может быть записана как:

ξ = 17 + 3 33 3 − − 17 + 3 33 3 − 1 3 = 3 1 + 19 + 3 33 3 + 19 − 3 33 3 ≈ 0 , 543689012. {\displaystyle \xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33}}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\approx 0,543689012.}

Числа трибоначчи задаются также формулой

T (n) = ⌊ 3 b (1 3 (a + + a − + 1)) n b 2 − 2 b + 4 ⌉ {\displaystyle T(n)=\left\lfloor 3b{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil } ,

где ⌊ ⌉ означает ближайшее целое и

a ± = 19 ± 3 33 3 b = 586 + 102 33 3 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}} .

Числа тетраначчи

Числа тетраначчи начинаются с четырёх предопределённых членов, а каждый следующий член вычисляется как сумма предыдущих четырёх членов последовательности. Первые несколько чисел тетраначчи:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, , , , , 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (последовательность A000078 в OEIS)

Постоянная тетраначчи - это значение, к которому стремится отношение соседних членов последовательности тетраначчи. Эта постоянная является корнем многочлена x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0} , примерно равна 1,927561975482925 A086088 и удовлетворяет уравнению x + x − 4 = 2 {\displaystyle x+x^{-4}=2} .

Константа тетраначчи выражается в терминах радикалов

(p 1 + 1 4) + (p 1 + 1 4) 2 − 2 λ 1 p 1 (p 1 + 1 4) + 7 24 p 1 + 1 6 {\displaystyle \left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\sqrt {\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)^{2}-{\frac {2\lambda _{1}}{p_{1}}}\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\frac {7}{24p_{1}}}+{\tfrac {1}{6}}}}} p 1 = λ 1 + 11 48 λ 1 = 3 1689 − 65 3 − 3 1689 + 65 3 12 2 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&={\sqrt {\lambda _{1}+{\tfrac {11}{48}}}}\\\lambda _{1}&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}-65}}-{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}+65}}}{12{\sqrt[{3}]{2}}}}.\end{aligned}}}

Более высокие порядки

Были вычислены числа пентаначчи (5 порядка), гексаначчи (6 порядка) и гептаначчи (7 порядка).

Числа пентаначчи (5 порядка):

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … последовательность A001591 в OEIS

Числа гексаначчи (6 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … последовательность A001592 в OEIS

Числа гептаначчи (7 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … последовательность A122189 в OEIS

Числа октаначчи (8 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... последовательность A079262 в OEIS

Числа ноначчи (9 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, ... последовательность A104144 в OEIS

Предел отношения последовательных членов последовательности n -наччи стремится к корню уравнения (A103814 , A118427 , A118428).

Альтернативная рекурсивная формула предела отношения r двух последовательных чисел n -наччи

r = ∑ k = 0 n − 1 r − k {\displaystyle r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k}} .

Частный случай n = 2 {\displaystyle n=2} является традиционной последовательностью Фибоначчи и даёт золотое сечение φ = 1 + 1 φ {\displaystyle \varphi =1+{\tfrac {1}{\varphi }}} .

Вышеприведённые формулы для отношения выполняются для последовательностей n -наччи, сгенерированных из произвольных чисел. Предел этого отношения равен 2 при n , стремящемся к бесконечности. Последовательность чисел «бесконечно-наччи», если её попытаться описать, должна начинаться с бесконечного числа нулей, после чего должна идти последовательность

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …,

то есть просто степени двойки.

Предел последовательности для любого n > 0 {\displaystyle n>0} является положительным корнем r характеристического уравнения

x n − ∑ i = 0 n − 1 x i = 0. {\displaystyle x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.}

Корень r находится в интервале 2 (1 − 2 − n) < r < 2 {\displaystyle 2(1-2^{-n}). Отрицательный корень характеристического уравнения находится в интервале (−1, 0), если n чётно. Этот корень и каждый комплексный корень характеристического уравнения имеет модуль 3 − n < | r | < 1 {\displaystyle 3^{-n}<\vert r\vert <1} .

Последовательность для положительного корня r для любого n > 0 {\displaystyle n>0}

2 − 2 ∑ i > 0 1 i ((n + 1) i − 2 i − 1) 1 2 (n + 1) i . {\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(n+1)i}}}.}

Не существует решения характеристического уравнения в терминах радикалов, если 5 ⩽ n ⩽ 11 {\displaystyle 5\leqslant n\leqslant 11} .

k -й элемент последовательности n -наччи задаётся формулой

F k (n) = ⌊ r k − 1 (r − 1) (n + 1) r − 2 n ⌉ , {\displaystyle F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n}}\right\rceil ,}

где ⌊ ⌉ означает ближайшее целое, а r - константа n -наччи, которая является корнем x + x − n = 2 {\displaystyle x+x^{-n}=2} , ближайшим к 2 .

