Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №24»
Проблемно – реферативная работа
по алгебре и началам анализа
Графики дробно – рациональной функции
Ученицы 11 класса А Товчегречко Натальи Сергеевны руководитель работы Паршева Валентина Васильевна учитель математики, учитель высшей квалификационной категории
Северодвинск
Содержание 3Введение 4Основная часть. Графики дробно-рациональных функций 6Заключение 17Литература 18Введение
Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике. Один из крупнейших математиков нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано y=x 2 , то Вы сразу видите параболу; если y=x 2 -4, Вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же y=4-x 2 , то Вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу и формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с Вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину». На уроках математики мы строим в основном простейшие графики – графики элементарных функций. Только в 11 классе с помощью производной научились строить более сложные функции. При чтении книг:- Н.А. Вирченко, И.И. Ляшко, К.И. Швецов. Справочник. Графики функций. Киев «Наукова Думка» 1979 г. В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. Москва «Просвещение» 1990 г. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра – 8 класс. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва «Просвещение», 1998 г. И.М. Гельфанд, Е.Г. Глаголева, Э.Э. Шноль. Функции и графики (основные приемы). Издательство МЦНМО, Москва 2004 г. С.М. Никольский. М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса.
я увидела, что графики сложных функций можно строить без использования производной, т.е. элементарными способами. Поэтому тему своего реферата я выбрала: «Графики дробно – рациональной функции».
Основная часть. Графики дробно-рациональных функций
1. Дробно – линейная функция и ее график
С функцией вида y=k/x, где k≠0, ее свойствами и графиком мы уже познакомились. Обратим внимание на одну особенность этой функции. Функция y=k/x на множестве положительных чисел обладает тем свойством, что при неограниченном возрастании значений аргумента (когда x стремится к плюс бесконечности) значения функций, оставаясь положительными, стремятся к нулю. При убывании положительных значений аргумента (когда x стремится к нулю) значения функции неограниченно возрастают (y стремится к плюс бесконечности). Аналогичная картина наблюдается и на множестве отрицательных чисел. На графике (рис. 1) это свойство выражается в том, что точки гиперболы по мере их удаления в бесконечность (вправо или влево, вверх или вниз) от начала координат неограниченно приближаются к прямой: к оси x, когда │x│ стремится к плюс бесконечности, или к оси y, когда │x│ стремится к нулю. Такую прямую называют асимптотами кривой.Рис. 1
Гипербола y=k/x имеет две асимптоты: ось x и ось y. Понятие асимптоты играет важную роль при построении графиков многих функций. Используя известные нам преобразования графиков функций, мы можем гиперболу y=k/x перемещать в координатной плоскости вправо или влево, вверх или вниз. В результате будем получать новые графики функций. Пример 1. Пусть y=6/x. Выполним сдвиг этой гиперболы вправо на 1,5 единицы, а затем полученный график сдвинем на 3,5 единицы вверх. При этом преобразовании сдвинутся и асимптоты гиперболы y=6/x: ось x перейдет в прямую y=3,5, ось y – в прямую y=1,5 (рис. 2). Функцию, график которой мы построили, можно задать формулой
.
Представим выражение в правой части этой формулы в виде дроби:
Значит, на рисунке 2 изображен график функции, заданной формулой
.
У этой дроби числитель и знаменатель - линейные двучлены относительно х. Такие функции называют дробно-линейными функциями.
, где х – переменная, а, b , c , d – заданные числа, причем с≠0 и
bc - ad ≠0, называют дробно-линейной функцией. Заметим, что требование в определении о том, что с≠0 и
bc-ad≠0, существенно. При с=0 и d≠0 или при bc-ad=0 мы получаем линейную функцию. Действительно, если с=0 и d≠0, то
.
Если же bc-ad=0, с≠0, выразив из этого равенства b через a, c и d и подставив его в формулу, получим:
Итак, в первом случае мы получили линейную функцию общего вида 
, во втором случае – константу 
. Покажем теперь, как строить график дробно-линейной функции, если она задана формулой вида 
Пример 2.
