«Нестандартные методы решения уравнений»
Кубанова Ольга Николаевна, учитель математики,
МБОУ «Плесецкая средняя школа»
« Процесс решения уравнения -
есть просто акт приведения его к более простой форме.
Но в некоторых формах его нелегко прочесть.
Решение его аналогично переводу
незнакомой фразы на понятный нам язык»
Для решения большинства уравнений, встречающихся на экзаменах, достаточно владеть школьным курсом математики, но при этом необходимо уметь их решать не только с помощью стандартных приёмов, предназначенных для вполне определённых типов уравнений, но и теми «нестандартными» методами, о которых я хочу рассказать.
Суть этих методов – реализовать «иной взгляд» на задачу, что позволяет, не выходя за рамки школьной программы, существенно упростить решение некоторых задач, то есть мы будем применять хорошо известные утверждения, но в ситуациях, где ими пользуются сравнительно редко.
Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, нестандартные методы предусматривают формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей у детей, а также повышение качества обучения математике.
Я остановлюсь на методе, где для решения уравнений используются свойства функций, входящих в уравнение.
Исследование области определений и области значений функций:
Заметим, что и 
и 
Поэтому равенство невозможно.
Ответ: нет корней.
Свойства монотонности функций:
Это уравнение можно решить стандартным способом, а можно проще. В левой части уравнения – возрастающая функция, а в правой – убывающая. Следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня. Число 1 – корень уравнения, что можно проверить подстановкой.
Возводить в пятую степень представляется бесперспективным. Пусть , тогда . Рассмотрим функции: и . Эти функции взаимно обратные, возрастает, то равносильно уравнению .
Корень один, т.к. слева – возрастающая функция, справа – убывающая функция.
Использование « неотрицательности» функций:
.
Все слагаемые левой части неотрицательны, следовательно равенство возможно, только если каждое из слагаемых равно нулю.
Эти два равенства противоречат друг другу. Система не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Чтобы использовать эти методы для решения уравнений, необходимо хорошо знать теоретический материал. Используя эти методы, экономится время, что позволяет решить больше заданий. А это немало важно при написании контрольных работ и сдаче ЕГЭ.
Свойства функций:
Т-1:
Использование суперпозиций функций:
Т -2:
«Неотрицательность» функций.
Свойства функций:
Область определения и область значения квадратного корня.
Свойства монотонности функции:
Т-1: Пусть у=f (х)- функция, возрастающая на промежутке L , а у=g (x )- функция, убывающая на этом же промежутке L . Тогда уравнение f (x )=g (x ) имеет на промежутке L не более одного корня.
Использование суперпозиций функций:
Т -2: Если функции f (x ) и g (x ) взаимно обратны и функция f (x ) возрастает, то уравнение f (x )=g (x ) и уравнение f (x )=x равносильны.
«Неотрицательность» функций.
Свойства функций:
Область определения и область значения квадратного корня.
Свойства монотонности функции:
Т-1: Пусть у=f (х)- функция, возрастающая на промежутке L , а у=g (x )- функция, убывающая на этом же промежутке L . Тогда уравнение f (x )=g (x ) имеет на промежутке L не более одного корня.
Использование суперпозиций функций:
Т -2: Если функции f (x ) и g (x ) взаимно обратны и функция f (x ) возрастает, то уравнение f (x )=g (x ) и уравнение f (x )=x равносильны.
«Неотрицательность» функций.
Муниципальный конкурс исследовательских и творческих работ школьников
«Шаг в науку»
Секция МАТЕМАТИКИ
Тема : Нестандартные методы решения иррациональных
уравнений.
Нуждина Мария, МАОУ СОШ №2
10 класс, п. Карымское
Научный руководитель: Васильева Елена Валерьевна,
учитель математики
МАОУ СОШ №2, п. Карымское
п. Карымское, 2013
Аннотация………………………………………………………………….3
План исследования…………………………………………………….......4-5
Описание работы:
§1. Основные приемы решения иррациональных уравнений………………6-9
§2. Решение иррациональных уравнений методом замены неизвестного…10-14
§3. Иррациональные уравнения, сводимые к модулю ………….15-17
§4. Разложение на множители…………………………………………...…..18-19
§5. Уравнения вида ………………………………………20-22
§6. Теорема о среднем геометрическом в иррациональных уравнениях
; ……………………………23-24
4) Список литературы…………………………………………………….....25
Аннотация.
Тема нашей исследовательской работы: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений».
