Тройная пропорция как рассчитать. Тройное правило. Сложное тройное правило

Тройное сальто На морских яхтах балласт располагают низко, что не позволяет им сильно накрениваться и вообще опрокидываться. Однако бывает, что яхта все же летит кувырком, словно безбалластный иол, причем это происходит только здесь - в большом Южном океане. Мне известно

Тройное правило

правило для решения арифметических задач, в которых величины связаны прямой или обратной пропорциональной зависимостью (см. Пропорциональность). К задачам на простое Т. п. относятся такие, в которых участвуют две величины x 1 и x 2 , причём два значения a 1 , a 2 одной из них и одно значение b 1 другой известны. Определению подлежит второе значение величины x 2 , то есть b 2 . Простое Т. п. основано на пропорциях a 1:b 1 = a 2:b 2 (для прямой пропорциональности) и a 1:b 1 = b 2:a 2 (для обратной пропорциональности), откуда соответственно получаются формулы:

Сложное Т. п. применяется при решении задач, в которых участвуют n (n > 2) величин x 1 , x 2 ,..., x n -1 , x n . В этом случае у n - 1 величин x 1 , x 2 ,..., x n -1 известны по два значения a 1 , a 2 , b 1 , b 2 ,..., l 1 , l 2 , а у x n известно только одно значение k 1 , другое - k 2 подлежит определению. Практически сложное Т. п. представляет собой последовательное применение простого Т. п.

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Тройное правило" в других словарях:

Предположим, что величины А и В находятся в такой зависимости, что одна из них принимает определенное значение при данном значении другой величины. Если В = b1 при А = а1 и В = b2 при А = a2, и если существует пропорция а1: а2 = b1: b2 при… …

тройное правило - матем. Правило для решения арифметических задач, в которых величины связаны прямой или обратно пропорциональной зависимостью … Словарь многих выражений

Толковый словарь Ушакова

1. ПРАВИЛО, правила, ср. (спец.). 1. Большая деревянная линейка, применяемая при кладке стен для проверки правильности работы (тех.). 2. Колодка, на которой сапожник расправляет обувь (сапож.). 3. Хвост у борзой собаки (охот.). «Все они, тут же… … Толковый словарь Ушакова

Ср. закон, постановленье или узаконенье, основанье для действия, в данных случаях, при известных обстоятельствах. Правила для сборщиков, устав. Начальные правила счисленья. Монастырские правила, устав. Правила перед причастьем, наставленья, что… … Толковый словарь Даля

Содержание 1 Базовое правило 2 Ко борьба … Википедия

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

- (Христоф Rudolff) австрийский математик (1499 1545), ученик венского профессора Грамматеуса. В 1725 г. появилась его алгебра, составившая эпоху в истории этой науки (Behend vund hübsch Rechnung durch die kunst reichen regeln Algebre, so… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

- (от греч. слов άριθμος число и τέχνη искусство) часть математики, которая занимается изучением свойств определенных конкретных величин; в более тесном смысле А. есть наука о числах, выраженных цифрами, и занимается действиями над числами. А.… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Область знаний о числах и операциях в числовых множествах. Говоря об А., имеют в виду рассмотрение вопросов о происхождении и развитии понятия числа, приемы и средства вычислений, исследование операций с числами различной природы, анализ… … Математическая энциклопедия

Среди задач в два действия выделяется группа задач, решаемых приведением к единице . Решая такие задачи, дети практически должны усвоить свойства величин, находящихся в прямо пропорциональной зависимости.

Возьмем для примера задачу: Пароход за 2 часа прошел 40 км. Сколько километров пройдет пароход за 4 часа при той же скорости? В этой задаче известны два значения времени и одно значение расстояния, соответствующее первому значению времени; известно, что скорость движения не изменяется, требуется найти другое значение расстояния.

Рассмотрим различные способы решения этой задачи, записывая слева решение, справа — его обоснование.

I способ решения — способ прямого приведения к единице

Устное решение

2 часа — 40 км
1 час — 20 км
4 часа — 80 км

Письменное решение

1) 40км: 2 = 20км
2)20км x 4 = 80км

Приводится к единице численное значение времени, два значения которого известны.

При постоянной скорости при уменьшении времени в 2 раза расстояние уменьшится в 2 раза, при увеличении его затем в 4 раза расстояние увеличится в 4 раза.

