Док-во: Т.е. ранг матрицы сохраняется при выполнении следующих операций:
1. Изменение очерёдности строк.
2. Умножение матрицы на число, отличное от нуля.
3. Транспонирование.
4. Исключение строки из нулей.
5. Прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.
Первое преобразование оставит неизменными некоторые миноры, а у некоторых изменит знак на противоположный. Второе преобразование также оставит неизменными некоторые миноры, а некоторые умножатся на число, отличное от нуля. Третье преобразование сохранит все миноры. Потому при применении этих преобразований сохранится и ранг матрицы (второе определение). Исключение нулевой строки не может изменить ранга матрицы, ибо такая строка не может войти в ненулевой минор. Рассмотрим пятое преобразование.
Будем считать, что базисный минор Δp располагается в первых p строках. Пусть к строке а, входящей в число этих строк, прибавлена произвольная строка b, умноженная на некоторое число λ. Т.е. к строке а прибавлена линейная комбинация строк, содержащих базисный минор. При этом базисный минор Δp останется неизменным (и отличным от 0). Прочие миноры, размещённые в первых p строках, также остаются неизменными, то же самое справедливо для всех остальных миноров. Т.о. в данном случае ранг (по второму определению) сохранится. Теперь рассмотрим минор Ms, у которого не все строки из числа первых p строк (а возможно, таких в нем и нет).
Прибавив к строке ai произвольную строку b, умноженную на число λ, получим новый минор Ms‘, причём Ms‘=Ms+λ Ms, где
Если s>p, то Ms=Ms=0, т.к. все миноры порядка большего, чем p, исходной матрицы равны 0. Но тогда и Ms‘=0, и ранг преобразований матрицы не увеличился. Но и уменьшиться он не мог, так как базисный минор не подвергался никаким изменениям. Итак, ранг матрицы остаётся неизменным.
Вы также можете найти интересующую информацию в научном поисковике Otvety.Online. Воспользуйтесь формой поиска:
Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.
Пусть. Будем говорить, что матрица л_эквивалентна (п_эквивалентна или эквивалентна) матрице и обозначать (или), если матрица может быть получена из матрицы с помощью конечного числа строчных (соответственно столбцовых или строчных и столбцовых) элементарных преобразований. Ясно, что л_эквивалентные и п_эквивалентные матрицы являются эквивалентными.
Вначале мы покажем, что любая матрица только лишь строчными преобразованиями может быть приведена к специальному виду, называемому приведённым.
Пусть. Говорят, что ненулевая строка этой матрицы имеет приведённый вид, если в ней найдется такой равный 1 элемент, что все элементы столбца, отличные от, равны нулю, . Отмеченный единичный элемент строки будем называть ведущим элементом этой строки и заключать его в кружок. Иными словами, строка матрицы имеет приведенный вид, если в этой матрице найдется столбец вида
Например, в следующей матрице
строка имеет приведенный вид, так как. Обратим внимание на то, что в этом примере на роль ведущего элемента строки претендует также элемент. В дальнейшем, если в строке приведённого вида есть несколько элементов, обладающих свойствами ведущего, будем выделять лишь один из них произвольным образом.
Говорят, что матрица имеет приведённый вид, если каждая её ненулевая строка имеет приведённый вид. Например, матрица
имеет приведённый вид.
Предложение 1.3 Для любой матрицы существует л_эквивалентная ей матрица приведённого вида.
Действительно, если матрица имеет вид (1.1) и, то после проведения в ней элементарных преобразований
получаем матрицу
у которой строка имеет приведённый вид.
Во-вторых, если строка, в матрице была приведённой, то после проведения элементарных преобразований (1.20) строка матрицы будет приведённой. Действительно, так как, приведённая, найдётся такой столбец, что
но тогда и, следовательно, после проведения преобразований (1.20) столбец не меняется, т.е. . Поэтому строка, имеет приведённый вид.
Теперь ясно, что поочерёдно преобразуя указанным выше способом каждую ненулевую строку матрицы, после конечного числа шагов мы получим матрицу приведённого вида. Так как для получения матрицы использовались только строчные элементарные преобразования, то она л_эквивалентна матрице. >
Пример 7. Построить матрицу приведённого вида, л_эквивалентную матрице
Первые три параграфа настоящей главы посвящены учению об эквивалентности многочленных матриц. На основе этого в последующих трех параграфах строится аналитическая теория элементарных делителей, т. е. теория приведения постоянной (немногочленнов) квадратной матрицы к нормальной форме . В последних двух параграфах главы даны два метода построения преобразующей матрицы .
§ 1. Элементарные преобразования многочленной матрицы
Определение 1. Многочленной матрицей или -матрицей называется прямоугольная матрица , элементы которой суть многочлены от :
здесь – наибольшая из степеней многочленов .
мы можем представить многочленную матрицу в виде матричного многочлена относительно , т. е. в виде многочлена с матричными коэффициентами:
Введем в рассмотрение следующие элементарные операции над многочленной матрицей :
1. Умножение какой-либо, например -й, строки на число .
2. Прибавление к какой-либо, например -й, строке другой, например -й, строки, предварительно умноженной на произвольный многочлен .
