Значительно труднее научиться доказывать теоремы. При этом речь идет не о запоминании доказательства той или иной теоремы, которая была рассмотрена на уроке. Специально запоминать доказательство не нужно, нужно научиться самому доказывать теоремы.
Что значит доказать теорему, что такое доказательство? Доказательство в широком смысле - это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений. Поэтому, когда вы убеждаете своего товарища в чем-либо или отстаиваете в споре с ним свое мнение, свою точку зрения, то вы по существу производите доказательство (умело или неумело - это уже другой вопрос). В жизни все время, каждодневно в общении с другими людьми, приходится доказывать те или иные мысли, утверждения, приходится убеждать в чем-то, т. е. доказывать.
Доказательство математических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно отличается от доказательства в житейских условиях или в других науках тем, что оно совершается по возможности чисто дедуктивным способом (от латинского слова дедукция - выведение), т. е. выведением новой доказываемой мысли (утверждения, суждения) из ранее доказанных или принятых без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логики без каких-либо ссылок на примеры или опыт. В других науках, в житейских обстоятельствах мы для доказательства часто прибегаем к примерам, к опыту. Мы говорим: "Смотри" - и это может служить доказательством. В математике такой способ доказательства недопустим, ссылаться, например, на очевидные отношения, иллюстрируемые чертежом, не разрешается. Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.
Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемую теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.
Следовательно, аксиомы служат не только для косвенного определения первичных понятий, но и в качестве оснований для доказательства всех теорем математики. Вот почему в числе аксиом встречаются и такие, которые указывают особые свойства понятий, имеющих логические определения. Так, например, параллельные прямые в курсе геометрии являются не первичным понятием, а определяемым. Однако одно из свойств параллельных прямых, а именно что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной, мы вынуждены принять за аксиому, ибо, как было установлено великим русским геометром Н. И. Лобачевским (1792-1856), а также немецким математиком К. Ф. Гауссом (1777-1855) и венгерским математиком Я. Больяй (1802- 1860), доказать это свойство параллельных прямых на основе лишь остальных аксиом геометрии невозможно.
Всякий шаг доказательства состоит из трех частей: 1)предложение (аксиома, теорема, определение), на основе которого производится этот шаг доказательства; это основание шага доказательства называется посылкой или аргументом ; 2) логическое рассуждение, в процессе которого посылка применяется к условиям теоремы или к ранее полученным следствиям; 3) логическое следствие применения посылки к условиям или ранее полученным следствиям.
В последнем шаге доказательства теоремы в качестве следствия получаем утверждение, которое необходимо было доказать.
Покажем процесс доказательства на примере такой теоремы: "Диагонали прямоугольника равны".
В этой теореме нам дан произвольный (любой) прямоугольник. Для того чтобы легче было рассуждать в процессе доказательства, поступают следующим образом. Начертим вполне определенный прямоугольник ABCD (рис. 6), но при доказательстве не будем использовать какие-либо частные особенности этого прямоугольника (например, что его сторона АВ примерно в 2 раза больше стороны AD и т. д.). Поэтому наши рассуждения относительно этого определенного прямоугольника будут верны и для любого другого прямоугольника, т. е. они будут иметь общий характер для всех прямоугольников.
Проведем диагонали АС и BD . Рассмотрим полученные треугольники ABC и ABD . У этих треугольников углы ABC и BAD равны как прямые, катет АВ - общий, а катетыВС и AD равны как противоположные стороны прямоугольника. Следовательно, эти треугольники равны. Отсюда следует, что стороны АС и BD также равны, что и требовалось доказать.
Все доказательство этой теоремы можно изобразить в виде следующей схемы.
Самое трудное в доказательстве - это найти последовательность посылок (аксиом, теорем, определений), применяя которые к условиям теоремы или промежуточным результатам (следствиям) в конечном итоге можно получить нужное следствие - доказываемое положение.
Какими правилами нужно руководствоваться при поиске этой последовательности? Очевидно, что эти правила не могут носить обязательный характер, они лишь указывают возможные пути поиска. Поэтому они называются эвристическими правилами или просто эвристиками (от греческого слова эврика - нахожу, нашел). Многие выдающиеся математики, такие, как Папп (древнегреческий математик, живший в III в.), Блез Паскаль (1623- 1662), Рене Декарт (1596-1650), Жак Адамар (1865-1963), Дьердь Пойя (1887) и многие другие, занимались разработкой эвристик для поиска доказательства теорем и решения задач. Вот некоторые эвристические правила, которые полезно помнить:
- Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме (задаче), их определениями или признаками. Например, в рассмотренной выше теореме шла речь о прямоугольнике, и мы для доказательства использовали определение прямоугольника.