Построим график функции 
, т.е. представим ее в виде 
: выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель, мы получим:
Итак, 
. Мы видим, что график этой функции может быть получен из графика функции у=5/х с помощью двух последовательных сдвигов: сдвига гиперболы у=5/х вправо на 3 единицы, а затем сдвига полученной гиперболы 
вверх на 2 единицы.При этих сдвигах асимптоты гиперболы у=5/х также переместятся: ось х на 2 единицы вверх, а ось у на 3 единицы вправо. Для построения графика проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямую у=2 и прямую х=3. Так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения каждой из них составим две таблицы: одну для х<3, а другую для x>3 (т. е. первую слева от точки пересечения асимптот, а вторую справа от нее):
Любую дробь 
можно записать аналогичным образом, выделив ее целую часть. Следовательно, графики всех дробно-линейных функций являются гиперболами, различным образом сдвинутыми параллельно координатным осям и растянутыми по оси Оу.
Пример 3.
Построим график функции 
.Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветви (асимптоты), и еще несколько точек. Найдем сначала вертикальную асимптоту. Функция не определена там, где 2х+2=0, т.е. при х=-1. Стало быть, вертикальной асимптотой служит прямая х=-1. Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо посмотреть, к чему приближаются значения функций, когда аргумент возрастает (по абсолютной величине), вторые слагаемые в числителе и знаменателе дроби 
относительно малы. Поэтому
.
Стало быть, горизонтальная асимптота – прямая у=3/2. Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат. При х=0 имеем у=5/2. Функция равна нулю, когда 3х+5=0, т.е. при х=-5/3.Отметив на чертеже точки (-5/3;0) и (0;5/2) и проведя найденные горизонтальную и вертикальную асимптоты, построим график (рис.4).
Вообще, чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо разделить числитель на знаменатель, тогда y=3/2+1/(x+1), y=3/2 – горизонтальная асимптота.
2. Дробно-рациональная функция
Рассмотрим дробную рациональную функцию
,
У которой числитель и знаменатель - многочлены соответственно n-й и m-й степени. Пусть дробь - правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:
Где k 1 ... k s – корни многочлена Q (x), имеющие соответственно кратности m 1 ... m s , а трёхчлены соответствуют парам сопряжения комплексных корней Q (x) кратности m 1 ... m t дроби вида
Называют элементарными рациональными дробями соответственно первого, второго, третьего и четвёртого типа. Тут A, B, C, к – действительные числа; m и м - натуральные числа, m, м>1; трёхчлен с действительными коэффициентами x 2 +px+q имеет мнимые корни.Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей. График функции
Получаем из графика функции 1/x m (m~1, 2, …) с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на │k│ единиц масштаба вправо. График функции вида
Легко построить, если в знаменателе выделить полный квадрат, а затем осуществить соответствующее образование графика функции 1/x 2 . Построение графика функции
сводится к построению произведения графиков двух функций:
y = Bx + C и
Замечание . Построение графиков функции
где a d-b c
0
, 
,
где n - натуральное число, можно выполнять по общей схеме исследования функции и построения графика в некоторых конкретных примерах с успехом можно построить график, выполняя соответствующие преобразования графика; наилучший способ дают методы высшей математики. Пример 1. Построить график функции
.
Выделив целую часть, будем иметь
.
Дробь 
изобразим в виде суммы элементарных дробей:
.
Построим графики функций:
После сложения этих графиков получаем график заданной функции:
Рисунки 6, 7, 8 представляют примеры построения графиков функций
и 
. Пример 2.
Построение графика функции 
:
(1); 
(2); 
(3); (4)
: 
(1); 
(2); 
(3); (4)
Заключение
При выполнении реферативной работы:- уточнила свои понятия дробно-линейной и дробно-рациональной функций:Определение 1. Дробно-линейная функция – это функция вида , где х – переменная, a, b, c, и d – заданные числа, причем с≠0 и bc-ad≠0. Определение 2. Дробно-рациональная функция – это функция видаГде n Сформировала алгоритм построения графиков этих функций; Приобрела опыт построения графиков таких функций, как: Научилась работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений;- приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере;- научилась составлять проблемно – реферативную работу. Аннотация. Накануне 21-го века на нас обрушился нескончаемый поток разговоров и рассуждений на тему информационной магистрали (information highway) и наступающей эры технологии. Накануне 21-го века на нас обрушился нескончаемый поток разговоров и рассуждений на тему информационной магистрали (information highway) и наступающей эры технологии. Настоящий сборник представляет собой пятый выпуск, подготовленный коллективом Московской городской педагогической гимназии-лаборатории №1505 при поддержке……. В работе предпринята попытка масштабного сравнения различных подходов к соотношению математики и опыта, сложившихся главным образом в рамках априоризма и эмпиризма. Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения. С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье "Решение неполных квадратных уравнений". Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0
, где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D. D = b 2 – 4ас. В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ. Если дискриминант отрицательное число (D < 0),то корней нет. Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0), тогда х 1 = (-b - √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a . Например. Решить уравнение х 2
– 4х + 4= 0.
