Жорданова нормальная форма матрицы. Примеры приведения матриц к жордановой форме

Примеры приведения матриц к жордановой форме

1° . . Корни характеристического уравнения: l 1, 2, 3 = 1. .

Собственные векторы А по λ = 1, т.е. ядро А 1:

, значит базис N (А 1): .

Образ оператора А 1 М (А 1) находим из соотношений:

; базис М (А 1) f 3 (1, 2, –1), и т.к. f 3 = 2f 1 – f 2 , то f 3 Îℒ(f 1 , f 2).

Тогда: базисом будет вектор ; вектором, дополняющим базис до базиса будет любой из векторов , например вектор ; а базис дополнить до базиса нечем, т.к. .

Прообраз А 1 у = (1, 2, –1) Þ у 1 – у 2 – у 3 = 1 , например (1, 0, 0).

Кстати: система А 1 у = (1, 0, 0) решений не имеет, т.е. прообраза второго слоя для вектора (1, 2, –1) нет.

Следовательно, жорданов базис оператора А : .

И, окончательно, имеем жорданову форму матрицы оператора А : .

2°. Найти нормальную жорданову форму матрицы линейного оператора А = и базис, в котором матрица оператора имеет жорданову форму.

Δ. Для матрицы линейного оператора А = составим и решим характеристическое уравнение: det(A - lE ) = 0 .

= .

Тогда: = 0 и, следовательно, l 1, 2 = –1; l 3, 4 = 1.

a) Рассмотрим оператор А -1 = А -lE = А +E = А при l = - 1, т. е. ядро оператора А -1 . Для этого решим систему четырех линейных однородных уравнений с матрицей А -1 . Из третьего и четвертого уравнений системы видно, что . Тогда можно легко установить, что . Вектор f 1 (1, 1, 0, 0) - единственный собственный вектор оператора А , соответствующий собственному значению l = -1 и образует базис ядра оператора А –1 . Далее ищем базис образа оператора А –1:

.

Отметив, что для векторов f 2 , f 3 , f 4 существует соотношение: f 3 + f 4 – f 2 = (0, 0, 0, 1), находим базис образа оператора А –1:

{j 1 (1, 1, 0, 0), j 2 (0, –1, 1, 1), j 3 (0, 0, 0, 1).

Отметив, что векторы f 1 и совпадают, делаем вывод о том, что этот вектор образует базис пересечения образа и ядра оператора А -1 .

Кратность корня λ = -1 равна двум, а собственный вектор, соответствующий этому собственному значению, только один. Поэтому, полагаем g 1 равным вектору , а еще один вектор жорданового базиса ищем, как прообраз первого слоя для . Решаем неоднородную систему линейных уравнений и находим второй вектор g 2 (1, 3/4, 0, 0) жорданового базиса, соответствующего собственному значению l = -1 кратности два. При этом, что характерно, у вектора нет прообраза второго слоя, ибо система с расширенной матрицей

решений не имеет. Это и не случайно, потому что собственному значению l= -1 кратности 2 должно соответствует два вектора жорданового базиса оператора А :

g 1 (1, 1, 0, 0); g 2 (1, 3/4, 0, 0).

При этом отметим, что:

б) Теперь рассмотрим собственное значение l = 1 и, соответственно, оператор А 1 =А +Е :

.

Найдем ядро этого оператора, т.е. собственные векторы оператора А при λ = 1.

.

Вектор f 1 (1, 1, 1, 1) образует базис ядра оператора А 1 и является единственным собственным вектором оператора А , отвечающим собственному значению l = 1 .

Ищем базис образа М (А 1) оператора А 1 .

.

Отмечая, что f 1 = f 2 + f 3 + f 4 , заключаем: базисом пересечения ядра и образа оператора A 1 является вектор f 1 .

Так как собственный вектор только один, а собственное значение имеет кратность 2, требуется найти еще один вектор жорданового базиса. Поэтому полагаем g 3 равным вектору y 1 (1, 1, 1, 1), а еще один вектор жорданового базиса ищем как прообраз первого слоя для y 1 (1, 1, 1, 1). Для этого решаем неоднородную систему линейных уравнений A 1 g 4 = j 1 и находим вектор g 4 (0, 1/2, 0, 1/2) жорданового базиса, соответствующего собственному значению l = 1 кратности два. При этом у вектора y 1 (1, 1, 1, 1) нет прообраза второго слоя, ибо система A 1 y = g 4 с расширенной матрицей решений не имеет. И вновь это не случайно, потому что собственному значению l= 1 кратности 2 должно соответствовать два вектора жорданового базиса, а они уже найдены:

g 3 (1, 1, 1, 1); g 4 (0, 1/2, 0, 1/2).

При этом отметим, что: Ag 3 = g 1 , Ag 4 = g 3 + g 4 . Для оператора А найден жорданов базис: . При этом А G = . ▲

3° . ; det(A - lE ) = 0 l 1, 2 = 1; l 3, 4 = 2.

Δ a) Рассмотрим оператор А 1: А 1 -E = . Ищем собственные векторы оператора А при l = 1, т.е. ядро оператора А 1 .

. Векторы {f 1 ,f 2 } образуют базис N (A 1).

Так как векторы f 1 , f 2 , f 3 , f 4 – линейно независимы, то , а векторы дополняющие базис до базиса – векторы .

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Доказательство: Т.к. приводимость матрицы к диагональному виду равносильна приводимости к такому жорданову виду, все жордановы клетки которого имеют порядок 1. Все элементарные делители матрицы A должны быть многочленами первой степени. Т.к. все инвариантные множители матрицы A - лE являются делителями многочлена e n (л) , то последние условие равносильно тому, что все элементарные делители e n (л) имеют степень 1, что и требовалось доказать.