Слово Фибоначчи

По аналогии числовому аналогу слово Фибоначчи определяется как

F n:= F (n) := { b , n = 0 ; a , n = 1 ; F (n − 1) + F (n − 2) , n > 1. {\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&,n=0;\\{\text{a}}&,n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&,n>1.\\\end{cases}}}

где + означает конкатенацию двух строк. Последовательность строк Фибоначчи начинается с

B, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, … последовательность A106750 в OEIS

Длина каждой строки Фибоначчи равна числу Фибоначчи и для каждого числа Фибоначчи существует строка Фибоначчи.

Строки Фибоначчи оказываются для некоторых алгоритмов входными данными наихудшего случая.

Если "a" и "b" представляют два различных материала или длины атомных связей, структура, соответствующая строке Фибоначчи, является квазикристаллом Фибоначчи , непериодической квазикристаллической структурой с необычными спектральными свойствами.

Свёрнутые последовательности Фибоначчи

Свёрнутая последовательность Фибоначчи получается путём применения операции свёртки к последовательности Фибоначчи один и более раз. Определим :

F n (0) = F n {\displaystyle F_{n}^{(0)}=F_{n}} F n (r + 1) = ∑ i = 0 n F i F n − i (r) {\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{n-i}^{(r)}}

Первые несколько последовательностей

r = 1: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, … A001629 . r = 2: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, … A001628 . r = 3: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, … A001872 .

Последовательности можно вычислить с помощью рекуррентной формулы

F n + 1 (r + 1) = F n (r + 1) + F n − 1 (r + 1) + F n (r) {\displaystyle F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}}

Как и для чисел Фибоначчи, существуют некоторые комбинаторные интерпретации этих последовательностей. Например, F n (1) {\displaystyle F_{n}^{(1)}} является количеством способов записать n − 2 в виде упорядоченной суммы чисел 0, 1 и 2, при этом 0 используется ровно один раз. В частности, F 4 (1) = 5 {\displaystyle F_{4}^{(1)}=5} и, соответственно, 4 – 2 = 2 можно записать как 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 .

Популярный рассказ о возможных обобщениях понятия числа. Сначала подробно рассмотрены обобщения действительных чисел, именно комплексные числа и кватернионы. Доказано, что других логически возможных величин, аналогичных действительным и комплексным числам и пригодных к употреблению в математике в роли чисел, кроме действительных и комплексных чисел, не существует. Затем рассматриваются другие обобщения понятия числа, уже не содержащие действительных чисел.

ОГЛАВЛЕНИЕ .
Предисловие 4
Глава 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 7
§ 1. Историческая справка 7
§ 2. Определение комплексных чисел 8
§ 3. Геометрическое изображение комплексные чисел 9
Глава 2. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ 14
§ 4. Пути в плоскости комплексного переменного 15
§ 5. Комплексные функции комплексного переменного 19
Глава 3. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА 23
§ 6. Деление многочленов 23
§ 7. Разложение многочлена на множители 25
§ 8. Общий наибольший делитель двух многочленов 28
§ 9. Устранение кратных корней 30
§ 10. Подсчет числа действительных корней многочлена на заданном отрезке 32
Глава 4. КВАТЕРНИОНЫ 36
§ 11. Векторные пространства 36
§ 12. Евклидово векторное пространство 43
§ 13. Кватернионы 51
§ 14. Геометрические применения кватернионов 54
Глава 5. ДРУГИЕ ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ 66
§ 15. Алгебраические тела и поля 66
§ 16. Поле вычетов по простому модулю р 70
§ 17. Теорема Фробениуса 74
Глава 6. ТОПОЛОГО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕЛА 84
§ 18. Топологическое тело 85
§ 19. Топологические понятия в топологическом теле L 90
§ 20. Теорема единственности 96
§ 21. р-адические числа 98
§ 22. Некоторые топологические свойства поля Ко р-адических чисел 107
§ 23. Поле рядов над полем вычетов
§ 24. О структуре несвязных локально-компактных топологических тел

ПРЕДИСЛОВИЕ .
Понятие числа складывалось в математике постепенно в результате длительного развития, которое шло под воздействием практики и внутренних потребностей математики. Так, в конце концов, сформировалось понятие действительного числа, которое в данной книге предполагается известным.

