Плоские поверхности на чертеже
Любая поверхность (геометрическая фигура) создаётся в нашем воображении траекторным способом: поверхность моделируется путём непрерывного перемещения в пространстве некоторой линии, которая, в общем случае, может менять свою форму. Эту линию, производящую поверхность, называют образующей. Многообразие поверхностей зависит как от вида образующей, так и от закона её перемещения, который графически задаётся определёнными линиями - направляющими.
Совокупность элементов моделирования поверхности, обеспечивающая закон её образования, называют определителем поверхности. Например, записывают: плоскость (l, a || b). Здесь в скобках указаны параллельные направляющие прямые a и b, по которым перемещается прямая линия l, образующая плоскость .
Все поверхности (геометрические фигуры) условно разделяют на два вида: плоские и кривые.
В этом разделе рассмотрим плоские поверхности.
Различают плоские поверхности простые и составные.
Простые плоские поверхности бывают двух видов: плоскости и грани.
Плоскость - неограниченная плоская поверхность. На чертеже её
задают изображением элементов определителя.
Плоскость моделируют как траекторию непрерывного перемещения прямой образующей (прямолинейного или вращательного вокруг оси, перпендикулярной образующей прямой).
Перемещение образующей можно задавать следующим образом.
1) Параллельными прямыми - (l, a || b).
2) Двумя пересекающимися прямыми - (l, a b).
3) Вращением вокруг оси, перпендикулярной образующей прямой - (l i).
4) Точкой и прямой - (l, A, b). Этот вариант может быть преобразован в любой из первых трёх.
Грань - плоскость, ограниченная замкнутой линией. На чертеже грань изображают линиями её границ (контуром, очерком).
На рис. 5.1 – 5.3 представлены изображения граней: треугольника, четырёхугольника и круга.
Составные плоские поверхности (многогранные) – представляют собой несколько граней (не лежащих в одной плоскости), состыкованных между собой. Линию стыка каждой пары граней называют рёбром, которое является общей линией границ этих граней (их общей образующей).
Составные плоские поверхности подразделяют на монотипные и комплексные многогранные поверхности.
Монотипные многогранные поверхности моделируют с помощью направляющей ломаной прямой линии. При этом различают следующие варианты таких поверхностей.
Призматическая поверхность. Моделирование призматической поверхности производят путём параллельного перемещения образующей прямой l по направляющей ломаной прямой m (все рёбра между собой параллельны).
На рис. 5.4 представлен аксонометрический чертёж призматической поверхности.
Комплексный чертёж определителя призматической поверхности представлен на рис. 5.5.
Комплексный чертёж призматической поверхности выполнен на рис. 5.6.
Частным случаем призматической поверхности является призма, которая представляет собой замкнутую призматическую поверхность (направляющая ломаная прямая – замкнута).
На рис. 5.7 приведён чертёж прямой трёхгранной призмы.
Пирамидальная поверхность. Поверхность моделируется перемещением прямой образующей l по ломаной направляющей прямой m , когда другой её конец остаётся в точке S - вершине призматической поверхности (все рёбра пересекаются в одной точке).
На рис. 5.8 представлен комплексный чертёж пирамидальной поверхности.
Частным случаем пирамидальной поверхности является пирамида, которая представляет собой замкнутую пирамидальную поверхность (направляющая ломаная прямая – замкнута).
На рис. 5.9 представлен комплексный чертёж трёхгранной пирамиды.
Комплексные многогранные поверхности получают стыковкой многогранных поверхностей и граней разного типа.
Образовательные:
- cформировать представления о плоской поверхности и плоскости
- работать над усвоением правила порядка действий в выражениях
Развивающие:
- развивать логическое мышление, умение анализировать
Воспитательные:
- воспитывать интерес к изучаемому предмету
Оборудование: учебник для второго класса Л.Г. Петерсон “Математика” 2 часть; геометрические фигуры и тела: прямоугольник, квадрат, треугольник, круг, цилиндр, куб, пирамида, конус, параллелепипед, шар; карточки с изображением геометрических тел: цилиндр, куб, пирамида, конус, параллелепипед, шар; листы бумаги и фломастеры.