1.6 Минимальный многочлен

Рассмотрим квадратную матрицу А порядка n с элементами из поля P . Если

f (л) = б 0 л k + б 1 л k -1 + … + б k -1 л + б k

Произвольный многочлен из кольца P[л], то матрица

f (A) = б 0 A k + б 1 A k-1 + … + б k-1 A + б k E

будет называться значением многочлена f (л) при л = A; обратим внимание на то, что свободный член многочлена f (л) умножается при этом на нулевую степень матрицы A, т.е. на единичную матрицу E.

Дадим определение матричного корня.

Если многочлен f (л) аннулируется матрицей A, т. е. f (A) = 0, то матрицу A будем называть матричным корнем или, там, где это не может вызвать недоразумений, просто корнем многочлена f (л) .

Матрица A является также корнем и для таких многочленов, старшие коэффициенты которых равны единице - возьмем любой ненулевой многочлен, аннулируемый матрицей A, и разделим этот многочлен на его старший коэффициент.

Определение: Многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом 1, аннулируемый матрицей A, называется минимальным многочленом матрицы A и обозначается м A .

Теорема: Каждая матрица A имеет только один минимальный многочлен .

Доказательство: Допустим, что минимальных многочлена было бы два, например m 1 (л) и m 2 (л), то их разность была бы ненулевым многочленом более низкой степени, корнем которого снова являлась матрица A. Разделив эту разность на ее старший коэффициент, получили бы многочлен со старшим коэффициентом 1, корнем которого была бы матрица A и который имел бы более низкую степень, чем минимальные многочлены m 1 (л) и m 2 (л), что противоречит определению минимальных многочленов.

Теорема: Всякий многочлен f (л), корнем которого является матрица A, делится без остатка на минимальный многочлен m (л) этой матрицы.

Доказательство: Пусть f (л) не делится на m (л). Обозначим через q (л) частное, через r (л) остаток от деления f (л) на m (л), будем иметь

f (л) = m (л) q (л) + r (л).

Подставив сюда л = A и пользуясь тем, что

m (л) = f (л) = 0,

r (л) = 0.

Но степень остатка r (л) меньше степени делителя m (л). Поэтому r (л) является ненулевым многочленом, корнем которого является матрица A и степень которого меньше степени минимального многочлена m (л), что противоречиво. Утверждение доказано.

Известно, что подобные матрицы будут иметь тот же характеристический многочлен. Этим свойством обладает и минимальный многочлен: подобные матрицы имеют одинаковые минимальные многочлены. Но равенство минимальных многочленов не является достаточным условием подобия матриц.

Для доказательства следующей теоремы дадим определение присоединенной матрицы.

Пусть A ij (1)- алгебраические дополнения матрицы A. Мы определяем присоединенную матрицу к А, в записи A v , как транспонированную к матрице алгебраических дополнений для A. Таким образом

A v = .

Теорема: Последний элементарный делитель e n (л) характеристической матрицы А - л E есть минимальный многочлен м A .

Доказательство: Напишем равенство

(-1) n | A - лE | = d n -1 (л) e n (л).

Отсюда следует, что d n -1 (л) и e n (л) не будут нулевыми. Обозначим B(л) присоединенную матрицу к матрице A - лE.

B(л) = (A - лE) (1)

Справедливо равенство

(A - лE) B(л) = | A - лE | E. (2)

С другой стороны, т.к. элементами матрицы B(л) служат взятые со знаками плюс или минус миноры (n - 1)-го порядка матрицы A - лE и только они, а многочлены d n -1 (л) есть общий наибольший делитель всех этих миноров, то

B(л) = d n -1 (л) C(л), (3)

причем наибольший общий делитель элементов матрицы C(л) равен 1.

Из равенств (3), (2) и (1) вытекает равенство

(A - лE) d n -1 (л) C(л) = (-1) n d n -1 (л) e n (л) E.

Сокращаем это равенство на ненулевой множитель d n -1 (л). Заметим, если ц(л) - ненулевой многочлен,

D(л) = (d ij (л))

Ненулевая л-матрица, причем пусть d st (л) ? 0, то в матрице ц(л) D(л) на месте (s, t) будет стоять отличный от нуля элемент ц(л) d st (л). Т.о.

(A - лE) C(л) = (-1) n e n (л) E,

e n (л) E = (лE - A) [(-1) n+1 C(л)]. (4)

из этого равенства видно, что остаток от левого деления л-матрицы, стоящей слева, на двучлен лE - A равен нулю. Из леммы, доказанной в параграфе 3, вытекает, что этот остаток равен матрице

e n (A) E = e n (A).

В самом деле, матрица e n (л) E может быть записана как матричный л-многочлен, коэффициенты которого являются скалярными матрицами, т.е. перестановочны с матрицей A.

т.е. многочлен e n (л) действительно аннулируется матрицей A. А это означает, что многочлен e n (л) нацело делится на минимальный многочлен m (л) матрицы A,

e (л) = m (л) q (л). (5)

ясно, что старший коэффициент многочлена q (-1) n +1 (л) равен единице.

Т.к. m (A) = 0, то снова, ввиду той же леммы из параграфа 3, остаток от левого деления л-матрицы m (л)E на двучлен лE - A равен нулю, т.е.

m (л)E = (лE - A) Q(л). (6)

Равенства (5), (4) и (6) приводятся к равенству

(лE - A) [(-1) n+1 C(л)] = (лE - A) .