II способ решения — способ обратного приведения к единице.

Устное решение

40 км — 2 часа = 120 мин.
1 км — 3 мин.
4 часа (240 мин.) — 80 км

Письменное решение

1) 120 мин. : 40 = 3 мин.
2) 240 мин. : 3 мин. = 80 (км)

Приводится к единице численное значение расстояния, одно значение которого известно, а другое — неизвестно.

При постоянной скорости на прохождение 1 км пути потребуется времени в 40 раз меньше, чем на прохождение 40 км пути, то есть 3 мин., а за 4 часа (240 мин.) пароход пройдет во столько раз больше километров, во сколько раз 240 мин. больше 3 мин.

III способ решения — способ нахождения отношения.

Краткая запись условия задачи:

2 часа — 40 км
4 часа — х

1) 4 часа: 2 часа = 2
2) 40 км х 2 = 80 км

При постоянной скорости движения во сколько раз увеличивается время, во столько же раз увеличивается и пройденное расстояние

IV способ решения — способ нахождения численного значения постоянной величины.

Краткая запись условия задачи

2 часа — 40 км
4 часа —?

1) 40 км: 2 = 20 км
2) 20 км х 4 = 80 км

При решении этой задачи IV способ совпадает с I способом.

Чтобы найти пройденное за 4 часа расстояние, надо скорость, которая находится делением расстояния на соответствующее значение времени, умножить на новое значение времени.

Применим способ нахождения численного значения постоянной величины к другой задаче:

Пароход прошел 40 км при скорости движения 20 км в час. Сколько километров пройдет пароход за то же время при скорости движения 30 км в час?

Решение. По условию этой задачи постоянной величиной является время.

1) Сколько часов затратил пароход на прохождение 40 км?

40 км: 20 км = 2 (часа)

2) Сколько километров пройдет пароход за 2 часа при новой скорости?

30 км х 2 — 60 км

Ответ: 60 км.

При решении этой задачи способ нахождения численного значения постоянной величины отличается от способа прямого приведения к единице. Это видно из сравнения изложенного способа со способом прямого приведения к единице .

Возможность применения того или иного способа решения задач на простое тройное правило в рамках действий с целыми числами зависит от особенностей числовых данных. Так, например, способ нахождения отношения может быть применен только в том случае, если числа, выражающие два различных значения одной величины, кратны одно другому.

Способ обратного приведения к единице удобно использовать при решении задач, в которых требуется найти неизвестное значение количества или времени. Поэтому в учебниках арифметики для начальных классов задачи на простое тройное правило подбираются группами по способам их решения. При этом по действующей программе задачи, решаемые способами прямого и обратного приведения к единице, отнесены ко II классу, а задачи, решаемые способом нахождения отношения, отнесены к IV классу.

Есть основания считать, что более легкие из задач, решаемые способом нахождения отношения, могут быть введены во II классе, где ученики уже решают простые задачи на кратное сравнение. Задач, решаемых способом нахождения численного значения постоянной величины, в существующих учебниках арифметики нет, а их полезно предлагать для решения уже во II классе.

При обучении решению указанных задач следует опираться на ранее приобретенное учениками умение решать простые задачи на умножение и деление, в которых требуется узнать значение одной из связанных между собой трех величин, например узнать стоимость по цене и количеству предметов, количество — по цене и стоимости, цену — по стоимости и количеству.

Хорошее знание детьми зависимости между величинами служит основой, опираясь на которую они овладевают решением задач способом приведения к единице.

Для разъяснения ученикам способа нахождения отношения можно применить наглядные пособия (рис. 22). Пусть надо решить задачу: 2 конверта с марками стоят 9 копеек. Сколько стоят 6 таких конвертов?

Рассмотрение изображения этих конвертов, сгруппированных парами, поможет ученикам понять, что увеличение числа пар конвертов в несколько раз влечет за собой увеличение их стоимости во столько же раз.

рис. 22

Учащиеся ставят вопрос: во сколько раз 6 конвертов больше 2 конвертов? — Находят ответ, что в 3 раза больше, и узнают стоимость 6 конвертов, умножая 9 коп. на 3.

Совместное рассмотрение задач и самостоятельная работа детей по преобразованию прямых задач в обратные содействуют лучшему осознанию способов решения их.