Ход урока.
|
Деятельность учителя |
Деятельность учащихся |
| 1. Орг. момент (1 минута) | - Великая радость – работа. В полях, за станком, за столом! Работай до жаркого пота, Работай без лишнего счёта – Всё счастье земли – за трудом! |
| 2. Самоопределение к деятельности (1-2 минуты) | |
| - На какой урок вы пришли? | - На урок математики. |
- А какие виды уроков математики вам
нравятся больше:
|
- Нам нравятся уроки математики, когда мы узнаём что-то новое. |
| - Почему? | - Узнать что-то новое – это интересно. |
| - Тогда в добрый путь за новыми знаниями. | |
| 3. Актуализация знаний и мотивация (4-5 минут) | |
| - Посмотрите на доску и скажите, с чем мы
будем работать сегодня на уроке? На доске расположены геометрические фигуры: треугольник, круг, квадрат, прямоугольник. Все фигуры сделаны из картона одного цвета. Поверхность треугольника сделана специально неровная, с бугорками. |
- С геометрическими фигурами. |
| - Что это за фигуры, как они называются? | - Это квадрат, треугольник, круг, прямоугольник. |
| - Что в них общего? | - Они одного цвета. Изготовлены из одного материала. |
| - А есть ли среди них лишняя фигура? Почему она лишняя? | - Да. Круг, у него нет углов. Треугольник, у него поверхность отличается от других фигур. |
| - Мне нужен один помощник, чтобы исследовать данные фигуры. | Один ученик выходит к доске. |
| - Потрогай, погладь поверхность лишней
фигуры – треугольника. Какая она? |
Поверхность неровная, негладкая, на ней есть ямки и бугорочки. |
| - А теперь исследуй поверхность оставшихся фигур. Какая у них поверхность? | - У других фигур поверхность гладкая, ровная. |
| -
А ещё такую поверхность называют
плоской. Что значит плоский, как вы понимаете? |
Это - ровный, гладкий, без неровностей. |
| - Чтобы проверить правильность ваших высказываний, что нужно сделать? | - Посмотреть в учебнике или в словаре. |
| - Давайте обратимся к словарю. | Один ученик читает определение в
словаре, другие ребята читают определение,
которое выписано на доске. - Плоский – значит ровный, без возвышений и углублений, с прямой и гладкой поверхностью. |
| 4. Постановка учебной задачи (4-5 минут)
Ребята, как вы думаете, я случайно попросила вас обратить внимание на поверхность фигур? |
|
| - Почему? | - Будем работать над поверхностями фигур. |
| - Попробуйте сформулировать тему сегодняшнего урока. | - Плоские поверхности. |
| - Правильно. Учитель на доске открывает часть темы урока: “Плоские поверхности”. |
|
| “Открытие” детьми нового знания (7-8
минут)
У меня на столе стоят геометрические тела. Кто может назвать эти тела? Учитель показывает тела: цилиндр, куб, конус, параллелепипед, пирамида, шар. |
Это цилиндр, куб, конус, параллелепипед, пирамида, шар. |
| - Ребята, как вы думаете, а у этих геометрических тел есть плоские поверхности? Докажите. | - Есть. Если провести рукой по поверхности, она будет ровной и гладкой. |
| - Я с вами согласна. И предлагаю
выполнить задание. У вас на листочках нарисовано геометрическое тело, вы должны синим карандашом заштриховать плоские поверхности данного тела. |
Дети выполняют задание по вариантам.
