Для того, чтобы вычислить сумму ряда , нужно просто сложить элементы ряда, заданное количество раз. Например:

В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:

По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:

Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда . Итак, частичной суммой ряда (обозначается S n ) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:

Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:

Таким образом, для вычисления суммы ряда , необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда (S n ). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

здесь b 1 - первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q - это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S n для нашего ряда равна:

Тогда сумма нашего ряда (S ) согласно определению, данному выше, равна:

Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа "sum diverges"), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.

Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n -ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).

Основные определения

Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности называется числовым рядом.

При этом числа будем называть членами ряда, а un - общим членом ряда.

Определение. Суммы, n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, …

Определение. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда - предел последовательности его частных сумм.

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

Свойства рядов

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда и, где С - постоянное число.

Теорема. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится, и его сумма равна СS. (C 0)

3) Рассмотрим два ряда и. Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд, где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно S и, то ряд тоже сходится и его сумма равна S + .

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

Критерий Коши.

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р - целое число, выполнялось бы неравенство:

Доказательство. (необходимость)

Пусть, тогда для любого числа найдется номер N такой, что неравенство

выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство. Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того, чтобы ряд был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому, как правило, используются более простые признаки сходимости:

1) Если ряд сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Ряды для чайников. Примеры решений

Всех выживших приветствую на втором курсе! На этом уроке, а точнее, на серии уроков, мы научимся управляться с рядами. Тема не очень сложная, но для ее освоения потребуются знания с первого курса, в частности, необходимо понимать, что такое предел , и уметь находить простейшие пределы. Впрочем, ничего страшного, по ходу объяснений я буду давать соответствующие ссылки на нужные уроки. Некоторым читателям тема математических рядов, приемы решения, признаки, теоремы могут показаться своеобразными, и даже вычурными, нелепыми. В этом случае не нужно сильно «загружаться», принимаем факты такими, какими они есть, и просто учимся решать типовые, распространенные задания.

1) Ряды для чайников , и для самоваров сразу содержание:)

Для сверхбыстрой подготовки по теме есть экспресс-курс в pdf формате , с помощью которого реально «поднять» практику буквально за день.

Понятие числового ряда

В общем виде числовой ряд можно записать так: .
Здесь:
– математический значок суммы;
– общий член ряда (запомните этот простой термин);
– переменная-«счётчик». Запись обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала у нас , затем , потом , и так далее – до бесконечности. Вместо переменной иногда используется переменная или . Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля , с двойки либо с любого натурального числа .

В соответствии с переменной-«счётчиком» любой ряд можно расписать развёрнуто:
– и так далее, до бесконечности.

Cлагаемые – это ЧИСЛА , которые называются членами ряда. Если все они неотрицательны (больше либо равны нулю) , то такой ряд называют положительным числовым рядом .

Пример 1

Это уже, кстати, «боевое» задание – на практике довольно часто требуется записать несколько членов ряда.

Сначала , тогда:
Затем , тогда:
Потом , тогда:

Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому записываем ответ:

Обратите внимание на принципиальное отличие от числовой последовательности ,
в которой члены не суммируются, а рассматриваются как таковые.

Пример 2

Записать первые три члена ряда

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Даже для сложного на первый взгляд ряда не составляет трудности расписать его в развернутом виде:

Пример 3

Записать первые три члена ряда

На самом деле задание выполняется устно: мысленно подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:

Ответ оставляем в таком виде, полученные члены ряда лучше не упрощать , то есть не выполнять действия: , , . Почему? Ответ в виде гораздо проще и удобнее проверять преподавателю.

Иногда встречается обратное задание

Пример 4

Здесь нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть .
В данном случае:

Для проверки полученный ряд можно «расписать обратно» в развернутом виде.

А вот пример чуть сложнее для самостоятельного решения:

Пример 5

Записать сумму в свёрнутом виде с общим членом ряда

Выполнить проверку, снова записав ряд в развернутом виде

Сходимость числовых рядов

Одной из ключевых задач темы является исследование ряда на сходимость . При этом возможны два случая:

1) Ряд расходится . Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: либо суммы вообще не существует , как, например, у ряда
(вот, кстати, и пример ряда с отрицательными членами). Хороший образец расходящегося числового ряда встретился в начале урока: . Здесь совершенно очевидно, что каждый следующий член ряда больше, чем предыдущий, поэтому и, значит, ряд расходится. Ещё более тривиальный пример: .

