В сложных электрических цепях, то есть где имеется несколько разнообразных ответвлений и несколько источников ЭДС имеет место и сложное распределение токов. Однако при известных величинах всех ЭДС и сопротивлений резистивных элементов в цепи мы можем вычистить значения этих токов и их направление в любом контуре цепи с помощью первого и второго закона Кирхгофа . Суть законов Кирхгофа я довольно кратко изложил в своем учебнике по электронике , на страницах сайта http://www.сайт.
Пример сложной электрической цепи вы можете посмотреть на рисунке 1.
Рисунок 1. Сложная электрическая цепь.
Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа , особенно в старой литературе.
Итак, для начала напомню все-таки суть первого и второго закона Кирхгофа, а далее рассмотрим примеры расчета токов, напряжений в электрических цепях, с практическими примерами и ответами на вопросы, которые задавались мне в комментариях на сайте.
Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.
Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.
Поясню первый закон Кирхгофа на примере рисунка 2.
Рисунок 2. Узел электрической цепи.
Здесь ток I 1 - ток, втекающий в узел, а токи I 2 и I 3 - токи, вытекающие из узла. Тогда применяя формулировку №1, можно записать:
I 1 = I 2 + I 3 (1)
Что бы подтвердить справедливость формулировки №2, перенесем токи I 2 и I 3 в левую часть выражения (1) , тем самым получим:
I 1 - I 2 - I 3 = 0 (2)
Знаки «минус» в выражении (2) и означают, что токи вытекают из узла.
Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» (например как получилось в выражении (2) ).
Можно посмотреть отдельный видеоурок по первому закону Кирхофа в разделе ВИДЕОУРОКИ.
Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.
Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:
1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).
2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.
3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:
ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».
Напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».
Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.
Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.
E 1 - Е 2 = -UR 1 - UR 2 или E 1 = Е 2 - UR 1 - UR 2 (3)
Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.
Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.
Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E 1 =12 в и E 2 =5 в , с внутренним сопротивлением источников r 1 =r 2 =0,1 Ом , работающих на общую нагрузку R = 2 Ома . Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.
Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.
Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:
I = I 1 + I 2 ,
так как I 1 и I 2 втекают в узел А , а ток I вытекает из него.
Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.
Для внешнего контура:
E 1 -E 2 = Ur 1 – Ur 2 или E 1 -E 2 = I 1 *r 1 – I 2 *r 2
Для внутреннего левого контура:
E 1 = Ur 1 + UR или E 1 = I 1 *r 1 + I*R
Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:
I = I 1 + I 2 ;
E 1 -E 2 = I 1 *r 1 – I 2 *r 2 ;
E 1 = I 1 *r 1 + I*R.
Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:
I = I 1 + I 2 ;
7 = 0,1I 1 – 0,1I 2 ;
I 2 =I - I 1 ;
I 2 = I 1 – 70;
12 = 0,1I 1 + 2I.
Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:
I - I 1 = I 1 – 70;
12 = 0,1I 1 + 2I.
Выражаем из первого уравнения значение I
I = 2I 1 – 70;
И подставляем его значение во второе уравнение
12 = 0,1I 1 + 2(2I 1 – 70).
Решаем полученное уравнение
12 = 0,1I 1 + 4I 1 – 140.
12 + 140= 4,1I 1
I 1 =152/4,1
I 1 =37,073 (А)
Теперь в выражение I = 2I 1 – 70 подставим значение
I 1 =37,073 (А) и получим:
I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А
Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I 2 =I - I 1
I 2 =4,146 - 37,073 = -32,927
Знак «минус» для тока I 2 означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I 2 вытекает из узла А .
Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.
Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.
Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.
Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:
Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач.
Задача 1
Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.
Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.
Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи
Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.
На примере первого контура – ток I 1 и I 3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.
Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:
Все эти три уравнения образуют систему
Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым).
Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей .
Задача 2
Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.
Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2
Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче.
На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными
Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины
Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками.
Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно.
При решении задачи нахождения силы токов в участках сложной цепи постоянного тока при известных сопротивлениях участков цепи и заданных электродвижущих силах (ЭДС) часто применяют правила Кирхгофа. Всего их два. Правила Кирхгофа не являются самостоятельными законами. Они всего лишь следствия закона сохранения заряда (первое правило) и закона Ома (второе правило). При любой сложности цепи можно провести все расчеты параметров сети, применяя закон Ома и закон сохранения заряда. Правила Кирхгофа используют для того, чтобы упростить процедуру написания системы линейных уравнений, в которые входят искомые токи.