Обе части этого равенства можно сократить на общий множитель (лE - A), т.к. старший коэффициент E этого матричного л-многочлена является невырожденной матрицей. Т.о.,

C(л) = (-1) n +1 Q(л) q(л).

Наибольший общий делитель элементов матрицы C(л) равен 1. Поэтому многочлен q(л) должен иметь нулевую степень, а так как его старший коэффициент равен 1, то

Т.о., ввиду (5),

e n (л) = m (л),

что и требовалось доказать.

Глава 2. Решение задач

Пример 1. Привести к каноническому виду л-матрицу

Решение: Данную матрицу A(л) приведем к каноническому виду, выполнив элементарные преобразования.

1) Сложим вторую строку с первой, после этого умножим первую строку на (-л) и на (-л 2 -1) и сложим со второй и третьей строками соответственно. Сложим первый и второй столбец, умножив первый столбец на (-л 2 -л). В получившиеся матрице поменяем местами второй и третий столбцы. Умножим на (-л) вторую строку и сложим ее с третьей. Далее сложим второй столбец, умноженный на (-л 2 -л+1). Умножим вторую и третью строки на (-1).

A(л) = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = A(л).

Полученная матрица является канонической, т.к. она имеет диагональный вид и каждый следующий многочлен, стоящий на главной диагонали, делится на предыдущий.

Ответ:

Пример 2. Доказать эквивалентность л-матриц

Решение: Приведем матрицу A(л) к каноническому виду.

1) В матрице A(л) поменяем местами первый и третий столбцы:

2) Из первой строки вычтем вторую:

3) Умножим первую строку на (л+1) и вычтем из нее третью:

4) Умножим первый столбец на () и на () и вычтем второй и третий столбцы соответственно:

5) Поменяем местами вторую и третью строки:

6) Умножим третью строку на () и вычтем из нее вторую строку:

7) Умножим третью строку на (-1):

A(л) ~ = B(л).

Ответ : A(л) ~ B(л).

Заметим, что матрица B(л) является канонической.

Пример 3. Докажите, что данная матрица A(л) является унимодулярной. Привести к диагональному виду.

Определитель унимодулярной матрицы не равен нулю и не зависит от л. Вычислим?A:

Умножим первый столбец на (- л 2) и сложим со вторым, получим:

A(л) ~~ ~ ~ ~ ~ ~

Ответ: матрица A(л) унимодулярная.

Пример 4. По инвариантным множителям найти жорданову матрицу

a) матрица A:

b) матрица B:

c) матрица C:

Решение: Для матрицы A составляем таблицу элементарных делителей. В первый столбец таблицы записываем элементарные делители последнего инвариантного множителя: .

Составляем по таблице элементарных делителей жорданову матрицу. Для каждого элементарного делителя записываем соответствующую жорданову клетку: J 1 (1), J 1 (2), J 1 (3), J 1 (4). Располагая эти клетка на главной диагонали матрицы, получаем искомую жорданову матрицу:

Для матрицы B составляем таблицу элементарные делителей. В первый столбец таблицы записываем единственный элементарный делитель последнего инвариантного множителя, во второй столбец - предпоследнего инвариантного множителя:

Инвариантные множители

Для матрицы C составляем таблицу элементарных делителей. В первый столбец таблицы записываем единственный элементарный делитель последнего инвариантного множителя, второй столбец - предпоследнего множителя, в третий столбец -

Составляем по таблице элементарных делителей жорданову матрицу. Для каждого элементарного делителя записываем соответствующую жорданову клетку J 2 (1), J 1 (1), J 1 (1). Располагая эти клетки на главной диагонали матрицы, получаем искомую жорданову матрицу:

Ответ:

Пример 5. Привести к нормальной жордановой форме следующие матрицы:

Решение: 1. Для матрицы A найдем нормальную жорданову матрицу, приведя ее к каноническому виду. Составляем характеристическую матрицу

матрица жорданова форма

2. Приведем к каноническому виду матрицу A - лE.

1) Поменяем местами первый и второй столбцы

2) Умножим первую строку на (л - 4) и на (-1) и сложим со второй и третьей строкой соответственно

3) Сложим третий и на второй столбцы

4) Сложим первый столбец со вторым, умножив первый столбец на (л).

5) Умножим на (-1) вторую и третью строки, потом поменяем местами второй и третий столбцы и вторую и третью строки

Инвариантные множители матрицы

e 1 (л) = 1, e 2 (л) = л - 2

e 3 (л) = = = .

3. По полученным инвариантным множителям e 1 (л) и e 2 (л) составим таблицу элементарных делителей, причем элементарные делители равные единице в таблицу не заносятся

Для каждого элементарного делителя записываем соответствующую жорданову клетку J 1 (2), J 2 (2). Располагая эти клетки на главной диагонали матрицы, получаем искомую жорданову матрицу:

J A = .

Матрицу B приведем к нормальной жордановой форме через миноры.

1. Составляем характеристическую матрицу

2. Найдем инвариантные множители. У миноров первого порядка наибольший делитель

Найдем все миноры второго порядка:

Наибольший общий делитель этих многочленов

Минор третьего порядка совпадает с определителем матрицы

det (B - лE) = =.

Возьмем наибольший общий делитель со старшим коэффициентом равным 1.

Найдем инвариантные множители:

e 1 (л) = d 1 (л) =1, e 2 (л) = =

3. По полученным инвариантным множителям e 2 (л) и e 3 (л) составим таблицу элементарных делителей.

4. Для каждого элементарного делителя записываем соответствующую жорданову клетку J 1 (-1), J 2 (-1). Располагая эти клетки на главной диагонали матрицы, получаем искомую жорданову матрицу:

J B = .

