Применение подобия к доказательству теорем и решению задач (Обобщение теоремы Фалеса. Теоремы Чевы и Менелая.)

1. Введение;

2. Обобщение теоремы Фалеса;

(a) Формулировка;

(b) Доказательство;

3. Теорема о пропорциональных отрезках;

4. Теорема Чевы;

(a) Формулировка;

(b) Доказательство;

5. Теорема Менелая;

(a) Формулировка;

(b) Доказательство;

6. Задачи и их решения;

7. Источники информации;

Введение.

Мой реферат посвящен применению подобия к доказательству теорем и решению задач, а именно глубоко изучить обобщение теоремы Фалеса, теоремы Чевы и Менелая, которые не изучаются в школьной программе. Теме подобия, которая проходится в восьмом классе, отведено всего лишь 19 часов, что недостаточно для изучения этой темы более углубленно. В тему подобия входят: определение подобных треугольников, признаки подобия, отношение площадей подобных треугольников, средняя линия треугольника, пропорциональные отрезки и т.д.

Напомню определение подобных треугольников :

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Оказывается, что у подобных треугольников не только отношение сходственных сторон, но и отношение любых других сходственных отрезков равно коэффициенту подобия. Например, отношение сходственных биссектрис AD и A 1 D 1 , т.е. биссектрис равных углов A и A 1 в подобных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 , равно коэффициенту подобия k, отношение сходственных медиан AM и A 1 M 1 равно k и точно так же отношение сходственных высот AH и A 1 H 1 равно k.

С помощью данного материала, который изучается в школьной программе, мы можем решать довольно узкий круг задач. При создании своего реферата я собираюсь углубить свои знания по данной теме, что позволит решать более широкий круг задач на пропорциональные отрезки. В этом и заключается актуальность моего реферата.

Одна из теорем – это обобщение теоремы Фалеса. Сама теорема Фалеса проходится в восьмом классе. Но главными теоремами являются теоремы Чевы и Менелая.

Обобщение теоремы Фалеса.

Формулировка:

Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки.

Доказать:

=…= .

Доказательство:

Докажем, например, что

Рассмотрим два случая:

1 случай

Прямые a и b параллельны. Тогда четырехугольники А1А2В2В1 и А2А3В3В2 – параллелограммы. Поэтому А1А2=В1В2 и А2А3=В2В3, откуда следует, что

2 случай

Прямые a и b не параллельны. Через точку А1 проведем прямую с, параллельную прямой b. Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С2 и С3. Треугольники А1А2С2 и А1А3С3подобны по двум углам (угол А1 – общий, углы А1А2С2 и А1А3С3 равны как соответственные при параллельных прямых А2В2 и А3В3 секущей А2А3), поэтому

Отсюда по свойству пропорций получаем:

(1)

С другой стороны, по доказанному в первом случае имеем А1С2=В1В2, С2С3=В2В3. Заменяя в пропорции (1) А1С2 на В1В2 и С2С3 на В2В3, приходим к равенству

(2)

что и требовалось доказать.

Теорема о пропорциональных отрезках в треугольнике.

На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки К и М так, что АК:КС=m:n, BM:MC=p:q. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О.

Доказать:

Доказательство:

Через точку М проведем прямую, параллельную ВК. Она пересекает сторону АС в точке D, и согласно обобщению теоремы Фалеса

Пусть АК=mx. Тогда в соответствии с условием задачи КС=nx, а так как KD:DC=p:q, то

Снова воспользуемся обобщением теоремы Фалеса:

Аналогично доказывается, что

.

Теорема Чевы.

Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Формулировка:

Если на сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки С 1 , А 1 и В 1 , то отрезки АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

(3)

Доказать:

(3)

2.отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке

Доказательство:

1. Пусть отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке О. Докажем, что выполнено равенство (3). По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем:

и .

Левые части этих равенств одинаковы, значит, равны и правые части. Приравнивая их, получаем

.

Разделив обе части на правую часть, приходим к равенству (3).