- Если можно, то нужно доказываемое положение раздробить на части и доказывать каждую часть в отдельности. Так, например, доказательство теоремы: "Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм" - можно разделить на две части: сначала доказать, что одна пара противоположных сторон данного четырехугольника параллельна, а затем доказать, что и вторая пара противоположных сторон также параллельна. Так следует поступать всегда, когда есть возможность доказываемое утверждение разбить на несколько частей более простых утверждений.
- В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух сторон: от условий теоремы к заключению и от заключения к условиям.
Например, нужно доказать такую теорему: "Если некоторая последовательность такова, что любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то эта последовательность - арифметическая прогрессия".
Пойдем от условия теоремы. Что нам дано? Дано, что каждый член последовательности, начиная со второго (обозначим его а n , n>2 ), есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов, т. е. а n-1 и а n+1 . Значит, верно такое равенство:
(1)
Теперь пойдем от заключения. А что нам нужно доказать? Нужно доказать, что эта последовательность - арифметическая прогрессия. А какая последовательность называется арифметической прогрессией? Вспоминаем определение:
Сопоставляем данное нам условие (1) с заключением (2). Чтобы условие приняло форму заключения, надо преобразовать так:
Отсюда a n -a n-1 =a n+1 -a n . (4)
Левая и правая части (4) обозначают одно н то же, а именно разность между двумя последовательными членами заданной последовательности. Если в равенстве (4) п давать последовательно значения 2, 3 и т. д., то получим: a 2 -a 1 =a 3 -a 2 , затем а 3 - а 2 = а 4 - а 3 . и т. д. Следовательно, все эти разности равны между собой, а это значит, что разность a n -a n-1 есть постоянное число, которое можно обозначить буквой d :
Отсюда получаем: а n = а n-1 + d , а это значит, что согласно определению (2) данная последовательность есть арифметическая прогрессия, что нам и надо было доказать.
Эту эвристику можно и так сформулировать: надо стараться сблизить условие и заключение теоремы, преобразуя их или заменяя их следствиями.
Известен и ряд более частных эвристических правил, которые применяются при поиске лишь некоторых теорем. Например, такая эвристика: для того чтобы доказать равенство каких-либо отрезков, надо найти или построить фигуры, соответствующими сторонами которых являются эти отрезки; если фигуры окажутся равными, то будут равны и соответствующие отрезки.
Изучая теоремы, нужно не просто запоминать их доказательство, а каждый раз думать и устанавливать, какими методами они доказываются, какими эвристическими правилами руководствовались при нахождении этих доказательств, как догадались (додумались) до этих доказательств.
В ряде случаев для доказательства теорем используется особый прием, называемый "доказательством от противного" или "приведением к нелепости".
Сущность этого приема заключается в том, что предполагают несправедливость (ложность) заключения данной теоремы и доказывают, что такое предположение приводит к противоречию с условием или с ранее доказанными теоремами или аксиомами. А так как любое утверждение может быть либо верным, либо неверным (ничего другого быть не может), то полученное противоречие показывает, что допущение о ложности заключения теоремы неверно и, следовательно, заключение верно, тем самым теорема доказана.
Приведем пример.
Теорема. Две прямые, порознь параллельные третьей, параллельны между собой.
Дано: а||с, b||с.
Доказать: а||b (рис. 7).
Прямого (непосредственного)доказательства этой теоремы мы не знаем. Тогда докажем ее методом от противного.
Допустим, что заключение теоремы неверно, т. е. а не параллельна b . Тогда они пересекаются в некоторой точке М . А так как по условию каждая из этих прямых параллельна прямой с , то получается, что через точку М проведены две прямые а и b , параллельные одной и той же прямой с . А мы знаем по аксиоме параллельности, что через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Пришли к противоречию с аксиомой. Это показывает, что наше предположение о не параллельности прямых а и b неверно, следовательно, а||b , что и требовалось доказать.
Другой пример.
Теорема. Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше (значит: больше или равно) среднего геометрического этих чисел.
Эту теорему можно так записать: 
(1), где а
>0, b
>0. Ее можно доказать как прямым способом, так и способом от противного. Докажем ее способом от противного.
Для этого допустим, что она неверна, т. е. среднее арифметическое меньше среднего геометрического двух положительных чисел:
(2)
Умножим обе части (2) на 2 и, возвысив их в квадрат, получим: a 2 +2ab+b 2 или a 2 -2ab+b 2 По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (a-b) 2 .
В результате получили явную нелепость: квадрат некоторого числа (а-b) отрицателен, чего быть не может. Следовательно, предположение о неверности теоремы привело к противоречию, что доказывает справедливость теоремы.