Один представитель каждого варианта выходит к
доске и выполняет своё задание на доске. На доске изображены геометрические тела: цилиндр, куб, конус, параллелепипед, пирамида, шар. |
| - Проверяем задание. (Если возникают трудности с каким-то геометрическим телом, учитель отмечает его красным мелом.) | |
| - При выполнении этого задания у вас
возникли трудности. Давайте попробуем разрешить их. С какими геометрическими телами были затруднения? Почему? |
С цилиндром, конусом и шаром. Затруднялись, не могли найти плоские поверхности. |
| - А у каких тел легко определили плоские поверхности? | - У куба, параллелепипеда и у призмы. |
| - Давайте понаблюдаем, возьмём в руки куб, проведём по одной плоской поверхности, по другой плоской поверхности. Что есть у этих поверхностей? | - Края |
| - Проведите рукой по поверхности шара. Что заметили, есть у этого тела край? | - У шара краёв нет. |
| - Значит, какой можно сделать вывод из наших наблюдений? | - У плоских поверхностей есть края. |
| - Как проверить правильность наших рассуждений? | - По учебнику. |
| - Откроем учебник на странице 35 и прочитаем сведения в жёлтой рамочке. | - Плоские поверхности имеют края. У плоскости края нет. Её можно продолжить во всех направлениях. |
| - Помогут новые сведения решить
проблемы, которые у нас возникли? (Учитель вместе с детьми разбирают трудности, которые возникли при работе с цилиндром, конусом, шаром.) |
- Да. |
| - Итак, ребята, что нового мы узнали сегодня на уроке математики? | - Что плоские поверхности – это поверхности гладкие, ровные без возвышений и углублений. У плоских поверхностей есть края, а у плоскости краёв нет. Плоскость можно продолжить во всех направлениях. |
| - Ребята, можем мы дополнить тему нашего урока: “Плоские поверхности. Плоскость”? | - Да |
| - Приведите примеры плоских поверхностей из окружающей обстановки. | - Столешница у стола, учебник, доска, пол в классе. |
| - А привести примеры плоскости вы можете? | - Нет. В природе плоскости не существует. |
| 6. Первичное закрепление (4-5 минут)
Вопросы есть по новому материалу ко мне, друг другу? |
- Нет. |
| - Выполняем задание №3, страница 35. Прочитайте задание про себя. Скажите, что нужно сделать в задании? | Нужно провести две пересекающиеся прямые, которые проходят через точку О. Определить, на сколько частей эти прямые разделили плоскость и раскрасить эти части в разные цвета. |
| - Выполняем задание №3 в учебнике по этапам с комментарием. | 1. Проводим через точку О прямую. 2. Проводим вторую прямую, которая пересекает первую прямую в точке О. 3. Две пересекающиеся прямые делят плоскость на 4 части. 4. Раскрашиваем каждую часть разными цветами. |
| - Итак, сегодня на уроке математики мы познакомились с новым материалом. Интересно было? | - Да. |
| - С этим материалом мы будем работать на следующих уроках. | |
| 7. Физ. минутка (1-2 минуты) | |
| 8. Повторение (8 -9 минут) | |
| - Ребята, сегодня на уроке математики мы должны с вами решить задачу и поработать с выражением. Чем вы хотите заняться в первую очередь? | - Решить задачу. |
| - Хорошо. На последних уроках математики мы с вами решали задачи, используя алгоритм. Кто помнит, какие виды алгоритмов бывают? |
Линейные, разветвляющиеся и циклические. |
| - Скажите, к какому виду отнесём данный алгоритм: я задумала число, прибавила к нему 25, вычла 8, потом ещё раз вычла 12, прибавила 36 и получила 46? Почему? | - Это линейный алгоритм, т.к. все действия идут подряд. |
| - Кто может, используя данный алгоритм, найти число, которое я задумала? | Один ученик решает задачу на доске,
остальные ребята решают в тетрадях. Х + 25 - 8 - 12 + 36 = 46 Х = 46 - 36 + 12 + 8 - 25 |
