Теорема об откладывании вектора от точки. Вычитание векторов. Как найти разность векторов. Векторы. Виды векторов

Сложение матриц:

Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц , у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов. С = А + В c ij = a ij + b ij Аналогично определяется разность матриц .

Умножение матрицы на число:

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что

b ij = k × a ij . В = k × A b ij = k × a ij . Матрица - А = (-1) × А называется противоположной матрице А.

Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: 1. А + В = В + А; 2. А + (В + С) = (А + В) + С; 3. А + 0 = А; 4. А - А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , где А, В и С - матрицы, α и β - числа.

Умножение матриц (Произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы . Произведением матрицы А m×n на матрицу В n×p , называется матрица С m×p такая, что с ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица , Е - единичная матрица того же размера.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица , которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. А × Е = Е × А = А

Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ) Т = В Т А Т; 7. (АВС) Т = С Т В Т А Т; 8. (А + В) Т = А Т + В Т;

2. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.

Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы . Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.

Определить количество слагаемых, для нахождения определителя матрицы , в алгебраической сумме, можно вычислив факториал: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Свойства определителей матриц

Свойства определителей матриц:

Свойство № 1:

Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот (Транспонирование). |А| = |А| Т

Следствие:

Столбцы и строки определителя матрицы равноправны, следовательно, свойства присущие строкам выполняются и для столбцов.

Свойство № 2:

При перестановке 2-х строк или столбцов определитель матрицы изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е.:

Свойство № 3:

Определитель матрицы , имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство № 4:

Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя матрицы можно вынести за знак определителя .

Следствия из свойств № 3 и № 4:

Если все элементы некоторого ряда (строки или столбца) пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель матрицы равен нулю.

Свойство № 5:

определителя матрицы равны нулю, то сам определитель матрицы равен нулю.

Свойство № 6:

Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель матрицы можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле:

Свойство № 7:

Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменит своей величины.

Пример применения свойств для вычисления определителя матрицы :

Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения матричных выражений, например, таких как, 3A-CB 2 или A -1 +B T .

Инструкция . Для онлайн решения необходимо задать матричное выражение. На втором этапе необходимо будет уточнить размерность матриц.

Действия над матрицами

Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).

Допустимые операции: умножение (*), сложение (+), вычитание (-), обратная матрица A^(-1) , возведение в степень (A^2 , B^3), транспонирование матрицы (A^T).
Для выполнения списка операций используйте разделитель точка с запятой (;). Например, для выполнения трех операций:
а) 3А+4В
б) АВ-ВА
в) (А-В) -1
необходимо будет записать так: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Матрица - прямоугольная числовая таблица, имеющая m строк и n столбцов, поэтому схематически матрицу можно изображать в виде прямоугольника.
Нулевой матрицей (нуль-матрицей) называют матрицу, все элементы которой равны нулю и обозначают 0.
Единичной матрицей называется квадратная матрица вида


Две матрицы A и B равны , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны.
Вырожденной матрицей называется матрица, определитель которой равен нулю (Δ = 0).

Определим основные операции над матрицами .

Сложение матриц

Определение . Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица тех же размеров, элементы которой находятся по формуле . Обозначается C = A+B.

Пример 6 . .
Операция сложения матриц распространяется на случай любого числа слагаемых. Очевидно, что A+0=A .
Еще раз подчеркнем, что складывать можно только матрицы одинакового размера; для матриц разных размеров операция сложения не определена.

Вычитание матриц

Определение . Разностью B-A матриц B и A одинакового размера называется такая матрица C, что A+ C = B.

Умножение матриц

Определение . Произведением матрицы на число α называется матрица , получающаяся из A умножением всех ее элементов на α, .
Определение . Пусть даны две матрицы и , причем число столбцов A равно числу строк B. Произведением A на B называется матрица , элементы которой находятся по формуле .
Обозначается C = A·B.
Схематически операцию умножения матриц можно изобразить так:

а правило вычисления элемента в произведении:

Подчеркнем еще раз, что произведение A·B имеет смысл тогда и только тогда, когда число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго, при этом в произведении получается матрица, число строк которой равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов второго. Проверить результат умножения можно через специальный онлайн-калькулятор .

Пример 7 . Даны матрицы и . Найти матрицы C = A·B и D = B·A.
Решение. Прежде всего заметим, что произведение A·B существует, так как число столбцов A равно числу строк B.


Заметим, что в общем случае A·B≠B·A , т.е. произведение матриц антикоммутативно.
Найдем B·A (умножение возможно).

