Оценки интеграла теорема о среднем значении. Определенный интеграл и его свойства. Основные правила интегрирования

Всего репетиторов по немецкому языку в Москве: 939

Репетиторы немецкого языка


  Все уровни – от нулевого до продвинутого (А1-С1); подготовка к экзаменам (ЕГЭ, в ВУЗы, на международные сертификаты Гете-Института и др.); ПМЖ; бизнес-курс, экономический курс; индивидуальные программы по запросу.
  Занятия проводятся индивидуально или в мини-группах. Возраст: от 5 лет и старше.
   Предоставляю также услуги профессионального психолога (темы встреч: преодоление барьеров к иностранным языкам (работа со страхами, негативным прошлым опытом и пр.), поиск мотивации к изучению иностранного языка, как адаптироваться в новой стране/на новом месте работы, как завести друзей в новой стране, как найти общий язык с мужем-иностранцем и пр...
  

  • Стоимость занятий: Стоимость услуг психолога: 2500 рублей/60 минут.
    Также преподаю немецкий язык по Skype (стоимость за 60 минут - 1250 рублей)
  • Предметы: Немецкий язык, Психология
  • Города: Москва, Истра
  • Ближайшие станции метро: Тушинская, Войковская
  • Выезд на дом: нет
  • Статус: Школьный преподаватель
  • Образование: Кандидат экономических наук (2011 г.). Образование (немецкий язык): Международный независимый эколого - политологический университет: - факультет мировой экономики, менеджмента, финансов и сервиса (диплом с отличием, 2005 г...

  

  А1-А2 тест по немецкому:
  Начальный уровень знания языка - это последовательное изучение самых разнообразных коммуникативных ситуаций. Я не буду говорить, что никакой грамматики не будет. Будет! Но только та, которую вы сразу начнете использовать в речи и которую сами попросите, чтобы суметь выразить мысль. Овладение уровнем А2 - это отсутствие страха при перемещении по Германии или при встрече с немцем, потому что вы абсолютно уверены, что главную мысль вы сможете выразить, а контекст - понять.
  Повышение успеваемости по немецкому:
  Ноги у низкой успеваемости всегда растут из отсутствия интереса к предмету...
  

  • Стоимость занятий: Индивидуально: 1500 р./ 60 мин.;
    В мини-группах: 1200 р./60 мин.;
    По скайпу: 1500 р./60 мин..
  • Предметы: Немецкий язык
  • Город: Москва
  • Ближайшая станция метро: Улица Скобелевская
  • Выезд на дом: возможен
  • Статус: Частный преподаватель
  • Образование: МГУ им. М.В. Ломоносова, филологический фак-т, кафедра немецкого языкознания (2009-2015), выпускница. Опыт работы переводчиком и постоянное взаимодействие с носителями в корпоративных целях. Имеется сертификат гида...


  Любой уровень знаний, настоящий живой язык, разговорная практика.
  7 лет работы в Германии.
  

  • Стоимость занятия: 800 руб. / 60 мин
  • Предметы: Немецкий язык
  • Город: Москва
  • Ближайшая станция метро: Братиславская
  • Выезд на дом: возможен
  • Статус: Частный преподаватель
  • Образование: KDS, диплом Гёте института. GDS (Большой Диплом Гёте Института).

  Я провожу первое занятие бесплатно.
  Индивидуальное обучение немецкому языку с частным репетитором.
  Подбираю индивидуальный подход в зависимости от целей обучения и временных возможностей ученика. Использую коммуникативную и традиционную методики. Также веду интенсивный курс для выезжающих за границу.
  Репетитор по немецкому языку. Опытный преподаватель, переводчик. Имею высшее лингвистическое образование. Являюсь преподавателем курсов иностранных языков Oxford City School.
  

  • Стоимость занятия: 1000 руб. / 60 мин
  • Предметы: Немецкий язык
  • Город: Москва
  • Ближайшие станции метро: Южная, Чертановская
  • Выезд на дом: возможен
  • Статус: Частный преподаватель
  • Образование: Столичный институт переводчиков, лингвистика и межкультурная коммуникация, 2002 г.

  Я провожу первое занятие бесплатно (бесплатное занятие возможно только на моей территории).
  Частное обучение немецкому языку в Москве с репетитором.
  Подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. Любой возраст, начальный уровень, можно с нуля, разговорный тренинг (беглая разговорная речь, снятие языкового барьера), углубленное изучение грамматики, бизнес-курс, подготовка к выезду на ПМЖ, к сдаче экзаменов. Индивидуальная программа для каждого ученика, использование новейших немецких методических материалов.
  Индивидуальная программа для каждого студента. Коммуникативная методика. Все аспекты языка. Разговорный тренинг (беглая разговорная речь, снятие языкового барьера). Углубленное изучение грамматики. «Красивый» язык с богатой лексикой. Отработка произношения. Использование новейших методических материалов...
  

  • Стоимость занятия: 1000 руб. / 60 мин
  • Предметы: Немецкий язык
  • Города: Москва, Королев
  • Выезд на дом: нет
  • Статус: Частный преподаватель
  • Образование: Московский Государственный Лингвистический Университет, педагогический факультет, немецкое отделение, преподаватель-лингвист, 2001 г.

Индивидуальное обучение немецкому языку на дому с репетитором.
  Большой опыт преподавания английского языка по британским многоуровневым курсам: Headway, Cutting Edge, Straitforward, Opportunities. Наиболее преподаваемые мною уровни - Beginner, Elementary, Pre-Intermediate, Intermediate. Могу готовить к ЕГЭ (преимущественно, по Macmillan) и преподавать Business English (преимущественно, по изданию Market Leader).
  Также профессионально преподаю разговорный немецкий язык в рамках уровней А1 - В2.
  Предпочитаю работать со взрослой аудиторией и старшеклассниками.
  На занятиях с группой часто задействую момент игры в устного переводчика. На индивидуальных занятиях...
  