| - Проверяем. Объясни, как нашёл задуманное число? Какими знаниями пользовался? | - Я находил неизвестное число с помощью уравнения. Чтобы найти задуманное число, нужно выполнить обратные операции. |
| - Кто составил такое же уравнение, поставьте “+” около него. Кто находил так же неизвестное число, поставьте “+” около решения. Кто получил такой же результат, поставьте “+” около значения х. | |
| Дети поднимают руки. | |
| - Запишите выражение на листе: к разности чисел 208 и 36 прибавить сумму чисел 97 и 354. | 1 3 2 (208 – 36) + (97 + 354)=623 |
| - Составьте алгоритм нахождения значения данного выражения. И найдите его. | 1. 208-36= 172 |
| - Кто выполнил задание, выйдите с листами к доске. | 2-3 ученика выходят к доске со своими работами. |
| - Проверяем. Кто записал выражение правильно, поставьте “+”. Кто составил правильно алгоритм нахождения значения данного выражения, поставьте “+”. Кто правильно выполнил 1-е действие, поставьте “+”. Кто правильно выполнил 2-е действие, поставьте “+”. Кто правильно выполнил 3-е действие, поставьте “+”. | Дети проверяют свою работу, ставят “+” или “-”. |
| - Кто сделал задание на все “+”? Молодцы! | Дети поднимают руки. |
| - Остальные ребята, найдите свою ошибку там, где вы поставили “минус”. (Учитель и правильно решившие ученики помогают найти и разобрать ошибки другим ученикам.) | |
| 9. Рефлексия деятельности (2-3 минуты) | |
| - Урок подходит к концу. Вам было интересно на уроке математики? Почему? | - Да. Мы интересно работали с геометрическими телами. Решали задачу и находили значение выражения. |
| - Что вы считаете нужным запомнить? | - Что такое плоская поверхность, чем она отличается от плоскости. Что не все геометрические тела имеют плоские поверхности. |
| - А эти знания вам нужны в жизни? | - Да. Мы сможем на практике определять плоскость и плоские поверхности. Это интересно. |
| - Домашнее задание: у геометрических
тел, которые вы сделали к сегодняшнему уроку,
найдите плоские поверхности и докажите. Спасибо за урок. |
Оформление доски.
|
Плоские поверхности. Плоскость. Плоский – значит ровный, без возвышений и углублений, с прямой и гладкой поверхностью. |
Cтраница 1
Плоские поверхности обычно фрезеруют торцовыми и цилиндрическими фрезами. Такое смещение облегчает условия врезания фрезы и обеспечивает нормальное фрезерование.
Плоская поверхность, как свободная, так и жесткая, по-видимому, является единственной границей, для которой величина k постоянна во всех точках жидкости.
Плоские поверхности обрабатывают методом шабровки. Проверка плоскостности таких поверхностей осуществляется по числу пятен краски на проверяемой поверхности в квадрате размером 25 х 25 мм (число пятен на квадратный дюйм) при соприкосновении его с поверхностью плиты, отконением от плоскостности которой пренебрегают.
Плоские поверхности шлифуют с двух сторон на глубину 0 2 мм и обеспечивают шероховатость поверхности Ra 0 8 мкм.
Плоские поверхности становятся областями.
Плоские поверхности предпочтительно фрезеровать торцовыми фрезами с СМП с углом в плане ср, равным 45, 60 и 75 (рис. 163, табл. 23), или с круглыми пластинами. Шпиндель чистовой фрезы устанавливают с уклоном 0 0001, чтобы исключить контакт с обработанной поверхностью зубьев, не участвующих в резании.
| Торцовая фреза с креплением твердосплавных пластин подпружиненным плунжером.| Схема фрезерования торцов заготовок на двухшпиндельном фрезерном станке с вращающимся столом. / - черновая фреза. 2 -чистовая фреза. |
Плоские поверхности обрабатывают цилиндрическими фрезами с встречной или попутной подачей. Попутное фрезерование способствует повышению стойкости фрез и уменьшению шероховатости обработанной поверхности, но для его осуществления требуется устройство, компенсирующее зазоры в механизме подачи. На станках с обычной гайкой ходового винта рекомендуется встречное фрезерование.