Пример 8 . Дана матрица . Найти 3A 2 – 2A.
Решение.

.
; .
.
Отметим следующий любопытный факт.
Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, то есть произведение ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.

1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!

Определение матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.

Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.

Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.

Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.

Операции сложения и вычитания матриц

Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.

Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.

На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:

Операция умножения матриц

Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:

И пример с реальными числами. Умножим матрицы:

Операция транспонирования матрицы

Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:

Определитель матрицы

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.

Сложение матриц $ A $ и $ B $ это арифметическая операция, в результате которой, должна получаться матрица $ C $, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов складываемых матриц:

$$ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} $$

Более подробно формула сложения двух матриц выглядит так:

$$ A + B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} = $$

$$ = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} \end{pmatrix} = C $$

Обратите внимание, что складывать и вычитать матрицы можно только одинаковой размерности. При сумме или разности будет получаться матрица $ C $ такой же размерности как и слагаемые (вычитаемые) матрицы $ A $ и $ B $. Если матрицы $ A $ и $ B $ отличаются друг от друга размерами, то сложение (вычитание) таких матриц будет ошибкой!

В формуле складываются матрицы 3 на 3, значит и получиться должна матрица 3 на 3.

Вычитание матриц полностью аналогично по алгоритму сложения, только знак минус. Каждый элемент искомой матрицы $ C $ получается благодаря вычитанию соответствующих элементов матриц $ A $ и $ B $:

$$ c_{ij} = a_{ij} - b_{ij} $$

Запишем подробную формулу вычитания двух матриц:

$$ A - B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} = $$

$$ = \begin{pmatrix} a_{11} - b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13} \\ a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & a_{23}-b_{23} \\ a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32} & a_{33}-b_{33} \end{pmatrix} = C $$

Стоит так же заметить, что нельзя складывать и вычитать матрицы с обычными числами, а так же с другими какими-то элементами

Будет полезно знать для дальнейших решений задач с матрицами знать свойства сложения (вычитания).

Свойства

  1. Если матрицы $ A,B,C $ одинаковые по размеру, тогда для них действует свойство ассоциативности: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
  2. Для каждой матрицы существует нулевая матрица, обозначаемая $ O $, при сложении (вычитании) с которой исходная матрица не изменяется: $$ A \pm O = A $$
  3. Для каждой ненулевой матрицы $ A $ есть противоположная матрица $ (-A) $ сумма с которой обращается в нуль: $$ A + (-A) = 0 $$
  4. При сложении (вычитании) матриц допустимо свойство коммутативности, то есть матрицы $ A $ и $ B $ можно менять местами: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

Примеры решений

Пример 1

Даны матрицы $ A = \begin{pmatrix} 2&3 \\ -1& 4 \end{pmatrix} $ и $ B = \begin{pmatrix} 1&-3 \\ 2&5 \end{pmatrix} $.

Выполнить сложение матриц, а затем вычитание.
Решение

Первым делом проверяем матрицы на размерность. У матрицы $ A $ размерность $ 2 \times 2 $, у второй матрицы $ B $ размерность тоже $ 2 \times 2 $. Это значит, что с данными матрицами можно провести совместную операцию по сложению и вычитанию.

Напомним, что для суммы нужно выполнить попарное сложение соответствующих элементов матриц $ A \text{ и } B $.

$$ A + B = \begin{pmatrix} 2&3 \\ -1& 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&-3 \\ 2&5 \end{pmatrix} = $$

$$ = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 9 \end{pmatrix} $$

Аналогично сумме находим разность матриц с помощью замены знака "плюс" на "минус":

$$ A - B = \begin{pmatrix} 2&3 \\ -1& 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1&-3 \\ 2&5 \end{pmatrix} = $$

$$ = \begin{pmatrix} 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ

$$ A + B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 9 \end{pmatrix}; A - B = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} $$

В статье: "Сложение и вычитание матриц" были даны определения, правила, замечания, свойства операций и практические примеры решения.

1. Дать определение равенства геометрический векторов.

Два геометрических вектора называют равными, если:

они коллинеарны и однонаправлены;

их длины совпадают.

2. Дать определение суммы векторов и умножения вектора на число.

Суммой a + b двух векторов a и b называют вектор c, построенный по следующему правилу треугольника. Совместим начало вектора b с концом вектора a. Тогда суммой этих векторов будет вектор c, начало которого совпадает с началом a, а конец - с концом b.