Ответ:

J A =

J B = .

Пример 6. Показать, что характеристический многочлен матрицы

является для нее аннулирующим.

Решение. Находим определитель характеристического многочлена матрицы A.

Подставляя вместо переменной л матрицу A, получаем

A = 3 A 2 - A 3 = 3= 3= 0,

что и требовалась показать.

Пример 7. Найти минимальный многочлен матрицы

Решение. Первый способ. 1. Составляем характеристическую матрицу

2. приводим эту л-матрицу к нормальному диагональному виду. Поменяем местами первую и третью строки. Выберем в качестве ведущего элемента единицу, оказавшуюся в левом верхнем углу матрицы. При помощи ведущего элемента делаем равными нулю остальные элементы первой строки и первого столбца:

Берем в качестве ведущего элемент (-л) и делаем равными нулю все остальные элементы второй строки и второго столбца. Затем умножаем вторую и третью строки на (-1), чтобы старшие коэффициенты диагональных элементов оказались равными единице. Получим нормальный диагональный вид:

Минимальный многочлен матрицы

м A (л) =e 3 (л) =.

Второй способ. 1. Составляем характеристическую матрицу;

2. находим характеристический многочлен

A (л) = 3л 2 - л 3 .

3. находим миноры второго порядка характеристической матрицы (A - лE). Ограничимся минорами, расположенными в первых двух строках:

M 12 12 = =, M 13 12 = = -л, M 23 12 = = л.

Выражение для остальных миноров совпадает с найденными. Наибольший общий делитель многочленов, (-л), л равен л, т. е.

4. По формуле

получаем:

Для проверки вычислим

м A (A) =A 2 -3A =

Заметим, что минимальный многочлен м A (A) является аннулирующим, т. е.

Ответ : .

Пример 8. Население страны. Разобьем население страны на четыре возрастные группы:

(0,20], (20,40], (40,60], (60,) лет. (1)

X(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 4 (t))

Количество населения в этих группах в момент времени t. нас интересует численность населения в этих подгруппах (т.е. возрастная структура населения страны) через 20, 40, 60,...лет (т.е. X(20), X(40), X(60)...). Будем это вычислять по координатам вектора X(0) и по величине рождаемости и смертности, которое возьмем по возможности ближе к жизни.

Составим уравнение будущего.

За 20 лет почти все люди из 1-й группы перейдут во вторую. Часть погибнет от болезней, несчастных случаев и т.п. Пусть за 20 лет во вторую группу перейдет 0,95 людей из 1-й группы. Это коэффициент 1-й группы на 2-ю:

x 2 (t + 20) = 0,95 x 1 (t). (2)

Кроме того, небольшая часть молодежи из этой группы успеют до 20 лет вступить в брак и завести детишек, что дает вклад 1-й группы в 1-ю группу (спустя 20 лет). Пусть этот вклад составляет 0,01 от численности населения 1-й группы. А еще в 1-ю группу дадут вклад (в виде детей) 2-я и 3-я группы. Пусть величина вклада от 2-й группы = 0,5 от ее численности (все состоят в браке и в каждой семье - один ребенок), а от 3-й группы вклад = 0,02 от ее численности. Тогда

X 1 (t + 20) = 0,01 x 1 (t) + 0,5 x 2 (t) + 0,02 x 3 (t). (3)

Выживаемость во второй группе положим равной 0,8, т.е.

X 3 (t + 20) = 0,8 x 2 (t). (4)

А в 3 и 4 группах, соответственно, 0,7 и 0,4:

X 4 (t + 20) = 0,7 x 3 (t) + 0,5 x 4 (t). (5)

Заданные нами соотношения (2, 3, 4, 5) перепишем в матричной форме:

X(t + 20) = AX(t). (6)

Где матрица A коэффициентов влияния такова:

Она составляется по принципу:

номер входа = номер столбца,

номер выхода = номер строки.

Так коэффициент влияния 1-й группы на 2-ю должны написать в 1-й столбец, 2-ю строку.

Согласно формуле (6), если подействовать оператором A на состав X(t) населения в момент t, то получится состав населения X(t + 20) через 20 лет. Поэтому оператор A называют оператором сдвига (в этой задаче - сдвига 20 лет).

Из формулы (6) следует, что

X(t + 40) = AX(t + 20) = AAX(t) = A 2 X(t)

X(t + 60) = AX(t + 40) = AA 2 X(t) = A 3 X(t)

X(t + 20n) = A n X(t) (8)

Итак, мы хотим вычислить население через 20, 40, 60,…(при условии, что ни рождаемость, ни смертность не меняются), - т.е. вычислить AX(0), A 2 X(0), A 3 X(0),… Произведение

A n X(0) = AAAA…AX(0)

Можно вычислять в разной последовательности. Можно так:

A(A…(AX(0))). (9)

А можно так: сначала A n потом

В этой задаче, если нужно вычислить будущее население лишь для нескольких моментов времени (например, на 200 лет вперед), то для уменьшения количества операций воспользуемся формулой (9). Но если мы захотим подобрать числовые элементы матрицы A (например, найти величину рождаемости, при которой население страны стабилизируется на одном уровне), то способ (10) удобнее. Итак, пусть количество населения сегодня таково:

X 1 (0) = 30, x 2 (0) = 40, x 3 (0) = 30, x 4 (0) = 25 (миллионов человек).

Теперь проведем вычисления для n = 2, 3…10 по (9) в какой-либо из математических компьютерных программ (например, Математика, MathCAD, Maple V). Использую какую-нибудь компьютерную программу, получаем результаты, которые заносим в таблицу.