2. Докажем обратное утверждение. Пусть точки С1, А1 и В1 взяты на сторонах АВ, ВС и СА так, что выполнено равенство (3). Докажем, что отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке. Обозначим буквой О точку пересечения отрезков АА1 и ВВ1 и проведем прямую СО. Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С2. Так как отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте

. (4)

Итак, имеют место равенства (3) и (4).

Сопоставляя их, приходим к равенству

= , которое показывает, что точки C1 и C2 делят сторону AB в одном и том же отношении. Следовательно, точки C1 и C2 совпадают, и, значит, отрезки АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке O. Теорема доказана.

мУНИЦИПАЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «ИНТЕЛЛЕКТУАЛЫ xxI ВЕКА»

Теорема Менелая и теорема Чевы и их применения

Попов Богдан Валерьевич

ученик 10 Б класса

МАОУ «Гимназия №2»

Руководитель:

Лысенко Надежда Анатольевна

Учитель высшей квалификационной категории

Г. Балаково. 2012г.

Введение 3 стр

Теорема Менелая 4 стр

Теорема Чевы 6 стр

Следствия теоремы Чевы 8 стр

Применение теорем Чевы и Менелая для решения 10 стр

геометрических задач

Заключение 14 стр

Список используемой литературы 15 стр

Введение

В геометрических задачах, в отличие от задач алгебраических, далеко не всегда удается указать рецепт решения, алгоритм, приводящий к успеху. Здесь, помимо формального знания многочисленных соотношений между элементами геометрических фигур, необходимо иметь интуицию и опыт. Важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности фигур, делать выводы из замеченных особенностей, предвидеть возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи. «Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения»,- писал Д. Пойа.

Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии справедливо считается геометрия треугольника. Это не случайно. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг решения геометрических задач. Значение их состоит прежде всего в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов. Таковыми являются теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов и т.д. С понятием треугольника связаны имена многих выдающихся ученых: теорема Пифагора, формула Герона, прямая Эйлера, теорема Карно и многие другие.

Но в геометрии треугольника много и таких теорем, авторы которых остались в истории науки только «благодаря треугольникам». Речь идет о двух таких теоремах – теореме Чевы и теореме Менелая. Обе они имеют интересные и многочисленные приложения, позволяют легко и изящно решать целый класс задач.

Основная цель работы:

Анализ литературы по данной теме;

Теорема Менелая

Теорема Менелая красива и проста. В школьном курсе эта теорема затерялась где-то среди задач. Между тем она входит в золотой фонд древнегреческой математики. Название она получила в честь своего автора – древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (примерно 100 г. н.э.). Во многих случаях эта теорема помогает очень легко и изящно решать достаточно сложные геометрические задачи.

Теорема: Пусть на сторонах AB,BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC) ABC взяты соответственно точки , и , не совпадающие с вершинами ABC. Точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Доказательство:

Сначала докажем необходимость . Пусть точки лежат на прямой l и = , = , = - пер пендикуляры, опущенные соответственно из точек А, В, С на прямую l (см. рисунок 1). Из подобия треугольников и получаем:

Аналогично, рассматривая другие пары подобных треугольников, полу-

Перемножая полученные пропорции, приходим к требуемому равенству.

Достаточность . Пусть точки A1, В1, С1 (рис. 2), лежащие на прямых ВС, AC, AB, таковы, что

Докажем, что точки , , лежат на одной прямой.

Проведем прямую и докажем, что точка С ей принадлежит.

Предположим, что это не так. Сначала заметим, что прямая не па раллельна прямой AB. Пусть Т - точка пересечения прямых и AB (см. рисунок 2). Тогда

Теперь докажем, что точка совпадает с точкой С. Данное доказательство называют леммой к теореме Менелая.

Лемма . Пусть А и В - две различные точки. Тогда для любого k > 0, k≠1 на прямой AB существуют две и только две точки M и N такие, что , причем одна из этих точек принадлежит отрезку AB, а другая лежит вне отрезка AB.

Доказательство . Введем на прямой AB координаты, приняв точ¬ку А за начало координат (см. рисунок 3). Пусть для определенности k > 1. Координата искомой точки U, лежащей внутри отрезка AB, удовлетворяет уравнению: , откуда.