Формулировка первого правила Кирхгофа
Для формулировки первого правила Кирхгофа определим, что считается узлом цепи. Узел разветвленной цепи -это точка цепи, в которой сходятся три или больше проводников с токами.
Для верной записи формулы первого правила Кирхгофа необходимо принимать во внимание направления течения токов. Следует помнить, что токи, входящие в узел и токи, выходящие из него, записываются в уравнения с разными знаками. Если в задаче направления токов не заданы, то их выбирают произвольно. Если в ходе решения задачи выясняется, что полученный ток имеет знак минус, то это означает, что истинное направление тока является противоположным. При решении задачи, следует решить, какие токи считать положительными, например, выходящие из узла, и тогда все токи в этой задаче записывать в соответствующих уравнениях со знаком плюс.
Математическая запись первого правила Кирхгофа:
Формула (1) значит, что сумма токов с учетом знаков в каждом узле цепи постоянного тока равна нулю.
Обычно для наглядности и простоты при составлении уравнений на схемах указывают направления течения, выбирая их произвольно.
Первое правило Кирхгофа иначе называют правилом узлов.
Это правило следствие закона сохранения электрического заряда. Сумма токов (с учетом их знаков), которая сходится в узле — это заряд, проходящий через данный узел в единицу времени. Если токи в узле не зависят от времени, то их сумма должна быть равна нулю, в противном случае, потенциал узла будет изменяться со временем, соответственно токи будут переменными. Если ток в цепи постоянный, то в цепи не может быть точек, которые бы накапливали заряд. Иначе токи будут изменяться во времени.
Используя только одно первое правило Кирхгофа не получится составить полную систему независимых уравнений, которых было бы достаточно для решения задачи нахождения всех сил токов, которые текут во всех сопротивлениях цепи при известных ЭДС и сопротивлениях. Для написания дополнительных уравнений используют второе правило Кирхгофа.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | На основании первого правила Кирхгофа составьте уравнение для сил токов, текущих в узле А (рис.1).
|
| Решение | Примем за положительные токи, входящие в узел. Такими токами в точке А будут:
Из узла А выходят токи: В соответствии с принятым нами правилом токи (1.2) входят в формулу первого правила Кирхгофа со знаками минус. Уравнение для токов в узле А имеет вид: |
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Используя первое правило Кирхгофа составьте уравнение токов для узла О (рис.2).
|
| Решение | Положительными токами примем токи, которые входят в узел. В узел О входит только ток: |
Для расчетов задач по электротехнике в физике есть ряд правил, часто используют первый и второй закон Кирхгофа, а также . Немецкий ученый Густав Кирхгоф имел достижения не только в физике, но и в химии, теоретической механике, термодинамике. В электротехнике используется закономерность, которую он установил для электрической цепи, из двух соотношений. Законы Кирхгофа (также их называют правилами) описывают распределение токов в узлах и падений напряжений на элементах контура. Далее мы попытаемся объяснить простым языком, как применять соотношения Кирхгофа для решения задач.
Определение первого закона звучит так: «Алгебраическая сума токов, протекающих через узел, равна нулю». Можно сказать немного в другой форме: «Сколько токов втекло в узел, столько же и вытекло, что говорит о постоянстве тока» .
Узлом цепи называют точку соединения трех и больше ветвей. Токи в таком случае распределяются пропорционально сопротивлениям каждой ветви.
I 1 =I 2 +I 3
Такая форма записи справедлива для цепей постоянного тока. Если использовать первый закон Кирхгофа для цепи переменного тока, то используются мгновенные значения напряжений, обозначаются буквой İ и записывается в комплексной форме, а метод расчета остаётся прежним:
Комплексная форма учитывает и активную и реактивную составляющие.
Второй закон Кирхгофа
Если первый описывает распределение токов в ветвях, то второй закон Кирхгофа звучит так: «Сумма падений напряжений в контуре равна сумме всех ЭДС». Простыми словами формулировка звучит так: «ЭДС, приложенное к участку цепи, распределится по элементам данной цепи пропорционально сопротивлениям, т.е. по закону Ома».