На этом, однако, развитие понятия числа не остановилось. Внутренние потребности математики привели к комплексным числам. Возникшая на их основе теория функций комплексного переменного имеет теперь большие практические применения. Комплексным числам в книге отведено много места. Доказана основная теорема алгебры о том, что многочлен имеет хотя бы один действительный или комплексный корень. Возникающее из этой теоремы разложение многочлена на линейные множители тщательно изучено. При этом в качестве вспомогательного аппарата в книге используется деление многочленов друг на друга и алгоритм Евклида.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Обобщения чисел, Понтрягин Л.С., 1986 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

Предисловие
1	Комплексные числа
	§ 1.	Историческая справка
	§ 2.	Определение комплексных чисел
	§ 3.	Геометрическое изображение комплексных чисел
2	Основная теорема алгебры
	§ 4.	Пути в плоскости комплексного переменного
	§ 5.	Комплексные функции комплексного переменного
3	Алгоритм Евклида
	§ 6.	Деление многочленов
	§ 7.	Разложение многочлена на множители
	§ 8.	Общий наибольший делитель двух многочленов
	§ 9.	Устранение кратных корней
	§ 10.	Подсчет числа действительных корней многочлена на заданном отрезке
4	Кватернионы
	§ 11.	Векторные пространства
	§ 12.	Евклидово векторное пространство
	§ 13.	Кватернионы
	§ 14.	Геометрические применения кватернионов
5	Другие обобщения чисел
	§ 15.	Алгебраические тела и поля
	§ 16.	Поле вычетов по простому модулю p
	§ 17.	Теорема Фробениуса
6	Тополого-алгебраические тела
	§ 18.	Топологическое тело
	§ 19.	Топологические понятия в топологическом теле L
	§ 20.	Теорема единственности
	§ 21.	p -адические числа
	§ 22.	Некоторые топологические свойства поля K p 0 p -адических чисел
	§ 23.	Поле рядов над полем вычетов
	§ 24.	О структуре несвязных локально компактных топологических тел
Об авторе

Понятие числа складывалось в математике постепенно в результате длительного развития, которое шло под воздействием практики и внутренних потребностей математики. Так, в конце концов, сформировалось понятие действительного числа, которое в данной книге предполагается известным.

Поскольку комплексные числа оказались очень важными и полезными в математике, возникла чисто обобщательская попытка развивать понятие числа в том же направлении. Так возникли кватернионы, но лишь в результате отказа от коммутативности умножения. Благодаря отсутствию коммутативности умножения оказалось невозможным построить теорию функций кватернионного переменного. Таким образом, применение кватернионов в математике оказалось очень незначительным. При помощи кватернионов хорошо описываются вращения трехмерного и четырехмерного евклидовых пространств. Конечно, это по своему значению не может идти ни в какое сравнение с применением комплексных чисел. В книге дается описание кватернионов и их применения их к изучению вращений трехмерного и четырехмерного евклидовых пространств. Этот раздел книги завершается доказательством теоремы Фробениуса, утверждающей, что дальнейшее развитие понятия числа в направлении кватернионов невозможно.

Переход от рациональных чисел к действительным числам вызван скорее внутренней логикой развития математики, чем практическими потребностями, так как при помощи рациональных чисел с любой точностью можно осуществить любое измерение. К действительным числам привело математическое открытие, возникающее из теоремы Пифагора и состоящее в том, что длина диагонали квадрата со стороной, равной единице, не может быть измерена точно рациональным числом. Действительные числа как бы заполняют промежутки между рациональными числами и приводят к тому, что условие сходимости Коши является не только необходимым, но и достаточным условием сходимости. Этот факт чрезвычайно важен в математике. Действительные числа представляют собой ту непрерывную среду, в которую помещены рациональные числа. Здесь становится совершенно ясным, что для чисел характерно не только наличие действий сложения, вычитания, умножения и деления, но также и понятие предельного перехода, т.е. известно, что означает последовательность чисел, сходящаяся к данному числу.

Совокупность величин, в которой имеются алгебраические операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также определен предельный переход, является естественным логически возможным обобщением понятия числа. Оказывается, что таких обобщений вовсе не очень много. Именно их описанию в основном посвящена эта книга.

Переход от рациональных чисел к действительным опирается на представление о том, что такое малое рациональное число. Оказывается, что, кроме совершенно естественного понятия малости рационального числа, существует другое, связанное с некоторым простым числом p . Связанное с этим понятием малости расширение рациональных чисел приводит к возникновению p -адических чисел, которые имеют в настоящее время важное применение в теории чисел и описаны в книге.

Величинами, для которых возможны алгебраические операции, являются так называемые вычеты по простому модулю p . Рациональные функции некоторой величины t , где коэффициентами служат вычеты по модулю p , образуют систему величин, в которой возможны операции сложения, вычитания, умножения и деления, а также естественно возникает понятие малости. Дополняя эту систему рациональных функций таким образом, чтобы вновь полученная система величин была с точки зрения предельного перехода полной, т.е. чтобы условие Коши являлось необходимым и достаточным условием сходимости, мы приходим к изучению бесконечных рядов относительно величины t . Это еще одна система величин, в которой возможны алгебраические операции и предельный переход. В конце книги формулируется теорема Ковальского, описывающая до некоторой степени любую систему величин, в которой имеются алгебраические операции и предельный переход.

