Секреты быстрого умножения и деления
1. Умножение и деление на 5, 50, 500 и т. д.
Умножение на 5, 50, 500 и т. д. заменяется умножением на 10, 100,1000 и т. д. с последующим делением на 2 полученного произведения (или делением на 2 и умножением на 10, 100, 1000 и т. д= 100: 2 и т. д.)
54*5=(54*10):2=540:2=*5 = (54:2)*10= 270).
Чтобы число разделить на 5,50, 500 и т. д., надо это число разделить на 10,100,1000 и т. д. и умножить на 2.
10800: 50 = 10800:100*2 =216
10800: 50 = 10800*2:100 =216
2. Умножение и деление на 25, 250, 2500 и т. д.
Умножение на 25, 250, 2500 и т. д. заменяется умножением на 100,1000,10000 и т. д. и полученный результат разделить на= 100: 4)
542*25=(542*100):4=13*25=248: 4*100 = 6200)
(если число делится на 4, то выполнение умножения не занимает времени, любой ученик может выполнить).
Чтобы выполнить деление числа на 25, 25,250,2500 и т. д. это число надо разделить на 100,1000,10000 и т. д. и умножить на 4
31200: 25 = 31200:100*4 = 1248.
3. Умножение и деление на 125, 1250, 12500 и т. д.
Умножение на 125, 1250 и т. д. заменяется умножением на 1000, 10000 и т. д. и полученное произведение нужно делить на= 1000: 8)
72*125=72*1000:8=9000
Если число делится на 8, то сначала выполним деление на 8 , а потом умножение на 1000,10000 и т. д.
48*125 = 48:8*1000 = 6000
Чтобы разделить число на 125, 1250 и т. д., надо это число разделить на 1000, 10000 и т. д. и умножить на 8.
7000: 125 = 7000:1000*8 = 56.
4. Умножение и деление на 75, 750 и т. д.
Чтобы число умножить на 75, 750и т. д. надо это число разделить на 4 и умножить на 300, 3000 и т. д. (75 = 300: 4)
48* 75 = 48:4*300 = 3600
Чтобы число разделить на 75,750 и т. д. надо это число разделить на 300, 3000 и т. д. и умножить на 4
7200: 75 = 7200: 300*4 = 96.
5.Умножение на 15, 150.
При умножении на 15, если число нечетное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения:
23х15=23х(10+5)=230+115=345;
если же число четное, то поступаем еще проще - к числу прибавляем его половину и результат умножаем на 10:
18х15=(18+9)х10=27х10=270.
При умножении числа на 150 пользуемся тем же приемом и умножаем результат на 10, т. к.150=15х10:
24х150=((24+12)х10)х10=(36х10)х10=3600.
Точно так же быстро умножить двузначное число (особенно четное) на двузначное, оканчивающиеся на 5:
24*35 = 24*(30 +5) = 24*30+24:2*10 = 720+120=840.
6. Перемножение двузначных чисел, меньших, чем 20.
К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел:
18х16=(18+6)х10+8х6= 240+48=288.
Описанным способом можно умножать двузначные числа, меньшие 20, а также числа, в которых одинаковое количество десятков: 23х24 = (23+4)х20+4х6=27х20+12=540+12=562.
Объяснение :
(10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) + a*b.
7.Умножение двузначного числа на 101.
Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.
Пример:
57 * 101 = 5> 5757
Объяснение: (10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b
Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001 и т. п.
8. Умножение числа на 11.
Следует "раздвинуть" цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.
Пример:
34 * 11 = 374, так как 3 + 4 = 7, семерку помещаем между тройкой и четверкой
68 * 11 = 748, так как 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой
Объяснение:
10a+b - произвольное число, где a - число десятков, b - число единиц.
Имеем:
(10a+b)*11 = 10a*11 + b*11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10*(a+b) + b,
где мы имеем a
сотен, a+b
десятков и b
единиц. т. е. результат содержит a*(a+1)
сотен, два десятка и пять единиц.
Составляем произведение: 5 единиц, 5+2=7 десятки, 2+6=8 сотни, 6+3=9 тысячи, 3+4=7 десятки тысяч, 4 сотни тысяч.
43625*11=479875.
