Использование метода координат при вычислении угла
между плоскостями
Наиболее общий метод нахождения угла между плоскостями - метод координат (иногда - с привлечением векторов). Его можно использовать тогда, когда испробованы все остальные. Но бывают ситуации, в которых метод координат имеет смысл применять сразу же, а именно тогда, когда система координат естественно связана с многогранником, указанным в условии задачи, т.е. явно просматриваются три попарно перпендикулярные прямые, на которых можно задать оси координат. Такими многогранниками являются прямоугольный параллелепипед и правильная четырехугольная пирамида. В первом случае система координат может быть задана выходящими из одной вершины ребрами (рис.1), во втором - высотой и диагоналями основания (рис. 2)
Применение метода координат состоит в следующем.
Вводится прямоугольная система координат в пространстве. Желательно ввести ее «естественным» образом - «привязать» к тройке попарно перпендикулярных прямых, имеющих общую точку.
Для каждой из плоскостей, угол между которыми ищется, составляется уравнение. Проще всего составить такое уравнение, зная координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой.
Уравнение плоскости в общем виде имеет вид Ах + By + Cz + D = 0.
Коэффициенты А, В, С в этом уравнении являются координатами нормального вектора плоскости (вектора, перпендикулярного плоскости). Определяем затем длины и скалярное произведение нормальных векторов к плоскостям, угол между которыми ищется. Если координаты этих векторов (А 1 , В 1 ; С 1 ) и (А 2 ; В 2 ; С 2 ), то искомый угол вычисляется по формуле
Замечание. Необходимо помнить, что угол между векторами (в отличие от угла между плоскостями) может быть тупым, и чтобы избежать возможной неопределенности, в числителе правой части формулы стоит модуль.
Решите методом координат такую задачу.
Задача 1. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точка К - середина ребра AD, точка L - середина ребра CD. Чему равен угол между плоскостями А 1 KL и A 1 AD?
Решение . Пусть начало системы координат находится в точке А, а оси координат идут вдоль лучей AD, АВ, АА 1 (рис. 3). Ребро куба примем равным 2 (удобно делить пополам). Тогда координаты точек A 1 , К, L таковы: А 1 (0; 0; 2), К(1; 0; 0), L(2; 1; 0).
Рис. 3
Запишем уравнение плоскости А 1 К L в общем виде. Затем подставим в него координаты выбранных точек этой плоскости. Получим систему трех уравнений с четырьмя неизвестными:
Выразим коэффициенты А, В, С через D и придем к уравнению
Разделив обе его части на D (почему D = 0?) и домножив затем на -2, получим уравнение плоскости A 1 KL: 2х - 2 у + z - 2 = 0. Тогда нормальный вектор к этой плоскости имеет координаты (2: -2; 1) . Уравнение плоскости A 1 AD таково: y=0, а координаты нормального вектора к ней, например, (0; 2: 0) . Согласно приведенной выше формуле для косинуса угла между плоскостями получаем:
Единый государственный экзамен, 2015 г. Математика, 11 класс Тренировочный вариант № 91 Ответом к заданиям 1-14 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы, затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ №1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы измерения писать не нужно. Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ Тренировочный вариант № 91 Профильный уровень Инструкция по выполнению работы Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 21 задание. Часть 1 содержит 9 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 cодержит 8 заданий повышенного уровня сложности с кратким ответом и 4 задания высокого уровня сложности с развёрнутым ответом. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут). Ответы к заданиям 1–14 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1. Часть 1 1. Ежемесячная плата за воду по тарифу составляет 70 рублей с одного 3 проживающего в квартире человека. Плата по счетчику составляет 15 рублей за 1 м 3 воды. Семья из трех человек в среднем за месяц потребляет 6 м воды. Сколько рублей эта семья будет экономить ежегодно, если установит у себя в квартире водяной счетчик? Ответ: _______________________. 2. На графике точками отмечена цена (в долларах) одной тонны руды в течение 12 месяцев 2006-го года. Для наглядности точки соединены отрезками. Определите, сколько долларов составила разность между самой высокой и самой низкой ценой на руду во второй половине 2006-го года. При выполнении заданий 15–21 требуется записать полное решение и ответ в бланке ответов № 2. Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами. Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручек. При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в черновике не учитываются при оценивании работы. Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее количество баллов. Желаем успеха! alexlarin.net 2015 Ответ: _______________________. Разрешается свободное копирование, распространение и использование в образовательных некоммерческих целях Единый государственный экзамен, 2015 г. Математика, 11 класс Тренировочный вариант № 91 3. Независимая экспертная лаборатория определяет рейтинг R бытовых приборов на основе коэффициента ценности, равного 0,001 средней цены Р, показателей функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый из показателей оценивается целым числом от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле R=4(2F+ 2Q + D) – 0,001Р. В таблице даны средняя цена и оценки каждого показателя для нескольких моделей электрических чайников. Определите наивысший рейтинг представленных в таблице моделей электрических чайников. Модель чайника Средняя цена A 4000 Б 4500 В 4400 Г 4200 Функциональность 1 4 2 2 Качество 0 3 3 3 Дизайн 0 0 0 4 Ответ: _______________________. 4. 8. На графике дифференцируемой функции у = f (x) отмечены семь точек: / скольких из этих точек производная функции у = f (x) отрицательна? Ответ: _______________________. 9. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы (рис.), если сторона ее основания равна 2, а площадь боковой поверхности равна 24. . Клетка имеет размер 1 см × 1 см. Найдите периметр фигуры, изображенной на рисунке. Ответ дайте в сантиметрах. Ответ: _______________________. Ответ: _______________________. 10. Найдите значение выражения 12 ⋅ cos 2 Ответ: _______________________. 5. Какова вероятность того, что при бросании двух игральных кубиков выпадут числа, сумма которых делится на 5? Ответ округлите до сотых. Часть 2 5π − 3. 12 11. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой m=8 кг и радиуса R=10 см, и двух боковых с массами M=1 кг и с радиусами R+h. При этом момент инерции катушки 2 относительно оси вращения, выражаемый в кг*см задаeтся Ответ: _______________________. 6. Найдите корень уравнения (2 х + 7)3 = 125 . I= Ответ: _______________________. 7. Точка О – центр окружности (рис.). ∠ САО = 500. Найдите (m + 2M) R 2 + M (2 Rh + h 2) 2 . формулой При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 2 кг*см? Ответ выразите в сантиметрах. ∠ АВС. Ответ дайте в градусах. Ответ: _______________________. Ответ: _______________________. alexlarin.net 2015 х1, х2, …, х7. В Разрешается свободное копирование, распространение и использование в образовательных некоммерческих целях Единый государственный экзамен, 2015 г. Математика, 11 класс Тренировочный вариант № 91 12. Образующая конуса равна 20, а диаметр основания равен а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС Ответ: _______________________. 17. 24. Найдите высоту конуса. 13. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Ответ: _______________________. (14. Найдите абсциссу точки графика функции g (x) = х + 5 − 12 х в которой параллельна прямой у = 15х – 2 или совпадает с ней. 3) , касательная 2 Ответ: _______________________. Решите неравенство log 2 (5 − x) ⋅ log (x +1) 1 ≥ −6 8 18. В равнобедренном треугольнике АВС АС – основание. На продолжении стороны СВ за точку В отмечена точка D так, что угол САD равен углу АВD. а) Докажите, что АВ – биссектриса угла САD. б) Найдите длину отрезка АD, если боковая сторона треугольника АВС равна 5, а его основание равно 6. 19. Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй – 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции? 20. Найдите все значения а, при каждом из которых функция f (x) = | x | −2 − ах + 8а Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов № 1 Для записи решений и ответов на задания 15 - 21 используйте БЛАНК ОТВЕТОВ №2. Запишите сначала номер выполняемого задания (15, 16 и т.д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы записывайте чётко и разборчиво. π 2 15. а) Решите уравнение 4 sin 2 х + 4 cos + x = 3 sin π 2 принимает значение, равное 2, в двух различных точках. 21. а) Представьте число 2015 в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел. б) Найдите количество способов представления числа 2015 в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел. в) Можно ли число 2015 представить в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных нечетных натуральных чисел? . 3π б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу − ; 3π . 2 16. На боковых ребрах АА1, ВВ1 и СС1 правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 (АА1 || ВВ1 || СС1) расположены точки К, L, и М соответственно. Известно, что угол между прямыми KL и АВ равен π π , а угол между прямыми КМ и АС - . 4 3 alexlarin.net 2015 Разрешается свободное копирование, распространение и использование в образовательных некоммерческих целях
Экзаменационная работа состоит из двух частей , включающих в себя 19 заданий . Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня сложности с кратким ответом. Часть 2 cодержит 4 задания повышенного уровня сложности с кратким ответом и 7 заданий высокого уровня сложности с развёрнутым ответом.