D = 4 2 – 4 · 4 = 0 x = (- (-4))/2 = 2 Ответ: 2.
Решить уравнение 2х 2
+ х + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23 Ответ: корней нет
. Решить уравнение 2х 2
+ 5х – 7 = 0
. D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81 х 1 = (-5 - √81)/(2·2)= (-5 - 9)/4= – 3,5 х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1 Ответ: – 3,5 ; 1
. Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1. По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида
ах 2
+ bx + c,
иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше). Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2
, затем с меньшим –
bx
, а затем свободный член с.
При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2. Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2
равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0
. Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а
, стоящий при х 2
. На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных Пример. Решить уравнение
3х 2
+ 6х – 6 = 0.
Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1. D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108 √D = √108 = √(36 · 3) = 6√3 х 1 = (-6 - 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3 х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3 Ответ: –1 – √3; –1 + √3
Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27 √(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3 х 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3 х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3 Ответ: –1 – √3; –1 + √3
. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12 √(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3 х 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3 х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3 Ответ: –1 – √3; –1 + √3.
Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение. сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна. Конспект урока
учителя математики
МБОУ СОШ №2 г. Ворсма
Киселевой Ларисы Алексеевны
Тема: «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»
Цель урока:
Введение понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы.
Задачи:
Образовательные:
Ввести понятие приведенного квадратного уравнения,
Вывести формулу корней приведенного квадратного уравнения,
Сформулировать и доказать теорему Виета,
Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Виета,
Научить учащихся решать приведенные квадратные уравнения, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета.
Развивающие:
развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умений сравнивать и обобщать;
Воспитательные:
воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.
Тип урока:
урок ознакомления с новым материалом.
Оборудование:
учебник алгебры под ред. Алимова и др., тетрадь, раздаточный материал, презентация к уроку.
План урока.
Этап урока
Содержание (цель)этапа
Время (мин)
Проверка домашнего задания
Проверочная работа
Разбор работы, ответы на вопросы.
Изучение нового материала
Формирование опорных знаний, формулировка правил, решение задач, анализ результатов, ответы на вопросы учащихся.
Усвоение изученного материала путем его применения при решении задач по аналогии под контролем учителя.
Подведение итогов урока
Оценка знаний отвечавших учеников. Проверка знаний и понимания формулировок правил методом фронтального опроса.
Домашнее задание
Ознакомление учащихся с содержанием задания и получение необходимых пояснений.
Разноуровневые задания для обеспечения развития учащихся.
Ход урока.
Организационный момент.
Постановка цели урока. Создание благоприятных условий для успешной деятельности. Мотивация учения.
Проверка домашнего задания.
Фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся.
Уравнение
Количество корней
Учитель: Как, не решая квадратного уравнения, определить количество его корней? (ответы учащихся)
Проверочная работа.
Ответы на вопросы.
Текст проверочной работы:
Вариант №1.
Решите уравнения:
А) Б) Один корень,
Два различных корня.
Вариант №2.
Решите уравнения:
А) Б) 2.Найдите значение параметра а, при которых уравнение Один корень,
Два различных корня.
Проверочная работа выполняется на отдельных листах, сдается учителю на проверку.
После сдачи работы решение высвечивается на экран.
Изучение нового материала.
4.1. Франсуа Виет
– французский математик 16 века. Он был адвокатом, позднее – советником французских королей Генриха III
и Генриха II
.
Однажды он сумел расшифровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом.
Франсуа Виета называют «отцом буквенной современной алгебры»
Как связаны между собой корни квадратного трёхчлена и его коэффициенты p
и q
? Ответ на этот вопрос дает теорема, которая носит имя «отца алгебры», французского математика Ф.Виета, которую мы будем сегодня изучать.
Знаменитая теорема была обнародована в 1591 году.
4.2.Сформулируем определение приведенного квадратного уравнения.
Определение. Квадратное уравнение вида Это значит, что старший коэффициент уравнения равен единице.
Пример. .