  • Стоимость занятия: 1000 руб. / 60 мин
  • Предметы: Английский язык, Немецкий язык
  • Города: Москва, Люберцы, Балашиха, Реутов, Железнодорожный
  • Ближайшие станции метро: Новогиреево, Выхино
  • Выезд на дом: возможен
  • Статус: Преподаватель вуза
  • Образование: Горловский государственный педагогический институт иностранных языков им Н. К. Крупской, 1994 г.; факультет английского и немецкого языков; преподаватель английского и немецкого языков.

Индивидуальное обучение немецкому языку с опытным репетитором.
  Немецкий язык; школьники (1-11 классы), студенты, взрослые, любой уровень знаний, подготовка к сдаче экзамена в Гете-институте A1, A2, B1, B2.
  Русский как иностранный; обучение немецкоговорящих, любой возраст.
  Преподаватель немецкого языка и русского как иностранного в немецкой компании, работа в группах, индивидуально, преподавание немецкоговорящим РКИ. Обучение по аутентичным учебникам.
  Успешный опыт подготовки в в Гёте-институт А1, А2, В1, В2. Помощь в усвоении школьной программы, углублённое изучение языка. Развитие у учащихся навыков говорения. аудирования, чтения, письма. Помощь в изучении языка студентам...
  

Индивидуальное обучение немецкому языку в Москве с репетитором.
  Подготовка в рамках школьной программы, а так же изучения языка со взрослыми. С удовольствием работаю с учащимися любого возраста любого уровня владения языком. В случае затрудений по предмету могу помочь с выполнением домашнего задания дистанционно через скайп или мессенджеры вотсапп и вайбер.
  

  • Стоимость занятий: Занятия по скайпу стоят 600 р. т.к. не приходится тратить деньги и время на проезд. Очные занятия стоят 800 р. за час.
  • Предметы: Немецкий язык
  • Города: Москва, Люберцы
  • Ближайшие станции метро: Котельники, Жулебино
  • Выезд на дом: возможен
  • Статус: Школьный преподаватель
  • Образование: МПГУ им. Ленина, факультет иностранных языков, 2008 г., специалист

  Я провожу первое занятие бесплатно.
  Индивидуальное обучение немецкому языку с репетитором.
  Преподаю язык для повседневного общения, для работы (деловое общение, юридическая, экономическая, финансовая лексика, научная коммуникация), готовлю к сдаче международных экзаменов (уровни А1-С2). Ставлю произношение и грамматику, навыки разговора и понимания на слух - все это - в интересной, увлекательной и коммуникативной форме)))) Интенсивные занятия для подготовки к учебе и работе в немецкоязычных странах.
  Преподавала в МГЛУ, в Центрах Карла Дуйсберга, в корпоративных группах компаний. Более 10 лет работала в качестве письменного и устного переводчика в компаниях.
  В настоящее время - действующий преподаватель Института им...
  

  • Стоимость занятия: 2000 руб. / 60 мин
  • Предметы: Немецкий язык, Английский язык
  • Город: Москва
  • Ближайшая станция метро: Павелецкая
  • Выезд на дом: возможен
  • Статус: Преподаватель вуза
  • Образование: Диплом МГЛУ, стажировка в Берлинском университете им. Гумбольдта, программа повышения квалификации преподавателей Гете-Института.

Частное обучение немецкому языку на дому с репетитором.
  Репетитор немецкого языка, любой уровень, быстрый вывод в свободную речь, занятия по аутентичным учебникам.
  Политический и экономический немецкий, язык дипломатического общения.
  
  

  • Стоимость занятий: 1500 р./60 минут. Минимальное время проведения занятия 90 минут, стоимость занятия от 2000 р.
  • Предметы: Немецкий язык
  • Город: Москва
  • Ближайшие станции метро: Печатники, Смоленская
  • Выезд на дом: возможен
  • Статус: Преподаватель вуза
  • Образование: Академия ФСБ РФ, переводческий факультет, переводчик немецкого и английского языков. Специальность - Лингвистика и межкультурная коммуникация. Год окончание - 1999.

Определённым интегралом от непрерывной функции f (x ) на конечном отрезке [a , b ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F (b ) - F (a )).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a , b ] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F (x ) – какая-нибудь первообразная функция для f (x ), то, согласно определению,

(38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница . Разность F (b ) – F (a ) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F (x ) и Ф(х ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х ) = F (x ) + C . Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a , b ] приращения всех первообразных функции f (x ) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее - значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) - F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .

При a = b по определению принимается

Пример 1.

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

Свойства определённого интеграла

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования , т.е.

(40)

Пусть F (x ) – первообразная для f (x ). Для f (t ) первообразной служит та же функция F (t ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла , т.е.

(41)

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций , т.е.

(42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям , т.е. если

(43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак , т.е.

(44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его , т.е.

(45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если


Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать , т.е.

(46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим


Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f (x ) – непрерывная на отрезке [a , b ] функция, а F (x ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

(47)

а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х , которую обозначим через Ф (х ), т.е.

(48)

Докажем, что функция Ф (х ) является первообразной для f (x ) = f (t ). Действительно, дифференцируя Ф (х ), получим

так как F (x ) – первообразная для f (x ), а F (a ) – постояная величина.

Функция Ф (х ) – одна из бесконечного множества первообразных для f (x ), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = a и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

где, по определению, F (x ) – первообразная для f (x ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции , равна

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения a и b , т.е.

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F (b ) – F (a ) есть