Когда множимое заключается в пределах 1000 и 10000 (например, 7543), то можно применить следующий способ умножения на 11.Сначала разбить множимое 7543 на грани, по две цифры, затем найти произведение первой грани (75) слева на 11, как указано в умножении двузначного числа на 11. Полученное число (75*11=725) даст сотни произведения, так как умножали сотни множимого. Потом надо умножить на 11 вторую грань (43), получим единицы произведения: 43*11=473. Наконец, полученные произведения сложим: 825 сот. +473=82739. Следовательно, 7543*11=82739.
Рассмотрим ещё пример: 8324*11.
83`24; 83 сот. *11=913 сот.
24*11=264; 913 сот. +264=91564. Следовательно, 8324*11=91564.
9. Умножение на 22, 33, …, 99.
Чтобы двузначное число умножить 22,33, …,99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11:
15 *33= 15*3*11=45*11=495.
10. Умножение двузначных чисел на 111 .
Сначала возьмём множимым такое двузначное число, сумма цифр которого меньше 10. Поясним на числовых примерах:
Так как 111=100+10+1, то 45*111=45*(100+10+1). При умножении двузначного числа, сумма цифр которого меньше 10, на 111, надо в середину между цифрами вставить два раза сумму цифр (т. е. чисел, ими изображаемых) его десятков и единиц 4+5=9. 4500+450+45=4995. Следовательно, 45*111=4995. Когда сумма цифр двузначного множимого больше или равна 10, например 68*11, надо сложить цифры множимого (6+8) и в середину между цифрами 6 и 8 вставить 2 раза единицы полученной суммы. Наконец, к составленному числу 6448 прибавить 1100. Следовательно, 68*111=7548.
11. Умножение на 37.
При умножении числа на 37, если данное число кратно 3,его делят на 3 и умножают на 111.
27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999
Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37.
23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851.
12. Возведение в квадрат любого двузначного числа.
Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25.
Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю.
Рассмотрим пример:
372=12*100+132=1200+169=1369
(М–25)*100+ (50-M) 2=100M-2500+2500–100M+M2=M2 .
13. Умножение чисел, близких к 100.
При увеличении (уменьшении) одного из множителей на несколько единиц умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на другой множитель и из первого произведения вычитаем второе произведение (полученные произведения складываем)
98∙8=(100-2) ∙8=100∙8-2∙8=800-16=784.
Данный прием представления одного из сомножителей в виде разности позволяет легко умножать на 9, 99, 999.
Для этого достаточно умножить число на, 1000) и из полученного целого числа вычесть число, которое умножали: 154х9=154х10-154==1386.
Но еще проще ознакомить детей с правилом - «чтобы умножить число на 9 (99, 999)достаточно вычесть из этого числа число его десятков (сотен, тысяч), увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до 10 (дополнение до числа, образованного двумя (тремя) последними цифрами этого числа):
154х9=(154-16)х10+(10-4)=138х10+6=1380+6=1386
14. Умножение двузначных чисел, у которых сумма единиц равна 10.
Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма равна 10:
М=10m + n, K=10a + 10 – n. Составим их произведение.
M * K= (10m+n) * (10a + 10 – n) =100am + 100m – 10mn + 10an + +10n – n2 = m * (a + 1) * 100 + n * (10a + 10 – n) – 10mn = (10m) * * (10 * (a + 1)) + n * (K – 10m).
Рассмотрим несколько примеров:
17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391;
33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211.
15 . Умножение на число, записанное одними девятками.
Для того чтобы найти произведение числа написанного одними девятками на число имеющее с ним одинаковое количество цифр надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9.
137 * 999= 136 863;
Наличие такого способа усматривается из следующего приёма решения приведённых примеров: 8 * 9= 8 * (10 – 1)= 80 – 8= 72,
46 * 99= 46 * (100 – 1)= 4600 – 54= 4554.
16. Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.
Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25.
15*15 = 225 = 10*20+ 25 (или 1*2 и приписываем справа 25)
35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 и приписываем справа 25)
65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 и приписываем справа 25)
На многих людей математика может наводить ужас. Этот список, возможно, улучшит общие знания о математических приемах и ускорит выполнение математических вычислений в уме.
1. Умножение на 11
Все мы знаем, что при умножении на 10 к числу добавляется 0, а знаете ли вы, что существует такой же простой способ умножения двузначного числа на 11? Вот он:
Возьмите исходное число и представьте промежуток между двумя знаками (в этом примере мы используем число 52):
Теперь сложите два числа и запишите их по середине:
Таким образом, ваш ответ: 572.