3. Перестановка местами любых двух строк, например -й и -й строк.
Предлагаем читателю проверить, что операции 1, 2, 3 равносильны умножению многочленной матрицы слева соответственно на следующие квадратные матрицы порядка :
(1)
т. е. в результате применения операций 1, 2, 3 матрица преобразуется соответственно в матрицы , , . Поэтому операции типа 1, 2, 3 называются левыми элементарными операциями.
Совершенно аналогично определяются правые элементарные операции над многочленной матрицей (эти операции производятся не над строками, а над столбцами многочленной матрицы) и соответствующие им матрицы (порядка ):
В результате применения правой элементарной операции матрица умножается справа на соответствующую матрицу .
Матрицы типа (или, что то же, типа ) мы будем называть элементарными матрицами.
Определитель любой элементарной матрицы не зависит от и отличен от нуля. Поэтому для каждой левой (правой) элементарной операции существует обратная операция, которая также является левой (соответственно правой) элементарной операцией.
Определение 2. Две многочленные матрицы и называются 1) левоэквивалентными, 2) правоэквивалентными, 3) эквивалентными, если одна из них получается из другой путем применения соответственно 1) левых элементарных операций, 2) правых элементарных операций, 3) левых и правых элементарных операций.
Пусть матрица получается из при помощи левых элементарных операций, соответствующих матрицам . Тогда
. (2).
Обозначая через произведение , мы равенство (2) запишем в виде
, (3)
где , как и каждая из матриц , имеет отличный от нуля постоянный определитель.
В следующем параграфе будет доказано, что каждая квадратная -матрица с постоянным отличным от нуля определителем может быть представлена в виде произведения элементарных матриц. Поэтому равенство (3) эквивалентно равенству (2) и потому означает левую эквивалентность матриц и .
В случае правой эквивалентности многочленных матриц и вместо равенства (3) будем иметь равенство
, (3")
а в случае (двусторонней) эквивалентности – равенство
Здесь опять и – матрицы с отличными от нуля и не зависящими от определителями.
Таким образом, определение 2 можно заменить равносильным определением.
Определение 2". Две прямоугольные -матрицы и называются 1) левоэквивалентными, 2) правоэквивалентными, 3) эквивалентными, если соответственно
1)
, 2) , 3) ,
где и – многочленные квадратные матрицы с постоянными и отличными от нуля определителями.
Все введенные выше понятия проиллюстрируем на следующем важном примере.
Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных уравнений -го порядка с неизвестными функциями аргумента с постоянными коэффициентами:
(4)
Му уравнению новой неизвестной
функции ;
вторая элементарная операция означает введение новой неизвестной функции 
(вместо ); третья операция
означает перемену местами в уравнениях членов, содержащих и (т. е. 
).
Простейший вид матрицы линейного оператора.
Матрицы A и B называются эквивалентными, если найдутся невырожденные матрицы Q и T , что A =QBT .
Теорема 6.1. Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны.
Доказательство . Поскольку ранг произведения не превосходит ранги сомножителей, то . Так как , то . Объединяя два неравенства, получаем требуемое утверждение.
Теорема 6.2. Элементарными преобразованиями со строками и столбцами матрицу A можно привести к блочному виду , где - единичная матрица порядка k , а 0 – нулевая матрица соответствующих размеров.
Доказательство. Приведем алгоритм приведения матрицы A к указанному виду. Номера столбцов будут указываться в квадратных скобках, а номера строк – в круглых скобках.
1. Положим r =1.
2. Если то перейдем на шаг 4, иначе перейдем на шаг 3.
3. Сделаем преобразования со строками 
, где i
=r
+1,…,m
, и со столбцами 
, где j
=r
+1,…,n
, и . Увеличим r
на 1 и вернемся на шаг 2.
4. Если , при i =r +1,…,m , j =r +1,…,n , то конец. В противном случае найдем i ,j >r , что . Переставим строки и столбцы , вернемся на шаг 2.
Очевидно, что алгоритмом будет строиться последовательность эквивалентных матриц, последняя из которых имеет требуемый вид.
Теорема 6.3. Матрицы A и B одинаковых размеров эквивалентны тогда и только тогда, когда их ранги равны.
Доказательство.
Если матрицы эквивалентны, то их ранги равны (Теорема 6.1). Пусть ранги матриц равны. Тогда найдутся невырожденные матрицы, что 
, где r
=rgA
=rgB
(Теорема 6.2). Следовательно, 
, и матрицы A
и B
– эквивалентны.
Результаты данного пункта позволяют находить простейший вид матрицы линейного оператора и базисы пространств, в которых матрица линейного оператора имеет этот простейший вид.
Переход к новому базису.
Пусть (1) и (2) – два базиса одного и того же m-мерного линейного пространства X.
Так как (1) – базис, то по нему можно разложить векторы второго базиса:
Из коэффициентов при составим матрицу:
(4) – матрица преобразования координат при переходе от базиса (1) к базису (2).
Пусть вектор, тогда (5) и (6).
Соотношение (7) означает, что
Матрица Р – невырожденная, так как в противном случае имело бы место линейная зависимость между ее столбцами, а тогда и между векторами.