При выполнении работы было необходимо: сравнивать различные методы решения; переходить от общих методов к частным, и наоборот; аргументировать и доказывать выдвинутые утверждения; изучать и обобщать информацию, собранную из различных источников. В связи с этим можно выделить следующие методы исследовательской деятельности: эмпирическое; логическое и теоретическое (исследование); пошаговое; репродуктивное и эвристическое;
В результате проведенной работы получены следующие результаты и выводы :
Существует множество приемов для решения иррациональных уравнений;
Не все иррациональные уравнения решаются с помощью стандартных приемов;
Мы изучили часто встречающиеся замены, с помощью которых сложные иррациональные уравнения сводятся с простейшим;
Мы рассмотрели нестандартные приемы решения иррациональных уравнений
Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»
Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.
План исследования.
Объектной областью , в которой мы проводили исследование, является алгебра. Объект исследования - решение уравнений. Среди множества уравнений мы рассмотрели иррациональные уравнения - предмет нашего исследования.
В школьном курсе алгебры рассматриваются только стандартные методы и приемы решения (возведенные в степень и простые приемы замены). Но в процессе исследования выяснилось, что существуют иррациональные уравнения, для решения которых стандартных приемов и методов недостаточно. Такие уравнения решаются с помощью других, более рациональных, методов.
Поэтому считаем, что изучение таких приемов решения - нужная и интересная работа.
В процессе исследования выяснилось, что иррациональных уравнений великое множество и сгруппировать их по видам и методам проблематично.
Целью исследования является изучение и систематизирование методов решения иррациональных уравнений.
Гипотеза : Если знать нестандартные методы решения иррациональных уравнений, то это позволит повысить качество выполнения некоторых олимпиадных и тестовых заданий ЕГЭ.
Для достижения поставленных целей и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи :
Охарактеризовать виды иррациональных уравнений.
Установить связи между видами и методами решения.
Оценить значение проверки и нахождения ОДЗ.
Рассмотреть нестандартные случаи при решении иррациональных уравнений (теорема о средней геометрической, свойства монотонности функций).
В процессе исследования было изучено множество учебных пособий таких авторов как М.И.Сканави,И.Ф.Шарыгина,О.Ю.Черкасова,А.Н.Рурукина,И.Т.Бородуля, а так же статьи из научно-теоретического и методического журнала «Математика в школе».
Тема: «Нестандартные приемы решения иррациональных уравнений»
Нуждина М.П., Забайкальский край, п. Карымское, МАОУ СОШ №2, 10 класс.
Описание работы.
§1 Основные приемы решения иррациональных уравнений
Уравнение y(x)=0 является иррациональным, если функция y(x) содержит корни из неизвестной величины x или выражений, зависящих от x.
Многие иррациональные уравнения могут быть решены, основываясь только на понятиях корня и области допустимых значений уравнения (ОДЗ), но встречаются и другие методы, некоторые из них будут рассмотрены в работе.
Основным приемом решения иррациональных уравнений считается уединение в одной части уравнения радикала, последующее возведение обоих частей уравнения в соответствующую степень. Если таких радикалов несколько, то уравнение необходимо возводить в исходную степень неоднократно, кстати, при этом нет нужды заботиться о том, чтобы выражение, стоящее под знаком уединенного радикала, было бы неотрицательно.
Однако при возведении в четную степень могут возникнуть посторонние корни, то есть корни, не являющиеся решением исходного уравнения.
Поэтому при использовании такого приема решения, корни должны быть обязательно проверены и посторонние отброшены, в этом случае проверка является элементом решения и необходима даже в тех случаях, когда лишние корни не появились, но ход решения был таков, что они могли появиться. С другой стороны, иногда легче сделать проверку, чем доказывать, что она необходима.
Рассмотрим несколько примеров:
Ответ: корней нет
–посторонний корень
В этих примерах мы рассмотрели стандартные методы решения иррациональных уравнений(возведение обеих частей в степень и проверка корней).
Однако, многие иррациональные уравнения могут быть решены,
основываясь только на понятиях корня и ОДЗ уравнения.
Так как в уравнение входят радикалы только четных степеней, то достаточно решить систему неравенств.
3х -2х 2 +5 ≥0 (условия ОДЗ уравнения)
4х 2 -26х +40 ≥0
Решая эту систему неравенств получим:
х € Откуда х = 2,5.
х € (-∞ ; 2,5] ᴗ В)(0;1] Г) равно:
А) -12 Б) 12 В) -6 Г) -9 Д) 8
2. Сумма модулей корней уравнения-(√(5- x )√(5+x))+2=-1
равна:
А) 4 Б) 8 В)7 Г) 5 Д) 9
3. Корни уравнения x 4 =|(-|x|+1) 2 -1| принадлежат множеству:
А)(-1;1) Б) [-1;1] В){4;11} Г){-1;0;1} Д) (0;2]
4*.Значение а, при котором уравнение 2/ х= а- х имеет три корня, относится к промежутку:
А) (3;+
) Б) [–1;12] В)(-
;1) Г) }