Если при сложении чисел в скобках получается двузначное число, просто запомните вторую цифру, а единицу прибавьте к первому числу:
1089 – Это срабатывает всегда.
2. Быстрое возведение в квадрат
Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5. Умножьте первую цифру саму на себя +1, а в конце допишите 25. Вот и все!
252 = (2x(2+1)) & 25
3. Умножение на 5
Большинство людей очень просто запоминает таблицу умножения на 5, но, когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее, или нет? Этот прием невероятно прост.
Возьмите любое число, разделите на 2 (другими словами, поделите пополам). Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте 5. Это срабатывает всегда:
2682 x 5 = (2682 / 2) & 5 или 0
2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0)
Давайте попробуем другой пример:
2943,5 (дробное число (пропустите запятую, добавьте 5)
4. Умножение на 9
Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9х3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9х3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.
5. Умножение на 4
Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2:
58 x 4 = (58 x 2) + (58 x 2) = (116) + (116) = 232
6. Подсчет чаевых
Если вам нужно оставить 15% чаевых, есть простой способ сделать это. Высчитайте 10% (разделите число на 10), а потом добавьте получившееся число к его половине и получите ответ:
15% от $25 = (10% от 25) + ((10% от 25) / 2)
$2.50 + $1.25 = $3.75
7. Сложное умножение
Если вам нужно умножать большие числа, причем одно из них - четное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:
32 x 125 все равно, что:
16 x 250 все равно, что:
8 x 500 все равно, что:
4 x 1000 = 4,000
8. Деление на 5
На самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно, - просто умножить на 2 и перенести запятую: 195 / 5
Шаг1: 195 * 2 = 390
Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.
Шаг1: 2978 * 2 = 5956
Шаг2: 595,6
9. Вычитание из 1000
Чтобы выполнить вычитание из 1000, можете пользоваться этим простым правилом: Отнимите от 9 все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнимите от 10: 1000
Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3
Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5
Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2
Ответ: 352
10. Систематизированные правила умножения
Умножение на 5: Умножьте на 10 и разделите на 2.
Умножение на 6: Иногда проще умножить на 3, а потом на 2.
Умножение на 9: Умножьте на 10 и отнимите исходное число.
Умножение на 12: Умножьте на 10 и дважды прибавьте исходное число.
Умножение на 13: Умножьте на 3 и 10 раз прибавьте исходное число.
Умножение на 14: Умножьте на 7, а затем - на 2.
Умножение на 15: Умножьте на 10 и 5 раз прибавьте исходное число, как в предыдущем примере.
Умножение на 16: Если хотите, 4 раза умножьте на 2. Или умножить на 8, а потом на 2.
Умножение на 17: Умножьте на 7 и 10 раз прибавьте исходное число.
Умножение на 18: Умножьте на 20 и дважды отнимите исходное число.
Умножение на 19: Умножьте на 20 и отнимите исходное число.
Умножение на 24: Умножьте на 8, а потом на 3.
Умножение на 27: Умножьте на 30 и 3 раза отнимите исходное число.
Умножение на 45: Умножьте на 50 и 5 раз отнимите исходное число.
Умножение на 90: Умножьте на 9 и припишите 0.
Умножение на 98: Умножьте на 100 и дважды отнимите исходное число.
Умножение на 99: Умножьте на 100 и отнимите исходное число.
Вычислить 7% от 300. Кажется сложным?
Проценты: Сперва нужно понять значение слова «Процент» (Percent). Первая часть слова - ПРО (PER) , как 10 пунктов на страницу сайта listverse. PER = ДЛЯ КАЖДОГО. Вторая часть - ЦЕНТ (CENT), как 100. Например, СТОлетие = 100 лет. 100 ЦЕНТов в 1 долларе и так далее. Итак, ПРОЦЕНТ = ДЛЯ КАЖДОЙ СОТНИ.
Итак, получается, что 7% от 100 будет 7. (7 для каждой сотни, только одной сотни).
8% от 100 = 8.
35,73% от 100 = 35,73
Но как это может быть полезным??
Вернемся к задачке 7% от 300. 7% от
Первой сотни равно 7. 7%, от второй сотни - то же 7, и 7% от третьей сотни - все те же 7. Итак, 7 + 7 + 7 = 21. Если 8% от 100 = 8, то 8% от 50 = 4 (половина от 8).
Дробите каждое число, если нужно вычислить проценты из 100, если же число меньше 100, просто перенесите запятую влево.