население

Видим, что за 200 лет страна с населением, как в современной России, сжалось до населения Ленинградской области. Обратим внимание, как стареет населения (доля пожилых людей становится все больше). Это - обязательный спутник убывания населения. В реальности все гораздо хуже: уменьшение населения при прежней территории затрудняет знакомства и заключение браков молодежи, уменьшает богатство страны и как следствие ухудшается медицинское обслуживание и т.д. и т.п. и пр. Иными словами, уменьшение населения привело бы еще и к уменьшению чисел в таблице A.

Для сравнения по-другому зададим рождаемость во 2-й группе, - на уровне 4 детей на семью.

Тогда те же вычисления дают нам:

население

За 140 лет нынешняя Россия догнала бы по населению миллиардный Китай и наполовину состояла бы из юной молодежи.

Естественно, если бы нас интересовал лишь такой простейший прогноз, мы могли бы ограничиться простым вычисление по (9) и теория Жордановой формы не была бы нужна. Но нас интересует возможность управлять процессом, не допуская гибели страны, ни катастрофического увеличения населения. Поэтому нас интересуют три вопроса:

· можно ли выбором величины рождаемости (ее увеличить проще, чем уменьшить смертность) стабилизировать население;

· какой должна быть рождаемость для того, чтобы население страны стабилизировалось;

· как установится структура населения (соотношение между молодежью и стариками) при стабильной его численности (это соотношение определяет, скольких пенсионеров должен кормить каждый работник, и, следовательно, оно вместе с производительностью труда определяет уровень жизни).

Численный эксперимент, то есть вычисление таких таблиц при различных величинах рождаемости по (9), возможно, позволит подобрать величину рождаемости. Но результат мы получим с неизвестной нам погрешностью из-за невозможности проводить вычисления бесконечно долго и из-за трудностей в понимании поведения численности отдельных групп. Действительно: значения x 3 (t) и x 4 (t) в последней таблице колеблются. Если немного изменить параметр рождаемости, то колебания несколько изменятся.

Согласно (8) у нас население страны через 20n лет равно

X(20n)=A n X(0), (12)

Где матрица A задана в (7). Нам известно, что

A n = S J n S -1 (13)

Где S - матрица перехода к новому базису, состоящая из постоянных чисел, а J - Жорданова нормальная форма матрицы A.

Для вычисления J нам нужны собственные числа матрицы A. Используем для вычислений компьютер. Maple V для нашей матрицы A дает четыре собственных числа:

л 1 = 0.7095891332

л 2 = - 0.667497875

л 4 = - 0.0320912582

Так как количество различных собственных чисел = 4, это значит, что все Жордановы клетки в матрице J имеют порядок 1, т.е. матрица J чисто диагональна и ее n-ая степень имеет вид:

Таким образом, получаем для (12):

X(20n) = л 1 n V + л 2 n V + л 3 n V + л 4 n V, (14)

где буквами V обозначены некоторые числовые (постоянные) векторы-столбцы.

Структура формулы (14) показывает поведение X при растущем n . Все слагаемые убывают из-за того, что собственные числа по модулю меньше 1, т.е. X стремится к 0 - вектору. Три последних слагаемых убывают быстрее первого. При достаточно больших n первое слагаемое будет главным слагаемым в этой сумме. Второе слагаемое убывает быстрее первого, но из-за отрицательности второго собственного числа оно либо прибавляется к первому (при четных n ), либо вычитается из него (при нечетных n ), то есть создает затухающие колебания в поведении X. Эти колебания соответствуют действительности, ведь цикл этих колебаний определен произвольно выбранным нами интервалом (20 лет). При разбиении населения на большее число возрастных групп отрицательные собственные числа порождали бы колебания с более коротким периодом.

Если будет большая рождаемость, то формула для X(20n) по-прежнему имеет вид (14), но в ней будут стоять другие по величине собственные числа. При большой рождаемости первое собственное число оказывается больше единицы, и поэтому наблюдаем экспоненциальный рост населения.

Из выше написанного можно сделать вывод: если мы хотим стабилизировать население страны, нам необходимо так подобрать рождаемость, чтобы первое собственное число равно 1, а все остальные собственные числа были бы по модулю меньше, чем 1. Это обеспечит стремление к 0 последних трех слагаемых в формуле (14), и тогда V 1 окажется искомым стабильным состоянием населения.

Дальше будем подбирать рождаемость. Вернемся к матрице A, заданной в (7). Рождаемость детей во 2 группе (первая строка второй столбец) заменим буквой g. Как известно, собственное число матрицы A должно быть корнем ее характеристического уравнения. Поскольку нам нужно, чтобы л = 1, вычисляем определитель det(A - E).

Получаем

det = 0.584880 - 0.57006 g

и из равенства det = 0 находим g = 1,026. Подставляем это значение рождаемости в матрицу A (1-ая строка, 2-й столбец) и опять вычисляем население страны на интервале 200 лет по (9).

население

Подобрали рождаемость на 200 лет так, что обеспечили стабильность населения страны. Оно колеблется около 130 миллионов. Колебания численности отдельных групп при этом довольно значительны. Причина этих колебаний в том, что, у матрицы A теперь имеются два собственных числа, по модулю близких к единице, и одно из них отрицательно. То есть мы имеем результат примерно такого вида

X(20n) = V 1 + (-1) n V 2 + л 3 n V 3 + л 4 n V 4 , (15)

Последние два слагаемых затухают с ростом n из-за того, что модули третьего и четвертого собственных числе меньше, чем 1. А второе слагаемое обеспечивает колебания X от значения V 1 - V 2 к значению V 1 + V 2 и обратно.