Книга посвящена описанию таких систем величин с алгебраическими операциями и предельным переходом, которые являются логически возможными обобщениями чисел. Налагая на эту систему величин некоторые очень простые и естественные ограничения, мы приходим к результату, что никаких других логических возможностей для построения приемлемых в математике величин, аналогичных действительным и комплексным числам, кроме действительных и комплексных чисел, не существует. Это показывает, что действительные и комплексные числа сложились в математике не в результате случайного процесса исторического развития, а как единственные логически возможные величины, удовлетворяющие тем требованиям, которые естественно предъявить к числам.

В заключение я выражаю благодарность С.М.Асееву за большую помощь при редактировании этой книги.

Лев Семенович Понтрягин (1908--1988)

Выдающийся российский математик, академик АН СССР, Герой Социалистического Труда (1969). Родился 3 сентября 1908 г. в Москве. В 14 лет потерял зрение от несчастного случая. Окончил Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова (1929). С 1930 г. работал в Московском университете, где в 1935 г. получил ученое звание профессора, и одновременно с 1939 г. занимал должность заведующего отделом Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР.

Основные работы Л.С.Понтрягина относятся к теории дифференциальных уравнений, топологии, теории колебаний, теории управления, вариационному исчислению, алгебре. В топологии он открыл общий закон двойственности и в связи с этим построил теорию характеров непрерывных групп; получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). В теории колебаний главные результаты работ Л.С.Понтрягина относятся к асимптотике релаксационных колебаний. В теории управления он выступил как создатель математической теории оптимальных процессов, в основе которой лежит так называемый принцип максимума Понтрягина. Ему принадлежат также существенные результаты в области вариационного исчисления, дифференциальных игр, теории размерности, теории регулирования. Работы школы Л.С.Понтрягина оказали большое влияние на развитие теории управления и вариационного исчисления во всем мире.

Лекция № 2,3.

Тема: Развитие понятия числа

Натуральные числа и дроби.
1. Введение и применение отрицательных чисел.
2. Развитие понятия действительного числа.
3. Комплексные числа

1.1 НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДРОБИ

Число - важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие числа изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количественного описания и исследования. На первых ступенях развития понятие числа определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем число становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия числа определяется потребностями этой науки.

Потребность счета предметов привела к возникновению понятия натурального числа. Все народы, обладавшие письменностью, владели понятием натурального числа и пользовались той или иной системой счисления. О ранних этапах возникновения и развития понятия числа, можно судить лишь на основе косвенных данных, которые доставляют языкознание и этнография. Первобытному человеку, видимо, не требовалось умение считать, чтобы установить, полной или нет, является какая-нибудь совокупность.

Источником возникновения понятия отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отвлечённым, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности.

Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т. е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчётливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в памятниках античной математики (3 в. до н. э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых чисел, в книге Архимеда «Псаммит» принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших чисел, в частности бо́льших, чем «число песчинок в мире».

С развитием понятия натурального числа как результата счёта предметов в обиход включаются действия над числами. Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта равными частями (по два, по три и т.д.), деление как деление совокупности на равные части. Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о числе арифметики. В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств чисел. как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального числа, выделяются классы чётных и нечётных чисел, простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду чисел продолжается и составляет раздел математики, носящий название теория чисел.

Натуральные числа, кроме основной функции характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного числа. (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).

Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному из считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе слова и знаки, обозначающие числа). Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количественного числа в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.

Другое обоснование понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.

Следует отметить, что перенесение понятия порядкового числа на бесконечные совокупности резко расходится с обобщённым понятием количественного числа; это обусловлено тем, что количественно одинаковые (равномощные) множества могут быть упорядочены различными способами.

Для измерения величин требовались дробные числа. Дробные числа были известны уже в Древнем Египте и Вавилоне. Египтяне дроби выражали обычно при помощи аликвотных дробей, т.е. дробей с числителем, равным 1. Вавилоняне пользовались шестидесятиричными дробями. Китайцы и индийцы в начале н.э. пользовались обыкновенными дробями и умели выполнять все арифметические действия над ними. Среднеазиатские ученые не позднее 10 в. создали позиционную шестидесятиричную систему счисления. Эта система особенно широко применялась в астрономических вычислениях и таблицах. Следы ее дошли до нас в измерении времени и углов. Десятичные дроби ввел в начале 15 в. и стал широко применять самаркандский математик Каши (аль-Каши). В Европе десятичные дроби стали распространяться после выхода книги «Десятая» (1585), автором которой был С.Стевин. До введения десятичных дробей в практику вычислений целую часть числа европейцы обычно представляли в десятичной системе счисления, а дробную в шестидесятиричной или в виде обыкновенной дроби.