Тогда как для переменного тока это звучит так: «Сумма амплитуд комплексных ЭДС равняется сумме комплексных падений напряжений на элементах» .
Z – это полное сопротивление или комплексное сопротивление, в него входит и резистивная часть и реактивная (индуктивность и ёмкость), которая зависит от частоты переменного тока (в постоянном токе есть только активное сопротивление). Ниже представлены формулы комплексного сопротивления конденсатора и индуктивности:
Вот картинка, иллюстрирующая вышесказанное:
Методы расчетов по первому и второму законам Кирхгофа
Давайте приступим к применению на практике теоретического материала. Чтобы правильно расставить знаки в уравнениях, нужно выбрать направление обхода контура. Посмотрите на схему:
Предлагаем выбрать направление по часовой стрелке и обозначить его на рисунке:
Штрих-пунктирной линией обозначено, как идти по контуру при составлении уравнений.
Следующий шаг – составить уравнения по законам Кирхгофа. Используем сначала второй. Знаки расставляем так: перед электродвижущей силой ставится минус, если она направлена против движения часовой стрелки (выбранное нами в предыдущем шаге направление), тогда для ЭДС направленного по часовой стрелке – ставим минус. Составляем для каждого контура с учетом знаков.
Для первого смотрим направление ЭДС, оно совпадает со штрих-пунтирной линией, ставим E1 плюс E2:
Для второго:
Для третьего:
Знаки у IR (напряжения) зависят от направлением контурных токов. Здесь правило знаков такое же, как и в предыдущем случае.
IR пишется с положительным знаком, если ток протекает в сторону направления обхода контура. А со знаком «–», если ток течет против направления обхода контура.
Направление обхода контура — это условная величина. Нужна она только для расстановки знаков в уравнениях, выбирается произвольно и на правильность расчётов не влияет. В отдельных случаях неудачно выбранное направление обхода может усложнить расчёт, но это не критично.
Рассмотрим еще одну цепь:
Здесь целых четыре источника ЭДС, но порядок расчета тот же, сначала выбираем направление для составления уравнений.
Теперь нужно составить уравнения согласно первому закону Кирхгофа. Для первого узла (слева на схеме цифра 1):
I 3 втекает, а I 1 , I 4 вытекает, отсюда и знаки. Для второго:
Для третьего:
Вопрос: «Узла четыре, а уравнения всего три, почему?». Дело в том, что число уравнений первого правила Кирхгофа равно:
N уравнений =n узлов -1
Т.е. уравнений всего на 1 меньше, чем узлов, т.к. этого достаточно, чтобы описать токи во всех ветвях, советую еще раз подняться к схеме и проверить, все ли токи записаны в уравнениях.
Теперь перейдем к построению уравнений по второму правилу. Для первого контура:
Для второго контура:
Для третьего контура:
Если подставить значения реальных напряжений и сопротивлений, тогда выяснится, что первый и второй законы справедливы и выполняются. Это простые примеры, на практике приходится решать гораздо более объёмные задачи.
Вывод . Главное при расчётах с помощью первого и второго законов Кирхгофа – соблюдения правила составления уравнений, т.е. учитывать направления протекания токов и обхода контура для правильной расстановки знаков для каждого элемента цепи.
Законы Кирхгофа для магнитной цепи
В электротехнике также важны и расчёты магнитных цепей, оба закона нашли своё применение и здесь. Суть остаётся той же, но вид и величины изменяются, давайте рассмотрим этот вопрос подробнее. Сначала нужно разобраться с понятиями.
Магнитодвижущая сила (МДС) определяется произведением количества витков катушки, на ток через неё:
Магнитное напряжение – это произведение напряженности магнитного поля на ток, через участок, измеряется в Амперах:
U m =H*I
Или магнитный поток через магнитное сопротивление:
U m =Ф*R m
L – средняя длина участка, μ r и μ 0 – относительная и абсолютная магнитная проницаемость.
Проводя аналогии запишем первый закон Кирхгофа для магнитной цепи:
То есть сумма всех магнитных потоков через узел равна нулю. Вы заметили, что звучит почти так же, как и для электрической цепи?
Тогда второй закон Кирхгофа звучит, как «Сумма МДС в магнитном контуре равна сумме U M (магнитных напряжений).