2) Ряд сходится . Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : . Пожалуйста: – этот ряд сходится и его сумма равна нулю. В качестве более содержательного примера можно привести бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, известную нам ещё со школы: . Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: , где – первый член прогрессии, а – её основание, которое, как правило, записывают в виде правильной дроби. В данном случае: , . Таким образом: Получено конечное число, значит, ряд сходится, что и требовалось доказать.

Однако в подавляющем большинстве случаев найти сумму ряда не так-то просто, и поэтому на практике для исследования сходимости ряда используют специальные признаки, которые доказаны теоретически.

Существует несколько признаков сходимости ряда: необходимый признак сходимости ряда, признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши , признак Лейбница и некоторые другие признаки. Когда какой признак применять? Это зависит от общего члена ряда , образно говоря – от «начинки» ряда. И очень скоро мы всё разложим по полочкам.

! Для дальнейшего усвоения урока необходимо хорошо понимать , что такое предел и хорошо уметь раскрывать неопределенность вида . Для повторения или изучения материала обратитесь к статье Пределы. Примеры решений .

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю: .

Обратное в общем случае неверно, т.е., если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. И поэтому этот признак используют для обоснования расходимости ряда:

Если общий член ряда не стремится к нулю , то ряд расходится

Или короче: если , то ряд расходится. В частности, возможна ситуация, когда предела не существует вообще, как, например, предела . Вот сразу и обосновали расходимость одного ряда:)

Но гораздо чаще предел расходящегося ряда равен бесконечности, при этом в качестве «динамической» переменной вместо «икса» выступает . Освежим наши знания: пределы с «иксом» называют пределами функций , а пределы с переменной «эн» – пределами числовых последовательностей . Очевидное отличие состоит в том, что переменная «эн» принимает дискретные (прерывные) натуральные значения: 1, 2, 3 и т.д. Но данный факт мало сказывается на методах решения пределов и способах раскрытия неопределенностей.

Докажем, что ряд из первого примера расходится.
Общий член ряда:

Вывод : ряд расходится

Необходимый признак часто применяется в реальных практических заданиях:

Пример 6

В числителе и знаменателе у нас находятся многочлены. Тот, кто внимательно прочитал и осмыслил метод раскрытия неопределенности в статье Пределы. Примеры решений , наверняка уловил, что когда старшие степени числителя и знаменателя равны , тогда предел равен конечному числу .

Делим числитель и знаменатель на

Исследуемый ряд расходится , так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Пример 7

Исследовать ряд на сходимость

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Итак, когда нам дан ЛЮБОЙ числовой ряд, в первую очередь проверяем (мысленно или на черновике): а стремится ли его общий член к нулю? Если не стремится – оформляем решение по образцу примеров № 6, 7 и даём ответ о том, что ряд расходится.

Какие типы очевидно расходящихся рядов мы рассмотрели? Сразу понятно, что расходятся ряды вроде или . Также расходятся ряды из примеров № 6, 7: когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя . Во всех этих случаях при решении и оформлении примеров мы используем необходимый признак сходимости ряда.

Почему признак называется необходимым ? Понимайте самым естественным образом: для того, чтобы ряд сходился, необходимо , чтобы его общий член стремился к нулю. И всё бы было отлично, но этого ещё не достаточно . Иными словами, если общий член ряда стремится к нулю, ТО ЭТО ЕЩЕ НЕ ЗНАЧИТ, что ряд сходится – он может, как сходиться, так и расходиться!

Знакомьтесь:

Данный ряд называется гармоническим рядом . Пожалуйста, запомните! Среди числовых рядов он является прима-балериной. Точнее, балеруном =)

Легко заметить, что , НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится .

Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:

1) Данный ряд расходится при . Например, расходятся ряды , , .
2) Данный ряд сходится при . Например, сходятся ряды , , . Еще раз подчеркиваю, что почти во всех практических заданиях нам совершенно не важно, чему равна сумма , например, ряда , важен сам факт его сходимости .

Это элементарные факты из теории рядов, которые уже доказаны, и при решении какого-нибудь практического примера можно смело ссылаться, например, на расходимость ряда или сходимость ряда .

Вообще, рассматриваемый материал очень похож на исследование несобственных интегралов , и тому, кто изучал эту тему, будет легче. Ну а тому, кто не изучал – легче вдвойне:)

Итак, что делать, если общий член ряда СТРЕМИТСЯ к нулю? В таких случаях для решения примеров нужно использовать другие, достаточные признаки сходимости / расходимости:

Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Заостряю ваше внимание , что здесь речь уже идёт только о положительных числовых рядах (с неотрицательными членами) .

Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения , другой – предельным признаком сравнения .

Сначала рассмотрим признак сравнения , а точнее, первую его часть:

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно , что ряд – сходится , и, начиная с некоторого номера , выполнено неравенство , то ряд тоже сходится .

Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами . На практике неравенство часто выполнено вообще для всех значений :

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость

Во-первых, проверяем (мысленно либо на черновике) выполнение :
, а значит, «отделаться малой кровью» не удалось.

Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и, ориентируясь на старшую степень, находим похожий ряд: Из теории известно, что он сходится.

Для всех натуральных номеров справедливо очевидное неравенство:

а бОльшим знаменателям соответствуют мЕньшие дроби:
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Если у вас есть какие-то сомнения, то неравенство всегда можно расписать подробно! Распишем построенное неравенство для нескольких номеров «эн»:
Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
….
и теперь-то уж совершенно понятно, что неравенство выполнено для всех натуральных номеров «эн».

Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. Если ряд сходится, то он имеет некоторую конечную сумму : . И поскольку все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!

Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: , , и т.д.

! Обратите внимание , что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Наличие хотя бы одного минуса может серьёзно осложнить использование рассматриваемого признака сравнения . Например, если ряд таким же образом сравнить со сходящимся рядом (выпишите несколько неравенств для первых членов), то условие не будет выполняться вообще! Здесь можно извернуться и подобрать для сравнения другой сходящийся ряд, например, , но это повлечёт за собой лишние оговорки и другие ненужные трудности. Поэтому для доказательства сходимости ряда гораздо проще использовать предельный признак сравнения (см. следующий параграф).

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость

И в этом примере я предлагаю вам самостоятельно рассмотреть вторую часть признака сравнения :

Если известно , что ряд – расходится , и, начиная с некоторого номера (часто с самого первого), выполнено неравенство , то ряд тоже расходится .

Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами .

Что нужно сделать?
Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом . Для лучшего понимания постройте несколько конкретных неравенств и убедитесь в справедливаости неравенства .

Решение и образец оформления в конце урока.

Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» числовых рядов является предельный признак сравнения , и по частоте использования с ним может конкурировать разве что признак Даламбера .

Предельный признак сравнения числовых положительных рядов

Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этих рядов равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно .

Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числителе и в знаменателе. Опционально многочлены могут находиться под корнями.

Разделаемся с рядом, для которого забуксовал предыдущий признак сравнения.

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

Почему для сравнения был выбран именно ряд ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).

Примечание : когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения , в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: – это не изменило бы сути дела.

Вычислить сумму ряда можно только в случае, когда ряд сходится. Если ряд расходится то сумма ряда бесконечна и нет смысла что-то вычислять. Ниже приведены примеры из практики нахождения суммы ряда, которые задавали в Львовском национальном университете имени Ивана Франка. Задания на ряды подобраны так, что условие сходимости выполняется всегда, однако проверку на сходимость мы выполнять будем. Эта и следующие за ней статьи составляют решение контрольной работы по анализе рядов.

Пример 1.4 Вычислить сумму рядов:
а)
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда при номере следующему до бесконечности равна 0

то данный ряд сходится. Вычислим сумму ряда. Для этого преобразуем общий член, разложив его на простейшие дроби I и II типа. Методика разложения на простые дроби здесь приводиться не будет (хорошо расписана при интегрировании дробей), а лишь запишем конечный вид разложения

В соответствии с этим можем сумму расписать через сумму ряда образованного из простейших дробей, а дальше из разницы сумм рядов

Далее расписываем каждый ряд в явную сумму и выделяем слагаемые (подчеркивание), которые превратятся 0 после сложения. Таким образом сумма ряда упростится к сумме 3 слагаемых (обозначены черным), что в результате даст 33/40.

На этом базируется вся практическая часть нахождения суммы для простых рядов.
Примеры на сложные ряды сводятся к сумме бесконечно убывающих прогрессий и рядов, которые находят через соответствующие формулы, но здесь такие примеры рассматривать не будем.
б)
Вычисления: Находим границу n-го члена суммы

Она равна нулю, следовательно заданный ряд сходится и имеет смысл искать его сумму. Если граница отличная от нуля, то сумма ряда равна бесконечности со знаком "плюс" или "минус".
Найдем сумму ряда. Для этого общий член ряда который является дробью превратим методом неопределенных коэффициентов к сумме простых дробей I типа

Далее по инструкции которая приводилась ранее записываем сумму ряда через соответствующие суммы простейших дробей

Расписываем суммы и выделяем слагаемые, которые станут равными 0 при суммировании.