Например, задача 3 чашки стоят 6 руб. Сколько стоят 5 таких чашек? путем замены искомого найденным числом, а одного из данных — искомым может быть преобразована в следующие обратные ей задачи:

1. 5 чашек стоят 10 руб. Сколько стоят 3 такие чашки?
2. 3 чашки стоят 6 руб. Сколько таких чашек можно купить на 10 руб.?
3. 5 чашек стоят 10 руб. Сколько таких чашек можно купить на 6 руб.?

Решение исходной задачи и первой из преобразованных выполняется способом прямого приведения к единице , решение второй и третьей — способом обратного приведения к единице .

ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П.
СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА, 1965


1. Простое тройное правило. Из задач на пропорциональные величины наиболее часто встречаются задачи на так называемое простое тройное правило. В этих задачах даны три числа и требуется определить четвертое, пропорциональное к ним.

Задача 1. 10 болтов весят 4 кг. Сколько весят 25 таких болтов? Такие задачи можно решать несколькими способами.

Решение I (способом приведения к единице).

1) Сколько весит один болт?

4 кг: 10 = 0,4 кг.

2) Сколько весят 25 болтов?

0,4 кг · 25 = 10 кг.

Решение II (способом пропорций). Так как вес болтов прямо пропорциональный их количеству, то отношение весов равно отношению штук (болтов). Обозначив искомый вес буквой х, получим пропорцию:

х : 4 = 25: 10,

(кг)

Можно рассуждать и так: 25 болтов больше 10 болтов в 2,5 раза. Следовательно, они тяжелее 4 кг тоже в 2,5 раза:

4 кг · 2,5 = 10 кг.

Ответ. 25 болтов весят 10 кг.

Задача 2. Первое зубчатое колесо делает 50 об/мин. Второе зубчатое колесо, сцепленное с первым, делает 75 об/мин. Найти число зубьев второго колеса, если число зубьев первого равно 30.

Решение (способом приведения к единице). Оба сцепленные зубчатые колеса передвинутся за минуту на одинаковое число зубьев, поэтому число оборотов колес обратно пропорционально числу их зубьев.

50 обор. - 30 зуб.

75 обор. - х зуб.

х : 30 = 50: 75; (зубьев).

Можно рассуждать и так: второе колесо делает оборотов в 1,5 раза больше первого (75: 50 = 1,5). Следовательно, оно имеет зубьев в 1,5 раза меньше первого:

30: 1,5 = 20 (зубьев).

Ответ. 20 зубьев.

2. Сложное тройное правило. Задачи, в которых по данному ряду соответствующих друг другу значений нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений остальных величин, называют задачами на сложное тройное правило.

Задача. 5 насосов в течение 3 ч выкачали 1800 ведер воды. Сколько воды выкачают 4 таких насоса в течение 4 ч?

5 нас. 3 ч - 1800 вед.

4 нас. 4 ч - х вед.

1) Сколько ведер воды выкачал 1 насос в течение 3 ч?

1800: 5 = 360 (ведер).

2) Сколько ведер воды выкачал 1 насос в течение 1 ч?

360: 3 = 120 (ведер).

3) Сколько воды выкачают 4 насоса за 1 ч?

120 · 4 = 480 (ведер).

4) Сколько воды выкачают 4 насоса за 4 ч?

480 · 4 = 1920 (ведер).

Ответ. 1920 ведер

Сокращенное решение по числовой формуле:

(ведер).

Задача. Разделить число 100 на две части прямо пропорционально числам 2 и 3,

Эту задачу следует понимать так: разделить 100 на две части, чтобы первая относилась ко второй, как 2 к 3. Если обозначить искомые числа буквами х 1 и х 2 то эту задачу можно сформулировать и так. Найти х 1 и х 2 такие, чтоб

х 1 + х 2 = 100,

х 1: х 2 = 2: 3.

Нѣтъ такого достаточно сильнаго выраженія, на которое поскупились бы составителя средневѣковыхъ ариѳметикъ, чтобы похвалить тройное правило. «Та строка тройная похвальная и лучшая строка изо всѣхъ иныхъ строкъ.» «Ее философы зовутъ золотою строкою». Въ нѣмецкихъ учебникахъ объ немъ отзывались, какъ о такомъ, которое «выше всѣхъ похвалъ», оно-«ключъ купцовъ». Такъ же и у французовъ оно слыло подъ именемъ règle dorée-золотого правила. Оно противополагалось цѣлой наукѣ-алгебрѣ.