Верно и обратное: любая невырожденная матрица является матрицей преобразования координат, определяемого формулами (8). Т.к. Р – невырожденная матрица, то для нее существует обратная. Умножая обе части (8) на, получим: (9).
Пусть в линейном пространстве X выбрано 3 базиса: (10), (11), (12).
Откуда, т.е. (13).
Т.о. при последовательном преобразовании координат матрица результирующего преобразования равна произведению матриц составляющих преобразований.
Пусть линейный оператор и пусть в X выбрана пара базисов: (I) и (II), и в Y – (III) и (IV).
Оператору А в паре базисов I – III соответствует равенство: (14). Этому же оператору в паре базисов II – IV соответствует равенство: (15). Т.о. для данного оператора А имеем две матрицы и. Мы хотим установить зависимость между ними.
Пусть Р – матрица преобразования координат при переходе от I к III.
Пусть Q – матрица преобразования координат при переходе от II к IV.
Тогда (16), (17). Подставим выражения для и из (16) и (17) в (14), получим:
Сравнивая данное равенство с (15), получим:
Соотношение (19) связывает матрицу одного и того же оператора в разных базисах. В случае, когда пространства X и Y совпадают, роль III базиса играет I, а IV – II-ой, тогда соотношение (19) принимает вид: .
Библиография:
3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с
Лекция №16 (II семестр)
Тема: Необходимое и достаточное условие эквивалентности матриц.
Две матрицы, А и В, одинаковых размеров, называются эквивалентными , если существуют две невырожденные матрицы R и S, такие, что (1).
Пример: Две матрицы, соответствующие одному и тому же оператору при различных выборах базисов в линейных пространствах X и Y эквивалентны.
Ясно, что отношение, определенное на множестве всех матриц одного размера с помощью вышеприведенного определения является отношением эквивалентности.
Теорема 8: Для того, чтобы две прямоугольные матрицы одинаковых размеров были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы они были одного ранга.
Доказательство:
1. Пусть А и В – две матрицы, для которых имеет смысл. Ранг произведения (матрицы С) не выше ранга каждого из сомножителей.
Мы видим, что k-ый столбец матрицы С является линейной комбинацией векторов столбцов матрицы А и это выполняется для всех столбцов матрицы С, т.е. для всех. Т.о. , т.е. – подпространство линейного пространства.
Так как и так как размерность подпространства меньше или равна размерности пространства, то ранг матрицы С меньше или равен рангу матрицы А.
В равенствах (2) зафиксируем индекс i и будем придавать k всевозможные значения от 1 до s. Тогда получим систему равенств, аналогичную системе (3):
Из равенств (4) видно, что i-я строка матрицы С является линейной комбинацией строк матрицы В для всех i, а тогда линейная оболочка, натянутая на строки матрицы С, содержится в линейной оболочке, натянутой на строки матрицы В, а тогда размерность этой линейной оболочки меньше или равна размерности линейной оболочки векторов строк матрицы В, значит, ранг матрицы С меньше или равен рангу матрицы В.
2. Ранг произведения матрицы А слева и справа на невырожденную квадратную матрицу Q равен рангу матрицы А.(). Т.е. ранг матрицы С равен рангу матрицы А.
Доказательство: Согласно доказанному в случае (1) . Так как матрица Q – невырожденная, то для нее существует: и в соответствии с доказанным в предыдущем утверждении.
3. Докажем, что если матрицы эквивалентны, то они имеют одинаковые ранги. По определению, А и В эквивалентны, если существуют такие R и S, что. Так как при умножении А слева на R и справа на S получаются матрицы того же ранга, как доказано в пункте (2), ранг А равен рангу В.
4. Пусть матрицы А и В одинакового ранга. Докажем, что они эквивалентны. Рассмотрим, .
Пусть X и Y – два линейных пространства, в которых выбраны базисы (базис X) и (базис Y). Как известно, любая матрица вида определяет некоторый линейный оператор, действующий из X в Y.
Так как r – ранг матрицы А, то среди векторов в точности r линейно независимых. Не ограничивая общности, можно считать, что – первые r векторов – линейно независимы. Тогда все остальные через них линейно выражаются, и можно записать:
Определим в пространстве X новый базис, следующим образом: . (7)
Новый базис в пространстве Y следующим образом:
Векторы, по условию, линейно независимы. Дополним их некоторыми векторами до базиса Y: (8). Итак (7) и (8) – два новых базиса X и Y. Найдем матрицу оператора А в этих базисах:
Итак, в новой паре базисов матрицей оператора А является матрица J. Матрица А изначально была произвольной прямоугольной матрицей вида, ранга r. Так как матрицы одного и того же оператора в разных базисах эквивалентны, то этим показано, что любая прямоугольная матрица вида ранга r эквивалентна J. Так как мы имеем дело с отношением эквивалентности, этим показано, что любые две матрицы А и В вида и ранга r, будучи эквивалентны матрице J эквивалентны между собой.
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.
Лекция №17 (II семестр)
Тема: Собственные значения и собственные векторы. Собственные подпространства. Примеры.