При заданном нами приближенном значении g матрица A не имеет собственного числа, в точности равного 1. Поэтому численность в группах медленно меняется на фоне этих больших колебаний. Можно, конечно, пытаться подобрать рождаемость, чтобы добиться собственного числа, еще точнее равного 1, и затем выяснять, насколько второе собственное число близко к (-1). Но, разумеется, уточнения собственных чисел в этой задаче не имеют смысла, так как и начальные значения и сама матрица A заданы с большой погрешностью (а точное измерение рождаемости и смертности в принципе не дает нам основы для точных вычислений, так как зафиксировать их невозможно). Уточнение этой модели должно идти по пути учета других зависимостей в обществе. Но с точки зрения чисто теоретической мы решили вопрос о существовании предела (14): если одно из собственных чисел равно 1, а остальные по модулю меньше, то предел существует .

Заключение

Впервые матрицы упоминались еще в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер (1704 - 1752) начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала свое существование в середине 19 века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Карлу Вейерштрассу (1815 - 1897), Жордану, Фробениусу (1849 - 1917). Термин матрица ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.

Матрицы встречаются повсеместно. Например, таблица умножения - это произведение матриц. В физике или других прикладных науках матрицы - являются средством записи данных и их преобразования. В программировании - в написание программ. Они еще называются массивами. Широко применение и в технике. Например, любая картинка на экране - это двумерная матрица, элементами которой являются цвета точек. В психологии понимание термина сходно с данным термином в математике, но в замен математических объектов подразумеваются некие «психологические объекты» - например, тесты. Кроме того, матрицы имеют широкое применение в экономике, биологии, химии и даже в маркетинге. Также существует абстрактная модель - теория бракосочетаний в первобытном обществе, где с помощью матриц были показаны разрешенные варианты браков для представителей и даже потомков того или иного племени.

В математике матрицы широко применяются для компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Матричный аппарат позволяет свести решение СЛАУ к операциям над матрицам.

Жорданова нормальная форма матрицы применяется при подсчете населения, которое будет в стране, в регионе, в мире через определенный промежуток времени. Такая матрица дает представление изменения численности населения, зависимости от конкретных условий: рождаемость и смертность, не допуская ни гибели страны, ни катастрофического увеличение населения.

Теория матриц не входит в обязательную школьную программу изучения математики. В школах, в которых есть классы с углубленным изучением математики, поверхностно изучают основные понятия теории матриц. Более подробно матрицы рассматриваются при изучении высшей математики.

Работу можно рекомендовать студентам для расширения знаний в области теории матриц, старшеклассникам и учителям математики для ознакомления с общими понятиями теории матриц в рамках расширения их математического кругозора.

Поставленные задачи в работе решены, цель достигнута.

Список использованной литературы

1. Квашко, Л. П. Основы линейной алгебры: Учеб. пособие / Л. П. Квашко. - Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2012. - 78 с. : ил.

2. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч.1 / Д. Т. Письменный. - 6-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2006. - 288с.: ил.

3. Мишина, А. П. Высшая алгебра. / И. В. Проскуряков. - М., Физматлит, 1962. - 300 с.

4. Романников, А.Н. Линейная алгебра: Учеб. пособие // Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. - М., 2003. - 124 с.

5. Окунев, Л. Я. Высшая алгебра. / Л. Я. Окунев. - М.: Просвещение, 1966. - 335 с.

6. Фаддеев, Д.К. Лекции по алгебре: Учеб. пособие./ Д.К. Фаддеев.-4-е изд., стер..- СПб.: Лань, 2005.- 416 с. - (Учебники для вузов. Специальная литература. Лучшие классические учебники. Математика).

7. Бутузов, В.Ф.Линейная алгебра в вопросах и задачах: учеб. пособие для студ. вузов/ В.Ф. Бутузов.-3-е изд., испр.- СПб.: Лань, 2008.- 256 с. - (Учебники для вузов. Специальная литература).

8. Воеводин, В.В.Линейная алгебра: Учеб. пособие/ В.В. Воеводин.-4-е изд., стер..- СПб.: Лань, 2008.- 416с. -(Учебники для вузов. Специальная литература)

9. Курош, А. Г. Курс высшей алгебры: Учеб. пособие./ А.Г. Курош. 17-е изд., - СПб.: Издательство «Лань», 2008. - 432 с.: ил. - (Учебники для вузов. Специальная литература).

10. Гельфанд, И.М. Лекции по линейной алгебре./ И.М. Гельфанд. - 5-е изд., испр. - М.: Добросвет, Московский центр непрерывного математического образования, 1998. - 320 с.

11. Мальцев, А.И. Основы линейной алгебры: Учеб. пособие./А.И. Мальцев. 5-е изд., стер. - СПб.: Издательство «Лань», 2009. - 480 с.: ил. - (Учебники для вузов. Специальная литература).

12. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. Учеб. пособие для вузов./ Ф.Р. Гантмахер, - М. Наука. 1967. - 576 с.

13. Лекции по алгебре. Семестр 2. Выпуск II. Жорданова нормальная форма матрицы: Учебно-методическое пособие / С.Н. Тронин. -- Казань: Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2012. -- 78 с.

14. Ван-дер-Варден Б.Л.Алгебра/ Б.Л. Ван-дер-Варден; Пер. с нем. А.А. Бельского.-3-е изд., стер.- СПб.: Лань, 2004.- 624 с.