За что же воздаются такія неумѣренныя похвалы отдѣлу, который въ наше время привыкъ занимать уже болѣе скромное мѣсто? Выяснить это очень интересно, и мы позволяемъ себѣ вернутъся немного назадъ и дать краткую характеристику цѣлей, которыя преслѣдовала ариѳметика съ древнихъ временъ.

Всякая наука въ первоначальной стадіи своего развитія вызывается практическими потребностями и стремится, въ свою очередь, имъ удовлетворить. Затѣмъ, въ зависимости отъ условій, при которыхъ она развивается, наука иногда довольно скоро, иногда болѣе медленно принимаетъ теоретическую окраску и на изучающихъ ее дѣйствуетъ образовательно, т.-е. совершенствуетъ ихъ душевыыя способности: умъ, чувство и волю: при медленномъ же ростѣ наука долго остается руководительницей мастерства, сообщаетъ одно только умѣнье, даетъ человѣку механическіе навыки и придаетъ ему черты машинальности. И то и другое направленіе испытала ариѳметика. Съ одной стороны греческіе ученые видѣли въ ариѳметикѣ болѣе всего образовательный элементъ; они постоянно ставили вопросы «почему?» и «зачѣмъ?», всегда искали основанія и вывода; ученики греческихъ школъ углублялись въ суть науки, думали надъ ней, и потому изученіе дѣйствовало на нихъ образовательно-развивающимъ образомъ. Съ другой стороны, индусы смотрѣли на ариѳыетику скорѣе со стороны искусства, они не любили вопроса «почему?», но у нихъ основнымъ вопросомъ всегда былъ: «какъ это сдѣлать?» Направленіе индусовъ перешло къ арабамъ, а оттуда въ средневѣковую Европу. Въ ней оно встрѣтило чрезвычайно радушный пріемъ, и почва для него оказалась вполнѣ благодарной: послѣ великаго переселенія народовъ и при безпрерывно продолжающихся войнахъ нечего было и думать о развитіи точной, частой, отвлеченной науки, а въ пору было ограничиться ея прикладной частью, достаточно было только учить «какъ дѣлать», а не «почему такъ дѣлать». И вотъ практическая окраска осталась за ариѳметикой на долгое время, почти до нашихъ дней, в вмѣстѣ съ тѣмъ изученіе ея было узко-механическимъ: безъ выводовъ, разъясненій, безъ углубленія въ основанія; повсюду въ учебникахъ встрѣчалось «такъ дѣлай», «дѣлать надо такъ», и ученику оставалосъ только затверживать и примѣнять къ дѣлу; у нашего Магницкаго тоже встрѣчается рядъ характерныхъ выраженій «зри сице», «зри изобрѣтенія»; положимъ, среди этихъ выраженій у него есть «умствуй и придетъ», но какъ именно умствовать, на то дается очень мало намековъ. Сообразно практическому значенію ариѳметики, въ ней особенно выдѣлялось и цѣнилось все, что можетъ принести непосредственную выгоду, доставить заработокъ.

«Хто сію мудроеть знаетъ», говорится въ русской ариѳметикѣ XVII вѣка, «можетъ быть у государя въ великой чти и въ жалованьи; по сей мудрости гости по государствамъ торгуютъ и во всякихъ товарѣхъ и торгѣхъ силу знаютъ и во всякихъ вѣсѣхъ и мѣрахъ и въ земномъ верстаніи и въ морскомъ теченiи зѣло искусни, и счетъ изъ всякаго числа перечню знаютъ».