1.2 ВВЕДЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Дальнейшее расширение понятия числа происходило главным образом в связи с потребностями самой математики. Отрицательные числа впервые появились в Древнем Китае. Индийские математики пришли к отрицательным числам, пытаясь формулировать алгоритм решения квадратных уравнений для всех случаев. Диофант (3 в.) свободно оперирует с отрицательными числами. Они постоянно встречаются в промежуточных вычислениях во многих задачах его «Арифметики». Однако и в 16 и в 17 вв.многие европейские математики не признавали отрицательных чисел, и если такие числа встречались в их вычислениях, то они называли их ложными, невозможными. Положение изменилось, когда в 17 в. было найдено геометрическое истолкование положительным и отрицательным числам, как противоположно направленным отрезкам.

Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного числа возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного числа необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Таким образом, широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного числа. В Индии ещё в 611 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.

В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного числа как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование оказалось по существу одинаковым.

1.3. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА

Числа целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырём арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом. Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Таким образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений.

Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел.

Веще́ственное, или действи́тельное число математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.

Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами.

Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

Понятие вещественного числа прошло долгий путь становления. Ещё в Древней Греции в школе Пифагора, которая в основу всего ставила целые числа и их отношения, было открыто существование несоизмеримых величин (несоизмеримость стороны и диагонали квадрата), то есть в современной терминологии чисел, не являющихся рациональными. Вслед за этим Евдоксом Книдским была предпринята попытка построить общую теорию числа, включавшую несоизмеримые величины. После этого, на протяжении более двух тысяч лет, никто не ощущал необходимости в точном определении понятия вещественного числа, несмотря на постепенное расширение этого поняти. Лишь во второй половине XIX века, когда развитие математического анализа потребовало перестройки его основ на новом, более высоком уровне строгости, в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда, Г. Кантора, Э. Гейне, Ш. Мере была создана строгая теория вещественных чисел.

С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Первая развитая числовая система, построенная в Древней Греции, включала только натуральные числа и их отношения. Однако вскоре выяснилось, что для целей геометрии и астрономии этого недостаточно: например, отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны не может быть представлено ни натуральным, ни рациональным числом.

Для выхода из положения Евдокс Книдский ввёл, в дополнение к числам, более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V). По существу, теория Евдокса это геометрическая модель вещественных чисел. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин например, исследуемой и единичного эталона. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел по своим принципам чрезвычайно похожа на изложение Евдокса. Однако модель Евдокса неполна во многих отношениях например, она не содержит аксиомы непрерывности, нет общей теории арифметических операций для величин или их отношений и др.

Ситуация начала меняться в первые века н. э. Уже Диофант Александрийский, вопреки прежним традициям, рассматривает дроби так же, как и натуральные числа, а в IV книге своей «Арифметики» даже пишет об одном результате: «Число оказывается не рациональным». После гибели античной науки на передний план выдвинулись индийские и исламские математики, для которых любой результат измерения или вычисления считался числом. Эти взгляды постепенно взяли верх и в средневековой Европе, где поначалу разделяли рациональные и иррациональные (буквально: неразумные) числа (их называли также мнимыми, абсурдными, глухими и т. п.).

Спустя столетие Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1707) даёт классическое определение (вещественного) числа как отношения результата измерения к единичному эталону: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой за единицу».

Долгое время это прикладное определение считалось достаточным, так что практически важные свойства вещественных чисел и функций не доказывались, а считались интуитивно очевидными

Первую попытку заполнить пробел в основаниях математики сделал Бернард Больцано в своей статье «Чисто аналитическое доказательство теоремы, что между любыми двумя значениями, дающими результаты противоположного знака, лежит по меньшей мере один действительный корень уравнения» (1817). В этой работе ещё нет целостной системы вещественных чисел, но уже приводится современное определение непрерывности и показывается, что на этой основе теорема, упомянутая в заглавии, может быть строго доказана. В более поздней работе Больцано даёт набросок общей теории вещественных чисел, по идеям близкой к канторовской теории множеств, но эта его работа осталась неопубликованной при жизни автора и увидела свет только в 1851 году. Взгляды Больцано значительно опередили своё время и не привлекли внимания математической общественности.

Современная теория вещественных чисел была построена во второй половине XIX века, в первую очередь трудами Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора. Они предложили различные, но эквивалентные подходы к теории этой важнейшей математической структуры и окончательно отделили это понятие от геометрии и механики.

