Последние решения
u84236168 ✎ Биотический фактор - воздействие живых организмов друг на друга. Абиотический фактор - воздействие неорганической среды на живые организмы (химические и физические). А) Повышение давления является физическим фактором, следовательно, относим его к абиотическим. Б) Землетрясение - физический абиотический фактор. В) Эпидемия вызывается микроорганизмами, следовательно, здесь биотический фактор. Г) Взаимодействие волков в стае - биотический фактор. Д) Конкуренция между соснами - биотический фактор, т.к. сосны - живые организмы. Ответ: 11222 к задаче
u84236168 ✎ 1) По таблице видно, что если птенцов в гнезде больше 5, то доля выживших птенцов резко сокращается, следовательно, мы соглашаемся с данным утверждением. 2) Гибель птенцов в таблице никак не объясняется, следовательно, мы ничего не можем сказать по поводу данного утверждения. 3) Да, по таблице видно, что чем меньше в кладке яиц, тем выше забота о потомстве, так, самый высокий процент выживших птенцов (100%) коррелирует с их самым маленьким количеством (1), поэтому мы соглашаемся с данным утверждением. 4) По четвертому утверждению у нас нет никакой точной информации + доля выживших птенцов снижается, значит, мы не согласны с данным утверждением. 5) В таблице нет информации, с чем связано количество яиц в кладке, следовательно, мы игнорируем данное утверждение. Ответ: 1, 3. к задаче
u84236168 ✎ А) Колючки кактуса и колючки барбариса - органы растений, пример используется в сравнительно-анатомическом методе изучения эволюции. Б) Останки представляют собой окаменелые части древних живых существ, чьим изучением занимается наука палеонтология, следовательно, это палеонтологический метод. В) Филогенез - процесс исторического развития природы и отдельных организмов. В филогенетическом ряде лошади могут быть её древние предки, следовательно, это палеонтологический метод. Г) Многососковость человека относится к сравнительно-анатомическому методу, т.к. сравнивается норма (два соска) и атавизм. Д) Аппендикс у человека является рудиментом, следовательно, здесь тоже сравнивается норма и рудимент. Ответ: 21122 к задаче
u84236168 ✎ 1) Скорость не может быть прямо пропорциональна, иначе бы при уменьшении температуры скорость строго увеличивалась бы, что на графике мы не наблюдаем. 2) Про ресурсы среды на графике ничего не сказано, поэтому и мы про это утверждение сказать ничего не можем. 3) Про генетическую программу на графике тоже никакой информации нет, следовательно, и мы сказать ничего не можем. 4) По графику видно, что скорость размножения увеличивается на промежутке от 20 до 36 градусов, след., с этим утверждением мы соглашаемся. 5) По графику видно, что после 36 градусов скорость падает, значит, с этим утверждением мы соглашаемся. Ответ: 4, 5. к задаче
u84236168 ✎ На данном рисунке наружный слуховой проход, барабанная перепонка и улитка (что видно по форме) обозначены правильно. Остальные элементы: 3 - камера внутреннего уха, 4 - молоточек, 5 - наковальня. Ответ: 1, 2, 6. к задаче
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКА Площадью поверхности многогранника по определению считается сумма площадей, входящих в эту поверхность многоугольников. Площадь поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и площадей оснований. Площадь поверхности пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 22. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площади 4, четырех прямоугольников площади 2 и двух невыпуклых шестиугольников площади 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22. Упражнение 6
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 22. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площади 4, четырех прямоугольников площади 2, и двух невыпуклых шестиугольников площади 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22. Упражнение 7
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 22. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площади 4, четырех прямоугольников площади 2 и двух невыпуклых шестиугольников площади 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22. Упражнение 8
Ответ. 38. Решение. Поверхность многогранника состоит из квадрата площади 9, семи прямоугольников площади которых равны 3, и двух невыпуклых восьмиугольников площади которых равны 4. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 38. Упражнение 9
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 24. Решение. Поверхность многогранника состоит из трех квадратов площади 4, трех квадратов площади 1 и трех невыпуклых шестиугольников площади 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 24. Упражнение 10
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 92. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площади 16, прямоугольника площади 12, трех прямоугольников площади 4, двух прямоугольников площади 8, и двух невыпуклых восьмиугольников площади 10. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 92. Упражнение 11
29
Упражнение 26 Осевое сечение цилиндра - квадрат. Площадь основания равна 1. Найдите площадь поверхности цилиндра. Ответ: 6.
Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей. Ответ. 10. Решение. Площади поверхностей данных шаров равны и. Их сумма равна. Следовательно, радиус шара, площадь поверхности которого равна этой сумме, равен 10. Упражнение 30
" мы уже рассмотрели теоретические моменты, которые необходимы для решения. В составе ЕГЭ по математике имеется целый ряд задач на определение площади поверхности и объема составных многогранников. Это, наверное, одни из самых простых задач по стереометрии. НО! Имеется нюанс. Не смотря на то, что сами вычисления проты, ошибку при решении такой задачи допустить очень легко.
В чём же дело? Далеко не все обладают хорошим пространственным мышлением, чтобы сразу увидеть все грани и параллелепипеды из которых «состоят» многогранники. Даже если вы умеете делать это очень хорошо, можете мысленно сделать такую разбивку, всё-таки следует не торопиться и воспользоваться рекомендациями из этой статьи.
Кстати, пока работал над данным материалом, нашёл ошибку в одной из задач на сайте. Нужна внимательность и ещё раз внимательность, вот так.
Итак, если стоит вопрос о площади поверхности, то на листе в клетку постройте все грани многогранника, обозначте размеры. Далее внимательно вычисляйте сумму площадей всех полученных граней. Если будете предельно внимательны при построении и вычислении, то ошибка будет исключена.
Используем оговоренный способ. Он нагляден. На листе в клетку строим все элементы (грани) в масштабе. Если длины рёбер будут большими, то просто подпишите их.
Решите самостоятельно:
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Ещё задачи, . В них приведены решения другим способом (без построения), постарайтесь разобраться - что откуда взялось. Также решите уже представленным способом.
Если требуется найти объём составного многогранника. Разбиваем многогранник на составляющие его параллелепипеды, записываем внимательно длины их рёбер и вычисляем.
Объем многогранника, изображенного на рисунке равен сумме объёмов двух многогранников с рёбрами 6,2,4 и 4,2,2
Решите самостоятельно:
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).
Прежде всего определимся, что же такое многогранник. Это трехмерная геометрическая фигура, грани которой представлены в виде плоских многоугольников. Единой формулы поиска объема многогранника не существует, так как многогранники бывают разной формы. Для того чтобы найти объем сложного многогранника, его условно делят на несколько простых, таких как параллелепипед, призма, пирамида, а затем складывают объемы простых многогранников и получают в результате искомый объем фигуры.
Как найти объем многогранника - параллелепипеда
Для начала найдем площадь прямоугольного параллелепипеда . У такой геометрической фигуры все грани представлены в виде плоских прямоугольных фигур.
- Самый простой прямоугольный параллелепипед – это куб. Все ребра куба равны между собой. Всего у такого параллелепипеда 6 граней, то есть 6 одинаковых квадратов. Объем такой фигуры рассчитывается таким образом:
где a – длина любого ребра куба.
- Объем прямоугольного параллелепипеда, стороны которого имеют различные измерения, рассчитывается по следующей формуле:
где a, b и с – длины ребер.
Как найти объем многогранника - наклонного параллелепипеда
У наклонного параллелепипеда так же 6 граней, 2 их них – основания фигуры, еще 4 – боковые грани. Наклонный параллелепипед отличается от прямого тем, что его боковые грани по отношению к основанию расположены не под прямым углом. Объем такой фигуры рассчитывается как произведение между площадью основания и высотой:
где S – это площадь четырехугольника, лежащего в основании, h – высота искомой фигуры.
Как найти объем многогранника - призмы
Объемная геометрическая фигура, основание которой представлено многоугольником любой формы, а боковые грани - параллелограммами, имеющими общие стороны с основанием – называется призмой. У призмы два основания, а боковых граней столько, сколько сторон у фигуры, являющейся основанием.
Для нахождения объема любой призмы, как прямой, так и наклонной, умножают площадь основания на высоту:
где S – площадь многоугольника в основании фигуры, а h – высота призмы.