Но какая же часть ариѳметики можетъ болѣе дать практическихъ, непосредствеено приложимыхъ навыковъ, какъ не рѣшеніе задачъ? Поэтому всѣ старанія средневѣковыхъ авторовъ направлялись къ тому, чтобы собрать какъ можно больше задачъ и при томъ самаго разнообразнаго житейскаго содержанія. Тутъ были задачи а о продажѣ, и о покупкѣ, о векселяхъ и о процентахъ, о смѣшеніи, объ обмѣнѣ; пестрота была ужасная и разобраться во всей массѣ задачъ не представлялось нікакой возможности. Чтобы хоть нѣсколько сгруппировать и ввести нѣкоторую систему и порядокъ, пытались распредѣлить всѣ задачи по отдѣламъ или типамъ. Это мысль, конечно, хорошая, но выполнялась она, обыкновенно, очень неудачно, а задачи распредѣлялись не по способамъ ихъ рѣшенія, какъ бы слѣдовало, а по ихъ содержанію, т. е. по внѣшнему виду; напр., былъ особый видъ задачъ о собакахъ, догоняющихъ зайца, о деревьяхъ, о дѣвицахъ и т. п.

Рѣшеніе задачъ съ раздѣленіемъ по ихъ содержанію не пріносило почти никакой пользы, потому что нисколько не помогало тому, чтобы лучше понимать рѣшеніе. Да и понимать-то, по мнѣнію старинныхъ авторовъ, едва-ли нужно было.

«Это ничего», утѣшаетъ бывало наставникъ своихъ питомцевъ: «что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многаго не будешь понимать».

Вмѣсто пониманія рекомендовалось не заноситься, а выучивать наизусть все, что задаютъ, и потомъ стараться примѣнять это къ дѣлу, т. е. къ примѣрамъ, а вся сила пониманія сосредоточивалась не на томъ, чтобы уяснить выводъ правила, а на болѣе скромномъ-на томъ, какъ примѣнить общее правило къ примѣрамъ.

И вотъ тройное правило являлось выдающимся и заслуживающимъ особеннаго вниманія во многихъ отношеніяхъ. Во-первыхъ, кругъ его задачъ довольно обширенъ, во-вторыхъ, самое правило выражается довольно просто и ясно, и въ третьихъ, примѣнить это правило было сравнительно нетрудно. За всѣ эти достоинства ему и дали названіе «золотог», «ключа купцовъ» и т. п.

Тройное правило получило начало у индусовъ, тамъ его задачи рѣшались большею частію приведеніемъ къ единицѣ. Арабскій ученый Альхваризми (IX в. по Р. X.) относилъ его къ алгебрѣ. Леонардо Фибонначи, итальянецъ XIII в. по Р. X., посвящаетъ тройному правилу особый отдѣлъ подъ названіемь: ad majorem guisam, гдѣ даются задачи на вычисленіе стоимости товаровъ. Примѣръ: 100 rotuli (пизанскій вѣсъ) стоятъ 40 лиръ, что стоятъ 5 rotuli? Уcловіе записывалось такъ:

Правило предписывало рѣшать эту задачу слѣдующимъ порядкомъ: произведеніе 40 на 5 дѣлить на 100.

Особенное вниманіе, стали удѣлять тройному правилу съ ХVІ-го вѣка, т. е. съ тѣхъ поръ, какъ европейская торговля и промышленность сразу двинулись впередъ, благодаря важнымъ изобрѣтеніямъ и открытію новыхъ странъ. Но это не мѣшало разрабатывать эту главу совершенно неудовлетворительно, по крайней мѣрѣ, съ нашей точки зрѣнія. Прежде всего опредѣлялось правило чисто внѣшнимъ сбразомъ « задача состоитъ изъ трехъ чиселъ и даетъ собою четвертое число подобно тому, какъ если поставить три угла дома, то этимъ самымъ ужъ опредѣлится 4-й уголъ; второе число надо умножить на 3-е, и что получится, то раздѣлить на 1-е число». Такое опредѣленіе не могло не вести къ сбивчивости, и прежде всего являлся вопросъ: что считать первымъ числомъ, и всякія ли задачи съ тремя данными числами можно рѣшать тройнымъ правиломъ? Разъяснять это недоразумѣніе учебники не считали нужнымъ. Кромѣ того, рѣшались задачи не только съ цѣлыми числами, но и съ дробями, и въ иныхъ ариѳметикахъ онѣ располагались такъ непослѣдовательно, что задачи съ дробными числами на тройное правило помѣщались раньше главы о дробяхъ, потому что и все тройное правило шло раньше ариѳметики дробныхъ чиселъ.