Всякое квадратное уравнение Например
, уравнение 7Х 2 – 12Х + 14 = 0 делением на 7 приводится к виду
Х 2 – 12/7Х + 2 = 0
4.3. Вывести формулы корней приведенного квадратного уравнения.
a
, b
, c
a=1
, b=p
, c=q
Решите уравнение Х 2 – 14Х – 15 =0 (Ученик решает у доски)
Вопросы:
Назовите коэффициенты p
и q
(-14, -15);
Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения;
Найдите корни данного уравнения (Х 1 = 15, Х 2 = -1)
4.4. сформулировать и доказать теорему Виета.
Если и - корни уравнения После этого учителем проводится доказательство теоремы. Затем совместно с учащимися делает вывод.
Пример. Значит числа и - числа
положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых
равно 6, а сумма равна 5. =2, =3 – корни уравнения.
4.5. Применение теоремы Виета
.
С её помощью можно:
Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его,
Зная один из корней, найти другой,
Определить знаки корней уравнения,
Подобрать корни уравнения, не решая его.
4.6. Сформулируем теорему обратную теореме Виета.
Если числа p
, q
, и таковы, что удовлетворяют соотношения , то , - корни квадратного уравнения Доказательство теоремы, обратной теореме Виета, выносится на дом для самостоятельно изучения сильным учащимся.
4.7. рассмотреть решение задачи 5 на странице учебника 125.
Закрепление изученного материала
№ 450 (1)
№ 451 (1, 3, 5) - устно
№ 452 (устно)
№ 455 (1,3)
№ 456 (1, 3)
Подведение итогов урока.
Ответьте на вопросы:
Сформулируйте теорему Виета.
Зачем нужна теорема Виета?
Сформулируйте обратную теорему теореме Виета.
Домашнее задание.
§29 (до задачи 6), № 450(2,4,6); 455(2,4); 456(2,4,6).
Дополнительные задания.
Уровень А.
Найдите сумму и произведение корней уравнения:
2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5.
Уровень В.
1.Найдите сумму и произведение корней уравнения:
2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны и .
Уровень С.
1. Разобрать доказательство теоремы, обратной теореме Виета
2. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
Схема конспекта урока
Этапы работы
Содержание этапа
Организационный момент
, включающий:
постановку цели, которая должна быть достигнута учащимися на данном этапе урока (что должно быть сделано учащимися, чтобы их дальнейшая работа на уроке была эффективной)
описание методов организации работы учащихся на начальном этапе урока, настроя учеников на учебную деятельность, предмет и тему урока (с учетом реальных особенностей класса, с которым работает педагог)
Программные требования к математической подготовке учащихся по этой теме заключается в введении понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы (из программы для общеобразовательных учреждений).
Учащиеся 8-го класса – дети подросткового возраста, который характеризуется неустойчивостью внимания. Лучший способ организовать внимание – так организовать учебную деятельность, чтобы у учеников не было ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.
На основании сказанного выше целью урока является решение следующих задач: б) развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умений сравнивать и обобщать; Для того, чтобы учащиеся восприняли урок как логически законченный, целостный, ограниченный во времени отрезок учебно-воспитательного процесса, он начинается с постановки обоснования задач и заканчивается подведением итогов и постановкой задач на следующие уроки.
Опрос учащихся по заданному на дом материалу
, включающий:
определение целей, которые учитель ставит перед учениками на данном этапе урока (какой результат должен быть достигнут учащимися);
определение целей и задач, которых учитель хочет достичь на данном этапе урока;
описание методов, способствующих решению поставленных целей и задач;
описание критериев достижения целей и задач данного этапа урока;
определение возможных действий педагога в случае, если ему или учащимся не удается достичь поставленных целей;
описание методов организации совместной деятельности учащихся с учетом особенностей класса, с которым работает педагог;
описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе опроса;
описание методов и критериев оценивания ответов учащихся в ходе опроса.
На первом этапе происходит фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся. При этом происходит повторение решения квадратных уравнений и закрепление определения количества корней по его дискриминанту. Осуществляется переход к определению приведенного квадратного уравнения.
На втором этапе рассматриваются уравнения двух видов. Чтобы учащиеся не уставали от однообразной работы, применяются различные формы работы и варианты заданий, включены задания более высокого уровня (с параметром).