Теорема Чевы

Мы знаем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Поставим теперь общий вопрос. Рассмотрим ABC и отметим на его сторонах BC, AC и AB (или их продолжениях) соответственно точки (см рисунок 1)

При каком расположении этих точек прямые AA , BB и CC пересекутся в одной точке?

Ответ на этот вопрос нашел в 1678 году итальянский инженер-гидравлик Джованни Чева (1698г.-1734г.).

Теорема : : Пусть точки лежат соответственно на сторонах ВС, АС и ВА треугольника АВС (рис. 2). Отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство :

Доказательство . Пусть отрезки , и пе ресекаются в точке М внутри треугольника АВС. Обозначим через площади треугольни ков АМС, СМВ и АМВ, а через- расстояния соответственно от точек А и В до прямой МС.

Аналогично, .

Перемножив полученные пропорции, убеждаемся в справедливости теоремы.

Теорема Чевы в форме синусов .

В каждом из рассмотренных случаев – и в случае внутренней точки O и в случае внешней точки O- условие . . =1 можно записать также в виде: . . =1

Доказательство : можно воспользоваться равенствами:

Перемножая (1), (2), (3), получаем . . =1

Пространственное обобщение теоремы Чевы.

Теорема . Пусть М-точка внутри тетраэдра ABCD, - точки пересечения плоскостей CMD, AMD, АМВ и СМВ с ребрами (см. рисунок 3) АВ, ВС, CD и DA соответственно. Тогда

Обратно, если для точек, лежащих на соответствующих р ебрах, выполнено соотношение, то плоскости , , и проходят через одну точку .

Доказательство необходимости легко получить, если заметить, что точки (см. рисунок 3) лежат в одной плоскости (это плоскость, проходящая через прямые и , пересекающиеся в точке М), и применить теорему Менелая.

Обратная теорема доказывается так же, как и обратная теорема Менелая в пространстве: нужно провести плоскость через точки A1, B1, С1 и доказать с помощью леммы, что эта плоскость пересечет ребро DA в точке D1.

Следствия теорем ы Чевы

Следствие1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство . Проведем доказательство, опираясь на теоремы Чевы и Менелая. Итак, пусть AA, BB,CC – медианы ABC (рис.20) . Так как AC=CB, BA=AC, AB=BC, то =1, = 1, = 1. Тогда . . , т.е. для точек A,B,C, лежащих на сторонах треугольника ABC, выполняется условие . . =1 ; по теореме Чевы AA, BB,CC пересекутся в одной точке O (случай внутренней точки).

Рассмотрим BBC, точки A,O,A лежат на одной прямой, пересекающей стороны BB,BC и продолжение стороны BC (в дальнейшем будем называть ее секущей). A BC, O BB, ABC.

По теореме Менелая, =.

Следствие 2 . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Справедливость этого утверждения можно доказать, используя свойство биссектрисы:

так как AA – биссектриса, то = ; так как BB- биссектриса, то ; так как СС – биссектриса, то . Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств, получим . . = . . = 1, то есть для точек A, B, C выполняется равенство Чевы, значит, AA, BB,CC пересекаются в одной точке.

Следствие3 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).

Доказательство : Пусть AA, BB,CC – высоты ABC .

1) Если ABC остроугольный (рис. 22), то точки A, B, C лежат на его сторонах. ACC -прямоугольный, AC = AC cosA;

BCC- прямоугольный, BC = BC cosB; BAA – прямоугольный, BA= AB cosB;

AAC- прямоугольный, AC=AC cosC; CB=CB cosC; AB= AB cosA.

Тогда..== 1. А так как условие () выполняется, то

2) Пусть ABC – тупоугольный (рис.23). Это случай внешней точки O. Из ACC AC=ACcosA; изСBC CB=CB cos (180-B)= -CB cosB (угол B тупой) ;

из ABA BA=AB cos(180-B)=-AB cosB; аналогично,

AB=AB cosA; BC= BC cosC; AC= AC cosC; CB=CBcosC.

Так как условие Чевы выполняется, то AA, BB, CC пересекаются в одной точке или параллельны (глава1). Но если бы они были параллельны, то и перпендикулярные к ним прямые, то есть стороны треугольника ABC, были бы параллельны друг другу, но это не так. Значит, прямые AA,BB,CC пересекаются в одной точке.

