§1.1. Действительные числа
Первое знакомство с действительными числами происходит в школьном курсе математики. Всякое действительное число представляется конечной или бесконечной десятичной дробью.
Действительные (вещественные) числа делятся на два класса: класс рациональных и класс иррациональных чисел. Рациональными
называются числа, которые имеют вид , где m
и n
– целые взаимно простые числа, но 
. (Множество рациональных чисел обознается буквой Q
). Остальные действительные числа называются иррациональными
. Рациональные числа представляются конечной или бесконечной периодической дробью (то же, что обыкновенные дроби), тогда иррациональными будут те и только те действительные числа, которые можно представить бесконечными непериодическими дробями.
Например, число 
– рациональное, а 
, 
, 
и т.п. – иррациональные числа.
Действительные числа можно также разделить на алгебраические - корни многочлена с рациональными коэффициентами (к ним относятся, в частности, все рациональные числа – корни уравнения 
) – и на трансцендентные – все остальные (например, числа 
и другие).
Множества всех натуральных, целых, действительных чисел обозначаются соответственно так: N
Z
, R
(начальные буквы слов Naturel, Zahl, Reel).
§1.2. Изображение действительных чисел на числовой оси. Интервалы
Геометрически (для наглядности) действительные числа изображают точками на бесконечной (в обе стороны) прямой линии, именуемой числовой
осью
. С этой целью на рассматриваемой прямой берётся точка (начало отсчёта – точка 0), указывается положительное направление, изображаемое стрелкой (обычно направо) и избирается единица масштаба, которую откладывают неограниченно в обе стороны от точки 0. Так изображаются целые числа. Чтобы изобразить число с одним десятичным знаком, надо каждый отрезок разделить на десять частей и т.д. Таким образом, каждое действительное число изобразится точкой на числовой оси. Обратно, каждой точке 
соответствует действительное число, равное длине отрезка 
и взятое со знаком «+» или «–», в зависимости от того, лежит ли точка правее или левее от начала отсчёта. Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой оси. Термины «действительное число» и «точка числовой оси» употребляются как синонимы.
Символом 
будем обозначать и действительное число, и точку, ему соответствующую. Положительные числа располагаются правее точки 0, отрицательные – левее. Если 
, то на числовой оси точка 
лежит левее точки 
. Пусть точке 
соответствует число , тогда число называется координатой точки , пишут 
; чаще саму точку обозначают той же буквой , что и число. Точка 0 – начало координат. Ось обозначают тоже буквой 
(рис.1.1).
Рис. 1.1. Числовая ось.
Совокупность всех чисел, лежащих между
данными числами и называется интервалом или промежутком; концы и ему могут принадлежать, а могут и не принадлежать. Уточним это. Пусть 
. Совокупность чисел , удовлетворяющих условию 
, называется интервалом (в узком смысле) или открытым интервалом, обозначается символом 
(рис.1.2).
Рис. 1.2. Интервал
Совокупность чисел таких, что 
называется замкнутым интервалом (отрезок, сегмент) и обозначается через 
; на числовой оси отмечается так:
Рис. 1.3. Замкнутый интервал
От открытого промежутка он отличается лишь двумя точками (концами) и . Но это отличие принципиальное, существенное, как увидим в дальнейшем, например, при изучении свойств функций.
Опуская слова «множество всех чисел (точек) x таких, что» и т. п., отметим далее:
и 
, обозначается 
и 
полуоткрытые, или полузамкнутые, интервалы (иногда: полуинтервалы);
или 
означает: 
или 
и обозначается 
или 
;
или 
означает 
или 
и обозначается 
или 
;
, обозначается 
множество всех действительных чисел. Значки 
символы «бесконечности»; их называют несобственными или идеальными числами. 
§1.3. Абсолютная величина (или модуль) действительного числа
Определение.
Абсолютной величиной (или модулем)
числа называется само это число, если 
или 
если 
. Обозначается абсолютная величина символом 
. Итак, 
Например, 
, 
, 
.
Геометрически означает расстояние точки a
до начала координат. Если имеем две точки и , то расстояние между ними можно представить как 
(или 
). Например, 
то расстояние 
.
Свойства абсолютных величин.