Наряду с правилом треугольника существует правило параллелограмма. Выбрав для векторов a и b общее начало, строим на этих векторах параллелограмм. Тогда диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векторов, определяет их сумму.

При умножении вектора на число, направление вектора не меняется, а длина вектора умножается на число.

3. Дать определения коллинеарных и компланарных векторов.

Два геометрических вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Три геометрических вектора называют компланарными, если эти векторы лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости.

4. Дать определение линейно зависимой и линейно независимой системы векторов.

Векторы a 1 , … , a n называют линейно зависимыми, если существует такой набор коэффициентовα 1 , . . . , α n , чтоα 1 a 1 + . . . + α n a n = 0 и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой.

Если указанного набора коэффициентов не существует, то векторы называют линейно независимыми.

5. Сформулировать геометрические критерии линейной зависимости 2-х и 3-х векторов.

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

6. Дать определение базиса и координат вектора.

Базис- множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.

Координаты вектора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

7. Сформулировать теорему о разложении вектора по базису.

Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.

Если = (̅

– базис , ̅

= (1, 2, 3) , то существует набор чисел(

…) такой, что

̅ + + ̅̅, где (

…) – координаты вектора в базисе.

8. Дать определение ортогональной скалярной проекции вектора на направление.

Ортогональной проекции вектора на направление вектора называется скалярная величина Пр = | | cos() , где угол – угол между векторами.

9. Дать определение скалярного произведения векторов.

Скалярным произведением двух векторов и называют число, равное cos -

произведению длин | | и| | этих векторов на косинус угла между ними.

10. Сформулировать свойство линейности скалярного произведения.

λ(̅ ̅ ).

= ̅ с̅+ ̅ с̅.

11. Записать формулу для вычисления скалярного произведения двух векторов, заданных в ортонормированном базисе.

̅ = { , }, ̅ = { , }

̅ ̅ = + +

12. Записать формулу для косинуса угла между векторами, заданными в ортонормированном базисе.

̅ ̅ cos =̅ |̅|| |

13. Дать определение правой и левой тройки векторов.

Упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c называют правой, если направление вектораa совмещается с направлением вектораb при помощи кратчайшего поворота вектораa в плоскости этих векторов, который со стороны векторас совершается против хода часовой стрелки. В противном случае (поворот по ходу часовой стрелки) эту тройку называют левой.

14. Дать определение векторного произведения векторов.

Векторным произведением неколлинеарных векторов̅ и̅ называют такой векторс̅ , который удовлетворяет следующим трем условиям:

вектор c ортогонален векторамa иb ;

длина вектора c равна |с̅ | = |̅ | |̅ |sin ϕ, где ϕ - угол между векторами̅ и̅ ;

упорядоченная тройка векторов ̅ ,̅ ,с̅ является правой.

15. Сформулировать свойство коммутативности (симметричности) скалярного произведения и свойство антикоммутативности (антисимметричности) векторного произведения.

Скалярное произведение коммутативно: ̅ ̅ =̅ ̅ .

Векторное произведение антикоммутативно: ̅ x̅ =− ̅ x̅ .

16. Сформулировать свойство линейности векторного произведения векторов.

свойство ассоциативности совместно с умножением на число (λ ̅ )×̅ = λ(̅ ×̅ );

свойство дистрибутивности относительно сложения (̅ +̅ )×с̅ =̅ ×с̅ +̅ ×с̅ .

Cвойства ассоциативности и дистрибутивности векторного произведения объединяют, аналогично случаю скалярного произведения, в свойство линейности векторного произведения

относительно первого сомножителя. В силу свойства антикоммутативности векторного произведения векторное произведение линейно и относительно второго сомножителя:

̅ ×(λ̅ ) = −(λ̅ )×̅ = −λ(̅ ×̅ ) = λ(̅ ×̅ )

̅ ×(̅ +̅с ) = −(̅ +̅с )×̅ = −(̅ ×̅ +̅с ×̅ ) =̅ ×̅ +̅ ×̅с .

17. Записать формулу для вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе.

̅ = { , }, ̅ = { , }.

18. Дать определение смешанного произведения векторов.

Смешанным произведением трех векторов̅ ,̅ ,с̅ называют число, равное (̅ ×̅ )с̅ - скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов и третьего вектора.

19. Сформулировать свойство перестановки (кососимметричности) смешанного произведения.

Для смешанного произведения действует правило циклической перестановки :

̅ с̅ = с̅ ̅

= ̅с ̅= − ̅ с̅

= − с̅ ̅= − ̅ ̅с.

20. Сформулировать свойство линейности смешанного произведения.