Таким образом, доказательство от противного некоторой теоремы состоит в том, что мы делаем допущение о неверности заключения теоремы. Затем делаем ряд логических умозаключений на основе этого допущения, в результате которых приходим к явно нелепому положению (к противоречию с условием или ранее доказанными теоремами, аксиомами). Далее рассуждаем так: если бы наше предположение было бы верным, то мы могли бы прийти лишь к верному выводу, а так как мы пришли к неверному выводу, то это означает, что наше предположение было ложным, следовательно, тем самым мы убедились, что заключение теоремы верно.
Заметим, что если в результате рассуждений мы не получили бы нелепости (противоречия), то это еще не означало бы, что предположение верно. Иными словами, если исходить из верности (справедливости) заключения теоремы и из этого предположения получить верное (очевидное) следствие, то это еще не значит, что предположение верно: может случиться, что исходная теорема как раз неверна.
На этом построены многие софизмы (умышленно ложно построенные умозаключения, кажущиеся лишь правильными), этим объясняются многие ошибки, допускаемые, при решении задач.
Рассмотрим, например, такое равенство: a-b=b-a (1), где а и b - произвольные числа. Допустим, что (1) верно, тогда возвысим обе части (1) в квадрат, получим:
Перенеся все члены в одну сторону и сделав приведение подобных, придем к совершенно верному равенству: 0 = 0.
Но отсюда нельзя делать вывод, что и исходное равенство (1) верно. Если бы мы такой вывод сделали, то пришли бы к такому софизму: 2а = 2b или а = 6, т. е. любые произвольные числа равны между собой. Ошибка состоит в том, что из равенства квадратов двух чисел не следует равенство самих этих чисел. Например, (- 2) 2 = 2 2 , но -2≠2.
Вот пример ошибочного решения задачи.
Задача. Решить уравнение
(1)
Допустим, что (1) имеет решение и, следовательно, равенство (1) верно. Тогда получим: 
Возвысим обе части в квадрат: 9х = х + 4х + 4 или х 2 - 5х + 4 = 0 , отсюда x 1 =4, x 2 =1.
Можно ли найденные значения х считать корнями уравнения (1)? Некоторые ученики отвечают на этот вопрос утвердительно, ибо ведь все преобразования уравнения верные. И все же ни одно из найденных значений х не является корнем (1). Это подтверждает проверка. Подставляя найденные значения х в (1), получаем явно нелепые равенства: 12 = 0 и 6 = 0.
Таким образом вы должны учиться доказывать теоремы (формулы), тождества и т. д., овладевать общими способами поиска доказательства теорем (эвристическими правилами).
Задание 6
6.1. Составьте схему шагов доказательства следующих теорем, указывая посылки, условия и следствия каждого шага:
а) В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой.
б) (а + b) 2 = а 2 + 2аb+b 2 .
в) Середины сторон выпуклого четырех-угольника являются вершинами параллелограмма.
6.2. Найдите ошибку в доказательстве следующей заведомо ложной теоремы: "Катет прямоугольного треугольника равен его гипотенузе". (Рис. 8, на рисунке должен быть отрезок СМ .)
Проведем в прямоугольном треугольнике ABC (∠ С = 90°) биссектрису угла В и восставим в середине катета АС точке D перпендикуляр к нему. Очевидно, что они пересекутся в Рис. 8 некоторой точке М . Из точки М проведем MF⊥BC и ME ⊥АВ (рис. 8).
Рассмотрим треугольники ВМЕ и BMF , они оба прямоугольные по построению, гипотенуза MB у них общая, а углы MBF и МВЕ равны, ибо ВМ - биссектриса угла В. Следовательно, ΔMFB = ΔМЕВ . Отсюда BE = BF (1) и МЕ =MF (2). ΔCMD=ΔAMD как прямоугольные, у которых CD =AD и MD - общая. Тогда АМ = СМ (3). ΔAME=ΔCMF как прямоугольные в силу равенства (2) и (3). Отсюда AE = FC (4). Складывая равенства (1) и (4), получим АВ =ВС , что и требовалось доказать.
6.3. Докажите теорему: "Два треугольника равны, если две стороны и медианы к одной из них одного треугольника равны двум сторонам и медиане к соответствующей стороне другого треугольника" - и установите, какими эвристиками вы пользовались при поиске доказательства.
6.4. Какая ошибка допущена в доказательстве следующей теоремы: "Если длины сторон треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то треугольник прямоугольный"?
Доказательство: обозначим стороны этого треугольника а, b и с . По условию a=3k, b=4k и c = 5k . Тогда a 2 +b 2 =9k 2 +16k 2 =25k 2 =c 2 . Следовательно, по теореме Пифагора этот треугольник прямоугольный.
6.5. Докажите методом от противного теорему: "Во всяком треугольнике против большего угла лежит большая сторона".