3) Если ABC прямоугольный, С=90(рис.3) , то очевидно, что высоты BC,AC,CC пересекаются в точке С. Следствие 3 доказано.

Следствие4 . Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим серединный MNK(вершины-середины сторон ABC)(рис.25). Тогда NK,NM,MK – средние линии треугольника ABC и по свойству средней линии NK||AC, NM||BC, KM||AB. Поэтому серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC содержат высоты MNK. А в MNK по следствию 3 высоты пересекаются в одной точке, следовательно, серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке.

Таким образом, теорема Чевы дает возможность весьма просто доказать известные утверждения о четырех замечательных точках треугольника.

Рассмотрим еще одно следствие из теоремы Чевы.

Следствие 5 . Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергонна (рис.26).

Доказательство. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем AB=AC=x, CB=BA=y, AC=BC=z.

, по теореме Чевы AA, BB, CC пересекаются в одной точке.

Применение теорем Чевы и Менелая для решения геометрических задач.

Теоремы Чевы и Менелая в школьном курсе математики изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики. Между тем, эти теоремы позволяют легко и изящно решить целый класс задач Задачи по планиметрии, предлагаемые на вступительных экзаменах в вузы, в заочные математические школы можно решить с помощью этих теорем.

Задача 1 . В треугольнике ABC , описанном около окружности, AB =13, BC = 12, AC = 9, A и C – точки касания, лежащие соответственно на сторонах BC и AB . Q –точка пересечения отрезков AA и BH ,где BH - высота. Найдите отношение BQ : QH .

Решение :

Треугольник ABC – разносторонний, значит, точка H не совпадает с точкой касания. Обозначим точку касания, лежащую на стороне AC, буквой B.

1. Пусть CB = x, тогда, используя свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки, введем обозначения (рис.32):

BA=x, AC=BC=12-x, AC=AB=13-x. Тогда (13 – x) + (12 – x) = 9, x=8. Значит, CB =BA= 8, AC=AB= 5, CA=CB=4.

2. По формуле Герона

S=, BH =, BH = .

3. Из треугольника ABH (прямоугольного) по теореме Пифагора

4. В треугольнике CBH прямая AA пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

1, ..=1, ..=1, = .

Ответ : 162:53.

Задача 2 . Дан параллелограмм ABCD . Точка M делит отрезок AD в отношении p , а точка N делит отрезок DC в отношении q . Прямые BM и AN пересекаются в точке S . Вычислите отношение AS : SN .

Решение : если MD=b , то AM=pb ; если NC = a , то DN = aq .

Пусть B – точка пересечения прямых BM и CD.

MBD ~ BBC, тогда;

; 1+ p = ; x = .

Прямая BB пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника AND. По теореме Менелая

Задача 3 . Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами , и . Причем на продолжении ребра взята точка так, что . Через точки , и середину ребра проведена плоскость. В каком отношении она делит объем призмы?

Решение:

1) Построение сечения:

а) , соединяемMB, .

б) , соединяем, .

в) , соединяем.

г) четырехугольник – искомое сечение.

2) Пусть, – объемы нижней части, верхней части и всей призмы, – высота призмы, – сторона основания.

MLA ~ ;

Рассмотрим ABC , – секущая, .

По теореме Менелая.

– части приходится на. .

Ответ : 13:23

Заключение

Теоремы Чевы и Менелая просты в понимании. Но трудности, связанные с освоением этих теорем, оправданы их применением при решении задач.

Решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, например векторным, которое требует дополнительных действий.

Я считаю, что такие теоремы должны быть включены в основной курс геометрии 7-х-9-х классов, так как решение задач с помощью этих теорем развивает мышление и логику учеников.

Теоремы Чевы и Менелая помогают быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности, в том числе и задачи уровня С единого государственного экзамена.

Список используемой литературы.

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И.

Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы / Л.С. Атанасян,

В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990. – 336с.