1. Из определения следует, что 
, 
, то есть 
.
2. Абсолютная величина суммы и разности не превосходит суммы абсолютных величин: 
.
1) Если 
, то 
. 2) Если 
, то . ▲
3. 
.
, тогда по свойству 2: 
, т.е. 
. Аналогично, если представить 
,то придём к неравенству 
▲
4. 
– следует из определения: рассмотреть случаи 
и 
.
5. 
, при условии, что 
Так же следует из определения.
6. Неравенство 
,
, означает 
. Этому неравенству удовлетворяют точки, которые лежат между 
и 
.
7. Неравенство 
равносильно неравенству 
, т.е. . Это есть интервал с центром в точке длины 
. Он называется 
окрестностью точки (числа) . Если 
, то окрестность называется проколотой: это или 
. (Рис.1.4).
8. 
откуда следует, что неравенство 
(
) равносильно неравенству 
или 
; а неравенство 
определяет множество точек, для которых 
, т.е. это точки, лежащие вне отрезка 
, именно: 
и 
.
§1.4. Некоторые понятия, обозначения
Приведём некоторые широко применяемые понятия, обозначения из теории множеств, математической логики и других разделов современной математики.
1 . Понятие множества является одним из основных в математике, исходным, всеобщим – а потому не поддаётся определению. Его можно лишь описать (заменить синонимами): это есть собрание, совокупность каких-то объектов, вещей, объединённых какими-либо признаками. Объекты эти называются элементами множества. Примеры: множество песчинок на берегу, звёзд во Вселенной, студентов в аудитории, корней уравнения, точек отрезка. Множества, элементы которых суть числа, называются числовыми множествами . Для некоторых стандартных множеств вводятся специальные обозначения, например, N , Z , R - см. § 1.1.
Пусть A
– множество и x
является его элементом, тогда пишут: 
; читается «x
принадлежит A
» (
знак включения для элементов). Если же объект x
не входит в A
, то пишут 
; читается: «x
не принадлежит A
». Например, 
N
; 8,51
N
; но 8,51
R
.
Если x
является общим обозначением элементов множества A
, то пишут 
. Если возможно выписать обозначение всех элементов, то пишут 
, 
и т. п. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ; например, множество корней (действительных) уравнения 
есть пустое.
Множество называется конечным , если оно состоит из конечного числа элементов. Если же какое бы натуральное число N ни взяли, во множестве A найдётся элементов больше, чем N, то A называется бесконечным множеством: в нём элементов бесконечно много.
Если всякий элемент множества ^
A
принадлежит и множеству B
, то
называется частью или подмножеством множества B
и пишут 
; читается «A
содержится в B
» (
есть знак включения для множеств). Например, N
Z
R.
Если и 
, то говорят, что множества A
и B
равны и пишут 
. В противном случае пишут 
. Например, если 
, а 
множество корней уравнения 
, то .
Совокупность элементов обоих множеств A
и B
называется объединением
множеств и обозначается 
(иногда 
). Совокупность элементов, принадлежащих и A
и B
, называется пересечением
множеств и обозначается 
. Совокупность всех элементов множества ^
A
, которые не содержатся в B
, называется разностью
множеств и обозначается 
. Схематично эти операции можно изобразить так:
Если между элементами множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны и пишут 
. Всякое множество A
, эквивалентное множеству натуральных чисел N
= называется счётным
или исчислимым.
Иначе говоря, множество называется счётным, если его элементы можно пронумеровать, расположить в бесконечную последовательность
, все члены которой различны: 
при 
, и его можно записать в виде . Прочие бесконечные множества называются несчётными
. Счётными, кроме самого множества N,
будут, например, множества 
, Z.
Оказывается, что множества всех рациональных и алгебраических чисел – счётные, а эквивалентные между собой множества всех иррациональных, трансцендентных, действительных чисел и точек любого интервала – несчётные. Говорят, что последние имеют мощность континуума (мощность – обобщение понятия количества (числа) элементов для бесконечного множества).
2
. Пусть есть два утверждения, два факта: и 
. Символ 
означает: «если верно , то верно и » или «из следует », « имплицирует есть корень уравнения обладает свойством от английского Exist
– существовать.