6.6. Разберитесь в следующем софизме: "Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру".
Проведем в окружности диаметр АВ и возьмем на окружности произвольную точку С , отличную от A и B (рис. 9). Соединим С с А . Обозначим середину АС через М и проведем через нее и точку В прямую до пересечения с окружностью в точке D . Соединим D с С . Рассмотрим треугольники АВМ и CDM . У них АМ = СМ по построению, ∠ABM= ∠DCM как вписанные опирающиеся на одну и ту же дугу AD , ∠AMB =∠CMD как вертикальные, следовательно, по второму признаку равенства треугольников эти треугольники равны. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, следовательно, AB = CD .
6.7. В чем ошибка в следующих рассуждениях:
4:4 = 5:5 (1). Выносим за скобки общие множители:
4-(1:1) = 5-(1:1), а так как 1:1 = 1 и 4 = 2*2, то получаем (2*2)*1=5-1, или 2*2 = 5.
6.8. Разберитесь в следующем софизме: "Положительное число меньше нуля".
Действительно, пусть a>b (1), где а и b - положительные числа. Умножим обе части (1) на b - а , получим: а(b - а)>b(b-a); ab -a 2 >b 2 - ab; 0>a 2 -2ab+b 2 ; 0>(a - b) 2 . Ho (a-b) 2 есть положительное число, ибо а≠b , следовательно, получили, что нуль больше положительного числа.
6.9. Как доказать предложение: "Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых ее сторон".
По способу связи аргументов от условия к заключению доказательства подразделяются на прямые и косвенные .
Прямое доказательство основано на каком-нибудь несомненном начале, из которого непосредственно устанавливается истинность теоремы.
Методы прямого доказательства:
– синтетический,
– аналитический,
– метод математической индукции.
Синтетический метод : при построении цепочки силлогизмов мысль движется от условия теоремы к ее заключению.
В учебниках приводятся преимущественно синтетические доказательства. Их преимущества – полнота, сжатость, краткость. Недостатки – отсутствие мотивации шагов, обоснования дополнительных построений; они носят значительно более формальный характер, чем аналитические доказательства.
Пример
Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведения отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Дано: АВ и СД – хорды окружности, Е – точка их пересечения.
Доказать: АЕ×ВЕ = СЕ×ДЕ. (1)
Доказательство (синтетическое)
Рассмотрим треугольники АДЕ и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВМД, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников DАДЕ ~ DСВЕ. Отсюда следует, что , или АЕ×ВЕ = СЕ×ДЕ. Теорема доказана .
Аналитический метод : при поиске доказательства мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Преимущества этого метода – есть отправное звено доказательства, дополнительные построения мотивированы, увеличивается творческая активность учащихся. Недостатки – большие потери времени, искусственные дополнительные построения трудно обосновать.
Пример . Теорема о хордах окружности.
Доказательство (аналитическое)
Чтобы доказать равенство (1), достаточно показать, что (2).
Для того, чтобы найти пропорцию (2), достаточно доказать подобие треугольников, стороны которых являются членами этой пропорции. Для получения таких треугольников соединяем точки С и В, А и Д.
Чтобы обосновать верность пропорции (2), достаточно доказать, что DАДЕ ~ DСВЕ. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников: Ð1 = Ð2 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВМД, а Ð3 = Ð4 как вертикальные. Следовательно, теорема верна .
Любое аналитическое доказательство обратимо в синтетическое и наоборот. Это широко используется в учебном процессе. Технологии могут быть таковы:
1) синтетическое доказательство предваряется аналитическими поисками его плана;
2) синтетическое доказательство заменяется аналитическим, в качестве домашнего задания – изучение синтетического доказательства по учебнику;
3) при использовании лекционного метода (преимущественно за пределами курса основной школы) часто используется чисто синтетический метод доказательства.
Метод математической индукции не имеет распространения в геометрии, так как основан на свойствах множества натуральных чисел, выходит за рамки основной школы, поэтому мы не будет подвергать его специальному изучению.
Косвенное доказательство : истинность теоремы устанавливается посредством опровержения некоторых суждений, содержащихся в теореме.
Наиболее распространенный и единственно применимый в курсе планиметрии метод косвенного доказательства – доказательство от противного .
Логико-математическая сущность метода от противного: вместо прямой (р Þ q) доказывается обратная противоположной теорема ().
Поэтому доказательство методом от противного строится по следующей схеме:
1) пусть неверно q, то есть истинно ;
2) докажем, что ложно р, то есть истинно ;
3) убедились, что из ;
4) следовательно, р Þ q (в силу равносильности импликаций р Þ q и ), что и требовалось доказать.