2. Качалкина Е. Применение теорем Чевы и Менелая/Математика. Издательский дом «Первое сентября», 2004, – №13. – с.23-26

3. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. – Библиотека

«Математическое просвещение» – М.: Издательство Московского центра

непрерывного математического образования, 2002. – 32с.

А.В. Шевкин

ФМШ № 2007

Теоремы Чевы и Менелая на ЕГЭ

Подробная статья "Вокруг теорем Чевы и Менелая" опубликована на нашем сайте в разделе СТАТЬИ. Она адресована учителям математики и учащимся старших классов, мотивированным на хорошее знание математики. К ней можно вернуться, если появится желание подробнее разобраться в вопросе. В этой заметке мы приведем краткие сведения из упомянутой статьи и разберём решения задач из сборника для подготовки к ЕГЭ-2016.

Теорема Чевы

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AB , BC и AC отмечены точки C 1 , A 1 и B 1 соответственно (рис. 1).

а) Если отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке, то

б) Если верно равенство (1), то отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке.

На рисунке 1 изображен случай, когда отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке внутри треугольника. Это так называемый случай внутренней точки. Теорема Чевы справедлива и в случае внешней точки, когда одна из точек А 1 , B 1 или С 1 принадлежит стороне треугольника, а две другие - продолжениям сторон треугольника. В этом случае точка пересечения отрезков AА 1 , BB 1 и CС 1 лежит вне треугольника (рис. 2).

Как запомнить равенство Чевы?

Обратим внимание на прием запоминания равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC , начиная с точки A . От точки A идем к точке B , встречаем точку С 1 , записываем дробь
. Далее от точки В идем к точке С , встречаем точку А 1 , записываем дробь
. Наконец, от точки С идем к точке А , встречаем точку В 1 , записываем дробь
. В случае внешней точки порядок записи дробей сохраняется, хотя две «точки деления» отрезка оказываются вне своих отрезков. В таких случаях говорят, что точка делит отрезок внешним образом.

Отметим, что любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой точкой прямой, содержащей противоположную сторону треугольника, называют чевианой .

Рассмотрим несколько способов доказательства утверждения а) теоремы Чевы для случая внутренней точки. Чтобы доказать теорему Чевы, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а). Доказательства теоремы Чевы для случая внешней точки проводятся аналогично.

Доказательство утверждения а) теоремы Чевы с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

Пусть три чевианы A A 1 , B B 1 и C C 1 пересекаются в точке Z внутри треугольника ABC .

Идея доказательства заключается в том, чтобы отношения отрезков из равенства (1) заменить отношениями отрезков, лежащих на одной прямой.

Через точку В проведем прямую, параллельную чевиане СС 1 . Прямая АА 1 пересекает построенную прямую в точке М , а прямая, проходящая через точку C и параллельная АА 1 , - в точке Т . Через точки А и С проведем прямые, параллельные чевиане ВВ 1 . Они пересекут прямую ВМ в точках N и R соответственно (рис. 3).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

,
и
.

Тогда справедливы равенства

.

В параллелограммах ZСTM и ZСRВ отрезки TM , СZ и ВR равны как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно,
и верно равенство

.

При доказательстве утверждения б) используем следующее утверждение. Рис. 3

Лемма 1. Если точки С 1 и С 2 делят отрезок AB внутренним (или внешним) образом в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки, то эти точки совпадают.

Докажем лемму для случая, когда точки С 1 и С 2 делят отрезок AB внутренним образом в одном и том же отношении:
.

Доказательство. Из равенства
следуют равенства
и
. Последнее из них выполняется лишь при условии, что С 1 B и С 2 B равны, т. е. при условии, что точки С 1 и С 2 совпадают.

Доказательство леммы для случая, когда точки С 1 и С 2 делят отрезок AB внешним образом проводится аналогично.

Доказательство утверждения б) теоремы Чевы

Пусть теперь верно равенство (1). Докажем, что отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке.

Пусть чевианы АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке Z , проведем через эту точку отрезок CС 2 (С 2 лежит на отрезке AB ). Тогда на основании утверждения а) получаем верное равенство

. (2)

Из сравнения равенств (1) и (2) заключаем, что
, т. е. точки С 1 и С 2 делят отрезок AB в одном и том же отношении, считая от одной и той же точки. Из леммы 1 следует, что точки С 1 и С 2 совпадают. Это означает, что отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать.