15. Алферова, З.В. Алгебра и теория чисел. Учебно-методический комплекс / З.В. Алферова, Э.Л. Балюкевич, А.Н. Романников. - М. : Евразийский открытый институт, 2011. - 279 с.

16. Ланкастер, П., Теория матриц./ П. Ланкастер - М.: «Наука» 1973, 280 с.

17. Шрейер О. Теория матриц./ Е. Шпернер. - Л. : ОНТИ, 1936. - 156с.

18. Шнеперман, Л.Б.Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учеб. пособие./ Л.Б. Шнеперман.-3-е изд., стер..- СПб.: Лань, 2008.- 224 с. -(Учебники для вузов. Специальная литература).

19. Проскуряков, И. В. Сборник задач по линейной алгебре. Учеб. пособие / И.В. Проскуряков. - 13-е изд., стер. -- СПб.: Издательство «Лань», 2010. -- 480 с. -- (Учебники для вузов. Специальная литература).

20. Сборник задач по алгебре: задачник / под ред. А.И. Кострикина. - М. : МЦНМО, 2009. - 404 с.

21. Сушкова М. В. Математика в ВУЗе/ Интернет-журнал СПбГПУ. - 2002. - № 2. - URL: https://www.spbstu.ru/publications/m_v/N_002/Sushkova/par_02.html.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

    Основные операции над матрицами и их свойства. Произведение матриц или перемножение матриц. Блочные матрицы. Понятие определителя. Панель инструментов Матрицы. Транспонирование. Умножение. Определитель квадратной матрицы. Модуль вектора.

    реферат , добавлен 06.04.2003

    Применение матриц и их виды (равные, квадратные, диагональные, единичные, нулевые, вектор-строка, вектор-столбец). Примеры действий над матрицами (умножение на число, сложение, вычитание, умножение и транспонирование матриц) и свойства полученных матриц.

    презентация , добавлен 21.09.2013

    Форма записи и методы решения системы алгебраических уравнений с n неизвестными. Умножение и нормы векторов и матриц. Свойства определителей матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Примеры использования числовых характеристик матриц.

    реферат , добавлен 12.08.2009

    Понятие, типы и алгебра матриц. Определители квадратной матрицы и их свойства, теоремы Лапласа и аннулирования. Понятие обратной матрицы и ее единственность, алгоритм построения и свойства. Определение единичной матрицы только для квадратных матриц.

    реферат , добавлен 12.06.2010

    Интерпретация ортогональной и унитарной матрицы. Основные детерминанты матриц. Определение комплексных квадратных невырожденных и вырожденных матриц. Методы нахождения определителя. Метод конденсации Доджсона. Кососимметричная полилинейная функция строк.

    курсовая работа , добавлен 04.06.2015

    Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.

    контрольная работа , добавлен 28.09.2014

    Примеры алгебраических групп матриц, классические матричные группы: общая, специальная, симплектическая и ортогональная. Компоненты алгебраической группы. Ранг матрицы, возвращение к уравнениям, совместимость. Линейные отображения, действия с матрицами.

    курсовая работа , добавлен 22.09.2009

    Обратимые матрицы над полем Zp. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 3. Общая формула подсчета обратимых матриц над полем Zp. Обратимые матрицы над Zn.

    дипломная работа , добавлен 08.08.2007

    Методика расчета скалярного произведения заданных векторов. Расчет определителей и рангов матриц, нахождение обратных матриц. Разрешение уравнений по методу Крамера, обратной матрицы, а также встроенной функции lsolve. Анализ полученных результатов.

    лабораторная работа , добавлен 13.10.2014

    Базовые действия над матрицами. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью элементарных преобразований. Понятия обратной и транспонированной матриц. Решение матричных уравнений различных видов: АХ=В, ХА=В, АХВ=С, АХ+ХВ=С, АХ=ХА.

1. Пусть дан некоторый многочлен с коэффициентами из поля

Рассмотрим квадратную матрицу -го порядка

. (36)

Нетрудно проверить, что многочлен является характеристическим многочленом матрицы :

.

С другой стороны, минор элемента в характеристическом определителе равен . Поэтому и , .

Таким образом, матрица имеет единственный отличный от единицы инвариантный многочлен, равный .

Матрицу мы будем называть сопровождающей матрицей для многочлена .

Пусть дана матрица с инвариантными многочленами

Здесь все многочлены имеют степень выше пулевой, причем каждый из этих многочленов, начиная со второго, является делителем предыдущего. Сопровождающие матрицы для этих многочленов обозначим через .

Тогда квазидиагональная матрица -го порядка

(38)

имеет своими инвариантными многочленами многочлены (37) (см. теорему 4 на стр. 145). Поскольку матрицы и имеют одни и те же инвариантные многочлены, они подобны, т. е. существует всегда такая неособенная матрица , что

Матрица называется первой естественной нормальной формой для матрицы . Эта нормальная форма характеризуется: 1) квазидиагональным видом (38), 2) специальной структурой диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: в ряду характеристических многочленов диагональных клеток каждый многочлен, начиная со второго, является делителем предыдущего.

2. Обозначим теперь через

(39)

элементарные делители матрицы в числовом поле . Соответствующие сопровождающие матрицы обозначим через

.

Поскольку – единственный элементарный делитель матрицы , то согласно теореме 5 квазидиагональная матрица

(40)

имеет своими элементарными делителями многочлены (39).

Матрицы и имеют одни и те же элементарные делители в поле . Поэтому эти матрицы подобны, т. е. существует всегда такая неособенная матрица , что

Матрица называется второй естественной нормальной формой для матрицы . Эта нормальная форма характеризуется: 1) квазидиагональным видом (40), 2) специальной структурой диагональных клеток (36) и 3) дополнительным условием: характеристический многочлен каждой диагональной клетки представляет собой степень неприводимого в поле многочлена.