Курс геометрии основной школы широко применяет доказательства от противного, начиная буквально с первых уроков в седьмом классе. При этом необходимо использовать алгоритмический подход.
Алгоритм доказательства от противного .
1. Допускаем, что заключение теоремы ложно. Тогда будет верно противоречащее ему утверждение.
2. Вычленяем возможные случаи.
3. Убеждаемся, что в каждом случае приходим к следствию, которое противоречит:
– условию теоремы,
– ранее установленным математическим фактам.
4. Наличие противоречия заставляет отказаться от принятого заключения.
5. Признаем справедливость заключения доказываемой теоремы.
Мы охарактеризовали основные логические методы доказательства теорем: прямые и косвенные, которые в свою очередь могут быть аналитическими и синтетическими, доказательствами от противного.
Можно говорить об основных математических методах доказательства теорем. В геометрии к ним можно отнести следующие базовые методы:
1) метод геометрических преобразований : эффективен, соответствует современной концепции обучения геометрии в школе, но требует развитого абстрактного и пространственного мышления; методика его использования в школе недостаточно отработана;
2) метод равенства и подобия треугольников – соответствует классической концепции обучения геометрии в школе, известен со времен Евклида, поэтому методика его хорошо разработана; навыки его применения формируются постепенно, в процессе решения задач и доказательства теорем.
Кроме указанных базовых математических методов доказательства теорем планиметрии можно говорить о более частных методах: метод симметрии, метод поворота, векторный метод, алгебраический метод, метод подобия, координатный метод и др.
Методы доказательства, используемые в курсе геометрии основной школы, можно обобщить в виде схемы I.
Работа учителя над теоремой многоэтапна. Выделим основные из этих этапов: 1)актуализация знаний, мотивация изучения теоремы; 2)формулировка теоремы и усвоение ее содержания; 3) доказательство теоремы; 4) закрепление и применение теоремы
Заметим, что в каждом конкретном случае учитель сам решает, какие этапы с какой полнотой использовать, а без каких можно обойтись. Это зависит от особенностей класса, предыдущего опыта учителя, сложности теоремы для восприятия и др.
1-ый этап – актуализация знаний (опорное повторение) и мотивация изучения теоремы.
Технология организации опорного повторения: учитель
– разбивает доказательство на максимальное число шагов;
– вычленяет все математические факты, на которые опирается доказательство;
– анализирует, все ли они и в какой степени известны учащимся;
– организует опорное повторение в форме беседы, фронтального опроса, системы подготовительных задач (чаще всего “на готовых чертежах” – см. далее).
Мотивация изучения теоремы чаще всего связывается учителем с решением практической задачи, в которой необходим факт, отраженный в теореме (см. пример на с. 30).
2-й этап – введение формулировки теоремы и усвоение ее содержания .
Опишем два основных способа введения формулировки теоремы.
1-й способ. Учитель сам формулирует теорему с предварительной мотивировкой либо без нее.
Спешить с формулировкой не следует. Только в том случае, если она проста, доходчива, можно начинать с формулировки. Если формулировка не отличается простотой, то учитель прежде всего вычерчивает фигуру, выясняет и записывает на доске условие, заключение теоремы и только после этого формулирует ее полностью.
Преимущества способа – краткость, четкость, экономия времени; недостаток – возможен формализм, догматизм.
2-й способ. Учащиеся подготавливаются к самостоятельному формулированию теоремы.
В планиметрии для этого часто используют упражнения на построение и измерение соответствующих фигур.
Пример . Для самостоятельного открытия учащимися теоремы о хордах окружности учитель предлагает следующие вопросы и задания:
– Проведите в окружности две неравные хорды.
– Установите на глаз, какая из них ближе к центру.
– Сформулируйте свой вывод.
Преимущества способа – развитие творческих способностей учеников, повышение интереса к изучению геометрии; недостатки – большие затраты времени, возможное распыление внимание на несущественные детали.
После того, как теорема сформулирована, работаем над уточнением: оговариваем терминологию, выделяем условие и заключение теоремы. Параллельно выполняется краткая запись данных и того, что требуется доказать; строится чертеж.
Требования к чертежу:
– должен быть изображен общий, а не частный случай;
– размеры чертежа должны быть оптимальны;
– данные и искомые выделяются на чертеже цветом, используются специальные метки и символы для обозначения.
3-й этап – доказательство теоремы .
Ранее (см. 3. 2) мы охарактеризовали основные логические и математические методы доказательства теорем.
Учебник во много определяет выбор метода доказательства: логического (прямое или косвенное, аналитическое, синтетическое или метод от противного) и математического (метод геометрических преобразований или метод равенства или подобия треугольников).