Можно доказать, что процедура записи равенства (1) не зависит, от того, от какой точки и в каком направлении совершается обход вершин треугольника.

Задание 1. Найдите длину отрезка А N на рисунке 4, на котором указаны длины других отрезков.

Ответ. 8.

Задание 2. Чевианы AM , BN , CK пересекаются в одной точке внутри треугольника ABC . Найдите отношение
, если
,
. Рис. 4

Ответ.
.

Приведем доказательство теоремы Чевы из статьи . Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения отрезков из равенства (1) отношениями отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть прямые A A 1 , B B 1 , C C 1 пересекаются в точке O внутри треугольника АВС (рис. 5). Через вершину С треугольника АВС проведем прямую, параллельную AB , и ее точки пересечения с прямыми A A 1 , B B 1 обозначим соответственно A 2 , B 2 .

Из подобия двух пар треугольников CB 2 B 1 и ABB 1 , BAA 1 и CA 2 A 1 , Рис. 5

имеем равенства

,
. (3)

Из подобия треугольников BС 1 O и B 2 CO , A С 1 O и A 2 CO имеем равенства
, из которых следует, что

. (4)

Перемножив равенства (3) и (4), получим равенство (1).

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Рассмотрим доказательства утверждения а) теоремы Чевы с помощью площадей для внутренней точки. Оно изложено в книге А.Г. Мякишева и опирается на утверждения, которые мы сформулируем в виде заданий 3 и 4 .

Задание 3. Отношение площадей двух треугольников с общей вершиной и основаниями, лежащими на одной прямой, равно отношению длин этих оснований. Докажите это утверждение.

Задание 4. Докажите, что если
, то
и
. Рис. 6

Пусть отрезки AА 1 , BB 1 и CС 1 пересекаются в точке Z (рис. 6), тогда

,
. (5)

Из равенств (5) и второго утверждения задания 4 следует, что
или
. Аналогично получим, что
и
. Перемножив три последние равенства, получим:

,

т. е. верно равенство (1), что и требовалось доказать.

Утверждение а) теоремы Чевы доказано.

Задание 15. Пусть чевианы пересекаются в одной точке внутри треугольника и разбивают его на 6 треугольников, площади которых равны S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 (рис. 7). Докажите, что . Рис. 7

Задание 6. Найдите площадь S треугольника CNZ (площади других треугольников указаны на рисунке 8).

Ответ. 15.

Задание 7. Найдите площадь S треугольника CNO , если площадь треугольника А NO равна 10 и
,
(рис. 9).

Ответ. 30.

Задание 8. Найдите площадь S треугольника CNO , если площадь треугольника А BC равна 88 и ,
(рис. 9).

Решение. Так как , то обозначим
,
. Так как , то обозначим
,
. Из теоремы Чевы следует, что
, и тогда
. Если
, то
(рис. 10). У нас три неизвестные величины (x , y и S ), поэтому для нахождения S составим три уравнения.

Так как
, то
= 88. Так как
, то
, откуда
. Так как
, то
.

Итак,
, откуда
. Рис. 10

Задание 9 . В треугольнике ABC точки K и L принадлежат соответственно сторонам AB и B C .
,
. P AL и CK . Площадь треугольника PBC равна 1. Найдите площадь треугольника ABC .

Ответ. 1,75.

Теорема Менелая

Пусть дан треугольник ABC и на его сторонах AC и CВ отмечены точки B 1 и A 1 соответственно, а на продолжении стороны AB отмечена точка C 1 (рис. 11).

а) Если точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой, то

. (6)

б) Если верно равенство (7), то точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Рис. 11

Как запомнить равенство Менелая?

Прием запоминания равенства (6) тот же, что и для равенства (1). Вершины треугольника в каждом отношении и сами отношения записываются в направлении обхода вершин треугольника ABC - от вершины к вершине, проходя через точки деления (внутренние или внешние).