Запись: 
, или 
, означает: существует (по крайней мере один) предмет , обладающий свойством 
. А запись 
, или 
, означает: все обладают свойством . В частности, можем записать: 
и .
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II
§ 44 Геометрическое изображение действительных чисел
Геометрически действительные числа, так же как и рациональные числа, изображаются точками прямой.
Пусть l - произвольная прямая, а О - некоторая ее точка (рис. 58). Каждому положительному действительному числу α поставим в соответствие точку А, лежащую справа от О на расстоянии в α единиц длины.
Если, например, α = 2,1356..., то
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
и т. д. Очевидно, что точка А в этом случае должна находиться на прямой l правее точек, соответствующих числам
2; 2,1; 2,13; ... ,
но левее точек, соответствующих числам
3; 2,2; 2,14; ... .
Можно показать, что эти условия определяют на прямой l единственную точку А, которую мы и рассматриваем как геометрический образ действительного числа α = 2,1356... .
Аналогично, каждому отрицательному действительному числу β поставим в соответствие точку В, лежащую слева от О на расстоянии в | β | единиц длины. Наконец, числу «нуль» поставим в соответствие точку О.
Так, число 1 изобразится на прямой l точкой А, находящейся справа от О на расстоянии в одну единицу длины (рис. 59), число - √2 - точкой В, лежащей слева от О на расстоянии в √2 единиц длины, и т. д.
Покажем, как на прямой l с помощью циркуля и линейки можно отыскать точки, соответствующие действительным числам √2 , √3 , √4 , √5 и т. д. Для этого прежде всего покажем, как можно построить отрезки, длины которых выражаются этими числами. Пусть АВ есть отрезок, принятый за единицу длины (рис. 60).
В точке А восставим к этому отрезку перпендикуляр и отложим на нем отрезок АС, равный отрезку АВ. Тогда, применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABC, получим; ВС = √АВ 2 + АС 2 = √1+1 = √2
Следовательно, отрезок ВС имеет длину √2 . Теперь восставим перпендикуляр к отрезку ВС в точке С и выберем на нем точку D так, чтобы отрезок CD был равен единице длины АВ. Тогда из прямоугольною треугольника BCD найдем:
ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3
Следовательно, отрезок BD имеет длину √3 . Продолжая описанный процесс дальше, мы могли бы получить отрезки BE, BF, ..., длины которых выражаются числами √4 , √5 и т. д.
Теперь на прямой l легко найти те точки, которые служат геометрическим изображением чисел √2 , √3 , √4 , √5 и т. д.
Откладывая, например, справа от точки О отрезок ВС (рис. 61), мы получим точку С, которая служит геометрическим изображением числа √2 . Точно так же, откладывая справа от точки О отрезок BD, мы получим точку D", которая является геометрическим образом числа √3 , и т. д.
Не следует, однако, думать, что с помощью циркуля и линейки на числовой прямой l можно найти точку, соответствующую любому заданному действительному числу. Доказано, например, что, имея в своем распоряжении только циркуль и линейку, нельзя построить отрезок, длина которого выражается числом π = 3,14 ... . Поэтому на числовой прямой l с помощью таких построений нельзя указать точку, соответствующую этому числу Тем не менее такая точка существует.
Итак, каждому действительному числу α можно поставить в соответствие некоторую вполне определенную точку прямой l . Эта точка будет отстоять от начальной точки О на расстоянии в | α | единиц длины и находиться справа от О, если α > 0, и слева от О, если α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . В самом деле, пусть числу α соответствует точка А, а числу β - точка В. Тогда, если α > β , то А будет находиться правее В (рис. 62, а); если же α < β , то А будет лежать левее В (рис. 62,б).
Говоря в § 37 о геометрическом изображении рациональных чисел, мы поставили вопрос: любую ли точку прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого рационального числа? Тогда мы не могли дать ответ на этот вопрос; теперь же мы можем ответить на него вполне определенно. На прямой есть точки, которые служат геометрическим изображением иррациональных чисел (например, √2 ). Поэтому не всякая точка прямой изображает рациональное число. Но в таком случае напрашивается другой вопрос: любую ли точку числовой прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого действительного числа? Этот вопрос решается уже положительно.