Учитель должен хорошо разбираться в структуре всех видов доказательства, уметь перевести синтетическое доказательство в аналитическое и наоборот ; осознанно выбрать аналитический или синтетический путь рассуждений на уроке (в зависимости от возраста и уровня подготовки учащихся, профиля класса, возможных затрат времени и др.).
Учащиеся должны понимать, что процесс доказательства заключается в построении последовательной цепочки рассуждений, обоснованных с помощью уже известных математических фактов. Заключение – последнее ее звено.
Как мы знаем, каждый шаг этой цепочки – силлогизм. В школе нет возможности, да и необходимости вводить термины “силлогизм”, “большая посылка”, “меньшая посылка”. Обычно в обучении геометрии в основной школе пользуются терминами “шаг”, “этап”: на каждом шаге доказательства указывается утверждение и его обоснование.
На первых порах для понимания структуры доказательства, после того, как оно найдено, полезно оформление его в виде двух колонок, в одной из которых – утверждения, в другой – обоснования.
Пример . Признак параллельности прямых.
Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Наибольшая трудность – усвоение логики доказательства. Большую помощь тут могут оказать специальные карточки, которые могут применяться в качестве самостоятельной работы, домашнего задания, задания для индивидуального опроса и др. 1
Техника их изготовления проста: опуская некоторые пункты в колонках “утверждение”, “обоснование”, получаем один из вариантов индивидуальной карточки, который может быть использован как лист с печатной основой (ученик вписывает недостающие фрагменты доказательства).
Методика использования карточек: выдается карточка, предлагается заполнить пустые места; разным группам учащихся предлагаются карточки с различной насыщенностью текста, осуществляя таким образом индивидуализацию обучения математике.
Для подготовки учащихся к изучению доказательства теоремы многие учителя пользуются приемом составления плана доказательства . Обычно выделяется два этапа.
1 подход . Дается готовый план доказательства новой теоремы, учащимся предлагается самим доказать ее с помощью плана.
Пример. К теореме «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом» предлагается такой план:
1. Провести диагональ
2. Доказать равенство полученных треугольников
3. Доказать параллельность противоположных сторон четырехугольника
4. Сделать вывод.
План демонстрируется классу, например, на экране с помощью интерактивной доски, мультимедиапроектора или кодоскопа. Такую новую форму задания учащиеся воспринимают с исключительным интересом. Как только план появляется на экране, они затихают – думают. Очень многие изъявляют затем желание отвечать. Чем объяснить такой повышенный интерес?
Во-первых, план разбивает доказательство теоремы на ряд простых, элементарных шагов, которые учащиеся уже могут выполнить. Если они еще не научились их выполнению, то план давать не стоит.
Во-вторых, учащиеся чувствуют, что с помощью плана они смогут доказать новую теорему. Не слушать и запоминать, а самостоятельно доказать. Это весьма импонирует им.
В-третьих, план позволяет охватить все доказательство в целом, добиться полноты понимания. Следовательно, ослабляется отрицательное влияние, когда установка на запоминание затрудняет понимание. Это приводит к уверенности, возрастает желание работать.
2-й подход . Учащихся учат составлять план уже доказанной теоремы. Сначала эта работа выполняется коллективно, а затем самостоятельно. Причем, здесь учителю приходится неоднократно показывать образцы составления плана. Учащиеся свободно воспринимают готовый план, но не сразу у них появляются умения и навыки составления плана. Очень хорошие результаты получаются в тех случаях, когда для доказательства нескольких теорем дается один общий план. Такие теоремы, объединенные общей идеей, усваиваются особенно продуктивно.
Как мы уже говорили, в учебниках планиметрии представлены краткие синтетические доказательства теорем. Учитель должен систематически учить учащихся:
1) конструировать доказательства из шагов;
2) превращать сокращенные книжные доказательства в развернутые цепочки шагов с указанием обоснований;
3) оформлять полные записи доказательства отдельных теорем.
Приведем пример полной записи доказательства теоремы по шагам.
Пример . Полное доказательство признака параллельности прямых (формулировка и краткая запись доказательства даны на предыдущей странице).
Пусть при пересечении прямых а и в секущей с имеем углы, например, 2 и 3 – вертикальные, 1 и 3 – накрест лежащие.
1. Так как 3 и 2 – вертикальные углы, то 3 = 2 (вертикальные углы равны).
2. Так как 1 = 2 и 3 = 2, то 1 = 3 (если правые части в верных равенствах равны, то равны их левые части).
3. Так как 1 и 3 – накрест лежащие углы при пересечении прямых а и в секущей с и 1 = 3, то а в (если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны).
Теорема доказана .
В процессе доказательства необходимо полностью использовать условие теоремы. Один из путей – обсуждение, на каких этапах и как применена та или другая часть условия, все ли они использованы при доказательстве.