Послѣ тройного правила съ цѣлыми числами и дробями излагалось особое правило «сократительное», въ которомъ разъяснялось, какъ можно сокращать нѣкоторыя данныя числа, а потомъ уже шло правило «возвратительное»; это былъ очень сбивчивый отдѣлъ, къ которому принадлежали вопросы съ обратной пропорціональностью, и авторамъ учебниковъ никакъ не удавалось разграничить, какія задачи относятся къ этой группѣ; ученикамъ приходилось полагаться на свою собственную догадку и довольствоваться смекалкой. Въ XV и ХXII вв. объясненіе давалось въ родѣ слѣдующаго: «Если мѣра зерна стоитъ 1½ марки, то на 1 марку даютъ два пуда хлѣба; сколько пудовъ хлѣба дадутъ на марку, если мѣра зерна стоитъ 1¾ марки; рѣшаемъ тройнымъ правиломъ, получится

но понятливый смекнетъ, что когда зерно вздорожаетъ, то хлѣба будутъ давать меньше, а не больше, поэтому вопросъ надо перевернуть, будетъ

Въ подобномъ духѣ трактуетъ и Магницкiй (1703 г.)

«Правило возвратительное есть, егда потреба бываетъ въ заданіи третій перечень поставляти вмѣсто перваго: потребно же сіе въ гражданскихъ частыхъ случаяхъ, якоже рещи на прикладъ: нѣкій господинъ призвалъ плотника и велѣлъ дворъ строити, давъ ему двадцать человѣкъ работниковъ: и спросилъ, въ коливо дней построитъ тои его дворъ, онъ-же отвѣща, въ тридцать дней; а господину надобно въ 5 дней построити весь, и ради того спросилъ паки плотника, коликихъ человѣкъ достоитъ имѣти, дабы съ ними ты построилъ дворъ въ 5 дней, и той плотникъ недоумѣяся вопрошаетъ тя ариѳметиче: колико человѣкъ ему достоитъ имѣти, чтобъ построить ему той дворъ въ 5 дней, и аще ты начнеши творити по чину тройного правила просто; то во-истинну погрѣшиши; но подобаетъ ти не тако: 30-20-5, но сице превративъ: 5-20-30; 30 X 20=600; 600: 5=120».

За тройнымъ правиломъ шло пятерное, за нимъ семерное. Легко догадаться, что это частные случаи сложнаго тройного правила, именно когда по 5 или 7 даннымъ, находящимся между собою въ пропорціональной зависимости, отыскивается 6-е или 8-е, имъ соотвѣтствующее число, иначе сказать: пятерное правило требуетъ 2-хъ пропорцій, а семерное трехъ. Пятерное правило объяснялось въ ХVІІІ вѣкѣ такъ:

имъ производятся такія вычисленія, которыхъ нельзя произвести по другому правилу; въ немъ дается 5 чиселъ, и по нимъ отыскивается шестое искомое число; напр., нѣкто пустилъ въ оборотъ сто рублей, и они принесли ему прибыли 7 р., спрашивается, сколько прибыли онъ получилъ бы съ 100 р. на 5 лѣтъ;

рѣшается такъ: 100-1-7-1000-5, перемножь два лѣвыхъ числа, а также перемножь 3 правыхъ числа и послѣднее произведеніе раздѣли на первое, будетъ въ отвѣтѣ 350, столько рублей прибыли дастъ 1000 р. въ теченіе 5 лѣтъ.

Простое и сложное тройное правило распредѣлялись обыкновенно въ XVI-XVIII вв. на массу мелкихъ отдѣловъ, которые носили очень замысловатыя названія, въ зависимости отъ содержанія задачъ. Вотъ эти названія по Магницкому: a «тройное торговое правило», т. е. вычисленіе стоимости купленнаго товара; b «тройное торговое о купляхъ и продажахъ»,-то же, что и предыдущее, но только посложнѣе; c «тройное торговое въ товарныхъ овощахъ и съ вывѣскою», когда приходится дѣлать вычетъ за посуду и вообще оболочку; d «о прибыли и убыткѣ»; e «статья вопросная въ тройномъ правилѣ», въ ней задачи очень разнообразнаго содержанія, по большей части съ обратной пропорціональностью; f «статья вопросная со временемъ», гдѣ спрашивается высчитать продолжительность работы, пути и т. п.