Плоские поверхности могут располагаться с разных сторон корпусной детали, находиться в разных плоскостях (горизонтальной, вертикальной) и могут быть параллельными, перпендикулярными и наклонными. В соответствии с этим создаются станки горизонтальной и вертикальной компоновки, с агрегатными головками для односторонней, двух - или трехсторонней параллельной или последовательной обработки плоскостей. Точность обработки зависит от геометрических погрешностей станка, упругих и тепловых деформаций технологической системы, погрешности установки заготовок для обработки, погрешности настройки фрез на заданный размер и износа зубьев фрезы. Большое влияние оказывает стабильность механических свойств материала заготовок, точность их размеров, конфигураций плоскостей и величина припусков.
Плоские поверхности обрабатываются на шлифо-вально-полировальных станках на вращающихся плоских дисках-притирах. Технология шлифовки и полировки аналогична применяемой для оптических стекол. В качестве абразивов используются алмазы, карборунд (зеленый, марки КЗ), электрокорунд (белый, марки ЭБ), эльбор в виде порошка или пасты.
С тем отличием, что вместо «плоских» графиков мы рассмотрим наиболее распространенные пространственные поверхности, а также научимся грамотно их строить от руки. Я довольно долго подбирал программные средства для построения трёхмерных чертежей и нашёл пару неплохих приложений, но, несмотря на всё удобство использования, эти программы плохо решают важный практический вопрос. Дело в том, что в обозримом историческом будущем студенты по-прежнему будут вооружены линейкой с карандашом, и, даже располагая качественным «машинным» чертежом, многие не смогут корректно перенести его на клетчатую бумагу. Поэтому в методичке особое внимание уделено технике ручного построения, и значительная часть иллюстраций страницы представляет собой handmade-продукт.
Чем отличается этот справочный материал от аналогов?
Обладая приличным практическим опытом, я очень хорошо знаю, с какими поверхностями чаще всего приходится иметь дело в реальных задачах высшей математики, и надеюсь, что эта статья поможет вам в кратчайшие сроки пополнить свой багаж соответствующими знаниями и прикладными навыками, которых в 90-95% случаев должно хватить.
Что нужно уметь на данный момент?
Самое элементарное:
Во-первых, необходимо уметь правильно строить пространственную декартову систему координат (см. начало статьи Графики и свойства функций ) .
Что вы приобретёте после прочтения этой статьи?
Бутылку После освоения материалов урока вы научитесь быстро определять тип поверхности по её функции и/или уравнению, представлять, как она расположена в пространстве, и, конечно же, выполнять чертежи. Ничего страшного, если не всё уложится в голове с 1-го прочтения – к любому параграфу по мере надобности всегда можно вернуться позже.
Информация по силам каждому – для её освоения не нужно каких-то сверхзнаний, особого художественного таланта и пространственного зрения.
Начинаем!
На практике пространственная поверхность обычно задаётся функцией двух переменных или уравнением вида (константа правой части чаще всего равна нулю либо единице) . Первое обозначение больше характерно для математического анализа, второе – для аналитической геометрии . Уравнение , по существу, является неявно заданной функцией 2 переменных, которую в типовых случаях легко привести к виду . Напоминаю простейший пример c :
– уравнение плоскости вида .
– функция плоскости в явном виде
.
Давайте с неё и начнём:
Распространенные уравнения плоскостей
Типовые варианты расположения плоскостей в прямоугольной системе координат детально рассмотрены в самом начале статьи Уравнение плоскости . Тем не менее, ещё раз остановимся на уравнениях, которые имеют огромное значение для практики.
Прежде всего, вы должны на полном автомате узнавать уравнения плоскостей, которые параллельны координатным плоскостям . Фрагменты плоскостей стандартно изображают прямоугольниками, которые в последних двух случаях выглядят, как параллелограммы. По умолчанию размеры можно выбрать любые (в разумных пределах, конечно), при этом желательно, чтобы точка, в которой координатная ось «протыкает» плоскость являлась центром симметрии:
Строго говоря, координатные оси местами следовало изобразить пунктиром, но во избежание путаницы будем пренебрегать данным нюансом.
– (левый чертёж) неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, исключая саму плоскость ;
– (средний чертёж) неравенство задаёт правое полупространство, включая плоскость ;
– (правый чертёж) двойное неравенство задаёт «слой», расположенный между плоскостями , включая обе плоскости.