Для обеспечения усвоения доказательства широко применяется прием двукратного доказательства : сначала обсуждается только идея, план; доказательство излагается фрагментарно. После этого доказательство излагается полностью, со всеми тонкостями и нюансами.
В опыте В.Ф. Шаталова используется сверхмногократное повторение доказательства, причем, часто на уровне идеи, плана.
4-й этап – закрепление и применение теоремы
Этап закрепления теоремы предполагает работу по выявлению, поняты ли сущность самой теоремы, идея, метод доказательства и отдельные его шаги. Приемы закрепления могут быть таковы:
– в процессе беседы с учащимися еще раз выделить основную идею, метод и шаги доказательства;
– предложить объяснить отдельные шаги доказательства;
– перечислить все аксиомы, теоремы и определения, которые используются в доказательстве;
– выяснить, где используется то или иное условие, все ли они оказались использованными;
– нет ли других способов доказательства;
– при закреплении полезно варьировать обозначения на чертеже, а также сам чертеж и т.п.
Применение теоремы организуется в процессе решения задач, в которых она используется. Нужно иметь в виду, что не всегда учебник предлагает систему задач на применение конкретной теоремы, чаще даются отдельные задачи, которые опытный учитель может дополнять. Применяются теоремы и при доказательстве других теорем последующего курса планиметрии и стереометрии.
Нахождение математического доказательства может оказаться непростой задачей, но вам поможет знание математики и умение оформить доказательство. К сожалению, не существует быстрых и простых методов научиться решать математические задачи. Необходимо как следует изучить предмет и запомнить основные теоремы и определения, которые пригодятся вам при доказательстве того или иного математического постулата. Изучайте примеры математических доказательств и тренируйтесь сами - это поможет вам усовершенствовать свое мастерство.
Шаги
Поймите условие задачи
- При создании рисунка или схемы используйте приведенные в условии данные. Отметьте на рисунке известные и неизвестные величины.
- Рисунок облегчит вам поиск доказательства.
-
Изучите доказательства схожих теорем. Если вам не удается сходу найти решение, найдите подобные теоремы и посмотрите, как они доказываются.
Задавайте вопросы. Ничего страшного, если вам не удастся сразу же найти доказательство. Если вам что-то неясно, спросите об этом учителя или одноклассников. Возможно, у ваших товарищей возникли те же вопросы, и вы сможете разобраться с ними вместе. Лучше задать несколько вопросов, чем вновь и вновь безуспешно пытаться найти доказательство.
- Подойдите к учителю после уроков и выясните все неясные вопросы.
Сформулируйте доказательство
-
Сформулируйте математическое доказательство. Математическим доказательством называют подкрепленную теоремами и определениями последовательность утверждений, которая доказывает какой-либо математический постулат. Доказательства являются единственным способом определить, что то или иное утверждение верно в математическом смысле.
- Умение записать математическое доказательство свидетельствует о глубоком понимании задачи и владении необходимыми инструментами (леммами, теоремами и определениями).
- Строгие доказательства помогут вам по-новому взглянуть на математику и почувствовать ее притягательную силу. Просто попробуйте доказать какое-либо утверждение, чтобы получить представление о математических методах.
-
Учтите свою аудиторию. Прежде чем приступить к записи доказательства, следует подумать о том, для кого оно предназначено, и учесть уровень знаний этих людей. Если вы записываете доказательство для дальнейшей публикации в научном журнале, оно будет отличаться от того случая, когда вы выполняете школьное задание.
- Знание целевой аудитории позволит вам записать доказательство с учетом подготовки читателей, чтобы они поняли его.
-
Определите тип доказательства. Есть несколько видов математических доказательств, и выбор конкретной формы зависит от целевой аудитории и решаемой задачи. Если вы не знаете, какой вид выбрать, посоветуйтесь со своим учителем. В старших классах школы требуется оформлять доказательства в две колонки.
- При записи доказательства в две колонки в одну заносят исходные данные и утверждения, а во вторую - соответствующие доказательства этих утверждений. Такую форму записи часто используют при решении геометрических задач.
- При менее формальной записи доказательств используют грамматически правильные конструкции и меньшее количество символов. На более высоких уровнях следует применять именно эту запись.
-
Сделайте набросок доказательства в виде двух колонок. Такая форма помогает упорядочить мысли и последовательно решить задачу. Разделите страницу пополам вертикальной линией и запишите исходные данные и вытекающие из них утверждения в левой части. Справа напротив каждого утверждения запишите соответствующие определения и теоремы.
Запишите доказательство из двух колонок в виде неформального доказательства. Возьмите за основу запись в виде двух колонок и запишите доказательство в более краткой форме с меньшим количеством символов и сокращений.