В самом деле, пусть А - произвольная точка прямой l , лежащая справа от О (рис. 63).
Длина отрезка ОА выражается некоторым положительным действительным числом α (см § 41). Поэтому точка А является геометрическим образом числа α . Аналогично устанавливается, что каждая точка В, лежащая слева от О, может рассматриваться как геометрический образ отрицательного действительного числа - β , где β - длина отрезка ВО. Наконец, точка О служит геометрическим изображением числа нуль. Понятно, что две различные точки прямой l не могут быть геометрическим образом одного и того же действительного числа.
В силу изложенных выше причин прямая, на которой указана в качестве «начальной» некоторая точка О (при заданной единице длины), называется числовой прямой .
Вывод. Множество всех действительных чисел и множество всех точек числовой прямой находятся во взаимно однозначном соответствии.
Это означает, что каждому действительному числу соответствует одна, вполне определенная точка числовой прямой и, наоборот, каждой точке числовой прямой при таком соответствии отвечает одно, вполне определенное действительное число.
Упражнения
320. Выяснить, какая из двух точек находится на числовой прямой левее и какая правее, если эти точки соответствуют числам:
а) 1,454545... и 1,455454...; в) 0 и - 1,56673...;
б) - 12,0003... и - 12,0002...; г) 13,24... и 13,00....
321. Выяснить, какая из двух точек находится на числовой прямой дальше от начальной точки О, если эти точки соответствуют числам:
а) 5,2397... и 4,4996...; .. в) -0,3567... и 0,3557... .
г) - 15,0001 и - 15,1000...;
322. В этом параграфе было показано, что для построения отрезка длиной в √n с помощью циркуля и линейки можно поступить следующим образом: сначала построить отрезок длиной √2 , затем отрезок длиной √3 и т. д., пока не дойдем до отрезка длиной √n . Но при каждом фиксированном п > 3 этот процесс можно ускорить. Как бы, например, вы стали строить отрезок длиной √10 ?
323*. Как с помощью циркуля и линейки найти на числовой прямой точку, соответствующую числу 1 / α , если положение точки, соответствующей числу α , известно?
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II
§ 37 Геометрическое изображение рациональных чисел
Пусть Δ есть отрезок, принятый за единицу длины, а l - произвольная прямая (рис. 51). Возьмем на ней какую-нибудь точку и обозначим ее буквой О.
Каждому положительному рациональному числу m / n поставим в соответствие точку прямой l , лежащую справа от С на расстоянии в m / n единиц длины.
Например, числу 2 будет соответствовать точка А, лежащая справа от О на расстоянии в 2 единицы длины, а числу 5 / 4 точка В, лежащая справа от О на расстоянии в 5 / 4 единиц длины. Каждому отрицательному рациональному числу k / l поставим в соответствие точку прямой, лежащую слева от О на расстоянии в | k / l | единиц длины. Так, числу - 3 будет соответствовать точка С, лежащая слева от О на расстоянии в 3 единицы длины, а числу - 3 / 2 точка D, лежащая слева от О на расстоянии в 3 / 2 единиц длины. Наконец, рациональному числу «нуль» поставим в соответствие точку О.
Очевидно, что при выбранном соответствии равным рациональным числам (например, 1 / 2 и 2 / 4) будет отвечать одна и та же точка, а не равным между собой числам различные точки прямой. Предположим, что числу m / n соответствует точка P , а числу k / l точка Q. Тогда, если m / n > k / l , то точка Р будет лежать правее точки Q (рис. 52, а); если же m / n < k / l , то точка Р будет находиться левее точки Q (рис. 52, б).
Итак, любое рациональное число можно геометрически изобразить в виде некоторой, вполне определенной точки прямой. А верно ли обратное утверждение? Всякую ли точку прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого рационального числа? Решение этого вопроса мы отложим до § 44.
Упражнения
296. Изобразить точками прямой следующие рациональные числа:
3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6.
297. Известно, что точка А (риc. 53) служит геометрическим изображением рационального числа 1 / 3 . Какие числа изображают точки В, С и D?
298. На прямой заданы две точки, которые служат геометрическим изображением рациональных чисел а и b а + b и а - b .