Для самостоятельной разминки:
Пример 1
Изобразить тело, ограниченное плоскостями
Составить систему неравенств, определяющих данное тело.
Из-под грифеля вашего карандаша должен выйти старый знакомый прямоугольный параллелепипед . Не забывайте, что невидимые рёбра и грани нужно прочертить пунктиром. Готовый чертёж в конце урока.
Пожалуйста, НЕ ПРЕНЕБРЕГАЙТЕ учебными задачами, даже если они кажутся слишком простыми. А то может статься, раз пропустили, два пропустили, а затем потратили битый час, вымучивая трёхмерный чертёж в каком-нибудь реальном примере. Кроме того, механическая работа поможет гораздо эффективнее усвоить материал и развить интеллект! Не случайно в детском саду и начальной школе детей загружают рисованием, лепкой, конструкторами и другими заданиями на мелкую моторику пальцев. Простите за отступление, не пропадать же двум моим тетрадям по возрастной психологии =)
Следующую группу плоскостей условно назовём «прямыми пропорциональностями» – это плоскости, проходящие через координатные оси:
2) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось ;
3) уравнение вида задаёт плоскость, проходящую через ось .
Хотя формальный признак очевиден (какая переменная отсутствует в уравнении – через ту ось и проходит плоскость) , всегда полезно понимать суть происходящих событий:
Пример 2
Построить плоскость
Как лучше осуществить построение? Предлагаю следующий алгоритм:
Сначала перепишем уравнение в виде , из которого хорошо видно, что «игрек» может принимать любые значения. Зафиксируем значение , то есть, будем рассматривать координатную плоскость . Уравнения задают пространственную прямую , лежащую в данной координатной плоскости. Изобразим эту линию на чертеже. Прямая проходит через начало координат, поэтому для её построения достаточно найти одну точку. Пусть . Откладываем точку и проводим прямую.
Теперь возвращаемся к уравнению плоскости . Поскольку «игрек» принимает любые
значения, то построенная в плоскости прямая непрерывно «тиражируется» влево и вправо. Именно так и образуется наша плоскость , проходящая через ось . Чтобы завершить чертёж, слева и справа от прямой откладываем две параллельные линии и поперечными горизонтальными отрезками «замыкаем» символический параллелограмм:
Так как условие не накладывало дополнительных ограничений, то фрагмент плоскости можно было изобразить чуть меньших или чуть бОльших размеров.
Ещё раз повторим смысл пространственного линейного неравенства на примере . Как определить полупространство, которое оно задаёт? Берём какую-нибудь точку, не принадлежащую
плоскости , например, точку из ближнего к нам полупространства и подставляем её координаты в неравенство:
Получено верное неравенство , значит, неравенство задаёт нижнее (относительно плоскости ) полупространство, при этом сама плоскость не входит в решение.
Пример 3
Построить плоскости
а) ;
б) .
Это задания для самостоятельного построения, в случае затруднений используйте аналогичные рассуждения. Краткие указания и чертежи в конце урока.
На практике особенно распространены плоскости, параллельные оси . Частный случай, когда плоскость проходит через ось, только что был в пункте «бэ», и сейчас мы разберём более общую задачу:
Пример 4
Построить плоскость
Решение : в уравнение в явном виде не участвует переменная «зет», а значит, плоскость параллельна оси аппликат. Применим ту же технику, что и в предыдущих примерах.
Перепишем уравнение плоскости в виде 
из которого понятно, что «зет» может принимать любые
значения. Зафиксируем и в «родной» плоскости начертим обычную «плоскую» прямую . Для её построения удобно взять опорные точки .
Поскольку «зет» принимает все
значения, то построенная прямая непрерывно «размножается» вверх и вниз, образуя тем самым искомую плоскость 
. Аккуратно оформляем параллелограмм разумной величины:
Готово.