Для смешанного произведения выполняется свойство ассоциативности относительно

умножения векторов на число: (λ ̅ )с̅

= λ(̅ с̅ ).

Для смешанного произведения выполняется свойство дистрибутивности: (̅̅̅ +̅̅̅ )с̅

= ̅̅̅

̅с + ̅̅̅

̅с.

Эти свойства смешанного произведения сформулированы для первого сомножителя. Однако при помощи циклической перестановки можно доказать аналогичные

утверждения и для второго и для третьего сомножителей, т.е. верны равенства

̅ (λ̅ )̅с = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ ̅ (λ̅с ) = λ(̅ ̅ ̅с ),̅ (̅̅̅ 1 +̅̅̅ 2 )̅с =̅ ̅̅̅ 1 ̅с +̅ ̅̅̅ 2 ̅с ,̅ ̅ (̅ 1 +̅ 2 ) =̅ ̅ ̅ 1 +̅ ̅ ̅ 2 ,

и в итоге имеем свойство линейности смешанного произведенияпо каждому сомножителю.

21. Записать формулу для вычисления смешанного произведения в правом ортонормированном базисе.

̅ = { , }, ̅ = { , }, ̅= { , }

22. Записать общее уравнение плоскости и уравнение “в отрезках”. Объяснить геометрический смысл входящих в эти уравнения параметров.

Уравнение Ax + By + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости . Коэффициенты A, B, C при неизвестных в этом уравнении имеют наглядный геометрический смысл: вектор n = {A; B; C} перпендикулярен плоскости. Его называют нормальным вектором плоскости. Он, как и общее уравнение плоскости, определяется с точностью до (ненулевого) числового множителя.

Уравнение + + = 1 называютуравнением плоскости в отрезках , где a, b, c –

соответствующие координаты точек лежащих на осях OX, OY и OZ соответственно.

23. Записать уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.

Пусть 1 (1 , 1 , 1 ) ,2 (2 , 2 , 2 ), 3 (3 , 3 , 3 ) – заданные точки, а точка M(x, y, z) – точка, принадлежащая плоскости, образованной точками1 , 2 и 3 , тогда уравнение плоскости имеет

− 1

− 1

− 1

| 2 −1

2 − 1

2 −1 | = 0

3 − 1

3 − 1

3 − 1

24. Сформулировать условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Две плоскости перпендикулярны , если их нормальные векторыортогональны .

Две плоскости параллельны , если их нормальные векторыколлинеарны .

25. Записать формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.

Для нахождения расстояния от точки 0 (0 , 0 , 0 ) до плоскости

: + + + = 0 используется формула:(,) = | 0 + 0 + 0 + |

√ 2 +2 +2

26. Записать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Объяснить геометрический смысл входящих в эти уравнения параметров.

Уравнение { = 0 + , где {l; m; n} - координаты направляющего вектора̅ прямой L и

(0 ;0 ;

– координаты точки 0 Lв прямо угольной системе координат, называют

параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Уравнение

− 0

− 0

− 0

называют каноническими уравнениями прямойв

пространстве.

27. Записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки в пространстве.

Уравнения

− 1

− 1

− 1

называют уравнениями прямой, проходящей через две точки

1 (1 ,1 ,1 )и 2 (2 ,2 ,2 ).

28. Записать условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

Пусть а иb - направляющие векторы этих прямых, а точки M1 и M2 принадлежат соответственно прямым иl 1 иl 2 . Тогда две прямые будут принадлежать одной плоскости, если смешанное произведение (a, b, M1 M2 ) равно 0.

29. Записать формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.

Расстояние от точки 1 до прямой L может быть вычислено по формуле:

30. Записать формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми 1 и2 может быть вычислено по формуле:

принадлежащие прямым.

1. Доказать геометрический критерий линейной зависимости трёх векторов.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство:

Если три вектора ̅ ,̅ ,̅ линейно зависимы, то, согласно теореме 2.1 (о линейной зависимости векторов), один из них, например̅ , является линейной комбинацией остальных:̅ = β̅ + γ̅ . Совместим начала векторов̅ и̅ в точке A. Тогда векторы β̅ , γ̅ будут иметь общее начало в точке A и по правилу параллелограмма их сумма, т.е. вектор̅ , будет представлять собой вектор с началом A и концом, являющимся вершиной параллелограмма, построенного на векторахслагаемых. Таким образом, все векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.