При конструктивном определении понятия вещественного числа, на основе известных математических объектов (например, множества рациональных чисел), которые принимают заданными, строят новые объекты, которые, в определённом смысле, отражают наше интуитивное понимание о понятии вещественного числа. Существенным отличием между вещественными числами и этими построенными объектами является то, что первые, в отличие от вторых, понимаются нами лишь интуитивно и пока не являются строго определённым математическим понятием.

Эти объекты и объявляют вещественными числами. Для них вводят основные арифметические операции, определяют отношение порядка и доказывают их свойства.

Исторически первыми строгими определениями вещественного числа были именно конструктивные определения. В 1872 году были опубликованы одновременно три работы: теория фундаментальных последовательностей Кантора, теория Вейерштрасса (в современном варианте теория бесконечных десятичных дробей) и теория сечений в области рациональных чисел Дедекинда.

1.4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Заключительный этап в развитии понятия числа введение комплексных чисел. Источником возникновения понятия комплексного числа явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного числа возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного числа, невыполнимому в области действительного числа. Но это происходит только в том случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось следующее обстоятельство. Как раз в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными числами, по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных чисел. Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий. Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных чисел. Однако комплексные числа и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к закономерности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине «мнимое» число. Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных чисел в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных чисел в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса. Ещё до Гаусса, в работах Л. Эйлера, комплексные числа начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 веке в связи с развитием теории функций комплексного переменного.

Совокупность всех комплексных чисел обладает так же, как совокупность действительных чисел и совокупность рациональных чисел, свойством замкнутости по отношению к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Более того, совокупность всех комплексных чисел обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных чисел. Совокупность всех действительных чисел (и тем более рациональных) свойством алгебраической замкнутости не обладает. Как установлено Вейерштрассом, совокупность всех комплексных чисел не может быть далее расширена за счёт присоединения новых чисел так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных чисел.

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

с формулой общего члена F − n = (− 1) n + 1 F n {\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}} .

Расширение на вещественные и комплексные числа

F n = φ n − (− φ) − n 5 . {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt {5}}}.}

Аналитическая функция

Fe ⁡ (x) = φ x − φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

имеет свойство, что F e (n) = F n {\displaystyle Fe(n)=F_{n}} для чётных целых чисел n . Аналогично, для аналитической функции

Fo ⁡ (x) = φ x + φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

выполняется F o (n) = F n {\displaystyle Fo(n)=F_{n}} для всех нечётных целых чисел n .

Собирая всё вместе, получим аналитическую функцию

Fib ⁡ (x) = φ x − cos ⁡ (x π) φ − x 5 {\displaystyle \operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi)\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}}

для которой выполняется F i b (n) = F n {\displaystyle Fib(n)=F_{n}} для всех целых чисел n .

Fib ⁡ (3 + 4 i) ≈ − 5248 , 5 − 14195 , 9 i {\displaystyle \operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248{,}5-14195{,}9i}

Векторное пространство

Термин последовательности Фибоначи может быть применении для любой функции g , отображающей целочисленную переменную в некоторое поле, для которой . Эти функции в точности являются функциями вида g (n) = F (n) g (1) + F (n − 1) g (0) {\displaystyle g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)} , так что последовательности Фибоначчи образуют векторное пространство , базисом которого являются функции F (n) {\displaystyle F(n)} и F (n − 1) {\displaystyle F(n-1)} .

В качестве области определения функции g может быть взято любая абелева группа (рассматриваемая как Z -модуль). Тогда последовательности Фибоначчи образуют 2-мерный Z -модуль.

Целые последовательности Фибоначчи

где φ - золотое сечение.

Отношение между двумя последовательными элементами сходится к золотому сечению за исключением случая последовательности, которая состоит из нулей и последовательностей, в которых отношение двух первых членов равно (− φ) − 1 {\displaystyle (-\varphi)^{-1}} .

Последовательность можно записать в виде

a φ n + b (− φ) − n , {\displaystyle a\varphi ^{n}+b(-\varphi)^{-n},}

L n = φ n + (− φ) − n . {\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi)^{-n}.}

Мы имеем L 1 = 1 {\displaystyle L_{1}=1} и L 2 = 3 {\displaystyle L_{2}=3} . Выполняется:

Последовательности Люка

Другое обобщение последовательностей Фибоначчи - последовательности Люка , определённые следующим образом:

U (0) = 0 {\displaystyle U(0)=0} , U (1) = 1 {\displaystyle U(1)=1} , U (n + 2) = P U (n + 1) − Q U (n) {\displaystyle U(n+2)=PU(n+1)-QU(n)} ,