Уравнение плоскости в отрезках
Важнейшая прикладная разновидность. Если все
коэффициенты общего уравнения плоскости
отличны от нуля
, то оно представимо в виде 
, который называется уравнением плоскости в отрезках
. Очевидно, что плоскость пересекает координатные оси в точках , и большое преимущество такого уравнения состоит в лёгкости построения чертежа:
Пример 5
Построить плоскость
Решение
: сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:
Нет, здесь не опечатка и все дела происходят именно в пространстве! Исследуем предложенную поверхность тем же методом, что недавно использовали для плоскостей. Перепишем уравнение в виде 
, из которого следует, что «зет» принимает любые
значения. Зафиксируем и построим в плоскости эллипс . Так как «зет» принимает все
значения, то построенный эллипс непрерывно «тиражируется» вверх и вниз. Легко понять, что поверхность бесконечна
:
Данная поверхность называется эллиптическим цилиндром
. Эллипс (на любой высоте) называется направляющей
цилиндра, а параллельные прямые, проходящие через каждую точку эллипса называются образующими
цилиндра (которые в прямом смысле слова его и образуют). Ось является осью симметрии
поверхности (но не её частью!).
Координаты любой точки, принадлежащей данной поверхности, обязательно удовлетворяют уравнению 
.
Пространственное неравенство задаёт «внутренность» бесконечной «трубы», включая саму цилиндрическую поверхность, и, соответственно, противоположное неравенство определяет множество точек вне цилиндра.
В практических задачах наиболее популярен частный случай, когда направляющей цилиндра является окружность :
Пример 8
Построить поверхность, заданную уравнением
Бесконечную «трубу» изобразить невозможно, поэтому художества ограничиваются, как правило, «обрезком».
Сначала удобно построить окружность радиуса в плоскости , а затем ещё пару окружностей сверху и снизу. Полученные окружности (направляющие
цилиндра) аккуратно соединяем четырьмя параллельными прямыми (образующими
цилиндра):
Не забываем использовать пунктир для невидимых нам линий.
Координаты любой точки, принадлежащей данному цилиндру, удовлетворяют уравнению 
. Координаты любой точки, лежащей строго внутри «трубы», удовлетворяют неравенству 
, а неравенство 
задаёт множество точек внешней части. Для лучшего понимания рекомендую рассмотреть несколько конкретных точек пространства и убедиться в этом самостоятельно.
Пример 9
Построить поверхность и найти её проекцию на плоскость
Перепишем уравнение в виде 
из которого следует, что «икс» принимает любые
значения. Зафиксируем и в плоскости изобразим окружность
– с центром в начале координат, единичного радиуса. Так как «икс» непрерывно принимает все
значения, то построенная окружность порождает круговой цилиндр с осью симметрии . Рисуем ещё одну окружность (направляющую
цилиндра) и аккуратно соединяем их прямыми (образующими
цилиндра). Местами получились накладки, но что делать, такой уж наклон:
На этот раз я ограничился кусочком цилиндра на промежутке и это не случайно. На практике зачастую и требуется изобразить лишь небольшой фрагмент поверхности.
Тут, к слову, получилось 6 образующих – две дополнительные прямые «закрывают» поверхность с левого верхнего и правого нижнего углов.
Теперь разбираемся с проекцией цилиндра на плоскость . Многие читатели понимают, что такое проекция, но, тем не менее, проведём очередную физкульт-пятиминутку. Пожалуйста, встаньте и склоните голову над чертежом так, чтобы остриё оси смотрело перпендикулярно вам в лоб. То, чем с этого ракурса кажется цилиндр – и есть его проекция на плоскость . А кажется он бесконечной полосой, заключенным между прямыми , включая сами прямые. Данная проекция – это в точности область определения функций (верхний «жёлоб» цилиндра), (нижний «жёлоб»).
Давайте, кстати, проясним ситуацию и с проекциями на другие координатные плоскости. Пусть лучи солнца светят на цилиндр со стороны острия и вдоль оси . Тенью (проекцией) цилиндра на плоскость является аналогичная бесконечная полоса – часть плоскости , ограниченная прямыми ( – любое), включая сами прямые.