Задание 10. Докажите, что при записи равенства (6) от любой вершины треугольника в любом направлении получается один и тот же результат.

Чтобы доказать теорему Менелая, надо доказать утверждение а) любым из предложенных ниже способов, а также доказать утверждение б). Доказательство утверждения б) приведено после первого способа доказательства утверждения а).

Доказательство утверждения а) с помощью теоремы о пропорциональных отрезках

I способ. а) Идея доказательства заключается в замене отношений длин отрезков в равенстве (6) отношениями длин отрезков, лежащих на одной прямой.

Пусть точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Через точку C проведем прямую l , параллельную прямой А 1 B 1 , она пересекает прямую АB в точке M (рис. 12).

Р
ис. 12

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:
и
.

Тогда верны равенства
.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая

Пусть теперь верно равенство (6), докажем, что точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Пусть прямые АB и А 1 B 1 пересекаются в точке С 2 (рис. 13).

Так как точки А 1 B 1 и С 2 лежат на одной прямой, то по утверждению а) теоремы Менелая

. (7)

Из сравнения равенств (6) и (7) имеем
, откуда следует, что верны равенства

,
,
.

Последнее равенство верно лишь при условии
, т. е. если точки С 1 и С 2 совпадают.

Утверждение б) теоремы Менелая доказано. Рис. 13

Доказательство утверждения а) с помощью подобия треугольников

Идея доказательства заключается в том, чтобы заменить отношения длин отрезков из равенства (6) отношениями длин отрезков, лежащих на параллельных прямых.

Пусть точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Из точек A , B и C проведем перпендикуляры АА 0 , B B 0 и СС 0 к этой прямой (рис. 14).

Р
ис. 14

Из подобия трех пар треугольников AA 0 B 1 и CC 0 B 1 , CC 0 A 1 и BB 0 A 1 , C 1 B 0 B и C 1 A 0 A (по двум углам) имеем верные равенства

,
,
,

перемножив их, получим:

.

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Доказательство утверждения а) с помощью площадей

Идея доказательства заключается в замене отношения длин отрезков из равенства (7) отношениями площадей треугольников.

Пусть точки А 1 , B 1 и С 1 лежат на одной прямой. Соединим точки C и C 1 . Обозначим площади треугольников S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 (рис. 15).

Тогда справедливы равенства

,
,
. (8)

Перемножив равенства (8), получим:

Утверждение а) теоремы Менелая доказано.

Р
ис. 15

Подобно тому, как теорема Чевы остается справедливой и в том случае, если точка пересечения чевиан находится вне треугольника, теорема Менелая остается справедливой и в том случае, если секущая пересекает только продолжения сторон треугольника. В этом случае можно говорить о пересечении сторон треугольника во внешних точках.

Доказательство утверждения а) для случая внешних точек

Пусть секущая пересекает стороны треугольника ABC во внешних точках, т. е. пересекает продолжения сторон AB , BC и AC в точках C 1 , A 1 и B 1 соответственно и эти точки лежат на одной прямой (рис. 16).

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

и .

Тогда верны равенства

Утверждение а) теоремы Менелая доказано. Рис. 16

Заметим, что приведенное доказательство совпадает с доказательством теоремы Менелая для случая, когда секущая пересекает две стороны треугольника во внутренних точках и одну во внешней.

Доказательство утверждения б) теоремы Менелая для случая внешних точек аналогично доказательству, приведенному выше.

Задание 11. В треугольнике АВС точки А 1 , В 1 лежат соответственно на сторонах ВС и A С . P - точка пересечения отрезков АА 1 и ВВ 1 .
,
. Найдите отношение
.

Решение. Обозначим
,
,
,
(рис. 17). По теореме Менелая для треугольника BC В 1 и секущей PA 1 запишем верное равенство:

,

откуда следует, что

. Рис. 17

Ответ. .

Задание 12 (МГУ, заочные подготовительные курсы). В треугольнике АВС , площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К , делящая эту сторону в отношении
, а на стороне АС - точка L , делящая АС в отношении
. Точка P пересечения прямых СК и В L удалена от прямой АВ на расстояние 1,5. Найдите длину стороны АВ.