Въ началѣ ХІХ-го вѣка было предложено Базедовымъ еще измѣненіе въ тройномъ правилѣ и опять въ ту-же самую сторону машинальнаго, безсознательнаго навыка. Этотъ нѣмецкій педагогъ задался цѣлью еще болѣе упростить рѣшеніе задачъ на тройное правило тѣмъ, что еще сильнѣе уменьшить разсужденіе при ихъ рѣшеніи и замѣнить его письмомъ готовой формулы. Онъ совѣтуетъ располагать данныя числа 2 столбцами: въ лѣвомъ пишется неизвѣстное количество и всѣ тѣ числа, которыя должны войти въ числители формулы, а въ правомъ-всѣ множители, составляющіе знаменателя. Примѣръ: для продовольствія 1200 человѣкъ въ теченіе 4 мѣсяцевъ требуется 2400 центнеровъ муки; на сколько человѣкъ 4000 центнеровъ выйдетъ въ 3 мѣсяца? Пишемъ 2 столбца:

и получаемъ формулу отвѣта

Почему числа 1200, 4000 и 4 вошли въ числителя, а 2400 и 3-въ знаменателя? На это можно отвѣтить такимъ правиломъ: въ числителя входитъ число, однородное съ искомымъ, т. е. въ нашемъ случаѣ число 1200; кромѣ того въ него же входятъ всѣ тѣ числа второго условія {4000 · 4), которыя прямо пропорціональны искомому; если же они обратно пропорціональны, какъ въ нашемъ примѣрѣ 3, то они замѣняются соотвѣтствующнми числами 1-го условія (4-мя).

Вотъ все, что мы можемъ сообщить объ историческомъ развитіи тройного правила. Изъ всего сказаннаго можно сдѣлать заключенiе, которое годится для нашего времени. Средневѣковая ариѳметика, съ ея стремленіемъ давать только правила и пропускать выводы, съ ея механическимъ рѣшеніемъ вопросовъ, имѣла слишкомъ большое вліяніе на всю послѣдующую школьную жизнь, и настолько большое, что слѣды его проявляются на каждомъ шагу и въ наше время. Какъ бы мы ни старались отряхнутьоя отъ традиціи, освободиться отъ привычки, но онѣ слишкомъ тѣсно насъ охватили и слишкомъ крѣпко къ намъ привлеились, чтобы ихъ можно было отбросить безъ остатка. Наша школа все еще повинна въ механическомъ заучиваніи ариѳметики, безъ достаточнаго участія сознательности. Тройное правило служитъ хорошимъ доказательствомъ этого. Нерѣдко забываетъ наша средняя и низшая школа, что она призвана давать общее образованіе, а не готовить бухгалтеровъ, конторщиковъ, счетчиковъ и т. п. Между тѣмъ ремесленные пріемы итальянцевъ и нѣмцевъ, стремившихся не развить человѣка, а сдѣлать изъ него счетную машину, примѣняются нерѣдко и теперь. Къ чему всѣ эти правила: тройное, смѣшенія и т. д.? Какой цѣли они должны удовлетворять? Они должны являться выводомъ изъ рѣшенныхъ задачъ, а не предшествовать рѣшенію задачъ; вредно рѣшать задачи по предварительно усвоенному правилу, но надо стараться доходить до отвѣта свободнымъ личнымъ соображеніемъ. Однимъ словомъ, правило не надо понимать въ видѣ рецепта, который достаточно запомнить, чтобы по нему приготовлять разныя мудреныя рѣшенія; но имъ слѣдуетъ дорожить только какъ выводомъ, къ которому приходитъ ученикъ: если ученикъ не можетъ сдѣлать этого вывода, то это значитъ, что задачъ взято мало, или онѣ расположены не систематично, и эту ошибку надо поправить болѣе систематическимъ расположенiемъ задачъ; если ученикъ дѣлаетъ не такой полный и обстоятельный выводъ, какой хотѣлось бы учителю, то лучше удовольствоваться имъ, чѣмъ заставлять разучивать правило, навязанное учебникомъ: оно скоро забудется и не окажетъ развивающаго дѣйствія, такъ какъ необходимымъ качествомъ математическаго вывода должна быть самостоятельность, а необходимьмъ условіемъ сознательности должно быть тѣсное связываніе всѣхъ частей курса, почему и не можетъ имѣть мѣста механическое вкладываніе въ голову отдѣльныхъ кусковъ, усвояемыхъ памятью.