ПРИМЕРЫ:
8%200 = ? 8 + 8 = 16.
8%250 = ? 8 + 8 + 4 = 20,
8%25 = 2,0 (Передвигаем запятую влево).
15%300 = 15+15+15 =45,
15%350 = 15+15+15+7,5 = 52,5
Также полезно знать, что вы всегда можете поменять числа местами: 3% от 100 - то же самое, что 100% от 3. 35% от 8 - то же самое, что и 8% от 35.
Операции сложения и вычитания являются базовыми действиями во многих случаях решения алгебраических задач. В данном видео мы рассмотрим основные принципы работы с многочленами.
Для начала напомним, что многочленом называется такое выражение, которое состоит из нескольких различных одночленов, или мономов. При этом каждый такой моном представляет собой либо числовое значение, либо переменную. Порой переменные группируются умножением или делением, а также могут иметь свой числовой коэффициент.
В предыдущих видеолекциях мы рассматривали приведение подобных слагаемы - упрощение любого многочлена до стандартного вида. Сразу стоит вставить ремарку, что подобные действия прямо взаимосвязаны с операциями сложения и вычитания внутри одного многочлена. Но при этом в случае алгебраических операций с несколькими многочленами предварительное упрощение может быть лишним и усложнить задачу. Будет более корректно стандартизовать уже итоговый полином. Ведь чем больше одночленов в многочлене, тем проще найти подобные слагаемые. Поэтому если стоит задача сложить или вычесть два многочлена - не стоит их сразу же приводить к стандартному виду.
В линейной алгебре принято многочлены в одном ряду записывать в отдельных скобках. Это помогает правильно раскрывать знак. Итак, если у нас есть два многочлена, то мы записываем их в ряд, и ставим необходимый знак между скобками:
(а 2 + с 3 - 7) + (3а 2 - 2с 3 +3)
Для решения данного выражения достаточно просто провести обычное алгебраическое сложение. Для этого, раскрываем скобки, памятуя о правилах сохранения знаков. При сложении (когда стоит плюс) все знаки сохраняются в неизменном виде, скобки легко можно опустить. Записываем выражение в новом виде:
а 2 + с 3 - 7 + 3а 2 - 2с 3 +3 =
4а 2 - 1с 3 - 4 = 4а 2 - с 3 - 4
Получившийся многочлен обрабатываем по правилам приведения подобных слагаемых, находим общие переменные, сокращаем все схожие значения. Иногда применяем ступенчатое сложение или вычитание для определенных мономов. В итоге, наше выражение сокращается до стандартного вида, являющегося ответом на заданный пример. Стоит понимать, что, формально, суммой многочлена, в данном случае, является выражение:
а 2 + с 3 - 7 + 3а 2 - 2с 3 +3
Не будет считаться ошибкой, если указать в ответе именно его. Но, по законам алгоритмов алгебраических вычислений, конечный ответ для действий с многочленами должен быть максимально упрощен, т.е. приведен к стандартному виду.
Операции вычитания проводятся таким же образом, только с учетом того факта, что знак «минус» перед скобками поменяет знак внутри:
(а 2 + с 3 - 7) - (3а 2 - 2с 3 +3) =
А 2 + с 3 - 7 - 3а 2 + 2с 3 - 3=
2а 2 + 3с 3 - 10
Во втором многочлене (вычитаемом) из-за минуса полностью инвертированы знаки: на противоположные значения. После чего алгоритм решения полностью идентичен суммированию (чем, по сути, сведение многочлена к стандартному виду и является).
Иногда в некоторых задачах необходимо выполнять обратные действия - из многочлена составить определенную сумму или разность. Это бывает необходимо для дальнейшего решения, и условия разбивания полинома задаются реалиями самой задачи. К примеру, необходимо выражение вида:
3а 2 - 2с 3 +3
Задача в таком случае следующая: представить выражение как сумму многочленов, один из которых - 3а 2 . Это легко сделать, выделив скобками задаваемые многочлены. При этом, знаки можно не менять, так как плюс разрешает это делать:
3а 2 + (- 2с 3 +3)
Если же нужна разность многочленов, один из которых 3а 2 , то необходимо не только выделить многочлены скобками, но и поставить минус, инвертирующий знаки во втором многочлене:
3а 2 - (2с 3 -3)
Таким образом, задачи по сложению или вычитанию многочленов решаются достаточно просто, если умело использовать свойства алгебраического сложения.
