Из определения тангенса угла следует равенство
Введем обозначение tg a=k
, получаем
уравнение
(10.2)
которому удовлетворяют координаты любой точки М(х;у) прямой. Можно
убедиться, что координаты любой точки Р(х;у), лежащей вне данной прямой,
уравнению (10.2) не удовлетворяют.
Число k = tga называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (10.2) -
уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Если прямая проходит через начало координат, то b = 0 и, следовательно,
уравнение этой прямой будет иметь вид y=kx
.
Если прямая параллельна оси Ох, то a = 0, следовательно, k = tga = 0 и
уравнение (10.2) примет вид у = b.
Если прямая параллельна оси Оу, то
,
уравнение (10.2) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент
не
существует.
В этом случае уравнение прямой будет иметь вид
где a
- абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох. Отметим, что
уравнения (10.2) и (10.3) есть уравнения первой степени.
Общее уравнение прямой.
Рассмотрим уравнение первой степени относительно x и y в общем виде
(10.4)
где А, В, С - произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.
Покажем, что уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии. Возможны два
случая.
Если В = 0, то уравнение (10.4) имеет вид Ах + С = О, причем А ¹
0 т. е.
.
Это есть уравнение прямой, параллельной оси Оу и проходящей через точку
·
Если B ¹ 0, то из уравнения (10.4) получаем
.
Это есть уравнение прямой с угловым коэффициентом
|.
Итак, уравнение (10.4) есть уравнение прямой линии, оно называется
общим уравнением прямой
.
Некоторые частные случаи общего уравнения прямой:
1) если А = 0, то уравнение приводится к виду.
Это есть уравнение прямой, параллельной оси Ох;
2) если В = 0, то прямая параллельна оси Оу;
3) если С = 0, то получаем
. Уравнению
удовлетворяют координаты точки O(0;0), прямая проходит через начало
координат.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
Пусть прямая проходит через точку
и ее направление
определяется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно
записать в виде ,
где b - пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку
, то координаты
точки удовлетворяют уравнению прямой:.
Отсюда .
Подставляя значение b в уравнение,
получим искомое уравнение прямой:
, т. е.
(10.5)
Уравнение (10.5) с различными значениями k называют также уравнениями пучка
прямых с центром в точке Из
этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Оу.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть прямая проходит через точки
и
. Уравнения
прямой, проходящей через точку M 1 , имеет вид
(10.6)
где k - пока неизвестный коэффициент.
Так как прямая проходит через точку
, то координаты
этой точки должны удовлетворять уравнению (10.6):
. Οтсюда находим
.
Подставляя найденное значение k в уравнение (10.6), получим уравнение
прямой, проходящей через точки M 1
и M 2 .
(10.7)
Предполагается, что в этом уравнении
·
Если x 2 = x 1 прямая, проходящая через точки
и
параллельна оси
ординат. Ее уравнение имеет вид
.
Если y 2 = y 1 то уравнение прямой может быть записано в
виде , прямая M 1 M 2
параллельна оси абсцисс.
Уравнение прямой в отрезках
Пусть
прямая пересекает ось Ох в точке
, а ось Оу – в
точке (см. рис.
42). В этом случае уравнение (10.7) примет вид
Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках
, так как числа
α и b указывают, какие отрезки отсекает прямая на осях координат.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному
вектору
Найдем уравнение прямой, проходящей
через заданную точку
перпендикулярно
данному ненулевому вектору
.
Возьмем
на прямой произвольную точку М(х;у) и рассмотрим вектор
(см. рис. 43).
Поскольку векторы и
перпендикулярны,
то их скалярное произведение равно нулю:
, то есть
Уравнение (10.8) называется уравнением прямой, проходящей через заданную
точку перпендикулярно заданному вектору.
Вектор ,
перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой. Уравнение
(10.8) можно переписать в виде
(10.9)
где А и B- координаты нормального вектора,
- свободный член.
Уравнение (10.9) есть общее уравнение прямой (см. (10.4)).
Полярное уравнение прямой
Найдем
уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно определить, указав
расстояние ρ от полюса О до данной прямой и угол α между полярной осью ОΡ и
осью l
, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (см. рис.
44).
Для любой точки
на
данной прямой имеем:
С другой стороны,
Следовательно,
(10.10)
Полученное уравнение (10.10) и есть уравнение прямой в полярных координатах.
Нормальное уравнение прямой
Пусть прямая определяется заданием p и α (см.
рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат
. Введем полярную
систему, взяв за
полюс и за
полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде
Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем:
,
. Следовательно,
уравнение (10.10) прямой в прямоугольной системе координат примет вид
(10.11)
Уравнение (10.11) называется нормальным уравнением прямой
.
Покажем,
как привести уравнение (10.4) прямой к виду
(10.11).
Умножим все члены уравнения (10.4) на некоторый множитель
. Получим
. Это уравнение
должно обратиться в уравнение (10.11). Следовательно, должны выполняться
равенства: ,
,
. Из первых двух
равенств находим,т.
е. .
Множитель λ называется нормирующим множителем
. Согласно третьему
равенству знак
нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего
уравнения прямой.
Цель:
Рассмотреть понятие линии на плоскости, привести примеры. Основываясь на определение линии, ввести понятие уравнения прямой на плоскости. Рассмотреть виды прямой, привести примеры и способы задания прямой. Закрепить умение переводить уравнение прямой из общего вида в уравнение прямой «в отрезках», с угловым коэффициентом.
- Уравнение линии на плоскости.
- Уравнение прямой на плоскости. Виды уравнений.
- Способы задания прямой.
1. Пусть х и у – две произвольные переменные.
Определение
:
Соотношение вида F(x,y)=0 называется уравнением
, если оно справедливо не для всяких пар чисел х и у.
Пример
: 2х + 7у – 1 = 0 , х 2 + y 2 – 25 = 0.
Если равенство F(x,y)=0 выполняется для любых х, у, то, следовательно, F(x,y) = 0 – тождество.
Пример: (х + у) 2 - х 2 - 2ху - у 2 = 0
Говорят, что числа х 0 и у 0 удовлетворяют уравнению
, если при их подстановке в это уравнение оно обращается в верное равенство.
Важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии.
Определение
:
Уравнением данной линии называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой из точек, не лежащих на этой линии.
Линия, определяемая уравнением y = f(x), называется графиком функции f(x). Переменные х и у – называются текущими координатами, т. к. являются координатами переменной точки.
Несколько примеров
определения линий.
1) х – у = 0 => х = у. Это уравнение определяет прямую:
2) х 2 - у 2 = 0 => (х-у)(х+у) = 0 => точки должны удовлетворять либо уравнению х - у = 0, либо уравнению х + у = 0, что соответствует на плоскости паре пересекающихся прямых, являющихся биссектрисами координатных углов:
3) х 2 + у 2 = 0. Этому уравнению удовлетворяет только одна точка О(0,0).
2. Определение:
Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат
А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу
А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких–либо заданных начальных условий.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:
и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k
.
Уравнение прямой в отрезках.
Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или , где
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а
является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b
– координатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Нормальное уравнение прямой.
Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем
, то получим
xcosj + ysinj - p = 0 –нормальное уравнение прямой.
Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.
р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.
Пусть угловой коэффициент прямой равен k, прямая проходит через точку М(х 0 , у 0). Тогда уравнение прямой находится по формуле: у – у 0 = k(x – x 0)
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:
Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:
если х 1 ¹ х 2 и х = х 1 , еслих 1 = х 2 .
Дробь = k называется угловым коэффициентом
прямой.
Скачать с Depositfiles
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Лекция № 7. Тема
1
: Линии на плоскости и их уравнения
1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат
В аналитической геометрии линии на плоскости рассматриваются как геометрическое место точек (г.м.т.), обладающих одинаковым свойством, общим для всех точек линии.
Определение.
Уравнение линии
– это уравнение с двумя переменными
х
и
у
, которому удовлетворяют координаты любой точки линии и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на данной линии.
Верно и обратное, т.е. любое уравнение
у
вида , вообще говоря, в декартовой
системе координат (ДСК) определяет линию
как г.м.т., координаты которых удовлетворяют
этому уравнению.
О х
Замечание 1.
Не всякое уравнение вида определяет линию. Например, для уравнения
не существует точек, координаты, которых удовлетворяли бы этому уравнению. Такие случаи в дальнейшем рассматривать не будем.
Это случай так называемых мнимых линий.
Пример 1.
Составить уравнение окружности радиуса
R
с центром в точке
.
Для любой точки , лежащей
у
М
на окружности, в силу определения
R
окружности как г.м.т., равноудаленных
от точки , получаем уравнение
х
1.2. Параметрические уравнения линий
Существует ещё один способ задавать линию на плоскости при помощи уравнений, которые называются
параметрическими
:
Пример 1.