В результате получим сумму нескольких слагаемых (выделенные черным) которая равна 17/6 .

Пример 1.9 Найти сумму ряда:
а)
Вычисления: Вычислениям границы

убеждаемся что данный ряд сходится и можно находить сумму. Далее знаменатель функции от номера n раскладываем на простые множители, а весь дробь превращаем к сумме простых дробей I типа

Далее сумму ряда в соответствии с расписанием записываем через два простые

Ряды записываем в явном виде и выделяем слагаемые, которые после добавления дадут в сумме ноль. Остальные слагаемые (выделенные черным) и представляет собой конечную сумму ряда

Таким образом, чтобы найти сумму ряда надо на практике свести под общий знаменатель 3 простых дроби.
б)
Вычисления: Граница члена ряда при больших значениях номера стремится к нулю

Из этого следует что ряд сходится, а его сумма конечна. Найдем сумму ряда, для этого сначала методом неопределенных коэффициентов разложим общий член ряда на три простейшего типа

Соответственно и сумму ряда можно превратить в сумму трех простых рядов

Далее ищем слагаемые во всех трех суммах, которые после суммирования превратятся в ноль. В рядах, содержащих три простых дроби один из них при суммировании становится равным нулю (выделен красным). Это служит своеобразной подсказкой в вычислениях

Сумма ряда равна сумме 3 слагаемых и равна единице.

Пример 1.15 Вычислить сумму ряда:
а)

Вычисления: При общем член ряда стремящемся к нулю

данный ряд сходится. Преобразуем общий член таким образом, чтобы иметь сумму простейших дробей

Далее заданный ряд, согласно формулам расписания, записываем через сумму двух рядов

После записи в явном виде большинство членов ряда в результате суммирования станут равны нулю. Останется вычислить сумму трех слагаемых.

Сумма числового ряда равна -1/30 .
б)
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда равна нулю,

то ряд сходится. Для нахождения суммы ряда разложим общий член на дроби простейшего типа.

При разложении использовали метод неопределенных коэффициентов. Записываем сумму ряда из найденного расписание

Следующим шагом выделяем слагаемые, не вносящие никакого вклада в конечную сумму и остальные оставшиеся

Сумма ряда равна 4,5 .

Пример 1.25 Вычислить сумму рядов:
а)

Поскольку она равна нулю то ряд сходится. Можем найти сумму ряда. Для этого по схеме предыдущих примеров раскладываем общий член ряда через простейшие дроби

Это позволяет записать ряд через сумму простых рядов и, выделив в нем слагаемые, упростив при этом суммирование.

В этом случае останется одно слагаемое которое равен единице.
б)
Вычисления: Находим границу общего члена ряда

и убеждаемся что ряд сходится. Далее общий член числового ряда методом неопределенных коэффициентов раскладываем на дроби простейшего типа.

Через такие же дроби расписываем сумму ряда

Записываем ряды в явном виде и упрощаем к сумме 3 слагаемых

Сумма ряда равна 1/4.
На этом ознакомление со схемами суммирования рядов завершено. Здесь еще не рассмотрены ряды, которые сводятся к сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, содержащие факториалы, степенные зависимости и подобные. Однако и приведенный материал будет полезен для студентов на контрольных и тестах.

На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.

Необходимый признак сходимости ряда

ТЕОРЕМА 1

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при
, т.е.
.

Кратко : если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Доказательство. Пусть ряд сходится и его сумма равна . Для любого частичная сумма

Тогда . 

Из доказанного необходимого признака сходимости вытекает достаточный признак расходимости ряда: если при
общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример 4.

Для этого ряда общий член
и
.

Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Очевидно, что общий член этого ряда, вид которого не указан ввиду громоздкости выражения, стремится к нулю при
, т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется, однако этот ряд расходится, так как его сумма стремится к бесконечности.

Знакоположительные числовые ряды

Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным.

ТЕОРЕМА 2 (Критерий сходимости знакоположительного ряда)

Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху одним и тем же числом.

Доказательство. Так как для любого
, то, т.е. последовательность
– монотонно возрастающая, поэтому для существования предела необходимо и достаточно ограничение последовательности сверху каким-либо числом.