3-последовательность Фибоначчи

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ... последовательность A006190 в OEIS

4-последовательность Фибоначчи

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... последовательность A001076 в OEIS

5-последовательность Фибоначчи

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... последовательность A052918 в OEIS

6-последовательность Фибоначчи

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... последовательность A005668 в OEIS

(1,2)-последовательность Фибоначчи

(1,3)-последовательность Фибоначчи

(2,2)-последовательность Фибоначчи

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ... последовательность A002605 в OEIS

(3,3)-последовательность Фибоначчи

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... последовательность A030195 в OEIS

Числа Фибоначчи высокого порядка

Эти последовательности, их границы отношений членов и их пределы отношений членов исследовал Марк Барр в 1913 .

Числа трибоначчи

, , , , , , , , , , , , 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … (последовательность A000073 в OEIS)

Постоянная трибоначчи

Числа трибоначчи задаются также формулой

T (n) = ⌊ 3 b (1 3 (a + + a − + 1)) n b 2 − 2 b + 4 ⌉ {\displaystyle T(n)=\left\lfloor 3b{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right)^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil }

где ⌊ ⌉ означает ближайшее целое и

a ± = 19 ± 3 33 3 b = 586 + 102 33 3 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33}}}}\\b&={\sqrt[{3}]{586+102{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}} .

Числа тетраначчи

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, , , , , 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (последовательность A000078 в OEIS)

Постоянная тетраначчи - это значение, которому стремится отношение соседних членов последовательности тетраначчи. Эта постоянная является корнем многочлена x 4 − x 3 − x 2 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0} , примерно равна 1,927561975482925 A086088 и удовлетворяет уравнению x + x − 4 = 2 {\displaystyle x+x^{-4}=2} .

Константа тетраначчи выражается в терминах радикалов

Более высокие порядки

Были вычислены числа пентаначчи (5 порядка), гексаначчи (6 порядка) и гептаначчи (7 порядка).

Числа пентаначчи (5 порядка):

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, … последовательность A001591 в OEIS

Числа гексаначчи (6 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, … последовательность A001592 в OEIS

Числа гептаначчи(7 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, … последовательность A122189 в OEIS

Числа октаначчи (8 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... последовательность A079262 в OEIS

Числа ноначчи (9 порядка):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, ... последовательность A104144 в OEIS

Альтернативная рекурсивная формула предела отношения r двух последовательных чисел n -наччи

r = ∑ k = 0 n − 1 r − k {\displaystyle r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k}} .

Вышеприведённые формулы для отношения выполняются для последовательностей n -наччи, сгенерированных из произвольных чисел. Предел этого отношения равен 2 при n стремящемся к бесконечности. Последовательность чисел «бесконечно-наччи», если её попытаться описать, должна начинаться с бесконечного числа нулей, после чего должна идти последовательность

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

то есть просто степени двойки.

x n − ∑ i = 0 n − 1 x i = 0. {\displaystyle x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.}

Последовательность для положительного корня r для любого n > 0 {\displaystyle n>0}

2 − 2 ∑ i > 0 1 i ((n + 1) i − 2 i − 1) 1 2 (n + 1) i . {\displaystyle 2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{2^{(n+1)i}}}.}

k -й элемент последовательности n -наччи задаётся формулой

F k (n) = ⌊ r k − 1 (r − 1) (n + 1) r − 2 n ⌉ , {\displaystyle F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n}}\right\rceil ,}

Слово Фибоначчи

По аналогии числовому аналогу слово Фибоначчи ?! определяется как

F n:= F (n) := { b , n = 0 ; a , n = 1 ; F (n − 1) + F (n − 2) , n > 1. {\displaystyle F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&,n=0;\\{\text{a}}&,n=1;\\F(n-1)+F(n-2)&,n>1.\\\end{cases}}}

где + означает конкатенацию двух строк. Последовательность строк Фибоначчи начинается с

B, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, … последовательность A106750 в OEIS

Строки Фибоначчи оказываются для некоторых алгоритмов входными данными нахудшего случая.

Если "a" и "b" представляют два различных материала или длины атомных связей, структура соответствующая строке Фибоначчи, является квазикристаллом Фибоначчи , непериодической квазикристаллической структурой с необычными спектральными свойствами.

Свёрнутые последовательности Фибоначчи

Свёрнутая последовательность Фибоначчи получается путём применения операции свёртки к последовательности Фибоначчи один и более раз. Определим .

F n (0) = F n {\displaystyle F_{n}^{(0)}=F_{n}} F n (r + 1) = ∑ i = 0 n F i F n − i (r) {\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\sum _{i=0}^{n}F_{i}F_{n-i}^{(r)}}

Первые несколько последовательностей

r = 1: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, … A001629 . r = 2: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, … A001628 . r = 3: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, … A001872 .