А вот проекция на плоскость несколько иная. Если смотреть на цилиндр из острия оси , то он спроецируется в окружность единичного радиуса 
, с которой мы начинали построение.
Пример 10
Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости
Это задача для самостоятельного решения. Если условие не очень понятно, возведите обе части в квадрат и проанализируйте результат; выясните, какую именно часть цилиндра задаёт функция . Используйте методику построения, неоднократно применявшуюся выше. Краткое решение, чертёж и комментарии в конце урока.
Эллиптические и другие цилиндрические поверхности могут быть смещены относительно координатных осей, например:
(по знакомым мотивам статьи о линиях 2-го порядка
)
– цилиндр единичного радиуса с линией симметрии, проходящей через точку параллельно оси . Однако на практике подобные цилиндры попадаются довольно редко, и совсем уж невероятно встретить «косую» относительно координатных осей цилиндрическую поверхность.
Параболические цилиндры
Как следует из названия, направляющей такого цилиндра является парабола .
Пример 11
Построить поверхность и найти её проекции на координатные плоскости.
Не мог удержаться от этого примера =)
Решение
: идём проторенной тропой. Перепишем уравнение в виде , из которого следует, что «зет» может принимать любые значения. Зафиксируем и построим обычную параболу на плоскости , предварительно отметив тривиальные опорные точки . Поскольку «зет» принимает все
значения, то построенная парабола непрерывно «тиражируется» вверх и вниз до бесконечности. Откладываем такую же параболу, скажем, на высоте (в плоскости) и аккуратно соединяем их параллельными прямыми (образующими цилиндра
): 
Напоминаю полезный технический приём
: если изначально нет уверенности в качестве чертежа, то линии сначала лучше прочертить тонко-тонко карандашом. Затем оцениваем качество эскиза, выясняем участки, где поверхность скрыта от наших глаз, и только потом придаём нажим грифелю.
Проекции.
1) Проекцией цилиндра на плоскость является парабола . Следует отметить, что в данном случае нельзя рассуждать об области определения функции двух переменных – по той причине, что уравнение цилиндра не приводимо к функциональному виду .
2) Проекция цилиндра на плоскость представляет собой полуплоскость , включая ось
3) И, наконец, проекцией цилиндра на плоскость является вся плоскость .
Пример 12
Построить параболические цилиндры:
а) , ограничиться фрагментом поверхности в ближнем полупространстве;
б) на промежутке
В случае затруднений не спешим и рассуждаем по аналогии с предыдущими примерами, благо, технология досконально отработана. Не критично, если поверхности будут получаться немного корявыми – важно правильно отобразить принципиальную картину. Я и сам особо не заморачиваюсь над красотой линий, если получился сносный чертёж «на троечку», обычно не переделываю. В образце решения, кстати, использован ещё один приём, позволяющий улучшить качество чертежа;-)
Гиперболические цилиндры
Направляющими
таких цилиндров являются гиперболы . Этот тип поверхностей, по моим наблюдениям, встречается значительно реже, чем предыдущие виды, поэтому я ограничусь единственным схематическим чертежом гиперболического цилиндра :
Принцип рассуждения здесь точно такой же – обычная школьная гипербола
из плоскости непрерывно «размножается» вверх и вниз до бесконечности.
Рассмотренные цилиндры относятся к так называемым поверхностям 2-го порядка , и сейчас мы продолжим знакомиться с другими представителями этой группы:
Эллипсоид. Сфера и шар
Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной системе координат имеет вид 
, где – положительные числа (полуоси
эллипсоида), которые в общем случае различны
. Эллипсоидом называют как поверхность
, так и тело
, ограниченное данной поверхностью. Тело, как многие догадались, задаётся неравенством 
и координаты любой внутренней точки (а также любой точки поверхности) обязательно удовлетворяют этому неравенству. Конструкция симметрична относительно координатных осей и координатных плоскостей:
Происхождение термина «эллипсоид» тоже очевидно: если поверхность «разрезать» координатными плоскостями, то в сечениях получатся три различных (в общем случае)