299. На прямой заданы две точки, которые служат геометрическим изображением рациональных чисел а + b и а - b . Найти на этой прямой точки, изображающие числа а и b .
Концептуальная цель: развитие основ пространственного мышления учащихся.
Стратегическая цель: развитие познавательной сферы учащихся; умения анализировать, делать выводы, обобщать.
1. Познакомить с правильными пяти- и шестиугольниками.
2. Показать применение правильных многоугольников для составления паркетов; многогранников.
Проблема: Почему тетрадь по математике в клеточку?
Варианты решения:
1. Удобнее записывать в столбик числа.
2. Легче чертить.
3. Можно использовать линейку без делений.
4. Проще найти расстояние от точки до прямой.
5. По клеточкам легко подсчитать площадь фигуры.
6. Можно находить площади параллелограмма, треугольника и других фигур путём перекраивания.
7. Рассматривать свойства геометрических фигур.
Оптимальный вариант: Все варианты решения практически используются; последний вариант своей эстетикой способствует развитию интереса к математике.
«Всё вокруг – геометрия».
Ле Карбюзье.
I. Организационный момент.
Доброе утро, дети. Я рада приветствовать вас на уроке математики.
Садитесь.
И конечно же, улыбнитесь.
Просто так, без особой причины.
Улыбаясь, мы делаем мир
Гармоничнее и светлее.
II. Актуализация знаний.
Согласны ли вы с высказыванием французского архитектора, начала ХХ века, Ле Карбюзье: «Всё вокруг – геометрия»? Что он имел в виду?
Мир, в котором мы живём, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека.
Математическая разминка:
- Какая геометрическая фигура имеет три оси
симметрии?
(равносторонний треугольник) - Какая геометрическая фигура имеет четыре оси
симметрии?
(квадрат)
Каким общим свойством обладают эти фигуры?
(Все стороны равны и все углы равны)
Назовите тему урока.
(Правильные многоугольники)
С квадратом и правильным треугольником мы уже знакомы. На уроке узнаем о правильных фигурах с большим количеством углов.
III. Объяснение новой темы.
Начертите квадрат, площадь которого равна 1 квадратному сантиметру.
(Учащимся предлагается на выбор два листа бумаги: в клеточку и нелинованный.)
Проблемный вопрос: Почему тетрадь по математике в клеточку?
(приводят варианты решения)
Подведение к главному решению проблемы.
1. Расставьте 8 стульев так, чтобы вдоль каждой стены стояло по 3 стула.
(Квадратный или прямоугольной)
В чём сходство и различие этих фигур?
Сходство: Различие:
Все перечисленные свойства нагляднее, если фигуры построены на бумаге в клеточку.
2. Расставьте 10 стульев так, чтобы у каждой стены комнаты стояло по 3 стула.
Практическая работа: Как из полоски бумаги получить пятиугольник?
Завязать простым узлом узкую полоску бумаги и осторожно разгладить её. Получится пятиугольник.)
Измерьте стороны у полученного пятиугольника.
(Стороны примерно одинаковы по длине.)
Такой пятиугольник называется правильным.
Сколько осей симметрии имеет правильный пятиугольник?
(Одна ось симметрии)
Сколько диагоналей имеет правильный пятиугольник?
(Пять диагоналей)
3. Расставьте 24 стула так, чтобы вдоль каждой стены стояло по 5 стульев?
Какой формы пол в этой комнате?
(Шестиугольной)
В каком «доме» мы можем увидеть «комнаты», у которых пол шестиугольной формы?
(Пчелиные соты)
Шестиугольники – основа пчелиных сот. И это не случайно. В чём тут дело?
(Высказывают свои предположения)
Постройте правильный шестиугольник с помощью циркуля.
(Выполнение построения в тетради. Учитель оказывает помощь. Вырезают полученные шестиугольники и укрепляют плотно друг к другу.)
Что получилось? Была пустая плоскость, вы заполнили её правильными шестиугольниками. Подобное покрытие называется настилом или паркетом.
Такая конструкция очень экономична и прочна. Пчёлы дошли до этого открытия «своим умом». Люди, наблюдая за ними и увидев это свойство, стали применять его в жизни. Многие вещи для прочности изготавливают или составляют из правильных многоугольников.