Пусть векторы ̅ ,̅ ,̅ компланарны. Если один из этих векторов является нулевым, то очевидно, что он будет линейной комбинацией остальных. Достаточно все коэффициенты линейной комбинации взять равными нулю. Поэтому можно считать, что все три вектора не являются нулевыми. Совместим начала этих векторов в общей точке O. Пусть их концами будут соответственно точки A, B, C (рис. 2.1). Через точку C проведем прямые, параллельные прямым, проходящим через пары точек O, A и O, B. Обозначив точки пересечения через A’ и B’, получим

параллелограмм OA’CB’, следовательно, = ′ + ′ . Вектор′ и ненулевой вектор̅

коллинеарны, а потому первый из них может быть получен умножением второго на

действительное число α: ′ = . Аналогично′ = , β R.В результате получаем , что

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

= ′ + ′ , т.е. вектор̅ является линейной комбинацией векторов̅ и. Согласно теореме

̅ являются линейно зависимыми.

2.1 (о линейной зависимости векторов), векторы ̅ ,

2. Доказать теорему о разложении вектора по базису.

Теорема о разложении вектора по базису. Если = (̅

– базис , ̅

= (1, 2, 3), то

существует набор чисел (

…) такой, что̅= ̅̅̅

̅ + + ̅ ̅, где (

…) – координаты

вектора в базисе.

Доказательство: (для i = 2)

(̅1 , ̅2 )– базис 2 , ̅2

По определению пространства V2: x, e1, e2 – компланарны => (критерий линейной зависимости 3- х векторов) => ̅ ,̅ 1 , ̅ 2 линейно зависимы =>0 , 1 , 2 .

0 ̅+1 ̅1 +2 ̅2 = 0̅ ,0 2 +1 2 +2 2 ≠ 0

1 случай: 0 = 0 , тогда1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 = 0 ̅ ,1 2 + 2 2 ≠ 0 , значит1 , 2 – линейно зависимые (̅ 1 , ̅ 2 ) – лин. завис. ̅ 1 и ̅ 2 коллинеарны.

2 случай: 0 ≠ 0

̅= (− 1 ) ̅1 + (−2 ) ̅2 0 0

Доказали существование.

Пусть существует 2 представления:

̅= 1 ̅1 +2 ̅2

Разность:

0 ̅ = ̅− ̅= 1 ̅ 1 + 2 ̅ 2 − 1 ̅ 1 − 2 ̅ 2 = (1 − 1 )̅ 1 + (2 − 2 )̅ 2 => линейно зависимы, а это противоречит определению базиса.

3. Доказать свойство линейности скалярного произведения.

Совместно с умножением на число операция скалярного умножения ассоциативна: (λ̅ )̅ =

λ(̅ ̅ ).

Скалярное умножение и сложение векторов связаны свойством дистрибутивности: (̅ +̅ )с̅

= ̅ с̅+ ̅ с̅.

Что и требовалось доказать.

4. Вывести формулу для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в ортонормированном базисе.

Вывод формулы для вычисления скалярного произведения векторов, заданных в ортонормированном базисе.

Пусть векторы ̅ и̅ из3 заданы своими координатами в ортонормированном базисе,̅ ,̅ ̅ :̅ = { ; ; },̅ = { ; ; }. Это означает, что имеются разложения̅ =̅ +̅ +̅ ,

̅ =̅ +̅ +̅ . Используя их и свойства скалярного произведения, вычислим

̅̅ = (̅+ ̅+̅ )(̅+ ̅+̅ )

= ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ + ̅ ̅+ ̅ ̅+ ̅̅ +̅ ̅+̅ ̅ +̅ ̅ =2 ̅+2 ̅+̅ 2 = + + .

Окончательный ответ получен с учетом того, что ортонормированность базиса,̅ ,̅

̅ означает выполнение равенств̅̅ = ̅ ̅ = ̅ ̅ = 0, 2 ̅= 2 ̅= 2 = 1 . Таким образом,

̅ ̅ = + +

5. Вывести формулу для вычисления векторного произведения векторов, заданных в правом ортонормированном базисе.

Вывод формулы для вычисления векторного произведения векторов, заданных в ортонормированном базисе.