Линия задана параметрическими уравнениями
Требуется получить уравнение этой линии в ДСК.
Исключим параметр
t
. Для этого возведём обе части этих уравнений в квадрат и сложим
Пример 2.
Линия задана параметрическими уравнениями
а
Требуется получить уравнение
этой линии в ДСК. —
а а
Поступим аналогично, тогда получим
—
а
Замечание 2.
Следует отметить, что параметром
t
в механике явля-ется время.
1.3. Уравнение линии в полярной системе координат
ДСК является не единственным способом определять положение точки и, следовательно, задавать уравнение линии. На плоскости часто целесо-образно использовать так называемую полярную систему координат (ПСК).
ПСК будет определена, если задать точку
О – полюс и луч
ОР, исхо-дящий из этой точки, который называется полярной осью. Тогда положение любой точки определяется двумя числами: полярным радиусом
и полярным углом – угол между
полярной осью и полярным радиусом.
Положительное направление отсчета
полярного угла от полярной оси
считается против часовой стрелки.
Для всех точек плоскости
,
О Р
а для однозначности полярного угла считается
.
Если начало ДСК совместить с
полюсом, а ось
Ох
направить по
полярной оси, то легко убедиться
у
в связи между полярными и
декартовыми координатами:
О х
Р
Обратно,
(1)
Если уравнение линии в ДСК имеет вид , то в ПСК — Тогда из этого уравнения можно получить урав-нение в виде
Пример 3.
Составить уравнение окружности в ПСК, если центр окружности находится в полюсе.
Используя формулы перехода (1) от ДСК к ПСК, получим
Пример 4.
Составить уравнение окружности,
если полюс на окружности, а полярная ось
у
проходит через диаметр.
Поступим аналогично
О 2
R
х
R
Данное уравнение можно получить и
из геометрических представлений (см. рис.).
Пример 5.
Построить график линии
Перейдём к ПСК. Уравнение
примет вид
О
График линии построим с
а
учётом его симметрии и ОДЗ
функции:
Данная линия называется
лемнискатой Бернулли
.
1.4. Преобразование системы координат.
Уравнение линии в новой системе координат
1.
Параллельный перенос ДСК.
у
Рассмотрим две ДСК, имеющие
М
одинаковое направление осей, но
различные начала координат.
В системе координат
Оху
точка
относительно системы
О х
имеет координаты
. Тогда имеем
и
В координатной форме полученное векторное равенство имеет вид
или
. (2)
Формулы (2) представляют собой формулы перехода от «старой» системы координат
Оху
к «новой» системе координат и наоборот.
Пример 5.
Получить уравнение окружности выполнив параллельный перенос системы координат
в центр окружности.
Из формул (2) следует
у
О
1
0
. Полярная
система координат
. Будем говорить,
что на плоскости введена полярная
система координат, если на ней выбрана
точкаO
– полюс, луч,
выходящий из полюсаO
– полярная ось и масштабный отрезок.
Пусть M
–
произвольная точка плоскости, не
совпадающая с полюсомO
(рис.3.4 хх). Первой полярной координатой
точкиM
(полярным
радиусом) называется расстояние от
точкиM
до полюсаO
.
второй полярной координатой точкиM
(или амплитудой) называется уголот полярной оси (луча
)
до лучаOM
. Для точкиO
считают
,– произвольное число.
Из определения полярных
координат и их геометрического смысла
следует, что
Значения второй
координаты, лежащие в пределах
называют главные значением угла.
Замечание
. В полярной
системе координат нет взаимно однозначного
соответствия между точками плоскости
и упорядоченной парой чисел (,):(,)
соответствует единственная точка
плоскости, но
соответствует бесчисленное множество
пар (,+
).
Задать точку M
в полярной системе координат означает
задать два числаи:M
(,).
Установим связь между декартовыми
и полярными координатами (одной и той
же) точки M
.
Для этого введем
оси
и
как показано на рис.3.5 хх. Масштабный
отрезок полярной системы
примем и за масштабный отрезок декартовой
системы
.
Пусть
– декартовы,
– полярные координаты некоторой точкиM
. Тогда
и обратно,
По формулам
(3.2) переходят от полярных координат к
декартовым, по (3.2’) – от декартовых
координат к полярным.
2
0
. Понятие линии
и ее уравнения.
Понятие линии является
одним из самых трудных понятий математики.