На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).
Ответы к заданиям 1–12 записываются в виде целого числа или конечной десятичной дроби . Числа запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк ответов № 1, выданный на экзамене!
При выполнении работы Вы можете воспользоваться , выдаваемыми вместе с работой. Разрешается использовать только линейку , но можно сделать циркуль своими руками. Запрещается использовать инструменты с нанесёнными на них справочными материалами. Калькуляторы на экзамене не используются .
На экзамене при себе надо иметь документ удостоверяющий личность (паспорт ), пропуск и капиллярную или гелевую ручку с черными чернилами ! Разрешают брать с собой воду (в прозрачной бутылке) и еду (фрукты, шоколадку, булочки, бутерброды), но могут попросить оставить в коридоре.
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ВАРИАНТЫ ГИА -9 . Тесты . Сканированные варианты для самоподготовки обучающихся.Подскажите, пожалуйста, где можно всязь методические рекомендации по заполнению бланков ГИА 2012 по математике ?
le-savchen.ucoz.ru/publ · 3Кб 2010-04-13 04:00:00
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие Вариант 1 Часть 1 Часть 2 Вариант 2 Часть 1 Часть 2Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать: Скачать книгу ОГЭ 2017, Математика , 9 класс , Сборник экзаменационных тестов , Рязановский А.Р., Мухин Д.Г...
https://nashol.com/2016110691662.. · 2Кб 2016-11-06 19:14:45
Категория -> Учебные материалы » ГИА по математике 2017 » Варианты ГИА по математике 2017, задания.Готовьтесь к экзамену ГИА ОГЭ по математике по пробным вариантам (пробники - 2016 год). Всего 15 вариантов , которые можно скачать в pdf формате с гугл диска.
vpr-klass.com/load/gia_po_matematike_2017.. · 2Кб 2018-03-08 15:40:58
9 класс . Математика . ДКР по математике , ОГЭ и ГВЭ. Санкт-Петербург. 235 мин. Вар.9 класс . Математика . Пробное тестирование -2016 . Воркута. 235 мин. Вар.ГИА -2013. Математика . Тренировочные варианты .ГИА -2013. Математика . Пробные варианты от ФИПИ (вар.
https://alleng.org/d/math · 4Кб 2011-05-05 05:28:35
Несколько варианты пробного экзамена в 9 классе для тренировки.Целевая аудитория: 9 класс . Скачать Варианты пробного экзамена в форме ГИА (ОГЭ) в 9 классе .. Номер свидетельства: 271845.
https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee.. · 1Кб 2016-01-03 14:41:59
9 класс . 40 тренировочных вариантов по демоверсии. Лысенко Ф.Ф., Кулабухов С.Ю..Ко всем тестам и задачам приведены ответы. Кроме того, для 10 вариантов приведены решения к заданиям части 2 (к заданиям с развёрнутым ответом).
newgdz.com/ege-gia-onlajn/gia-matematika.. · 1Кб 2016-07-19 10:46:40
Скачать учебные пособия для подготовки к ОГЭ по математике , алгебре, геометрии: типовые тестовые задания, справочники, варианты экзаменационных работ, тренажеры, тренинги, задачи, демонстрационный вариант , практикумы, сборники заданий.
https://skachaj24.ru/gia-po-matematike · 4Кб 2014-02-12 00:31:42
Тренировочные тесты . Типовые тестовые задания ОГЭ. Экзаменационные варианты ОГЭ.Обучающимся, не прошедшим ГИА или получившим на ГИА неудовлетворительные результаты более чем по двум учебным предметам, либо получившим повторно неудовлетворительный...