Рассмотрим два вектора ̅

и, заданных своими координатами в правом ортонормированном базисе

̅ = {

}. Тогда имеют место разложения этих векторов ̅ =̅ +̅

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

Исходя из этих

представлений

алгебраических

векторного умножения,

получаем

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

)̅+ (

Чтобы упростить полученную формулу, заметим, что она похожа на формулу разложения определителя третьего порядка по 1-й строке, только вместо числовых коэффициентов стоят векторы. Поэтому можно записать эту формулу как определитель, который вычисляется по обычным правилам. Две строки этого определителя будут состоять из чисел, а одна - из векторов. Итак, формулу вычисления векторного произведения в правом ортонормированном базисе,̅ ,̅ ̅ можно записать в виде:

6. Доказать свойство линейности смешанного произведения.

Используя свойства смешанного произведения, можно доказать линейность векторного

произведения по первому множителю:

(̅ + ̅ , ̅)= (̅,)̅+ (̅ ,)̅

Для этого найдем скалярное произведение вектора в левой части равенства и единичного векторастандартного базиса. Учитывая линейность смешанного произведения по второму множителю,

получаем

т.е. абсцисса вектора, стоящего в левой части доказываемого равенства равна абсциссе вектора в правой его части. Аналогично доказываем, что ординаты, а также и аппликаты, векторов в обеих частях равенства соответственно равны. Следовательно, это равные векторы, так как их координаты относительно стандартного базиса совпадают.

7. Вывести формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов в правом ортонормированном базисе.

Вывод формулы для вычисления смешанного произведения трёх векторов в правом ортонормированном базисе.

Пусть векторы a, b, c заданы своими координатами в правом ортонормированном базисе: ̅ = { ;

}, = { ; ; }, ̅с = { ; ; }. Чтобы найти их смешанное произведение,

воспользуемся формулами для вычисления скалярного и векторного произведений:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

8. Вывести формулу для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.

Вывод формулы для расстояния от точки до плоскости, заданной общим уравнением.

Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость π и произвольную точку 0 . Выберем

для плоскости единичный нормальный вектор n с началом в некоторой точке 1 π ,и пусть ρ(0 ,

так как | ̅ | = 1.

Если плоскость π задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнением

Ax + By + Cz + D = 0, то ее нормальным вектором является вектор с координатами {A; B; C}.

Пусть (0 , 0 , 0 ) и(1 , 1 , 1 ) - координаты точек0

и 1 . Тогда выполнено равенство

A 1 +B1 +C1 +D = 0, так как точка M1 принадлежит плоскости, и можно найти координаты

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

Вектора 1 0 :

1 0 = (0 − 1 ; 0 − 1 ; 0 − 1 ) . Записывая скалярное произведение̅ 1 0

координатной форме и преобразуя (5.8), получаем

| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )|

| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )|

2 + 2+ 2

2 + 2+ 2

= |0 +0 +0 + | √2 +2 +2

поскольку 1 + 1 + 1 = − . Итак, чтобы вычислить расстояние от точки до плоскости нужно подставить координаты точки в общее уравнение плоскости, а затем абсолютную величину результата разделить на нормирующий множитель, равный длине соответствующего нормального вектора.

9. Вывести формулу для расстояния от точки до прямой в пространстве.

Вывод формулы для расстояния от точки до прямой в пространстве.

Расстояние от точки 1 (1 , 1 , 1 ) до прямой L, заданной каноническими уравнениями L:− 0 = − 0 = − 0 , может быть вычислено при помощи векторного произведения. Действительно,

канонические уравнения прямой дают нам точку 0 (0 , 0 , 0 ) на прямой

и направляющий вектор ̅ = {l; m; n} этой прямой. Построим параллелограмм на векторах̅ и̅̅̅̅̅̅̅̅ .

Тогда расстояние от точки 1 до прямой L будет равно высоте h параллелограмма (рис. 6.6).

Значит, нужное расстояние может быть вычислено по формуле

̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,) =

| 0 1 × |

10. Вывести формулу для расстояния между скрещивающимися прямыми.

Вывод формулы для расстояния между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно находить, используя смешанное

произведение. Пусть прямые 1

и 2

каноническими уравнениями. Так как они

̅̅̅̅̅̅̅̅

скрещиваются, их направляющие векторы 1 ,2 и вектор1 2 , соединяющий точки на прямых, некомпланарны. Поэтому на них можно построить параллелепипед (рис. 6.7).

Тогда расстояние между прямыми равно высоте h этого параллелепипеда. В свою очередь, высоту параллелепипеда можно вычислить как отношение объема параллелепипеда к площади его основания. Объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения трех указанных векторов, а площадь параллелограмма в основании параллелепипеда равна модулю векторного произведения направляющих векторов прямых. В результате получаем формулу для расстояния

(1 , 2 ) между прямыми:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|



© 2024 tsiolkovsky.ru