Устная работа учащихся чередуется с письменной, которая состоит в обосновании выбора способа решения квадратного уравнения, анализе решения уравнения
Одним из приёмов педагогической поддержки, является использование в качестве наглядности информационных технологий, которые помогают учащимся разных уровней подготовленности легко усваивать материал, поэтому отдельные моменты урока проводятся с использованием презентации (показ решения самостоятельной работы, вопросы, домашнее задание)
Изучение нового учебного материала.
Данный этап предполагает:
изложение основных положений нового учебного материала, который должен быть освоен учащимися;
описание форм и методов изложения (представления) нового учебного материала;
описание основных форм и методов организации индивидуальной и групповой деятельности учащихся с учетом особенностей класса, в котором работает педагог;
описание критериев определения уровня внимания и интереса учащихся к излагаемому педагогом учебному материалу;
описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе освоения нового учебного материала
Дается определение приведенного квадратного уравнения. Учитель совместно с учениками проводит вывод формул корней приведенного квадратного уравнения, учащиеся осознают значимость учебного материала урока. Разбор формулировки и доказательства теоремы Виета также происходит совместно с учениками
Такая работа является также закреплением изучения нового материала.
Методы:
наглядный;
практический;
словесный;
частично-поисковый
Закрепление учебного материала
, предполагающее:
постановку конкретной учебной цели перед учащимися (какой результат должен быть достигнут учащимися на данном этапе урока);
определение целей и задач, которые ставит перед собой учитель на данном этапе урока;
описание форм и методов достижения поставленных целей в ходе закрепления нового учебного материала с учетом индивидуальных особенностей учащихся, с которыми работает педагог.
описание критериев, позволяющих определить степень усвоения учащимися нового учебного материала;
описание возможных путей и методов реагирования на ситуации, когда учитель определяет, что часть учащихся не освоила новый учебный материал.
Закрепление учебного материала происходит при ответах на вопросы и в работе с учебником:
Разбор задачи №5 на странице 125;
Решение упражнений
№ 450 (1), 451 (1, 3, 5) – устно, 452 (устно);
455 (1,3); 456 (1, 3)
На протяжении всего урока наблюдается высокая активность учащихся, учитель имеет возможность опросить всех учащихся класса, а некоторых даже не один раз.
Подводится итог урока в форме фронтального опроса учащихся по вопросам:
Какие уравнения называются приведенными?
Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным?
Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения
Сформулируйте теорему Виета.
Чему равна сумма и произведение корней уравнения:
Задание на дом
, включающее:
постановку целей самостоятельной работы для учащихся (что должны сделать учащиеся в ходе выполнения домашнего задания);
определение целей, которые хочет достичь учитель, задавая задание на дом;
определение и разъяснение учащимся критериев успешного выполнения домашнего задания.
В домашней работе предполагается, что учащиеся работают в соответствии со своими возможностями. Сильные учащиеся работают самостоятельно и в конце работы имеют возможность проверить правильность своих решений, сверив их с решениями, записанными на доске в начале следующего урока. Другие учащиеся могут получить консультацию своих одноклассников или учителя. Слабые учащиеся работают, опираясь на примеры, используют решения уравнений, разобранных в классе. Таким образом, создаются условия для работы на различных уровнях сложности.
Внимание! Что такое квадратное уравнение? Как оно выглядит? В термине квадратное уравнение
ключевым словом является "квадратное".
Оно означает, что в уравнении обязательно
должен присутствовать икс в квадрате. Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член).
И не должно быть иксов в степени, больше двойки. Говоря математическим языком, квадратное уравнение - это уравнение вида: Здесь a, b и с
– какие-то числа. b и c
– совсем любые, а а
– любое, кроме нуля. Например: Здесь а
=1; b
= 3; c
= -4 Здесь а
=2; b
= -0,5; c
= 2,2 Здесь а
=-3; b
= 6; c
= -18 Ну, вы поняли… В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор
членов. Икс в квадрате с коэффициентом а,
икс в первой степени с коэффициентом b
и свободный член с.
Такие квадратные уравнения называются полными.
А если b
= 0, что у нас получится? У нас пропадёт икс в первой степени.
От умножения на ноль такое случается.) Получается, например: 5х 2 -25 = 0,
2х 2 -6х=0,
-х 2 +4х=0
И т.п. А если уж оба коэффицента, b
и c
равны нулю, то всё ещё проще: 2х 2 =0,
-0,3х 2 =0
Такие уравнения, где чего-то не хватает, называются неполными квадратными уравнениями.