ЕГЭ 2017. Математика. Комплекс материалов для подготовки учащихся. Ященко И.В., Семенов А.В. и др.
М.: 2017. - 192 с.
Данное пособие предназначено для подготовки учащихся
11 классов к Единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике базового и
профильного уровней. Издание включает типовые задания по всем содержательным
линиям экзаменационной работы, а также примерные варианты в формате ЕГЭ 2017
года. Пособие поможет школьникам проверить свои знания и умения по предмету, а
учителям -оценить степень достижения требований образовательных стандартов
отдельными учащимися и обеспечить их целенаправленную подготовку к экзамену.
Формат: pdf
Размер: 5,4 Мб
Смотреть, скачать: drive.google
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
1. Алгебра 7
1.1. Рациональные уравнения и выражения 7
1.2. Иррациональные уравнения и выражения 12
1.3. Степенные уравнения и выражения 13
1.4. Тригонометрические уравнения и выражения 16
1.5. Логарифмические уравнения и выражения 18
2. Практико-ориентированные задачи 20
2.1. Текстовые задачи 20
2.2. Графики и диаграммы 30
2.3. Вероятность 38
3. Геометрия 43
3.1. Длины 43
3.2. Углы 46
3.3. Тригонометрия 48
3.4. Площади 50
3.5. Стереометрия 56
4. Начала математического анализа 62
4.1. Геометрический и физический смысл производной 62
4.2. Техника дифференцирования 66
4.3. Исследование функций 68
4.4. Первообразная 74
5. Задачи повышенной сложности 79
5.1. Тригонометрические уравнения 79
5.2. Неравенства и системы неравенств 80
5.3. Уравнения и неравенства с параметром 81
5.4. Планиметрия 83
5.5. Стереометрия 85
5.6. Арифметика и алгебра 87
5.7. Экономические задачи 89
Справочные материалы по математике (базовый уровень) 91
Тренировочные варианты ЕГЭ (базовый уровень) 95
Тренировочный вариант 1 95
Тренировочный вариант 2 99
Тренировочный вариант 3 103
Тренировочный вариант 4 107
Тренировочный вариант 5 111
Тренировочный вариант 6 115
Тренировочный вариант 7 119
Тренировочный вариант 8 123
Тренировочный вариант 9 127
Тренировочный вариант 10 131
Тренировочный вариант 11 135
Тренировочный вариант 12 139
Тренировочные варианты ЕГЭ (профильный уровень) 143
Тренировочный вариант 1 143
Тренировочный вариант 2 146
Тренировочный вариант 3 149
Тренировочный вариант 4 152
Тренировочный вариант 5 155
Тренировочный вариант 6 158
Тренировочный вариант 7 161
Тренировочный вариант 8 164
Тренировочный вариант 9 167
Тренировочный вариант 10 170
Тренировочный вариант 11 173
Тренировочный вариант 12 176
Ответы 179
Приложение. Решения заданий с развёрнутым ответом 186
Тренировочный вариант 7 186
Государственная итоговая аттестация по математике в форме Единого государственного экзамена с 2015 года проводится на базовом и профильном уровнях. Содержание заданий с кратким ответом контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена базового и профильного уровней в 2017 году не будут принципиально отличаться от содержания соответствующих вариантов 2016 года. С окончательной структурой варианта можно ознакомиться на сайте Федерального института педагогических измерений (www.fipi.ru) в разделе «ЕГЭ: демоверсии, спецификации, кодификаторы». В рамках спецификации продолжается расширение тематики задач, особенно это касается геометрической части экзамена, а также заданий по началам математического анализа. Указанные изменения нашли свое отражение в книге, которую вы держите в руках.