Решение. Из точек Р и С опустим перпендикуляры PR и СМ на прямую АВ . Обозначим
,
,
,
(рис. 18). По теореме Менелая для треугольника AKC и секущей PL запишем верное равенство:
, откуда получим, что
,
. Рис. 18

Из подобия треугольников К MC и К RP (по двум углам) получим, что
, откуда следует, что
.

Теперь, зная длину высоты, проведенной к стороне AB треугольника ABС , и площадь этого треугольника, вычислим длину стороны:
.

Ответ. 4.

Задание 13. Три окружности с центрами А , В , С , радиусы которых относятся как
, касаются друг друга внешним образом в точках X , Y , Z как показано на рисунке 19. Отрезки AX и BY пересекаются в точке O . В каком отношении, считая от точки B , отрезок CZ делит отрезок BY ?

Решение. Обозначим
,
,
(рис. 19). Так как
, то по утверждению б) теоремы Чевы отрезки А X , BY и С Z пересекаются в одной точке - точке O . Тогда отрезок CZ делит отрезок BY в отношении
. Найдем это отношение. Рис. 19

По теореме Менелая для треугольника BCY и секущей OX имеем:
, откуда следует, что
.

Ответ. .

Задание 14 (ЕГЭ-2016).

Точки В 1 и С АС и АВ треугольника ABC , причём АВ 1:B 1 С =
= АС 1:С 1 B . Прямые ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

AB 1 OC 1 к площади треугольника ABC , если известно, что АВ 1:B 1 С = 1:4.

Решение. а) Пусть прямая AO пересекает сторону BC в точке A 1 (рис. 20). По теореме Чевы имеем:

. (9)

Так как АВ 1:B 1 С = АС 1:С 1 B , то из равенства (9) следует, что
, то есть CA 1 = А 1 B , что и требовалось доказать. Рис. 20

б) Пусть площадь треугольника AB 1 O равна S . Так как АВ 1:B 1 С CB 1 O равна 4S , а площадь треугольника AOC равна 5S . Тогда площадь треугольника AOB тоже равна 5S , так как треугольники AOB и AOC имеют общее основание AO , а их вершины B и C равноудалены от прямой AO . Причём площадь треугольника AOC 1 равна S , так как АС 1:С 1 B = 1:4. Тогда площадь треугольника ABB 1 равна 6S . Так как АВ 1:B 1 С = 1:4, то площадь треугольника CB 1 O равна 24S , а площадь треугольника ABC равна 30S . Теперь найдём отношение площади четырёхугольника AB 1 OC 1 (2S ) к площади треугольника ABC (30S ), оно равно 1:15.

Ответ. 1:15.

Задание 15 (ЕГЭ-2016).

Точки В 1 и С 1 лежат на сторонах соответственно АС и АВ треугольника ABC , причём АВ 1:B 1 С =
= АС 1:С 1 B . Прямые ВВ 1 и СС 1 пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону ВС.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника AB 1 OC 1 к площади треугольника ABC , если известно, что АВ 1:B 1 С = 1:3.

Ответ. 1:10.

Задание 1 6 (ЕГЭ-2016). На отрезке BD взята точка С . Биссектриса BL ABC с основанием ВС BLD с основанием BD .

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cos
ABC DL , то есть треугольник BD взята точка С . Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD .

а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.

б) Известно, что cosABC = . В каком отношении прямая DL делит сторону АВ ?

Ответ. 4:21.

Литература

1. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Замечательные точки и линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 17.

2. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. (Серия «Библиотека "Математическое просвещение"»). М.: МЦНМО, 2002. - 32 с.

3. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М.: Вита-Пресс, 2005. - 208 с.

4. Эрдниев П., Манцаев Н. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1990, № 3, С. 56–59.

5. Шарыгин И.Ф. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1976, № 11, С. 22–30.

6. Вавилов В.В. Медианы и средние линии треугольника. М.: Математика, 2006, № 1.

7. Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. - 334 с.

8. Математика. 50 вариантов типовых тестовых заданий / И.В. Ященко, М.А. Волкевич, И.Р. Высоцкий и др.; под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство "Экзамен", 2016. - 247 с.