Эта теорема в большей степени имеет теоретическое, чем практическое значение. Далее приведены другие признаки сходимости, имеющие большее применение.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

ТЕОРЕМА 3 (Первый признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда:

(1)

(2)

причем, начиная с некоторого номера
, для любого
выполняется неравенство
Тогда:

Схематическая запись первого признака сравнения:

сход.сход.

расх.расх.

Доказательство. 1) Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, докажем теорему для случая
. Пусть для любого
имеем

, (3)

где
и
- соответственно частичные суммы рядов (1) и (2).

Если ряд (2) сходится, то существует число
. Поскольку при этом последовательность
- возрастающая, ее предел больше любого из ее членов, т.е.
для любого . Отсюда из неравенства (3) следует
. Таким образом, все частичные суммы ряда (1) ограничены сверху числом . Согласно теореме 2 этот ряд сходится.

2) Действительно, если бы ряд (2) сходился, то по признаку сравнения сходился бы и ряд (1). 

Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:

3) - ряд Дирихле (он сходится при
и расходится при
).

Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:

,

,
,
.

Рассмотрим на конкретных примерах схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.

Пример 6. Исследовать ряд
на сходимость.

Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда:
для

Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда:
. Так как
, то

(если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить).

Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как
, то в качестве эталона можно взять ряд
, т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как показатель степени
. Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Пример 7. Исследовать ряд
на сходимость.

1) Данный ряд знакоположительный, так как
для

2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо

3) Подберем ряд-эталон. Так как
, то в качестве эталона можно взять геометрический ряд

. Этот ряд сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряд.

ТЕОРЕМА 4 (Второй признак сравнения)

Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел
, то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится; докажем, что тогда сходится и ряд (1). Выберем какое-нибудь число , большее, чем . Из условия
вытекает существование такого номера , что для всех
справедливо неравенство
, или, что то же,

(4)

Отбросив в рядах (1) и (2) первые членов (что не влияет на сходимость), можно считать, что неравенство (4) справедливо для всех
Но ряд с общим членом
сходится в силу сходимости ряда (2). Согласно первому признаку сравнения, из неравенства (4) следует сходимость ряда (1).

Пусть теперь сходится ряд (1); докажем сходимость ряда (2). Для этого следует просто поменять ролями заданные ряды. Так как

то, по доказанному выше, из сходимости ряда (1) должна следовать сходимость ряда (2). 

Если
при
(необходимый признак сходимости), то из условия
, следует, чтои– бесконечно малые одного порядка малости (эквивалентные при
). Следовательно, если дан ряд , где
при
, то для этого ряда можно брать ряд-эталон , где общий член имеет тот же порядок малости, что и общий член данного ряда.

При выборе ряда-эталона можно пользоваться следующей таблицей эквивалентных бесконечно малых при
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

для любого
.

Так как
, то возьмем в качестве ряда-эталона гармонический расходящийся ряд
. Поскольку предел отношения общих членовиконечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится.

Пример 9.
по двум признакам сравнения.

Данный ряд знакоположительный, так как
, и
. Поскольку
, то в качестве ряда-эталона можно брать гармонический ряд. Этот ряд расходится и следовательно, по первому признаку сравнения, исследуемый ряд также расходится.

Так как для данного ряда и ряда-эталона выполняется условие
(здесь использован 1-й замечательный предел), то на основании второго признака сравнения ряд
– расходится.

ТЕОРЕМА 5 (Признак Даламбера)

существует конечный предел
, то ряд сходится при
и расходится при
.

Доказательство. Пусть
. Возьмем какое-либо число, заключенное между и 1:
. Из условия
следует, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

;
;
(5)

Рассмотрим ряд

Согласно (5) все члены ряда (6) не превосходят соответствующих членов бесконечной геометрической прогрессии
Поскольку
, эта прогрессия является сходящейся. Отсюда в силу первого признака сравнения вытекает сходимость ряда

Случай
рассмотрите самостоятельно.

Замечания :

следует, что остаток ряда

Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера.

Данный ряд знакоположительный и

(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя).

то по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 11. .

Данный ряд знакоположительный и
. Поскольку

то данный ряд сходится.

ТЕОРЕМА 6 (Признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел
, то при
ряд сходится, а при
ряд расходится.

Доказательство аналогично теореме 5.

Замечания :

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд
.

Данный ряд знакоположительный, так как
для любого
. Поскольку вычисление предела
вызывает определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда опускаем.