- Например: предположим, что углы А и В являются смежными. Согласно гипотезе, эти углы дополняют друг друга. Будучи смежными, угол A и угол B образуют прямую линию. Если стороны угла образуют прямую линию, такой угол равен 180°. Сложим углы A и B и получим прямую линию ABC. Таким образом, сумма углов A и B равна 180°, то есть эти углы являются дополнительными. Что и требовалось доказать.
Запишите доказательство
-
Освойте язык доказательств. Для записи математических доказательств используют стандартные утверждения и фразы. Необходимо выучить эти фразы и знать, как ими пользоваться.
Запишите все исходные данные. При составлении доказательства первым делом следует определить и выписать все, что дано в задаче. В этом случае вы будете иметь перед глазами все исходные данные, на основании которых необходимо получить решение. Внимательно прочитайте условие задачи и выпишите все, что в нем дано.
-
Определите все переменные. Помимо записи исходных данных полезно также выписать остальные переменные. Чтобы читателям было удобнее, запишите переменные в самом начале доказательства. Если переменные не определены, читатель может запутаться и не понять ваше доказательство.
- Не используйте в ходе доказательства неопределенные ранее переменные.
- Например: в рассмотренной выше задаче переменными являются величины углов A и B.
-
Попробуйте найти доказательство в обратном порядке. Многие задачи легче решать в обратной последовательности. Начните с того, что требуется доказать, и подумайте, как можно связать выводы с исходным условием.
- Перечитайте начальные и конечные шаги и посмотрите, не похожи ли они друг на друга. Используйте при этом начальные условия, определения и похожие доказательства из других задач.
- Задавайте самому себе вопросы и продвигайтесь вперед. Чтобы доказать отдельные утверждения, спрашивайте себя: “Почему это именно так?” - и: “Может ли это оказаться неправильным?”
- Не забывайте последовательно записывать отдельные шаги, пока не получите конечный результат.
- Например: если углы A и B являются дополнительными, их сумма должна составлять 180°. Согласно определению смежных углов, углы A и B образуют прямую линию ABC. Так как линия образует угол 180°, в сумме углы A и B дают 180°.
-
Расположите отдельные шаги доказательства так, чтобы оно было последовательным и логичным. Начните с самого начала и продвигайтесь к доказываемому тезису. Хотя иногда и полезно начать поиск доказательства с конца, при его записи необходимо соблюдать правильный порядок. Отдельные тезисы должны следовать один за другим, чтобы доказательство было логичным и не вызывало сомнений.
- Для начала рассмотрите выдвинутые предположения.
- Подтвердите сделанные утверждения простыми и очевидными шагами, чтобы у читателя не возникало сомнений в их правильности.
- Иногда приходится не один раз переписывать доказательство. Продолжайте группировать утверждения и их доказательства до тех пор, пока не добьетесь наиболее логичного построения.
- Например: начнем с начала.
- Углы A и B являются смежными.
- Стороны угла ABC образуют прямую линию.
- Угол ABC составляет 180°.
- Угол A + угол B = угол ABC.
- Угол A + угол B = угол 180°.
- Угол A является дополнительным к углу B.
-
Не используйте в доказательстве стрелочки и сокращения. При работе с черновым вариантом можно пользоваться различными сокращениями и символами, однако не включайте их в окончательный чистовой вариант, так как это может запутать читателей. Используйте вместо этого такие слова, как “следовательно” и “тогда”.
Завершайте доказательства фразой “что и требовалось доказать”. В конце доказательства должен стоять доказываемый тезис. После него следует написать “что и требовалось доказать” (сокращенно “ч. т. д.” или символ в виде закрашенного квадрата) - это означает, что доказательство завершено.
- На латыни фразе “что и требовалось доказать” соответствует аббревиатура Q.E.D. (quod erat demonstrandum , то есть “что и требовалось показать”).
- Если вы сомневаетесь в правильности доказательства, просто напишите несколько фраз о том, к какому выводу вы пришли и почему он важен.
- Вся приводимая в доказательстве информация должна служить достижению поставленной цели. Не включайте в доказательство то, без чего можно обойтись.
Определите, что требуется найти. Первым делом необходимо выяснить, что именно следует доказать. Помимо прочего, этим будет определяться последнее утверждение в вашем доказательстве. На данном этапе следует также сделать определенные допущения, в рамках которых вы будете работать. Чтобы лучше понять задачу и приступить к ее решению, выясните, что требуется доказать, и сделайте необходимые предположения.
Сделайте рисунок. При решении математических задач иногда полезно изобразить их в виде рисунка или схемы. Это особенно важно в случае геометрических задач - рисунок помогает наглядно представить условие и значительно облегчает поиск решения.