Что вполне логично.) Прошу заметить, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях. Кстати, почему а
не может быть равно нулю? А вы подставьте вместо а
нолик.) У нас исчезнет икс в квадрате! Уравнение станет линейным. И решается уже совсем иначе... Вот и все главные виды квадратных уравнений. Полные и неполные. Квадратные уравнения решаются просто. По формулам и чётким несложным правилам. На первом этапе надо заданное уравнение привести к стандартному виду, т.е. к виду: Если уравнение вам дано уже в таком виде - первый этап делать не нужно.) Главное - правильно определить все коэффициенты, а
, b
и c
. Формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так: Выражение под знаком корня называется дискриминант
. Но о нём - ниже. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с
.
Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с
в эту формулу и считаем. Подставляем со своими знаками!
Например, в уравнении: а
=1; b
= 3; c
= -4. Вот и записываем: Пример практически решён: Это ответ. Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же… Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с
. Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте
! Предположим, надо вот такой примерчик решить: Здесь a
= -6;
b
= -5;
c
= -1
Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются. Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится
. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками: Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно?
Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок! Но, частенько, квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так: Узнали?) Да! Это неполные квадратные уравнения
. Их тоже можно решать по общей формуле. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с
. Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4;
а c
? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0
! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c,
и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с
, а b
! Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких формул. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем. И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут! Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем по общей формуле. Замечу, кстати, какой икс будет первым, а какой вторым - абсолютно безразлично. Удобно записывать по порядочку, х 1
- то, что меньше, а х 2
- то, что больше. Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим: Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится: Тоже два корня.
х 1 = -3
, х 2 = 3
. Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня. Волшебное слово дискриминант
! Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении.) Напоминаю самую общую формулу для решения любых
квадратных уравнений: Выражение под знаком корня называется дискриминантом. Обычно дискриминант обозначается буквой D
. Формула дискриминанта: D = b 2 - 4ac
И чем же примечательно это выражение? Почему оно заслужило специальное название? В чём смысл дискриминанта?
Ведь -b,
или 2a
в этой формуле специально никак не называют... Буквы и буквы. Дело вот в чём. При решении квадратного уравнения по этой формуле, возможны всего три случая.
1. Дискриминант положительный.
Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения. 2. Дискриминант равен нулю.
Тогда у вас получится одно решение. Так как от прибавления-вычитания нуля в числителе ничего не меняется. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых
. Но, в упрощённом варианте, принято говорить об одном решении.
3. Дискриминант отрицательный.
Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет. Честно говоря, при простом решении квадратных уравнений, понятие дискриминанта не особо-то и требуется. Подставляем в формулу значения коэффициентов, да считаем. Там всё само собой получается, и два корня, и один, и ни одного. Однако, при решении более сложных заданий, без знания смысла и формулы дискриминанта
не обойтись. Особенно - в уравнениях с параметрами. Такие уравнения - высший пилотаж на ГИА и ЕГЭ!) Итак, как решать квадратные уравнения
через дискриминант вы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо.) Умеете правильно определять a, b и с
. Умеете внимательно
подставлять их в формулу корней и внимательно
считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?
А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно… Приём первый
. Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает? Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с.
Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так: И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим: А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно.
У вас должны получиться корни 2 и -1. Приём второй.
Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее
уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1
, проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком
. Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку. Если получилось - надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b
с противоположным
знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b
, который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно! Приём третий
. Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, - избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в уроке "Как решать уравнения? Тождественные преобразования". При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут… Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он. Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем: Вот и всё! Решать – одно удовольствие! Итак, подытожим тему. 1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно
. 2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1. 3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель. 4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!
Теперь можно и порешать.) Решить уравнения: 8х 2 - 6x + 1 = 0
х 2 + 3x + 8 = 0
х 2 - 4x + 4 = 0
(х+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Ответы (в беспорядке): х 1 = 0
х 1,2 =
2
х 1 = 2
х - любое число
х 1 = -3
решений нет
х 1 = 0,25
Всё сходится? Отлично! Квадратные уравнения - не ваша головная боль. Первые три получились, а остальные - нет? Тогда проблема не в квадратных уравнениях. Проблема в тождественных преобразованиях уравнений. Прогуляйтесь по ссылке, это полезно. Не совсем получается? Или совсем не получается? Тогда вам в помощь Раздел 555. Там все эти примеры разобраны по косточкам. Показаны главные
ошибки в решении. Рассказывается, разумеется, и о применении тождественных преобразований в решении различных уравнений. Очень помогает! Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ».
Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите: Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.
Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим!
Содержание статьи: Квадратное уравнение – это уравнение вида:
где коэффициенты a,
b
и с произвольные числа, при чём a≠0.
В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:
1. Имеют два корня.
2. *Имеют только один корень.
3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней
Как вычисляются корни? Просто!
Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:
Формулы корней имеют следующий вид:
*Эти формулы нужно знать наизусть.
Можно сразу записывать и решать:
Пример:
1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.
2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Давайте рассмотрим уравнение:
По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…
Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:
х 1 = 3 х 2 = 3
Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.
Теперь следующий пример:
Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.
Вот и весь процесс решения.
Квадратичная функция.
Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).
Это функция вида:
где х и у — переменные
a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0
Графиком является парабола:
То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть
статью у Инны Фельдман.
Рассмотрим примеры:
Пример 1:
Решить 2x
2
+8
x
–192=0
а=2 b=8 c= –192
D = b
2
–4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12
*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.
Пример 2:
Решить
x 2
–22
x+121 = 0
а=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11
В ответе допустимо записать х = 11.
Ответ: х = 11
Пример 3:
Решить
x 2 –8x+72 = 0
а=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.
Ответ: решения нет
Дискриминант отрицательный. Решение есть!
Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.
Понятие комплексного числа.
Немного теории.
Комплексным числом z называется число вида
z = a + bi
где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.
a+bi
– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.
Мнимая единица равна корню из минус единицы:
Теперь рассмотрим уравнение:
Получили два сопряжённых корня.
Неполное квадратное уравнение.
Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.
Случай 1. Коэффициент b = 0.
Уравнение приобретает вид:
Преобразуем:
Пример:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Случай 2. Коэффициент с = 0.
Уравнение приобретает вид:
Преобразуем, раскладываем на множители:
*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Пример:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.
Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.
Полезные свойства и закономерности коэффициентов.
Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.
а
x
2
+
bx
+
c
=0
выполняется равенство
a
+
b
+ с = 0,
то
— если для коэффициентов уравнения а
x
2
+
bx
+
c
=0
выполняется равенство
a
+ с =
b
,
то
Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.
Пример 1: 5001
x
2
–4995
x
– 6=0
Сумма коэффициентов равна 5001+(–
4995)+(–
6) = 0, значит
Пример 2: 2501
x
2
+2507
x
+6=0
Выполняется равенство a
+ с =
b
,
значит
Закономерности коэффициентов.
1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.
х 1 = –6 х 2 = –1/6.
2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.
х 1 = 15 х 2 = 1/15.
3. Если в уравнении
ax 2
+ bx
–
c = 0
коэффициент «b»
равен (a 2
– 1), а коэффициент «c»
численно равен коэффициенту «a»
,
то его корни равны
аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.
х 1 = – 17 х 2 = 1/17.
4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.
х 1 = 10 х 2 = – 1/10
Теорема Виета.
Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.
Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.
СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ
При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски».
Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Если а
± b+c
≠ 0, то используется прием переброски, например:
2х
2 – 11х+
5 = 0 (1) => х
2 – 11х+
10 = 0 (2)
По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1
Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим
х 1
= 5 х 2
=
0,5.
Каково обоснование? Посмотрите что происходит.
Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:
Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:
У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.
Потому результат и делим на 2.
*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.
Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5
Кв. ур-ие и ЕГЭ.
О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).
Что стоит отметить!
1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:
15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15х+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.
Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).
2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.
;Курсы по выбору одна из форм организации учебно-познавательной и учебно-исследовательской деятельности гимназистов
Документ
Математика и опыт
Книга
уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.
уравнения рисунок 3.
,
имеет:
,
имеет:
называется приведенным.
может быть приведено к виду . Для этого необходимо разделить обе части уравнения на .
, то справедливы формулы , т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
. p
=-5,q
=6.
.
а) образовательные: введение понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы.
в) воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.
Квадратные уравнения. Дискриминант. Решение, примеры.
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")Виды квадратных уравнений
Решение квадратных уравнений.
Решение полных квадратных уравнений.
Решение неполных квадратных уравнений.
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать:
х 1 = 0
, х 2 = 4
.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…Дискриминант. Формула дискриминанта.
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1.
Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.
х 2 = 5
х 2 = -0,5
х 2 = 3
х 2 = 0,5
Если Вам нравится этот сайт...