Замечание. Элементарные делители матрицы в отличие от инвариантных многочленов существенно связаны с данным числовым полем . Если мы вместо исходного числового поля возьмем другое числовое поле (которому также принадлежат элементы данной матрицы ), то элементарные делители могут измениться. Вместе с элементарными делителями изменится и вторая естественная нормальная форма матрицы.

Так, например, пусть дана матрица с вещественными элементами. Характеристический многочлен этой матрицы будет иметь вещественные коэффициенты. В то же время этот многочлен может иметь комплексные корни. Если – поле вещественных чисел, то среди элементарных делителей могут быть и степени неприводимых квадратных трехчленов с вещественными коэффициентами. Если – поле комплексных чисел, то каждый элементарный делитель имеет вид .

3. Допустим теперь, что числовое поле содержит не только элементы матрицы , но и все характеристические числа этой матрицы. Тогда элементарные делители матрицы имеют вид

. (41)

Рассмотрим один из таких элементарных делителей

и поставим ему в соответствие следующую матрицу порядка :

. (42)

Нетрудно проверить, что эта матрица имеет только один элементарный делитель . Матрицу (42) мы будем называть жордановой клеткой, соответствующей элементарному делителю .

Жордановы клетки, соответствующие элементарным делителям (41), обозначим через

Тогда квазидиагональная матрица

имеет своими элементарными делителями степени (41).

Матрицу можно еще записать так:

Поскольку матрицы и имеют одни и те же элементарные делители, они подобны между собой, т. е. существует такая неособенная матрица , что

Матрица называется жордановой нормальной формой или просто жордановой формой матрицы . Жорданова форма характеризуется квазидиагональным видом и специальной структурой (42) диагональных клеток.-го порядка

Заметим еще, что если , то каждая из матриц

,

имеет только один элементарный делитель: . Поэтому для неособенной матрицы , имеющей элементарные делители (41), наряду с (III) и (IV) имеют место представления

Известно, что матрица линейного оператора в базисе из собственных векторов приводится к диагональному виду. Однако над множеством действительных чисел линейный оператор может не иметь собственных значений, а значит и собственных векторов. Над множеством комплексных чисел любой линейный оператор имеет собственные векторы, но их может быть недостаточно для базиса. Есть другая каноническая форма матрицы линейного оператора, к которой можно привести любую матрицу над множеством комплексных чисел.

Теорема 10.1. Всякая матрица с комплексными элементами приводится во множестве комплексных чисел C к жордановой 14 нормальной форме.

Дадим необходимые определения:

Определение 10.1. Квадратная матрица порядка n , элементами которой служат многочлены произвольной степени от переменной λ с коэффициентами из множества комплексных чисел C, называется λ-матрицей (или многочленной матрицей , или полиномиальной матрицей ).

Примером многочленной матрицы служит характеристическая матрица A – λE произвольной квадратной матрицы A . На главной диагонали стоят многочлены первой степени, вне ее – многочлены нулевой степени или нули. Обозначим такую матрицу как A (λ).

Пример 10.1. Пусть дана матрица A = , тогда A – λE = =
= A (λ).

Определение 10.2. Элементарными преобразованиями λ-матрицы называют следующие преобразования:

    умножение любой строки (столбца) матрицы A (λ) на любое число, не равное нулю;

    прибавление к любой i -той строке (i -ому столбцу) матрицы A (λ) любой другой j -ой строки (j -ого столбца), умноженной на произвольный многочлен ().

Свойства λ-матрицы

1) С помощью этих преобразований в матрице A (λ) можно переставить любые две строки или любые два столбца.

2) С помощью этих преобразований в диагональной матрице A (λ) можно менять местами диагональные элементы.

Пример 10.2. 1)

.

2)


.

Определение 10.3. Матрицы A (λ) и B (λ) называются эквивалентными , если от A (λ) можно перейти к B (λ) при помощи конечного числа элементарных преобразований.

Задача заключается в том, чтобы по возможности упростить матрицу A (λ).

Определение 10.4. Канонической λ-матрицей называется λ-матрица, обладающая следующими свойствами:

    матрица A (λ) диагональная;

    всякий многочлен е i (), i = 1, 2, …, n нацело делится на е i –1 ();

    старший коэффициент каждого многочлена е i (), i = 1, 2, …, n равен 1, или этот многочлен равен нулю.

A (λ) =
.

Замечание . Если среди многочленов е i () встречаются нули, то они занимают на главной диагонали последние места (по свойству 2), если есть многочлены нулевой степени, то они равны 1 и занимают на главной диагонали первые места.

Нулевая и единичная матрицы являются каноническими λ-матрицами.

Теорема 10.2. Всякая λ-матрица эквивалентна некоторой канонической λ-матрице (то есть она приводится элементарными преобразованиями к каноническому виду)

Пример 10.3. Привести матрицу A (λ) =
к каноническому виду.

Решение . Ход преобразований аналогичен преобразованиям в методе Гаусса, при этом левый верхний элемент матрицы при приведении ее к каноническому виду отличен от нуля и имеет наименьшую степень.

A (λ) =
 (меняем местами первый и второй столбцы) 
 (к второму столбцу прибавляем первый столбец, умноженный на ( – 2)) 
 (ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на ( – 2)) 
 (меняем местами второй и третий столбцы) 
 (к третьему столбцу прибавляем второй столбец умноженный на ( – 2) 3) 
 (к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на ( – 2)) 
.