(Демонстрация вещей: подставка, изделия из пластмассы и т.д.)
Многоугольники являются кирпичиками, из которых можно составить сложные геометрические фигуры.
Из правильных треугольников можно сложить:
Тетраэдр 4 треугольника
- октаэдр 8 треугольников
- икосаэдр 20 треугольников
Из квадратов: гексаэдр (куб) 6 квадратов
Из пятиугольников: додекаэдр 12 пятиугольников
(Названные фигуры демонстрируются учащимся.)
Эти правильные многогранники были описаны ещё в Древней Греции. Они сыграли важную роль в учении древнегреческого философа Платона (428 – 348 до н.э.) Каждый многогранник, в его учении, является символом.
Тетраэдр символизирует огонь
Куб - землю
Октаэдр - воздух
Икосаэдр - воду
Додекаэдр - Вселенную
Форму многогранников придумал не человек, их создала природа. Люди, рассматривая чудесные, сверкающие, переливающиеся многогранники кристаллов, не могли поверить, что их создала природа. Именно поэтому родилось так много удивительных народных сказаний о кристаллах. Несколько таких легенд, рассказанных старыми уральскими мастерами, собраны П.П. Бажовым в сборнике «Малахитовая шкатулка». Известный любитель и знаток камня академик А.Е. Ферсман в книге «Рассказы о самоцветах» тоже поведал много народных легенд о драгоценных камнях. Он ярко и красочно повествует о том, какие красивые самоцветы находят у нас в России.
(Показ презентации кристаллов.)
Многогранники – удивительные символы симметрии. Мир наш наполнен симметрией. С древних времён с ней связаны наши представления о красоте.
IV. Рефлексия.
Что такое красота?
- Что бы вы поставили на первое место в решении проблемного вопроса?
- Что вас больше всего удивило на уроке?
- Что вы запомнили важного и интересного для себя?
- Что могло бы пригодиться вам в жизни?
- За что вы можете поблагодарить своих одноклассников?
V. Выбор домашнего задания.
«Симметрия вокруг нас» - Симметрия. Симметрия на плоскости. Зеркальная. Произвольная. Работы детей. Вокруг нас. Осевая. Симметрия властвует. Вращения. В геометрии есть фигуры, которые имеют. Осевая симметрия относительно прямой. Вращения (поворотная). Центральная. Центральная относительно точки. Вертикальная. Горизонтальная.
«Виды симметрии» - Осевая симметрия. Осевая симметрия также является движением. Зеркальная симметрия. Параллельный перенос. Виды движения. Зеркальная симметрия является движением. Параллельный перенос – один из видов движения. Понятие движения. Теорема. Центральная симметрия является движением. Центральная симметрия. Доказать, что параллельный перенос является движением Доказательство:
«Орнамент» - Сетчатый орнамент применяется для оформления пола, потолка, стен помещения. Преобразования, используемые для создания орнамента: Примеры русского орнамента. Виды орнамента. Сетчатый. Параллельный перенос. «Орнамент - математическое воплощение красоты». Растительный. Создание орнамента с помощью осевой симметрии и параллельного переноса.
«Виды симметрии в геометрии» - Центральная симметрия. Я в листочке, я в кристалле, я в живописи. Зеркальная симметрия. Человек веками пытается объяснить и создать порядок. Прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника. Центральная симметрия фигур. Симметрия. Практическая работа. Осевая симметрия. На зеркальной поверхности сидит мотылек.
«Понятие осевой симметрии» - Координаты точек. Ось симметрии. Полученные формулы. Прямая, параллельная оси симметрии. Симметричная прямая. Определение и теорема. Отображение пространства на себя. Треугольник. Отображение пространства. Осевая симметрия.
«Симметрия в искусстве» - Виды симметрии. Соловецкий монастырь. Айвазовский. Лейбниц. Пропорция в искусстве. Левитан. III.1.Периодичность в архитектуре. Платон. С.Ковалевская. Симметрия относится к числу наиболее сильных средств организации формы. музей Гуггенхейма. Красота - всюду. В. ВАСНЕЦОВ. Шишкин. Москва. Ii.3. Пропория в музыке.
Всего в теме 32 презентации