Как найти объем многогранника - пирамиды
Если в основании фигуры расположен многоугольник, а боковые грани представлены в виде треугольников, смыкающихся в общей вершине, то такую фигуру называют пирамидой. Она отличается от вышеперечисленных фигур тем, что у нее имеется только одно основание, кроме этого, у нее есть вершина. Чтобы найти объем пирамиды, ее основание умножают на высоту, и делят результат на 3:
здесь S – площадь основания искомой геометрической фигуры, а h – высота.
Площадь простого многогранника найти достаточно просто, гораздо сложнее найти площадь фигуры, состоящей из множества многогранников. Особое внимание придется уделить правильному разделению сложного многогранника на простые.
Продолжаем решать задачи из открытого банка заданий ЕГЭ по математике категории «№8» . Сегодня разбираем задачи, в которых фигурируют составные многогранники. (Мы уже встречались с задачами на составными многогранниками).
Задача 1.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Площадь поверхности многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3, 3 и 2 и двух площадей квадратов 1х1.
Задача 2.
Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,4 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.
Решение:
Площадь поверхности оставшейся части куба есть сумма площади поверхности куба (ребро 1) и площади боковой поверхности призмы, уменьшенная на двойную площадь квадрата (со стороной 0,4).
Ответ: 7,28.
Задача 3.
Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 6 раз?
Решение:
При увеличении всех ребер в 6 раз площадь каждой грани изменится в 36 раз, поэтому и сумма площадей всех граней (площадь поверхности) увеличенного октаэдра будет в 36 раз больше площади поверхности исходного октаэдра.
Задача 4.
Площадь поверхности тетраэдра равна 1. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
Решение:
Поверхность искомого многогранника состоит из 8 граней – треугольников.
Площадь каждого такого треугольников из пары (на рисунке выделены одним цветом)
в 4 раза меньше площади соответсвующей грани тетраэдра.
Тогда сумма площадей граней многогранника есть половина поверхности тетраэдра. То есть
Ответ: 0,5.
Вы можете посмотреть и видеоролик к задаче 4:
Задача 5.
Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Решение:
Объем данного пространственного креста – есть 7 объемов единичных кубов. Поэтому
Задача 6.
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Объем данного многогранника – есть объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3, 6 и 2 без объема прямоугольного параллелепипеда с измерениями 1, 2, 2.
Задача 7.
Объем тетраэдра равен 1,5. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.
Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.
Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.
1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.
Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.
2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.
Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).
Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).
Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.
Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.
3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).
Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.
Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).
Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.
Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.
Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.
Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.
4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.
Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.
Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости (ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.
Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.
Задачи на Построение сечений кубаD1
С1
Е
А1
B1
D
А
F
B
С
Проверочная работа.
1 вариант2 вариант
1. тетраэдр
1. параллелепипед
2. Свойства параллелепипеда
Секущей плоскостью куба называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного куба.
Секущаяплоскость пересекает грани куба по
отрезкам.
Многоугольник, сторонами которого являются
данные отрезки, называется сечением куба.
Сечениями куба могут быть треугольники,
четырёхугольники, пятиугольники и
шестиугольники.
При построении сечений следует учитывать тот
факт, что если секущая плоскость пересекает две
противоположные грани по каким-то отрезкам, то
эти отрезки параллельны. (Объясните почему).B1
C1
D1
A1
M
K
ВАЖНО!
B
С
D
ЕслиAсекущая плоскость пересекает
противоположные грани, то она
K DCC1
пересекает их по параллельным
M BCC1
отрезкам.
три данные точки, являющиеся серединами рёбер. Найдите периметр сечения, если ребро ку
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей черезтри данные точки, являющиеся серединами рёбер.
Найдите периметр сечения, если ребро куба равно а.
D1
N
K
А1
D
А
С1
B1
M
С
B
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся его вершинами. Найдите периметр сечения, если ребро куба
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей черезтри данные точки, являющиеся его вершинами. Найдите
периметр сечения, если ребро куба равно а.
D1
С1
А1
B1
D
А
С
B
D1
С1
А1
М
B1
D
А
С
B
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно а.
D1С1
А1
B1
N
D
А
С
B
Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющиеся серединами его рёбер.
С1D1
B1
А1
K
D
С
N
Е
А
M
B