Общее определение линии дается в
топологии (одном из разделов математики).
Получено оно было в двадцатые годы
прошлого столетия советским математиком
П.С.Урысоном.
Здесь мы не будем заниматься
определением линии
; дадим лишь
определение того, что называетсяуравнением линии
.
Определение 1
. Уравнением
линии (обозначают (L
),
либоL
– без скобок)
в декартовой системе координат называется
уравнение
,
(3.3)
которому удовлетворяют
координаты
всех точек
и только координаты таких точек (то есть
координаты точек, не лежащих на линииL
, не удовлетворяют
(3.3) – не обращают его в тождество).
В частности, уравнение линии
L
может иметь вид:
.
(3.3’)
Определение 2
. Уравнением
линии в полярной системе координат
называется уравнение
,
(3.4)
которому удовлетворяют полярные
координаты
всех точек
и только координаты таких точек.
В частности, уравнение линии
L
в полярных координатах
может иметь вид:
.
(3.4’)
Определение 3
. Параметрическими
уравнениями линииL
в декартовой системе координат называются
уравнения вида
(3.5)
где функции
и
имеют одну и ту же область определения
– промежутокT
.
соответствует точка
рассматриваемой линииL
и
соответствует некоторому значению
(то есть
такое, что
и
будут координатами точкиM
).
Замечание 1
. Аналогично
определяются параметрические уравнения
линии в полярных координатах.
Замечание 2
. В курсе
аналитической геометрии (на плоскости)
рассматриваются две основные задачи:
1) известны геометрические
свойства некоторой линии на плоскости;
составить ее уравнение;
2) известно уравнение линии L
;
построить эту линию, установить ее
геометрические свойства.
Рассмотрим примеры.
Пример 1
. Найти уравнение
окружностиL
радиусаR
, центр которой
находится в точке
(рис.3.6 хх).
Замечание.
Прежде, чем
переходить к решению задачи, сделаем
замечание (которому надо следовать и в
дальнейшем): решение задачи на определение
геометрического места точек начинается
с введения произвольной («текущей»)
точки с координатами
этого геометрического места.
Решение
. Пусть точка
– произвольная точка окружностиL
.
По определению, окружность есть
геометрическое место точек, равноудаленных
от фиксированной точки – ее центра:CM
=
R
.
По формуле (2.31) (в ней надо положить
)
находим:
(3.6)
.– уравнение искомой окружности.
Если центр С
лежит в начале
координат, то
и уравнение
(3.6’)
есть уравнение такой окружности.
Пример 2
. Пусть криваяL
задана уравнением:
.
Построить эту кривую; установить,
проходит ли она через точку
?
через точку
?
Решение
. Преобразуем левую
часть данного уравнения, выделив в ней
полные квадраты:или
– это уравнение определяет окружность
с центром в точке
радиуса
.
Координаты точки
удовлетворяют уравнению окружности:– точкаO
лежит на
окружности; координаты же точки
не удовлетворяют уравнению окружности.
Пример 3
. Найти геометрическое
место точек, отстоящих от точки
вдвое дальше, чем от точки
.
Решение
. Пусть
– текущая точка (искомого) геометрического
места. Тогдаи из условия задачи пишем уравнение:.
Возведем это
равенство в квадрат и преобразуем:
– искомое место есть окружность
с центром в точке
и радиусомR
=10.
Приведем примеры на определение
уравнений линий в полярной системе
координат.
Пример 4
. Составить уравнение
окружности радиусаR
с центром в полюсеO
.
Решение
. Пусть
есть произвольная точка окружностиL
(рис.3.7 хх). Тогда
или
(3.7)
– этому уравнению удовлетворяют
точки, лежащие на окружности L
,
и не удовлетворяют точки, не лежащие на
ней.
Пример 5
. Составить уравнение
прямой, проходящей через точку
параллельно полярной оси (рис.3.8 хх).
Решение
. Из прямоугольного
треугольникаOAM
следует, что
– имеем уравнение прямой в полярной
системе координат.
Замечание
. Уравнение прямой
в декартовой системе координат:
;
подставляя
из (3.2), получим
или
.
Пример 6
. Построить кривую.
Решение
. Заметим, что кривая
симметрична относительно полярной оси:
=
=
=
.
Поэтому если точка
,
то и точка
.
Даем полярному углу
различные значения от=0
до=и определяем соответствующие этим углам
значения.
Запишем это в виде таблицы 1.
Таблица 1.