Магнитный поток равен:
Для переменного магнитного поля:
Он зависит только от напряжения на обмотке, но не от параметров магнитной цепи.
Для правильно формулировки законов Кирхгофа в электротехнику ввели термины узел, ветвь и контур электрической цепи. Ветвью называют абсолютно любой двухполюсник, имеющейся в цепь, например, на рисунке ниже участок схемы, с сопротивление R1, есть ветвь, также как и R2, но только другая ветвь. Узлом стали называть точку соединения трех и более ветвей. Контур замкнутая электрическая цепь состоящая из ветвей. Термин замкнутая электрическая цепь, говорит о том, что начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно оказаться в исходном узле. Ветви и узлы, попадающие в этот цикл, принято считать принадлежащими данному контуру. При этом требуется четко понимать, что ветвь и узел могут относиться одновременно к нескольким контурам.
Первый закон Кирхгофа |
В электрических цепях, состоящих из последовательно соединенных источников и приемников энергии, соотношения между током, ЭДС и сопротивлением всей цепи или, между напряжением и сопротивлением на каком-то отдельном участке цепи описываются . Но очень часто в схемах, токи, от какой-либо точки, идут по совершенно разным путям. Точки, где сходятся несколько различных проводников, напомню, называются узлами , а участки цепи, соединяющие два соседних узла, ветвями .
В замкнутой цепи не могут скапливаться электрические заряды так, как это вызывает изменение потенциалов точек цепи. Поэтому электрические заряды следующие к какому-либо узлу в единицу времени, всегда равны зарядам, уходящим от этого узла за ту же единицу времени
Разветвлённая цепь . В узле А цепь делиться на четыре ветви, которые соединяются в узле В Обозначим токи в неразветвленной части цепи - I , а в ветвях соответственно I1, I2, I3, I4 .
У этих токов в соответствии с правилом последовательного соединения резисторов, будет следующее соотношение
На основании этого сформулируем первый закон Кирхгофа: сумма токов, подходящих к узловой точке электрической цепи, всегда равна сумме токов, уходящих из этого узла .
E 1 - Е 2 = U R1 + U R2 или E 1 = Е 2 + U R1 + U R2
Таким образом, если в электрической цепи имеются два источника энергии, эдс которых совпадают по направлению, то эдс всей цепи равна сумме эдс этих источников
Если в электрическую цепь включено два источника эдс противоположных направлений, то общая эдс цепи равна разности эдс этих отдельных источников
При последовательном включении в электрическую цепь нескольких источников энергии с различным направлением, общая эдс равна сумме эдс всех отдельных источников. Складывая эдс одного направления, считают их со знаком плюс, а эдс противоположного направления - со знаком минус.
Рассмотрим чуть более сложную схему, имеющую несколько контуров
Для контура ABEF можно записать выражение
E 1 = U R1 + U R2 ,
для контура ACDF формулу можно записать так
E 1 -Е 2 = U R1 + U R3
Обходя контур BCDE, видим, что Е2 имеет направление (против часовой стрелки), что и UR3:
Е 2 + U R3 = U R2
Как мы видим в цепи с одним контуром, второй з-н Кирхгофа является частным случаем закона Ома.
Обучающий видеофильм для закрепления полученных знаний по теме Законы КирхгофаЗаконы Кирхгофа. Расчет цепи |
За неизвестные в этом способе берутся потенциалы узлов φ k . Если мы определим потенциалы всех узлов цепи, то затем сможем легко вычислить ток в любой ветви между узлами «k» и «n» из обобщенного закона Ома:
Заземлим, допустим, узел φ 0 , положив φ 0 = 0, и вычислим потенциалы узлов φ 1 , φ 2 и φ 3 . Расставим произвольно стрелки токов i k в ветвях (k= 1, 2, …,6) и запишем получившиеся уравнения Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3:
(2)
Теперь выразим эти токи из формулы (1) с учетом правила знаков:
(3)
Подставив найденные отсюда токи i 1 , i 2 ,…, i 6 в (2), увидим систему трех уравнений относительно неизвестных потенциалов φ 1 , φ 2 и φ 3 :
Вычислив из этой системы потенциалы узлов φ 1 , φ 2 и φ 3 и подставив их в систему (3), рассчитаем все токи i 1 , i 2 , …, i 6 с их знаками относительно выбранных на схеме выше.