Последовательности можно вычислить с помощью рекуррентной формулы

F n + 1 (r + 1) = F n (r + 1) + F n − 1 (r + 1) + F n (r) {\displaystyle F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n}^{(r)}}

Как и для чисел Фибоначчи, существуют некоторые комбинаторные интерпретации этих последовательностей. Например F n (1) {\displaystyle F_{n}^{(1)}} является количеством способов записать n − 2 в виде упорядоченной суммы чисел 0, 1 и 2, при этом 0 используется ровно один раз. В частности, F 4 (1) = 5 {\displaystyle F_{4}^{(1)}=5} .

Случайная последовательность Фибоначчи может быть определена как бросание монеты для каждой позиции n последовательности и выбора F (n) = F (n − 1) + F (n − 2) {\displaystyle F(n)=F(n-1)+F(n-2)} в случае выпадения орла и F (n) = F (n − 1) − F (n − 2) {\displaystyle F(n)=F(n-1)-F(n-2)} в случае решки. Согласно работе Фурстенберга и Кестена эта последовательность почти достоверно растёт экпоненциально с постоянной скоростью. Константа скорости роста была вычислена в 1999 Дивакаром Висванатом и известна как «константа Висваната ».

Репфигит , или число Кита , это целое число, которое получается в результате последовательности Фибоначчи, начинающейся с последовательности чисел, представляющей последовательность цифр числа. Например, для числа 47, последовательность Фибоначчи начинается с 4 и 7 и содержит 47 в качестве шестого члена ((4, 7, 11, 18, 29, 47) ). Число Кита может быть получено как последовательность трибоначчи, если оно содержит 3 знака, как последовательность тетраначчи, если число содержит 4 знака и т.д.. Несколько фпервых чисел Кита:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, … последовательность A007629 в OEIS

Поскольку множество последовательностей, удовлетворяющих соотношению S (n) = S (n − 1) + S (n − 2) {\displaystyle S(n)=S(n-1)+S(n-2)} , замкнуто относительно поэлементного сложения и умножения на константу, его можно рассматривать как векторное пространство . Любая такая последовательность однозначно определяется выбором двух элементов, так что векторное пространство является двумерным. Если обозначить такую последовательность через (S (0) , S (1)) {\displaystyle (S(0),S(1))} (первые два члена последовательности), числа Фибоначчи F (n) = (0 , 1) {\displaystyle F(n)=(0,1)} и сдвинутые числа Фибоначчи F (n − 1) = (1 , 0) {\displaystyle F(n-1)=(1,0)} , будут каноническим базисом этого пространства

S (n) = S (0) F (n − 1) + S (1) F (n) {\displaystyle S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)}

для всех таких последовательностей S . Например, если S - это последовательность Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , мы имеем

L (n) = 2 F (n − 1) + F (n) {\displaystyle L(n)=2F(n-1)+F(n)} .

N -генерированная последовательность Фибоначчи

Мы можем определить N -генерированную последовательность Фибоначчи (где N - положительное рациональное число).

N = 2 a 1 ⋅ 3 a 2 ⋅ 5 a 3 ⋅ 7 a 4 ⋅ 11 a 5 ⋅ 13 a 6 ⋅ . . . ⋅ P r a r , {\displaystyle N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot ...\cdot P_{r}^{a_{r}},}

где P r - это r -ое простое число, мы определяем

F N (n) = a 1 F N (n − 1) + a 2 F N (n − 2) + a 3 F N (n − 3) + a 4 F N (n − 4) + a 5 F N (n − 5) + . . . {\displaystyle F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n-3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...}

Если n = r − 1 {\displaystyle n=r-1} , полагаем F N (n) = 1 {\displaystyle F_{N}(n)=1} , а в случае n < r − 1 {\displaystyle n, полагаем F N (n) = 0 {\displaystyle F_{N}(n)=0} . Полуфибоначчиева последовательность

Полуфиббоначиева последовательность (A030067) определяется посредством той же рекуррентной формулы для членов с нечётными индексами a (2 n + 1) = a (2 n) + a (2 n − 1) {\displaystyle a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)} и a (1) = 1 {\displaystyle a(1)=1} , но для чётных индексов берётся a (2 n) = a (n) {\displaystyle a(2n)=a(n)} , n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} . Выделенные нечётные члены (A030068) s (n) = a (2 n − 1) {\displaystyle s(n)=a(2n-1)} удовлетворяют уравнению s (n + 1) = s (n) + a (n) {\displaystyle s(n+1)=s(n)+a(n)} и строго возрастают. Они дают множество полуфибоначчиевых чисел Ссылки